數列的概念一A基礎練（解析版）

4.1數列的概念（1）?A基礎練

一、選擇題

I.數列3,5,7,9,…的一個通項公式是（）

n+,,,+l

A.〃“=2〃+1B.4=2"+1C.an=2D.atl=2-\

【答案】A

【詳解】因為。?=2x1+1,2=2x2+1,6=2x3+1,4=2x4+1,L

所以=2〃+1.故選：A

2.下列四個數中，哪個是數列｛“（〃+1）｝中的一項（）

A.55B.56

C.57D.58

【答案】B

【詳解】由〃5+1）=56,有〃=7或〃=-8（舍去）.所以B正確；

〃（〃+1）=55,雙〃+1）=57,〃（〃+1）=58均無正整數解，則4、。、。都不正確.故選:B.

3.已知數列百，石,j7,3,jrr,…?,則內■是這個數列的（）

A.第12項B.第13項C.第14項D.第25項

【答案】D

【詳解】由數列的通項公式%="7石，可得"?工7=回，所以〃=25,所以兩■是第25項.

故選：D.

4.在1,2,3,…，2020這202（）個自然數中，將能被2除余1,且被3除余I的數按從小到大的

次序排成一列，構成數列｛〃〃｝,則加=（）

A.289B.295C.301D.307

【答案】B

【詳解】由題意可知即是2的倍數，又是3的倍數，即4-1是6的倍數，則

《,一1=6（〃-1）,（〃￡%”）,所以勺二6〃-5,所以旬=50x6—5=295.故選：B.

5.（多選題）已知數列0,2,0,2,0,2,?,則前六項適合的通項公式為（）

HTT

z,

A.an=1+（-l）B.an=2cos-^-

C.a”二2sin(〃十。萬D.。“二1-cos(〃-1)乃十(〃-1)(〃一2)

“2"

【答案】AC

HTF

【詳解】對于選項A,=1+(7)”取前六項得：0,2,0,2,0,2,滿足條件;對于選項B,4=2cos—

取前六項得：0,-2,0,2,0,-2,不滿足條件；對r選項C,4=2sin(〃；)"取前六項得:

020,2,0,2,滿足條件；對于選項D,%=1-8$(〃-1)乃+(〃-1)(〃一2)取前六項得：

0,2,2,8,12,22,不滿足條件;故選：AC

6.(多選題)下列四個命題中，正確的有()

A.數列的第左項為1+9

Ink

B.己知數列｛為｝的通項公式為勺=〃2一〃-50,則?8是該數列的第7項

C.數列3,5,9,17,33…的一個通項公式為%=2"-1

D.數列｛q｝的通項公式為則數列｛qj是遞增數列

【答案】ABD

【詳解】A,數列，?^里，的第Z出項為1+5，A正確；B,令〃2一〃一5()=一8，得〃=7或〃=-6

nk

(舍去)，B正確；C,將3,5,9,17,33,…的各項減去1,得2,4,8,16,32....設該數列

為也｝,則其通項公式為2=2〃任？N),因此數列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為

4=a+l=2"+l(〃￡N*)C錯誤；D,an=—=\—-—,則

'〃+1〃+1

11_1八

一而_^71—(〃+])(〃+2)>，

因此數列｛q｝是遞增數列，D正確，故選：ABD.

二、填空題

7.若數列的前4項分別是-,，則此數列一個通項公式為________.

2345

【答案】kill

/7+1

【詳解】觀察數列得分母是2開始，故分母為〃+1,奇數項為負，故有(-1)”，???通項為C"

〃+1

8.如圖關于星星的圖案構成一個數列，該數列的第20個圖案有.

【答案】210

【詳解】觀察數列中的星星構成的規律：

當〃=1時，有1個，

當〃=2時，有1+2個，

當〃=3時，有1+2+3個，

所以當〃=20時，有1+2+3++20=20(1+20)=2］。個。

2

9.設數列｛4｝的通項公式為%=/+〃〃，若數列｛/｝是單調遞增數列，則實數的取值范圍為

【答案】(-3,+w)

【詳解】由數列｛4｝是單調遞增數列，所以。用一%>0,即

(〃+1)2+——/?〃=2〃+1+〃>0,即Z?>—2〃-1(〃eN+)恒成立，

又數列｛-(2〃+1)｝是單調遞減數列，所以當〃=1時，—(2〃+1)取得最大值一3,所以八—3.

10.天干地支紀看法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、

庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是

按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”

起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”，…，以此類推,排列到“哭西”后，天

干回到“甲'’重新開始,即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始,即“丙子以此類推,

己知2020年為庚子年，那么到建國100年時，即2049年以天干地支紀年法為.

【答案】已巳

【詳解】由題意可知數列天干是10個為一個循環的循環數列，地支是以12個一個循環的循環數列，

從2020年到2049年一共有30年，且2020年為庚子年，

則30十10=3,2049年的天干為己，30^12=2余6,2049年的地支為巳,

故2049年為己巳年c

三、解答題

11.寫出下列各數列的一個通項公式：

(1)4,6,8,10,…；

1371531

(2)一,一,一,—,—,???；

2481632

81524

(3)-1,—,---,—,???；

579

(4)5,55,555,5555...

【詳解】(I)易知該數列是首項從4開始的偶數，所以該數列的一個通項公式為=2〃+2,〃eN”.

(2)易知該數列中每一項分子比分母少1,且分母可寫成2122,23,24,2‘，…，故所求數列的通項公

2n-1

式可寫為q--,nwN*.

(3)通過觀察可知，該數列口的奇數項為負，偶數項為正，故選擇又第1項可改寫成分數

3

-葭所以每一項的分母依次為3,5,7,9...,可寫成2〃+1的形式，分子為3=1x3,8=2x4,15=3x5,

24=4x6可寫成〃(〃+2)的形式.所以該數列的一個通項公式為可二(-1)”?也土21,〃wN*.

(4)這個數列的前4項可以變為3x9,*x99,3x999,3x9999,

9999

即然(107),然(100-1),然(1000_1),甜10000-1),

所以它的一個通項公式為。“得(10”-1),〃￡叱.

12.已知數列｛〃”｝的通項公式為

(1)問0.25是不是這個數列的項？如果是，為第幾項；如果不是，請說明理由

(2)計算。用一生，并判斷其符號;

(3)求此數列的最小項，該數列是否存在最大項？

【詳解】(1)是,

令q=」一二0.25,即」一=L解得〃=17,

〃+51〃+514

二0.25是數列｛七｝的項、是第17項

nI1n_(/?+1)(/?+51)-/?(?+52)51

(2)由題，4出

〃+5272+51(〃+51)(〃+52)(〃+51)(〃+52)

HGN*,.*.n+51>0,九+52>0,即4+i一>°

(3)由(2)可得數列｛4｝是遞增數列，則最小項為首項，即可:「葛=上,無最大項

52

A級必備知識基礎練

1.［探究點三］數列｛〃“｝中，若a后屋，-，則?4=()

Vlo-zn

A.1B.V2C.2V2D.8

2.［探究點三］已知數列?1,篇,…,(?1冷，…,它的第5項的值為()

3」探究點三舊知數列的通項公式??=(3n+變數'則6a3等于()

1271-2,九為偶數，

A.70B.28C.20D.8

4」探究點三］數列2廠5,8,-11,?二(-1尸(3〃?1),…的第2n項為()

A.6//-1B.-6〃+lC.6/1+2D.-6/2-2

5.［探究點二?2023陜西西安檢測］數列-2,4,68,…的通項公式可能為()

A.-1)"+12〃B0“=(-1)*2〃

n+,Mn

C.<?n=(-l)2D.an=(-\y2

6」探究點二、三］(多選題)已知數列注,2,遙,2注,…，則下列說法正確的是()

A.此數列的通項公式是同

B.8是它的第32項

c.此數列的通項公式是gm

D.8是它的第4項

7」探究點一］(多選題)下面四個數列中，既是無窮數列又是遞增數列的是()

_.n.2n.3n.nn

B.sin-,Silly,siny,--,sin5V??

C.1H工…

j'2，4，8，，2""

D.I,A,V5,…,VS,…

8.［探究點四(角度2)］已知數列｛小｝的通項公式為a?=2021-3%則使%>0成立的正整數n的最大值

為.

9.［探究點三］己知數列｛“〃｝的通項公式，寫出這個數列的前5項，并作出它的圖象：

(1)斯=2;

為奇數，

助Pon為偶數.

104探究點二］寫出以下各數列的一個通項公式.

⑴1,工彳浴,….

(2)10,9,8,7,6,-.

(3)2,5,10,17,26,….

‘5'6'12'20'30'?

(5)3,33,333,3333,-.

11.[探究點三]已知數列｛an]+g,且a[=0,02=4

⑴求05.

（2）150是不是該數列中的項?若是，是第幾項？

B級關鍵能力提升練

12.設an=-+*+白+…+J（〃WN*）,則〃2等于（）

nn+1n+2n+3nz

A-14%十3

C-十+-3十+-4七D-十+-34十--4十+-5

13.若數列｛為｝的通項公式為由=2戶+25%則數列｛斯｝的各項中最大項是（）

A.笫4項B.第5項C.第6項D.第7項

14.（多選題）已知數列｛知｝的前4項依次為2,0,20,則數列｛〃〃｝的通項公式可以是（）

2n為奇數,

。九為偶數

C.a”=2sin—|D.an=22

15.（2023湖南長沙月考]數列｛“”）的通項公式斯",若｛⑶｝是遞增數歹人則實數t的取值

范圍是（）

A.[4,7）B.償,7）C.（y,7）D.（l,7）

16.已知數列｛如｝的通項公式為羅，若數列｛“”｝為遞減數歹U,則實數k的取值范圍

為.

17.函數./U)=『-Z￥+〃(〃￡N")的最小值記為ant設6〃力處)，則數列｛〃“｝,｛①｝的通項公式分別是

4尸,bn=.

18.已知數列｛為｝的通項公式為產號之7￡N*).

(1)0和1是不是數列｛“〃｝中的項?如果是，那么是第幾項？

(2)數列｛“〃｝中是否存在連續且相等的兩項?若存在，分別是第幾項？

C級學科素養創新練

19.1766年，德國有一位名叫提丟斯的數學老師,把數列0,3,6,12,24,48,96,…,經過一定的規律變化，得到

新數列04,().7』,162&5210,…，科學家發現，新數列的各項恰好為太陽系行星與太陽的平均距離，并

據此發現了“天王星”“谷神星”等天體，這個新數列就是著名的“提丟斯一波得定則”.根據規律，新數列

的第8項為()

A.14.8B.19.2C.19.6D.20.4

20.若數列｛斯｝的通項公式為〃尸帚旃(〃￡N)則這個數列中的最大項是()

A.第43項B.第44項

C.第45項D.第46項

21.在數列｛m｝中⑼尸合p

⑴求數列的第7項.

⑵求證:此數列的各項都在區間(0,1)內.

(3)區間0,|)內有沒有數列中的項?若有，有幾項？

1.B由〃“二萬3=可知16-2〃>0,即〃<8,所以a4=-r===V2.

vl6-2nV16-8

2.D第5項為(-1)5x(=-,.

3n+l,n為奇數,

由

3.Can-得4243=2x10=20.

.2n2n為偶數,

4.B由數列可知奇數項為正數，偶數項為負數，即可表示為(-1產)又首項為2,故數列的通項公式

為。尸(-1)”所以第2〃項為O2n=(-1)2r,'(6//-1)=-(6n-1)=-6/7+1.

5.B數列-24-6,8,…的奇數項為負，偶數項為正，且均為2的倍數，故.=(-1)"2〃.故選B.

6.AB數列&2遙,2企,…抑企,”,后，我，…，則此數列的通項公式為而，故A正確,C錯誤;令

揚1=8,解得〃=32,故8是它的第32項，故B正確,D錯誤.故選AB.

7.CD選項C,D既是無窮數列又是遞增數列.

8.673由斯=2021-3〃>0,得”竿=6732

又因為〃￡N*,所以正整數n的最大值為673.

9.解列表法給出這兩個數列的前5項：

n12345

(bi22222

bn1-43-165

它們的圖象分別為

-rmrir

-n;

10.解⑴詼=(-1嚴責;

(2)4尸11-〃；

⑶小=，/+1；

⑷年麗石;

(5)0尸/10〃-1).

n.解⑴由已知,

｛溪霏M解得2

得P_1所以。”=〃2-7〃+6,所以fl5=5-7x5+6=-4.

0=。，

(2)令4“=〃2_7〃+6=150,解得?=16(n=-9舍去)，所以150是該數列中的項，并且是第16項.

12.C?：*+貴+系+磊+…+a〃￡N)?,?s弓+冷

13.C因為為=-2/+25〃=25-停尸+溶,且所以當〃=6時，斯的值最大，即最大項是第6項.

40

..J2,n為奇數,

14.ABC*,尸10,八為偶數,

a\=2,tz：=0,?3=2,6/4=0,故A正確；*.*〃“=1+(-1)"”,

0=1+(-1)2=2,。2=1+G1)3=0,43=1+(-1)4=2,44=1+(-1)5=0,故B正確;

Vt/?=2|in［卜,.??ai=2kin/卜2M2=2卜in與卜0,的二2卜in揖=2,田=2卜in與卜。，故C正確;

1<1}11-(-1)4

Va,t=22,,\a\=22=2,s=22=1,?3=22=2?=22=1,故D錯誤.故選ABC.

(7-￡>0,

因為數列他“｝的通項公式“尸，""若｛&｝是遞增數列則

15.At>1,解得

,4(7-t)+4<2

y

故選A.

16.(0,十⑹由數列｛為｝為遞減數列可知為+Na”