安徽省合肥市某中學(xué)2026屆高三年級下冊學(xué)期強化訓(xùn)練（一）數(shù)學(xué)試卷

安徽合肥市第八中學(xué)2025-2026學(xué)年第二學(xué)期強化訓(xùn)練一

高三數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.已知集合4=V7-2,0},B={x|log2X<2},則AP|8=()

A.[-1,2]B.[-1,4)C.(0,1]D.(0,2]

2.已知z=2-i,則歸+"=()

A.4B.4x/2C.3\/3D.2a

3.若平面向量。力工兩兩夾角相等，且同=1,|同=2,同=3,則|2+石+目=()

A.73B.36C.75或6D.3或36

4.已知函數(shù)=f+siru,且3'=2,y=ln2,z=J,則/(x),/()，)，/(z)的大小關(guān)系為()

A./W>/(y)>/(z)B.f(y)>f(x)>f(z)

C./(z)>/(y)>/(x)D./(z)>/(x)>/(y)

5.已知直線/:儂+，少+/=0斷+〃2W0)與圓C:Y+()，+3)2=8交于AB兩點，若〃A成等差數(shù)列，則

NAC8的最小值為()

6.在VA8C中，內(nèi)角AI,C所對的邊分別為a.b,c,若。=2,3二+史&=3,則VA8C面積的最大值

1+COS/4sinA

為（）

3

A.3B.1C.V3D.2《

7.在三棱錐尸一A8C中，底面ABC為正三角形，尸A_L平面A6C/W=G,PA=2,若尸,A,艮C四點都在

球。的表面上，則點/）到平面08c的距離為（）

A.5B.-C.立D.也

555

21

8.已知3為數(shù)列｛q｝的前〃項和，bn為數(shù)列⑸｝的前〃項積，若不+丁=2,則4=（）

<3n..n

57

A.2B.-C.3D.—

22

二、多選題

9.連續(xù)投擲一枚均勻的骰子3次，記3次擲出點數(shù)之積為X,擲出點數(shù)之和為y,則（）

A.事件“X為奇數(shù)”發(fā)生的概率:

O

B.事件“X=3”和事件"丫=5”相等

c.事件17”發(fā)生的概率為

75T4

D.事件“X=4”和事件“丫二6”獨立

10.已知函數(shù)=f-%爐+9%+機，則（）

A.3aeR,使得了"）為單調(diào)函數(shù)

B.VaeR,/a）的圖象恒有對稱中心

C.當(dāng)a=2時，/（X2）>/（5A+4）

D.若/，與，七是方程/（力=。的三個不同的根，則為七+%占+工2%3=9

11.在棱長為2的正方體ABCO-ABCIQ中，點P是側(cè)面（含邊界）上的動點，則下列結(jié)論正確

的是（）

A.存在點/>,使得

B.若AP〃平面ABC,則點P的軌跡長度為x/2

C.若AP與AD所成的角為B，則點P的軌跡長度為三

62

D.若以A為球心，空史為半徑的球面與側(cè)面c/）QG的交線長為名叵江.

39

三、填空題

I9.已知隨機變量J?N（2.4）,〃、b是正實數(shù).滿足尸（黑〃）+產(chǎn)德>2〃）=1,則宗和勺最小值為.

13.設(shè)85（0+0=7,51。1印1/=3,則（：00（0一4）=.（用含7的式子表示）

14.如圖，已知過拋物線丁=2/〃（P>0）的焦點廠的直線與拋物線交于48兩點，過點A作拋物線的準(zhǔn)

線的垂線AA，垂足為A，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點0為坐標(biāo)原點，記52,S3分別為VAO8,

4

△AFM,AAA/的面積.若S|+；§2=S3,則直線AB的斜率為.

四、解答題

15.設(shè)幾｝是各項都為正數(shù)的遞增數(shù)列，已知q=l,且。“滿足關(guān)系式（％+《「1）2=44.MVWN”.

（1）求生，4及數(shù)列M的通項公式；

⑵令包=■瑞;I”求數(shù)列｛々｝的前〃項積小

16.如圖，在四棱錐--AAC。中，底面A8CD是邊長為4的正方形，PA=PD=2^,M、N、G分別為

PD、PB、AD的中點，平面0ADJ_平面ABCO.

（2）求平面P8C與平面AMN所成角的余弦值；

PF

⑶若截面4MN與PC交于點E,且亍=2,求2的值.

17.現(xiàn)有8張大小質(zhì)地完全相同的K片，其中4張是紅色，4張是藍色.從中隨機摸出3張K片放入一個不

透明的袋子中，記袋子中紅色卡片的張數(shù)為兒，然后進行如下操作：從袋子中隨機摸出一張卡片（每張卡

片被摸到的概率相等），觀察其顏色后，將該卡片放在袋外，再從袋外取-?張另一種顏色的卡片放入袋中（即

若摸出紅色卡片，則放回藍色卡片；若摸出藍色卡片，則放回紅色卡片），袋子中始終保持3張卡片.記經(jīng)

過八次這樣的操作后，袋子中紅色卡片的張數(shù)為X”.

⑴求P"o=2）；

(2)當(dāng)乂=2時，求隨機變量X2的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.

，2

18.已知橢圓。:'+今=1(。>5>0)的長軸長為4,焦距為20，過點尸。,0)的直線/與橢圓C交于A,B

兩點，過點4作A。_1_工軸，交橢圓。于另一點。(異于點A,B).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線50過定點M,并求點〃的坐標(biāo)；

(3)求△N/如面積的取值范圍.

19.已知函數(shù)f(%)=(ox-l)e*(awR).

⑴討論/")的單調(diào)性；

⑵當(dāng)”=1時.

(i)求曲線)，=/(力的斜率為e的切線方程：

(ii)當(dāng)王〈/時，/(%)=/(々)="2，證明：％+2/〈機(■|一1)+1.

參考答案

1.D

【詳解】已知集合A=H/7_2W0},

由丁7_240,十字相乘可得3—2)(x+l)W0,

二次函數(shù)9一工一2=0開口向上，解得—1W2,即集合4=何一1。42}.

已知集合8={刈082%<2},

由嗔2工<2,可得{,解得()<x<4,即集合5={x0<x<4,

[log2x<log24

所以AC8={M_1WXW2}C{H0VXV4}={M0VXW2},即Ap|8=(0,2].

2.B

【詳解】由題意可得/=(2—產(chǎn)=4—4i+i2=3—4i,

所以歸+1|=|4-4i|=742+(-4)2=472.

3.C

【詳解】因為平面向量Z，b，3兩兩夾角相等，所以夾角有兩種情況,

即入即工兩兩夾角為0。或120。，

當(dāng)夾角為0。時，%+6+目=同+|5|+同=1+2+3=6；

-3

當(dāng)夾角為120。時,ab=-tbc=-\ca=--f

貝|JB+5+同=J(d+6+，2=yla2+b2+c2+2db+2ac-^2bc

=^l24-22+32+2x(-l)+2x^-|^+2x(-3)=V3；

綜上所述：,+萬+寸=6或,+5+1=\/J.

4.B

【詳解】由題意得x=log：、2='r二〉°,3-=ln2>0,-=log2e>0,

log?3v

則上=譬3=]08V<],所以％<),,

)，log23

j.1|

因為x=log32>log；3，，即y=ln2<lne=l,所以z=耳<x<)，<I,

因為在上，)，=/單調(diào)遞增，y=sinx單調(diào)遞增，所以/a)單調(diào)遞增,

所以.">)>/'*)>/(z).

5.C

【詳解】

由題意可知：圓C:V+(y+3)2=8的圓心為。(0,-3),半徑r=2拒,

因為〃成等差數(shù)列，所以設(shè)〃?=〃-△,/=〃+4,

則〃氏++/=0可化為-d卜+〃y+〃+d=0,

即(l-x”+(x+y+l)〃=O,

令二)L=()'..?二.2,可知直線過定點雙卜2),

且產(chǎn)+(—2+3)2<8,所以。(1,一2)在圓c內(nèi)部，

當(dāng)COJ.A8時，弦長|相|最短，此時/AC8最小，

又理|=1(1-()『+(-3+2)2=丘,所以|A卻=2J產(chǎn)-|CD『=2病二=2幾,

所以g4小士四『8串府

2r2x82

又4。/?￡(0,兀),所以/40?二1，

故選:C

6.A

【詳解】對/二十筆=3進行化簡，

I+cosAsinA

通分可得

5sin24+(l+cos/l)cos45-4cos2A+cos/A-(4cos>4-5)(cosA+1)一(4cosA-5)

=3,

(l+cosA)sinA(l+cosA)sinA(l+cosA)sinAsinA

34

即5-4cosA=3sinA,Xsin2A+cos2A=I解得sinA=-,cosA=一

55

8

已知4=2,由余弦定理/=〃2+。2一26ccosA,可得4=//+c?-,

根據(jù)基本不等式〃2+c,2之班?（當(dāng)且僅當(dāng)〃=c時取等號）,

QQ7

則4=〃+c2--hc>2bc--bc=—bc,可得Z?c<1(),

133

三角形面枳S"=?csinA=^AW布xlO=3,當(dāng)且僅當(dāng)人c時等號成立,

故選：A.

7.C

【詳解】設(shè)底面中心為D取BC的中點E,連接AE,則A,D,E三點共線，連接PE,過

點。作底面的垂線4,

取棱心的中點Q，在平面%E中，過。作雨的垂線3則4與4的交點即為球心0,

37

在正VA8C中，AB=g,AE=ABxsin600=—,得Q0=AO=.xA￡=1,

23

又PA=2PQ=2,即尸Q=l,

則OPnJpQ'QO?=啦,PE=>JPA2+AE2=|,OE=」OD'+DE2=冬

由余弦定理得cosZOPE=OP-+PE；OE-=772,則$出=也，

2xOPxPE1010

過。作尸￡的垂線，垂足為G,由8C_L4E,BCLPA.

因為E4nAE=A,PAtAEu平面RLE,所以8CJL平面小E,

又BCu平面PRC,則平面總C_L平面以正，

又平面尸4EH平面依C=PE,OGu平面%E,因此061平面P8C,

B?

在RtZXPOG中，OG=POxsinNOPG=&x4=L,

105

所以球心0到平面PBC的距離為!,

則三棱錐O-尸8c的體積為1x_LxGx，L正，

322512

而SON=」><Gx且=巫，設(shè)點?到平面OBC的距離為〃，

w224

由％..=九次，得且」x巫力，解得力=必，

12345

則點P到平面08c的距離為叵

5

8.D

【詳解】由己知京+［=2得S―言1且女產(chǎn)。，b=,取〃=1,由得

3”%血一］22

由于"為數(shù)列｛s.｝的前〃項積，所以黑.薩7…

2%—1Z/72—I一1

2b,2b、2%兩式相除，可得券彳=誓，

則---------------------=bL,

AJ2瓦一I2%-1向'

由于“。，化簡得/1=(即％8總，其中〃村

所以數(shù)列｛4｝是以4=；為首項，以d=5為公差的等差數(shù)歹U,

317

所以打二+乎八亍

故選：D

9.AC

【詳解】對于A,事件“X為奇數(shù)”等價于“3次擲出的點數(shù)都為奇數(shù)”，其發(fā)生的概率為

-13=-，故A正確;

2)8

對于B,事件“X=3”樣本空間點為｛(1,1,3),(131),(311)｝,事件“丫=5”的樣本空間點為

｛(1,1.3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)｝,所以事件“X=3”和事件“丫二5”不相等，故

B錯誤；

對于c,事件“丫＜17”的對立事件為“y=17或y=18”,而“y=i8”等價于“3次擲出的點數(shù)

均為6”，

其概率為仕］=—,“y=17”等價于“擲出的3個點數(shù)中有2個6和1個5"，其概率為

216

因此尸八⑺一（盛+表卜茅故c正確;

對于D:

事件“X=4”等價于“3次擲出的點數(shù)中有2個1和1個4（有3種不同情況），或者2個2和

1個1（有3種不同情況）"，其概率為P（X=4）=提=幺

21636

事件"丫二6”等價于"3次擲出的點數(shù)中有3個2（有1種情況）；或者2個1和1個4（有3

種不同情況）；或者1個1、1個2和1個3（有A；=6和不同情況）”，其概率為

p(r=6)=1+3+65

216108

31

而積事件等價于“3次擲出的點數(shù)中有2個1和1個4”，其概率P（X=4J=6）=^=五.

1515

P(X=4)P(y=6)=------X---------=-------X-------p(X=4,r=6)^P(X=4)P(X=6),

361087254

所以事件“X=4”和事件“y=6”不獨立

故D錯誤.

故選：AC.

10.ABD

【詳解】A：由題設(shè)/'3=3/-6以+9=3，—2"+3）,所以/'（x）是開口向上的拋物線,

要使/（X）為單調(diào)函數(shù)，只需V一波a+320恒成立，即A=4標(biāo)一］2WO，得-6KaW。,

所以九￡R,使得/(“為單調(diào)函數(shù)，對；

B：對于f(x)=V-3ar2+9x+〃2=(x-a)3+(9-3c/)(x-a)+〃z+9a-2a1

所以/(x)+f(2a-x)=2(“+9?-2?3),即/(x)恒關(guān)于點(4m+9〃-2/)對稱，對；

C：由題設(shè)/(力=父-6/+9x+m,若x=(),顯然/(/)=/(())=〃?</(5x+4)=f(4)=4+m,

錯；

32

D：由題設(shè)/(X)=(X-內(nèi))(x-x2)(x-x3)=x-(x1+X2+X3)X+(X}X2+X2X^+)x-x}x2x-.,

2

又/(x)=V-3ar+9x+rn,則x1x2+內(nèi)&+x2x3=9,對.

故選：ABD

11.AD

【詳解】以。為坐標(biāo)原點，。&DC.。4所在直線分別為*Az軸，建立空間直角坐標(biāo)

系.

正方體棱長為2,則。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),[(2,0,2),B,(2,2,2)；

點P在側(cè)面8AG(含邊界)上，設(shè)P(0,y,z)(0<y<2,0<z<2).

選項A：解=（-2,y,z—2）,麗=（一2,-2,-2）

.若A/_L4。，則而.麗=0,

即4-2y-2（z-2）=0,化簡得y+z=4.

ffi0<y<2,0?z42范圍內(nèi)，

y=2,Z=2（即P與G重合）時滿足，故存在點尸，故選項A正確;

選項B：法一：作出過4與平面A&C平行的平面4G。，

則點尸的軌跡為平面AG。與側(cè)面的交線，即線段0a.

法二：求平面4花的法向量，鬲=(0,2,2),AC=(-2,2,0),設(shè)法向量。=(乂y,z),

則(n-AB.=2y+2z=0,取x=l,得萬=/1』,一1\).若…AP//平面A8Q,則一?萬二0,

f)AC=-2x+2y=()

即—2+y—（z—2）=0,得y=z,則尸的軌跡為側(cè)面CDD￡上從0（0,0,0）到C,（0,2,2）的線段,

長度為J(2-()/+(2-()『=20,故選項B錯誤;

選項c：因為AO//AA，所以AP與4。所成的角等于AP與AQ所成的角，即/尸

6

在R/ZUQP中，3=2,tan/PAR=^=g,所以。尸=逋

4233

則點P的軌跡為以。為惻心，孚為半徑，圓心角為;的圓弧,

所以點P的軌跡長度為三又辿=叵，故選項C錯誤；

233

選項D：設(shè)球面與CG的交點為G,球面與CD的交點為凡可得交線為以。?為圓心的FG的

弧長.

由題知4a_L平面CORG，則△RAG為直角三角形,

皿|="G12TzM『=J(孚)2-22=華,則/GRG=《：

同理可得做=苧，所以/對。=看，所以“RG囁

所以弧尸6=土叵乂工=名網(wǎng).故選項D正確.

369

12.2+6

【詳解】由隨機變量歲~雙(2,4),且尸&Na)+產(chǎn)仔＞3)=1,得〃+?=4,而。＞0力＞。,

則2+1=!(a+2b)(2+g)=，(8+竺+￥)＞2+-V3,

ab4ab4ab

當(dāng)且僅當(dāng)竺=當(dāng)，即。=26-2,人=3-6時取等號，

ab

23

所以一十三的最小值為2+6.

ab

故答案為：2+G

13.-2T

［詳解】由題知cosacos/"sinasin/?=7,sirmsm,=3,

cosacosp

解得cosacos/?=-■!■7,sinasinfl=--T,則cos(a-/?)=cosacos4+sinasinP=-2T.

22

故答案為：-2T

14.73

/、

n/、/、

【詳解】設(shè)直級A“傾斜角為〃a0,5,入(芭,y),R(G，y)K>°，

可知：xx=|AF|cos<9+y,yl=|AF|sin/9,

且IA目=%+5=Icos0+〃，解得|A日=|二%,

則y=|叫sin0=，'叱,

1—cos。

同理可得％=-產(chǎn)嗎，

I十cos0

可知一見「加那黑+黑P_

52sin0

1p〃sin。p1sin0

§3=；|4川,=—x---------x----------

2l-cos。1-cos02(1-cos^)2

4

因為￡+~則上+工P。。…、

5=S,

23人」2sin。32(1-cos。)2(1-cos^)-

整理得2cos°8+3cos9-2=0,解得cos。=；或cos"-2,

且Ow［。,，］,則cos?:，，可得o=￥,

I2)23

所以直線AH的斜率為〃=tan。=75.

故答案為：x/3.

15.(1)/=4,%=9,4=//

⑵刀=(〃+1)(2〃+1)，

【詳解】(1)由己知(4+1+4-1)2=44+同“,〃€1<,

令〃=1代入得（％+4-1）2=4。］%，即嫉=4。2，解得。2=4或0（舍去），

令〃=2代入得（/+%-1）~=4。3a2，即（4+3）~=16%,解得。③=9或1（舍去）,

已知｛q｝是各項都為正數(shù)的遞增數(shù)列，且4=1,故從第二項開始每一項都大于1,故

4+1+%_[>()，

對式子（。,+1+-1丫=也+得”,"eN?兩邊開根號得%+an-\=2^an+iafl,

即4用+4「2＞。=7=1，整理得（、Z二一瘋）=1，故：施:'

又8=1,故數(shù)列｛、Z｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

故口=l+（〃-l）xl=〃，所以。”=〃2

（2）因為〃=⑵-）%=僅=

口刀“〃（〃+1）（2八+1）”〃+1）（2〃+1）

n(2n-\)n(2n-\)n2〃一1

(w+l)(2n+l)(〃+1)(2〃+1)w+12〃+1

1415〃⑵?-1)

所以（=4也也……〃廣$1T丞x…x

。?+1)(2〃+1)

_Ix2x3x…x〃Ix3x...x(2/z-1)_1

2x3x4x5x…x(〃+1)3x5x7x-.-x(2n+1)(w+1)(2,?:+1)

故T=(〃+I)(2〃+1).

16.(1)證明見解析

【詳解】（1）-PA=PD,G為AO中點，.?.PG_LA。.

又平面24。_L平面48c。，且交線為ADPGu平面尸AO,

「.PGJ_平面A3CQ,而BDu平面ABCD,，PG上平面ABCD,

s.PGLBDx

?.?M、N為PD、PB中點、,則有M*〃皿入

:.MN1PG；

(2)如圖以G為坐標(biāo)原點，過G作直線G”與A/3平行，以GA、GH、GP分別為％、八z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

PG=dPlf-Glf=,20-4=4,

則G(0,0.0),A(2,0,0),P(0.0,4"(2,4,0),0(-2,0,0),C(-2,4,0),M(-l,0,2),N(l,2,2).

.?.AM=(-3,0,2),iWV=(2.2,0),PC=(-2,4,-4),^P=(-2,0,4).

設(shè)平面AMN的一個法向量為n=(x,y,z),

ri-AM=-3x+2z=0.、

則有一，令x=2,可得力=(2,-2,3).

n-MN=2x+2y=0

-.-ra=(2,4,-4),^C=(-4,0,0),設(shè)平面PEN的一個法向量為初二(x，y,zj,

m-PB=2x+4y.-4z.=0/、

則有'_''',可取慶二(0,1,1),

m-BC=-4xi=0

-2+3A

cos(/n,〃)

j4+4+9\/m34

二?平面/由C與平面AMN所成的銳二面角的余弦值為亙

34

(3)vPE=APC=(-2A,4^-4A)t

AE=AP+PE=(-2,0,4)+(-2/l,4A,-4/1)=(-2-2/1,42,4-42).

.\nAE=-4-4/l-8/l+12-12/l=0.

3

17.(1)|

⑵分布列見解析，|

嗚

r2rl243

【詳解】（l）依題意，P（X0=2）=-^-=—=-.

Coo30/

（2）當(dāng)X=2時，若摸出紅色卡片，則Xz的值為1,若摸出藍色卡片,2的值為3,

2I

所以夕"2=1）=屋P（X2=3）=-,

所以X?的分布列為

X。13

22

p

33

01S

數(shù)學(xué)期望為E（X2）=1X；+3X（=|.

（3）兒的取值為0,1,2,3.

小=。）=警44尸（X。力普WV

吵。=2）=等得4尸（4=3）=警

X1的取值為0,1,2,3.

P（X.=O）=P（Xo=l）xl=l,

25

P（X1=l）=P（Xo=O）xl+P（Xo=2）x-=-,

25

P（X1=2）=P（X0=l）x-4-P（X0=3）xl=-,

P（X,=3）=P（X0=2）xl=l

Jt

所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E（XJ-O[+1*+2*+3X；楙.

18.（1）—+^-=1

42

⑵（4,0）

⑶用

【詳解】（1）由題意得2。=4,2c=2\/2?則a=2,c=五,b7=（r-cP=2?

由題意可得直線AB的斜率存在且不為0,

設(shè)直線A8的方程為X="少+1（加工（）），A（x“J,8（號必），則。（七,一）［），

x=my+1

聯(lián)立/2得（加+2））,2+2,股-3=0,yl+y2=^L,y,y2=^-

——+—=1x'nf+2iff+2

42

々種=”4,則直線8。：y+x=?j（x—xj

工2一七占一%

吧評LM+y-（x+%）Wy+i）、—M+y、）1+乃+2〃明力

」二〃心，2-凹）機（）’2一,）"〃心’2一巧）〃?（乃一乂）

-2/?iv+8"i-2/7?（x-4）

〃?（片-）?（〃，+2）m（y2-），J"+2）

所以直線8