5.4.1 角平分線的性質與判定 課件-2026-2027學年湘教版數學八年級上冊

新湘教版八年級上冊數學第5章直角三角形5.4.1角平分線的性質和判定學習目標1.理解角平分線的性質及逆定理，并能初步運用。2.能夠利用角平分線的性質解決實際問題，通過邏輯推理和數學計算，解決與角平分線相關的數學問題。任務導入如圖，在∠AOB的平分線OC上任取一點P，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點D，E.比較線段PD，PE的長度，它們相等嗎？由此你能得出什么結論？DEAOBCPPD=PE由此可猜測：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.DEAOBCP由此可猜測：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探索展示我們來證明這個結論.證：∵

PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠DOP=∠EOPOP=OP∴

△PDO≌△PEO(AAS)從而

PD=PE.探索展示由此得到角平分線的性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.幾何語言：∵OP

是∠AOB的平分線∴PD=PE又∵PD⊥OA，PE⊥OBBADOPEC探索展示由此得到角平分線的性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.BADOPEC角平分線的性質定理的逆命題是什么？它是真命題嗎？如圖,點P

在∠AOB

的內部,作PD⊥OA,PE⊥OB,

垂足分別為點D，E.若PD=PE，

那么點P在∠AOB的平分線上嗎？探索展示BADOPEC如圖,點P

在∠AOB

的內部,作PD⊥OA,PE⊥OB,

垂足分別為點D，E.若PD=PE，

那么點P在∠AOB的平分線上嗎？∵

PD⊥OA，

PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△PDO和Rt△PEO中PD=PEOP=OP∴Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)從而∠AOC=∠BOC.∴OC是∠AOB的平分線，即點P在∠AOB的平分線OC上.探索展示BADOPEC角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.由此可得:∵

PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴點P

在∠AOB的平分線上.幾何語言：應用提升例1如圖，∠BAD=∠BCD=90°，∠1=∠2.求證：(1)點B在∠ADC的平分線上；(2)BD平分∠ABC.12ABCD證：(1)

在△ABC中，∵∠1=∠2又∵

BA⊥AD，

BC⊥CD∴

點B在∠ADC的平分線上.∴

BA=BC(2)在Rt△BAD和Rt△BCD中∴Rt△BAD≌Rt△BCD(HL)從而

∠ABD=∠CBD∴

BD平分∠ABCBA=BCBD=BD應用提升1.

如圖，在線段MN上求作一點P，使點P到∠AOB兩邊的距離相等(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)課堂練習ABODECMNP應用提升課堂練習2.

如圖，已知CE⊥AB

于點

E，BD⊥AC于點D，BD，CE交于點O，且AO平分∠BAC.求證：OB=OC.ABCODE又∵CE⊥AB，BD⊥AC證：∵AO平分∠BAC∴OE=OD在△OBE和△OCD中∠BOE=∠COD∠BEO=∠CDO=90OOE=OD∴

△OBE≌△OCD(ASA)從而OB=OC課堂小結導圖復盤角平分線

性質定理

一個點：角平分線上的點；

二距離：點到角兩邊的距離；

兩相等：兩條垂線段相等

判定定理

角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

判斷一個點是否在角的平分線上當堂檢測1.如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C,D,則下列結論不一定正確的是()

D2.三角形中到三邊距離相等的點是(