浙江省某中學2025-2026學年高一年級下冊期中數學模擬練習卷（一）

寧波市余姚中學2025-2026學年高一下學期期中數學模擬練習卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，共40分。

1.已知i-z=2+i,則復數2為（）

A.1+2iB.l-2iC.2-iD.2+i

2.設全集/=口忱是復數},R={x|x是實數},M={x|x是純虛數},貝女）

A.MUR=/B.{C[M}UR=I

C.{C]M}nR=RD.Mn{GR}=0

3.已知t￡R,a=（1,2）,b=（3,0,若方〃方，則/的值為（）

A.3B.4C.5D.6

4二.如圖，△O'AB'是水平放置的AOAB的直觀圖，則△。4B的面積為（）

A.12B.24C.6/2D.12/2

5.已知向量瓦，瓦為單位向量，（可-2匹）_L耳，則瓦，孩的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

6.3月31日，2025年“廣西三月三八桂嘉年華”開幕式暨全國“四季村歌”活動在南寧民歌湖舉行，主舞

臺設在南寧民歌湖邊小明在湖對岸，現想測量與主舞臺的距離，如圖所示，做小明），B（主舞臺）兩點在湖

的兩岸,通過確定與A同側的湖岸邊一點C,測出A,C的距離為100吐,乙4cB=45。，4ABC=30。，計

算出A,B兩點的距離為（）

A.10072mB.100/3mC.5072mD.250m

7在正四棱柱ABCD-48]C]Di中,441=2,且四棱錐C-的體積為6,則48=()

A.IB.2C.3D.4

8.在四棱錐P—力BCD中，AP/IB是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB//CD,AB=6,CD=8,

cos乙4DC=*.若點尸，A,B,C,。均在球。的表面上，則當四棱錐P-A8C0的體積最大時，球。的表

面積為()

A.2571B.857rC.IOOTTD.華

二、多項選擇題：本大題共3小題，共18分。

9.已知復數z=3—i3,則下列結論正確的是()

A.\z\=/10B.z在復平面內對應的點位于第二象限

C.z(l-i)的虛部為一2D.z是方程/-6x+10=0的根

10.下列說法正確的是()

A.若非零向量力E滿足五〃瓦1〃高貝呢〃下

B.JD+AC-AD=~BC

C.若&,之為單位向量，則|2&+委|=|&+2委|

D.向量沆=(1,2),n=(C,2C)可以作為平面內的一個基底

11.在長方體48。中，底面ABCO是邊長為4的正方形，〃在棱力山】上，月.PA=PD=

/2,則()

A.AAr=1

B.過點A、P、C的平面截該長方體，所得截面周長為5V7+2VTU

C.以點P為球心，為半徑作一個球，則球面與底面A8CQ的交線長為27r

D.三棱錐P-外接球的體積是367r

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知某一多面體內接于球構成一個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖

中的四邊形是邊長為2的正方形，則該球的表面枳是

13.若復數z滿足|z-2i|=1,則|z|的最小值是.

14.在△A8C中，AB=2<5,AC=2y/~10,484c為鈍角，P,。是BC邊上的兩個動點，且PQ=2,若

AP?荷的最小值為3,則cos^BAC=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知meR,復數z=(2m2-m-1)+(m2-l)i(其中i為虛數單位)

(1)當實數相取何值時，復數z是純虛數；

(2)若更數4=5+3i在復平面內對應的點位于第一象限，求實數機的取值范圍.

16.(本小題15分)

在八力8C中，/-BAC=90\AB=2,AC=6,。為AC邊上的中點，E為BC邊上一點,且麗=4后？(0V

A<1).

(1)當4=g時，若荏=%前+丫沅，求x+y的值；

(2)當4E1BD時,求a的值.

17.(本小題15分)

如圖，圓錐PO的底面半徑和高均為6cm,過戶。上一點Oi作平仃于底面的截面，以該截面為底面挖去一

個圓柱。。1.設圓柱的底面半徑為R,母線長為L

(1)求R與/的關系式；

(2)求圓柱OOi的側面積的最大值；

(3)記圓柱。。1的側面積為工，圓維P0的側面積為S2.若Si=2/IS2，求圓柱。3的體積.

18.(本小題17分)

如圖，已知正方形A8CQ的邊長為2,點。為正方形內一點.

BB

(1)如圖1

⑴求前屈+正?前的值；

(”)求而AB+BP-BC+CPCD+DP■五?的值：

(2)如圖2,若點M,N滿足的=2MA,BN=2近.點P是線段MN的中點，點。是平面上動點，且滿足

2PQ=XPA+(1-^~PB,其中;l€R,求麗?麗的最小值.

19.(本小題17分)

已知△218。中，BC=2,AC=y[2,/IF=/10,點。是邊人8上的動點(不含端點)，點3關于直線CO的

對稱點是點E，連接CE，DE.

(1)當力。=28D時，求線段CD的長度.

(2)連接AE,點。在運動過程中存在多少個位置，使得力。=2/方，并請說明理由.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【詳解】已知i-z=2+i,化簡得：z二華，

分子分母同乘T得：2=駕早=岑，

又因為》2=一1,所以：2=子匕=1一2L

2.【答案】C

【解析】解：依題意，LR,M三個集合之間的關系如圖所示.

所以(MUR)G/,{GM}UR=GM,{GM}nR=R,MC(。津)=M.

故選C.

3.【答案】D

【解析】解:向量五=(1,2),B=(3,￡),

因為五〃比

所以1x￡-2x3=0,

所以￡=6

4.【答案】A

【解析】【分析】利用斜二測畫法的規則，即可還原三角形為直角三角形，從而可求三角形面積.

【詳解】由斜二測畫法的規則，可知原圖△04B是直角三角形，

且04=6,08=4,2408=90°,

故原圖△048的面積為：|x6x4=12,

故選：A.

5.【答案】C

【解析】【分析】根據向量垂直列方程，由此求得cos及，筱，進而確定正確答案.

【詳解】因為(瓦一2可)J.藍，所以(百一2麗?瓦二百2一2百孩

=1—2cos五，五=0,cos五，冕=

由于0。W瓦，球W180。,

所以翦，芭=60。.

6.【答案】4

【解析】【分析】利用正弦定理列方程，由此求得正確答案.

【詳解】由正弦定理得=

sin乙4cBsin乙48c

r-r-pi.ACbin^.ACBlOOx'2rx

所以48D=sisc==1002m.

2

7.【答案】C

【解析】【分析】連接AC,8。，相交于0,可證C。J■平面利用四棱錐的體積公式即可求解.

【詳解】連接力C,8D,相交于O,則CO_LBO,

由正棱柱的性質可知8當JL平面ABCD,OCu平面ABCD,

所以C0_LB8i，乂BB1C1BD=B,啊如匚平面鳥叫位，

則CO_L平面BDDiBi，且CO=號AB,

所以四棱錐C一8。。1位的高為其體積為:x當ABx2xyf2AB=6,

解得4B=3.

7）：可

I二、、、!/

AB

8.【答案】C

【解析】解：因為在四棱錐P-力BCD中，△248是以A8為斜邊的等腰直角三角形,

51.AB//CD,AB=6,CD=8,cos^ADC=

又A,B,C,。共圓，且4B〃CD,

所以四邊形ABC。必為等腰梯形，如圖所示：

因為=6,CD=8,cosZ-ADC=條，貝lJtan/40C=7,

所以tan〃DC=匕=片,則EF=7,

所以梯形ABCD的面積為定值.

因為△PA8是等腰直角三角形，E為斜邊A8的中點，AB=6,所以PE=3,

要使四棱錐。一48。。的體積最大，必有PE_L平面A8CD,此時EF_L平面PA8,

而點￡為^。力8的外心，因此球心。在石戶上，

設OE=x,球。的半徑為R,

M/?2=PE2+OEZ=OF2+FD2..即R2=32+X2=(7-%)2+42,解得％=4,

所以”=25,

所以球。的表面積S=4nR2=1007T.

故選：C.

根據條件，分析可得四邊形A4CQ必為等腰梯形，即可求出所需長度，分析可得，梯形44CQ的面積為定

值，要使四棱錐P—/BC。的體積最大，必有PE1平面A8C。，則球心。在石尸上，根據勾股定理，求出半

徑R,代入公式，即可得答案.

本題考查四棱錐的外接球問題求解，屬中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查復數的兒何意義、復數的模以及復數的概念，屬「基礎題.

根據復數的相關知識逐項判斷即可.

【解答】

解：因為z=3—i3=3+i,所以|z|二，而，故A正確；

z在復平面內對應的點為(3,1),位于第一象限，故8錯誤；

z(l-i)=(3+0(1-i)=4-2G虛部為-2,故C正確；

由2=3+i得(z-3)2=-1,即Z2-6Z+10=0,所以z是方程/一6x+10=0的根，故。正確.

故選：ACD.

10.【答案】ABC

【解析】解:對于A：若非零向量乙方滿足2〃瓦方〃乙則2〃落

A正確：

對于瓜由瓦5+近一而=麗+反二后乙

故B正確；

2

對于C：由|2&+e2|=(2&+&)2=4+4&?備+/=5+4否?e2,

2

|et+2e2|=,+4&W+4&=5+4瓦?>2'則|2&+備I=|ex+2e2|,

故C正確；

對于D：由沅=(1,2),亢=(JI,2,6),所以云=門沅，

即訪〃記，

故向量沆,記不可以作為平面內的一個基底，

。錯誤.

故選：ABC.

利用平面向量共線定理判斷A,。，根據平面向量線性運算法則判斷B,根據數量積的運算律判斷C.

本題考查了平面向量線性運算法則，重點考查了數量積的運算律，屬中檔題.

11.【答案】AB。

【解析】解：設A41=/l,&P=X,在直角△山!$中，根據勾股定理得(、E)2=/I2+X2,

在直角△OQP中，根據勾股定理得(、⑵2=h2+(4-x)2,

解得％=3,h=1,故A4=1,故A正確，

延長AP,DDi相交于點Q,連接QC交GA于點上

則截面周長為力。+PR+RC+AC,

在ACDQ中，利用三角形相似可得=，ZRC=，TU,

又底面ABCD是邊長為4的正方形，則4C=4/2,

故截面周長為4P+PR+RC+4C=/10+/2+/10+4/2=2/而+5/2,故B正確，

點P到底面ABC。的距離為1,球的半徑為

設球面與底面A8CD(正方形)的交線為半圓，

圓心在線段4。上且與。距離為1,圓的半徑r=J)2-12=1,

可得交線長為x27rxi=兀，故C錯誤，

在以PAD中，/.PDA=Z.DPDY=45°,

則4PAD的外接圓半徑r=|x=/5,顯然48_L平面PAD,

2sin450

因此三棱錐P-7180的外接球的球心O在線段A8的中垂線I'.,

球心O到平面PAD的距離為d=\AB=2,

則球半徑R=Vrz4-d2=V5+4=3,

故三棱錐P-/18D的外接球體積為］X7TX(3)3=36兀，故。正確.

12.【答案】127r

【解析】【詳解】試題分析：因為該組合體的正視圖、側視圖、俯視圖均是圓及邊長為2的正方形，所以

該組合體是校長為2的正方體及其外接球，可知外接球直徑2R等于正方體對角線長2門，所以該球的表

面積是44/?2=12/r,故答案為12m

考點：1、幾何體三視圖的應用；2、球的表面積公式.

13.【答案】1

【解析】【分析】

本題考查復數的模及其幾何意義，屬于中檔題.

利用復數的模的幾何意義，理解等式表示的動點軌跡圖形為圓，由圖易得動點到原點的距離最小值即得.

【解答】

解：

如圖，設復數z對應的點為Z,

則由|z-2i|=1可知

點Z到點A(0,2)的距離為1,

即點Z的軌跡為以點4(0,2)為圓心,以I為半徑的圓,

而憶|則表示動點Z到原點的距離，

由圖可知，圓上與原點距離最小的點為

故|z|的最小值是1.

故答案為：1.

14.【答案】一苧

【解析】解：取PQ中點O,又PQ=2,則。P=0Q=l,

則麗-AQ=(AO+OP>)-(Ad+OQ)=Ad2+Ad^(OP+OQ)-iOP-OQ=Ad2-l,

又彳？?豆的最小值為3,故|彳磯2=4,則\A0\=2,易知|而|最小時，力018c且40=2,

所以8。=V482—4。2=4,C0=AC2-AO2=6,則8c=10,

n”AB2+AC2-BC220+40-100/2

所以COSMAC=2二二=2X202E=---

故答案為-苧.

15.［答案】解：(1)若復數z=(2m2-m-1)4-(m2-l)t是純虛數,

則｛%:;;J=0,解得m=

即實數m=時，復數z是純虛數;

(2)由已知得Zi=z+3i=(2m2-zn—1)-(m2-l)i+3i=(2m2-zn-1)+(4-m2)i,

2

由題意，得2m—in—1>0

4-m2>0

解得｛7九〈一2淅>1

—2<m<2

即一2<m<一"或1<m<2,

即實數m的取值范圍是(一2,—》U(1,2).

【脩析】本題考查了復數的概念及復數的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

⑴利用純虛數的定義，得上22二m二1=0,求解即可；

\.m-1工U

(2)利用復數的幾何意義，由題意得E山27n二1>°,求解即可.

(.4-77lZ>0

16.【答案】解：(1)由題意得，以人為坐標原點建立.平面直角坐標系，如圖，則71(0,0),

???8(0,2)、C(6,0),又。為AC邊上的中點，，。仆,。),

當4=：時，E為BC邊上的中點，???E(3,l),即而=(3,1)、麗=(3,—2)、亞=(6,0),

又近=%前+y彳乙.?.(3,1)=K(3,—2)+y(6,0),即解得上一？

(y=w

131

??"+丫=->4=中

(2)設E(x,y),則南=(x,y),又AEiBD,--.AEBD=O,3x-2y=0,

???麗=(”-2)、5C=(6,-2),又前=4豆？，(％y-2)=入(6,—2),即3二算_2/1，解得

(x=6A

[y=2-2A,

3x-2y=3x6A-2x(2-2A)=0,解得/I=祭

【解析】(1)由題意建立平面直角坐標系，寫出坐標和向量，再通過題目給的條件列式即可:

(2)先設出E點坐標，利用AE180和詬=幾罰條件列式并聯立即可求解.

17.【答案】解：(1)記PA與圓柱的上底面交于點C,連接。傳，OA,則0傳〃。力，

所以翌=鬻，即號=&整理可得R+'=6.

POOA66

(2)由(1)知，R+1=6,且R+/N267，

所以R/W9,當且僅當R=Z=3時等號成立.

因為圓柱的側面積S=2TTR/,

所以S<2TTx9=18TT,

因此，當R=1=3時，圓柱的側囪枳取最大值187TC7H2.

(3)圓柱。。1的側面積a=2nRl,

圓錐尸。1的母線長為，故其側面積S2=^2nR2.

由工=2/2S2，得！=2R,

代入R+/=6,得2R+r=6,解得R=2,此時1=4,

所以圓柱。。1的體積V=nR2l=167TC7H3.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】(l)(i)正方形ABCD的邊長為2,則乙CAB=40。8c=45°,14cl=由川.

AP^+BC=(AP+PCyBC=AC?BC=AC?AD=2x272xcos45°=4,

(ii)APAB+BP-BC+CP-CD+DPDA

=(AP>AB+CP-'CD)+(BP-JC+DP-DA)

二(而.而+正.畫+(BP-BC+~PD~BC)

=(而+硝?四+(而+而)?就

=AC-AB^-BD-BC=2x2/Ixcos450+2x2/2xcos450=8

(2)以4為原點，A8為x軸，4。為)，軸，建立平面直角坐標系.

由兩=2以，麗=2近，則福=:而，麗=弓》

所以4(0,0),8(2,0),C(2,2),D(0,2),M(0,|),N(2,§,

點產是線段MN的中點，則”(1,1)

設Q(zy)'PQ=(%-l,y-1)，而=(-1,-1)，麗=(1,-1)

由2pQ=AP4+(1—A)PB,即(2%—2,2y—2)=(-A,-A)4-(1—A,A—1)=(1-2兒—1)

所以「了之已解得卜=：/，即Q(I-W)

(y~2

麗=(”|,》，麗=(；+姆)

—1一3115315

QM.QN=("2，R-(2+/)=("RX(2+Q+而

=八"蛋=("扔嚏

當;1=;時，麗?麗的最小值為-登

【解析】本題考杳向量的坐標運算，平面向量加法及減法運算以及基本不等式，考查計算能力，屬于中檔

題.

(l)(i)(〃?)結合已知圖形，對向量進行數量積運算即可；

(2)QM-=(A-1,1)?(|+A,|)=(A-1)x+A)+^=I2-A-||=(A-1)一豢利用二次函

數求最值即可.

19.【答案】解：(1)在△ABC中，cosB;/懸丁〃二備

ZoC-o/iv1U

在ABCD中，CD2=BC2+BD2