高中數學必修第2冊 第八章 綜合測試卷A（解析版）

第八章立體幾何初步綜合測試卷A卷

一、單選題（每題只有一個選項為正確答案，每題5分，8題共40分）

1.如圖，正方形O'AEC的邊長為1,它是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形

的周長為（）

A.4B.6C.8I）.2+272

【答案】C

【解析】直觀圖如圖所示：

由圖知:原圖形的周長為O4+A/+HC+CO=l+3+l+3=8,

故選：C

2.下列命題正確的是（）

A.棱柱的每個面都是平行四邊形B.一個棱柱至少有五個面

C.棱柱有且只有兩個面互相平行D.棱柱的側面都是矩形

【答案】B

【解析】對于A,棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正確；

對于B,而最少的就是三棱柱，共有五個面，B正確；

對于C,長方體是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正確；

對于D,斜棱柱的側面可以不是矩形，D錯誤.

3.如圖是一個正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對面上的是（）

20

I21

I高I考

A.2B.1C.高D.考

【答案】C

【解析】將展開圖還原成正方體可知，“0”在正方體中所在的面的對面上的是“高二

故選:C

4.已知兩個平面相互垂直，下列命題：

①一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的任意一條直線；

②一個平面內已知直線必垂直于另一個平面內的無數條直線；

③一個平面內任意一條直線必垂直于另一個平面：

④過一個平面內任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.

其中正確命題的個數是（）

A.3B.2

C.1D.0

【答案】C

【解析】構造正方體人BCD-ABCR,如圖，

DxCy

①在正方體ABC。-AICA中，平面A。。4，平面ABC。，AQu平面AORA，BOu平

面ABC。，但AD與80不垂直，故①錯；

②在正方體ABC。-4隹。〃中，平面AQRAJ_平面ABCO,可知A8_1_平面月。〃A，

/是平面AOA入內任意?條直線，/與平面ABC。內和AB平行的所有直線垂直，故②正確；

③在正方體ABCO—A8CR中，平面AORA平面ABC。，AOu平面ADRA，但A。與

平面48。不垂直，故③潸；

④在正方體A8C。-ASCR中，平面AO2A_L平面ABCO,且平面AOR4C平面

ABCD=AD,

過交線AD上的任一點作交線的垂線/,則/可能與平面48c力垂直，也可能與平面A8C。不

垂直，故④錯.

故選：C.

5.在正方體/WOO-ABCR中，河是正方形AAC。的中心，則直線A。與直線用例所成

角大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【解析】設正方體的棱長為2%連接BQ,MC,MB,

因為線C〃A。，故/C4例或其補角為直線A。與直線4股所成角.

而B、C=2①a,MC=?，B、M="與"+BM?=J4a?+2〃=瘋,

故8c2=8附2+CM>所以Mq_LCM,

所以cosNC4M"，因為NCB附為銳角，故NC8附=30。，

故選：A.

D1C]

6.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為。，若過直線0P的平面截圓錐所得的截面是面積為4

的等腰直角三角形，則該圓錐的側面積為（）

A.4灰兀B.204C.44D.（4及+4,

【答案】A

【解析】設圓錐的母線長為/,則gx/x/=4,得/=28，即母線長為2夜，

設圓錐的底面半徑為「，（2r）2=[2+/=]6,解得,?=2,即圓錐底面圓的半徑為2,

圓錐的側面積為gx4%x2夜=4夜乃.

故選：A.

7.如圖，在正方體ABC。-A4GA中，點P為線段3C上一動點，則下列說法錯誤的是（）

A.直線3。，平面AG。

B.異面直線8c與AG所成角為45°

c.三棱錐尸-AOG的體積為定值

I）.平面4G。與底面的交線平行于AG

【答案】B

【解析】連接耳A，CA，

.?.AGJ■平面""A，則同理OC;_L8R,

AGriN=q,??.直線■平面AG。，故A正確;

A4〃c。，AM=c。，.?.四邊形圖片。為平行四邊形，

則BQHAD,則/DAC為異面直線8c與AQ所成角，

又AO=AG=G。，則/OAG=60。，即異面直線B。與AG所成角為60。，故B錯誤;

4。//%。，AQu平面A。。，qcc平面A。。，，/。//平面ACQ.

可得p到平面AC。的距離為定值，即三棱錐Q-AQG的體積為定值，故c正確；

AC〃平面ABC"AGu平面ACQ,設平面AG。與底面A8C。的交線為/,

由直線與平面平行的性質，可得平面4G。與底面A8CQ的交線平行于AG，故D正確.

故選:B.

8.已如圖1是棱長為1的正六邊形ABCDM,將其沿直線小折疊成如圖2的空間圖形

F'ZE-CR“，其中A'E="，則空間幾何體尸AE-CB77的體積為（）

2

【答案】C

【解析】如圖,

EfDf

過4作AGJ_CU,垂足為G,

連接￡G,則EGJLC廣，

過S'作夕H_LCF',垂足為，，

連接/7H,則力7/_1_0尸'.

所以AG//8H,又AGo平面/??//丁，u平面,

所以AG〃平面笈

同理&G〃平面37/0f，乂AGcE，G=G,

所以平面A'GE//平面RHU,即三棱柱NGE-HHD為直三棱柱.

VAF=1.ZA/'G=60°,

所以4G=走，F，G=[

22

同理求得￡G=巫，CH二,

22

又AE=逅，

2

，AG'EG?—

???空間幾何體FNE-Cm的體積為：

..1751?>/57511

V=-x——x——xl+2ox-x—x——x——X—=—.

222322222

故選：C.

二、多選題（每題至少有2個選項為正確答案，每題5分，4題共20分）

9.下列命題中，錯誤的結論有（）

A.如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等

B.如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相

等

C.如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補

D.如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行

【答案】AC

【解析】對于選項A：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或

互補，故選項A錯誤；

對于選項B：由等角定理可知B正確；

對于選項C：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，這兩個角的關系不確定，既可

能相等也可能互補，也可能既不相等，也不互補.反例如圖，在立方體中，/AQC與

IT7T

滿足C.D.IC.B,但是二者不相等也不互補.故選

項c錯誤；

對于選項D：如果兩條直線同時平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項I）正確.

故選：AC.

10.如圖，己知正方體人旌力-ABCR,M.N分別為AR和AA的中點，則下列四種說法

中正確的是（）

A.C\MHAC

B.BD、工AC

C.BG與AC所成的角為60

D.CD與BN為異面直線

【答案】BCD

［解析］對于A,?.AC//平面A\B￡D\,AC//AC,,AGAG"=Cx,C,Mc=平面4JCR，

???CM與AC是異面直線，A錯誤；

對FB,/AC1DD,,ACLBD,BDDD、=D,8。,。口匚平面8。。1,

.?.AC_L平面4。。，又8￡）u平面4。。，./。，比、B正確；

對于c,AC〃AG，???/6GA即為異面直線8G與AC所成的角,

?.,3C=AG=A8,.?.△ABG為等邊三角形，.?.N8GA=60,c正確；

對于D,?.?CD//A3，CO〃平面48用A，AB?BNB,BNu平面

.?.CO與用V為異面直線，D正確.

故選：BCD.

11.如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（）

A.與七￡）平行B.八廠與CN垂直

C.CN與座是異面直線D.CN與8M成60。角

【答案】BD

【解析】如圖，展開圖翻折成的正方體，與切分別在正方體平行的兩個側面上，而由C。

與所平行且相等得8“是平行四邊形，因此有DE//CF,CF與BM相交，因此DE與BM

是異面直線，A錯；

同理CN//BE,BE人AF，因此CN_LAF,B正確，C錯；

/MB石或其補角是CN與BM所成的角，AM8E是等邊三角形，/MBE=60。,所以CN與

8例所成的角是60。，D正確.

故選：BD.

12.如圖1,E,分別為等腰梯形底邊力夕，。力的中點，AB=2AD=2CD=2BC=4,將四

邊形的沿必進行折疊，使肉到達旦G位置，連接八片，G。，如圖2,使得

A.EE_L平面人七與

B.平面平面。PR

C.8G與平面47刃所成用的正切值為叵

13

【).多面體AKQG。尸的體積為,

【答案】ABC

【解析】因為用E_LE7"AEJ.EF,AEcBg=E,所以E〃_L平面人石片，A正確.

因為AE〃￡＞「，且AE(Z平面G，。廠u平面QFG，AE//平面。/匕，同理用上〃平面

DFC，又AEcB]E=E,所以平面AE4〃平面。尸G，B正確.

如圖,,延長4G，EF,賀相交于點〃，過用作物GJ_AE『

點G.連接GH.

因為瓦'J_平面4七周，所以4G_L石尸，AECEF=E,則BQ，平面力//〃，故/片〃6為4G

與平面力筋?所成的角.

因為48=240=26=280=4,所以，所以曰/=2打.在Rl^^GE中，Z.AEB,=y,

￡4=2,可得EG=1,8|G=J5,則〃G=J”爐+G爐=而，所以

*/nur_B\G_6底

tanHG==-=---,C正確.

HGV1313

延長49交于點，，易證多面體AE&G。"為三棱臺，S&%=；AE?4G=；X2XG=#,

%.A印=（SNEBJEH==2，

VH-DFG=；S,\DFG.HF=；；S/、AE&JEH=!丫"碼=；,多面體力銘CQ產的體積V二，D

JJ4Zo44

錯誤.

故詵：ABC

三、填空題（每題5分，共20分）

13.已知直線力,〃,平面叫B,若a〃0,mua,〃u萬，則直線勿與〃的關系是

【答案】平行或異面

【解析】由題意，a/伊，mua,nuR

故直線m與〃沒有交點

故直線〃/與〃平行或異面

故答案為：平行或異面

14.已知圓柱的軸截面是正方形，若圓柱的高與球的直徑相等，則圓柱的表面積與球的表面

積之比為_______.

【答案】3:2

【解析】設球的半徑為4,由題意得圓柱的底面半徑為兄高為24,

，圓柱的表面積為：$=2萬〃X2什2及*=6萬1，

球的表面積為：￡=4乃〃，

所以圓柱的表面積與球的表面積之比為：好嗎=3,

4TTR~2

故答案為：3：2

15.在正三棱錐S-AAC中，AB=BC=C4=6,點。是SA的中點，若SB上CD,則該三

棱錐外接球的表面積為.

【答案】544

【解析】設的中心為G,連接SG,8G,??.SG_平面/WC,

?.?ACu面A8C,.\SG1AC,

又AC工BG,BGcSG=G,，AC_L平面S8G,

?.?SBu平面SBG,AACA.SB,

又SB【CD,AC^CD=C,??.S8_L平面ACS.

???SASCu平面ACS,:.SB1SA,SB1SC,

???S-ABC為正三棱錐，二胡，SB,SC兩兩垂直，

:.SA=SB=SC=3>/2，

故外接球直徑為+(3&『+(3拒『=3限,

故三棱錐S-ABC外接球的表面積為4乃x(4)=54萬.

故答案為：54%.

16.如圖，Q48C是邊長為1的正方形，AC是四分之一圓弧，則圖中陰影部分繞軸0C旋

轉一周得到的旋轉體的表面積為.

【解析】幾何體是一個圓柱挖去一個半球后剩余的部分，且圓柱的底面半徑是1,高是1,

球的半徑是1，所以圓柱的體積是乃又產外二萬，半球的體積是［xg;rxl3=4,因此所求幾

233

何體的體積為乃-==1.

33

故答案為：

四、解答題(17題10分，其余每題12分，共70分)

17.如圖所示，在三棱柱力的AMG中，E,F,。〃分別是月8,AC,A4，4G的巾點,

求證：

B

（1）B,C,H,G四點共面；

（2）NE〃平甌BCHG.

【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.；

【解析】（D,:G,〃分別是A同，AG的中點,

:?GH//B￡,而BQJ/BC,

:.GH//BC,即其C,H,G四點共面.

（2）???￡；6分別是力區44的中點，

??.%G,EB乎行且相等，所以四邊形八￡8。為平行四邊形，即AE//GB,乂4石二面8SG,

GBu面BCHG,

：.AE〃面5cHG,

18.如圖，在正方體ABC。—A4G2中，E、尸分別是力￡力4的中點.

（1）證明：四邊形〃以C是梯形；

（2）求異面直線廝與園所成角.

【答案】（1）證明見解析，（2）y

【解析】（1）證明：連接A3,

因為石、5分別是/!反力力的中點,

所以EF〃A8,EF=^A]B,

因為在正方體ABC7)-A4GR中，//BC,AiDi=BC,

所以四邊形ARCB為平行四邊形，

所以4乃〃2。，A/=〃C，

所以E/〃。C,EF=^D,C,

所以四邊形反〃。是梯形；

（2）連接AG，

rtl（1）得E產〃4產，

所以/A8G異面直線EF與BC\所成角,

因為VABG為等邊三角形，

所以NABG=?,

所以異面直線EF與8G所成角為？

19.如圖所示的一塊四棱柱木料ABC。-AgG。，底面ABC。是梯形，且CD//AB.

（1）要經過面A4G"內的一點。和側棱。。將木料鋸開，應怎樣畫線?

（2）所畫的線之間有什么位置關系？

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析

【解析】（1）如圖所示，連接R夕并延長交A由于E,過E作石尸//AA交A8F尸，連接。尸,

則就是應畫的線.

（2）由。A//A4,,E尸〃AA，即AO//E77.

.?.R。與E尸確定一個平面。，又面A3CD//面A4G，,ac面A8CO=O/，面

ABCR=RE,

??.*//*顯然DF，AE都與E尸相交.

20點發/?、分別是正方形4a方的邊力/，，比的中點，點“在邊4〃上，且人4=3人/，沿圖1

中的虛線必EF,m將ADE,.BEFWDF,折起使力，B,。三點重合，重合后的點記為

點R如圖2.

（1）證明：PFA.DM-,

（2）若正方形力以力的邊長為6,求點J/到平面叱的距離.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）j.

【解析】（1）因為A8CO是正方形，

所以折起后有PZ）JL夕戶，PEA.PF.

又PD,PE交于其P,

所以P/平面夕/）￡

又以Mu平面?力石，

所以'LOM.

（2）設點尸到平面DE尸的距離為力,

因為力住3/1M所以上3,陽

所以點〃到平面叱的距離為g.

又，2尸七。尸兩兩垂直，

所以尸￡>J_平面PEE

9

因為S△叼=5，P力=6，

10

所以％“a=4x3x6=%

927

而SDEF=SABCD-SBEF-SCDE-SCDF=36---9—9=—>

1127

所以力.的二］§OEF，力二r彳、力=%.即=9,

解得力=2,

所以點M到平面DEF的距離為《=1.

33

21.如圖，在四棱錐P-A8CO中，△以/?是等邊三角形，。_1_平面抬及4。//8。且

PB=BC=2AD=2,F為PC中點.

(1)求證：平面以8;

(2)求直線人“與平面PDC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)交

4

【解析】⑴如圖所示:

G

/

P金三春--力

、/

\\//

A

取邊的中點區連AE.FE,

則三角形中位線可知：“7/8C且EF=38C,

由題可知：4//AC且人。=g8。.

.,.A。〃防且4/)=所，

即四邊形AEFE)為平行四邊形，

..DF//AE

又?.OF(Z平面PA4,AEu平面RR,

故。尸〃平面E4B：

(2)取8c邊的中點G,

則ZX；//人B,且Z)G=A8=2,

直線AB與平面PQC所成角即為DG與平面尸DC所成角，

又S.CM=1,且易得DC=PD,所以S8P=；PCDF=gx26xy/5=R

由等體積法,Vp-CDG=%-PC7>=§xlxG=§X瓜xdG_PCD,得dG-PCD~,

也「

：.OG與平面PDC所成角的正弦值為五二立，

故直線AB與平面PDC所成角的止弦值為正.

4

【點睛】

關鍵點點睛：本題解題的關鍵是利用等體積法求出G點到平面PC。的距離.

22.如圖，直三棱柱人AC-AUC中，AC=BC=5tAA=AB=6,。上分別為AB.BP上

的點,且翳BE

~ES

（1）當。為A4的中點時，求證：AB1CE；

（2）當。在線段A8上運動時（不含端點），求三棱錐4'-8￡體積的最小值.

【答案】（1）見解析；［2）當x=3,匕飛“￡取得最小值，最小值為18.

.Ar\RF

【解析】（1）證明：因為〃為A8的中點，落=罟，所以E為8力的中點.

DBEB

因為三棱柱/WC-AZTC為直三棱柱，AA=AB=6^

所以四邊形43H4'為正方形，所以。石J_A'3.

因為AC=8C,〃為AB的中點，所以CO_LA8.

因為平面ABBA±平面ABC,

且平面ABRAC平面ABC=AB,

所以CQJ_平面/W*A,

又A5u平面ABH4',

所以8_1_4'氏

因為COp|OE=。，所以AB_L平面CDE,

又CEu平面COE,所以A4_LC￡.

（2）解：設=貝i」A￡）=x,DB=6—x,2E=6—x.

由已知可得C到面距離即為MBC的邊AB所對應的高。=Jc?-1與J=4.

^A-CDE=Vc-ADE=-36-3x—(6-x)x-3(6-x)-h

1

36—3x—(6-x)x-3(6-x)

32

=|(X2-6X+36)=|[(.r-3)2+27](0<X<6)

.?.當x=3時，匕-COE有最小值為18.

第八章綜合訓練

一、選擇題:在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.如圖所示,△4'0'B'表示水平放置的△AOB的直觀圖,B在廣軸上A0與廣軸垂直，且40三2,

則△A08的邊OB上的高為)

A.2B.4C.2V2D.4V2

2.如圖，一圓錐的母線長為4,其側面積為4匹則這個圓錐的體積為（）

B竿

A?苧

C.爭D爭

3.在等腰直角三角形A8c中工B=8C=1,M為4c的中點，沿把它折成二面角,折后點A與

點C的距離為1,則二面角C-BM-A的大小為（）

A.30°B.60cC.90°D.I20°

4.如圖，在四邊形ABC。中,/。48二90。,乙4￡）0135。48=54。=2企工力=2,則四邊形48。。繞

人力所在直線旋轉一周所成幾何體的表面積為（）

A.(60+4\②冗B.(60+8偽兀

C.(56+8V2)nD.(56+4尤)兀

5.如圖，正四棱錐尸-ABC。的體積為2,底面積為6方為側棱PC的中點，則直線BE與平面PAC

所成的角為（)

A.30°B.45c

6.已知:平面平面S，aCgl,在I上取線段A3=4,AC,8Q分別在平面?和平面內,且AC±

AB,OB1AB<C=3,BO=12.!?WCD的長度為（）

A.13B.V151C.12V3D.15

7.在空間四邊形ABCD中,AO=2,8C=2g￡F分別是AB,CD的中點,所=近，則異面直線AD

與8c所成角的大小為（）

A.1500B.60cC.120°D.30°

8.已知三棱錐PABC的高為1,底面△A8。為等邊三角形，m=P8=P。,且P人,8,C都在體積為

號的球。的表面上，則該三棱錐的底面△ABC的邊長為（

B.V3D.2V3

二、選擇題:在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.設aji為不重合的平面川”為不重合的直線，則下列命題不正確的是（）

A.若Q_1_人。。?=〃,〃?_1_〃,則機_La

B.若mua、nu°、m〃〃，則a//fl

C.若/〃〃〃,〃〃/?,/"_L〃，則aA-P

D.若從則m]_a

10.如圖，圓柱的軸截面是四邊形ABCQ,七是底面圓周上異于A,8的一點，則下列結論中正確的

是（）

A.AELCE

B.BEtDE

C.DE_L平面CEB

D.平面4。￡，平面BCE

11.如圖，在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中,0為底面正方形的中心,MN分別為側棱PA,PB

的中點，下列結論正確的是（）

A.PO〃平面OMN

B.平面PC。〃平面OMN

C.直線PD與直線MN所成角的大小為90°

D.ONLPB

12.正方體ABCD-AIBIGDI的棱長為1,E,￡G分別為BC,CG,BB、的中點，則（）

A.直線/力。與直線AF垂直

B.直線4G與平面AE尸平行

C.平面AE/械正方體所得的截面面積為，

D.點C與點G到平面AE廣的距離相等

三、填空題

13.圓柱的島是8cm,表面積是130TUcn?,則它的底面圓的半徑等于cm,圓柱的體積是

cm\

1442023江西贛州大余期末］如圖，正三棱柱/WC-A7TC的底面邊長為百，高為2,一只螞蟻要從

頂點A沿三棱柱的表面爬到頂點C,若側面A/TCC緊貼墻面(不能通行)，則爬行的最短路程

是.

15.已知在菱形ABCD中，8=2,NA=120。,沿對角線BD將△A8D折起使二面角A-8Q-C為

120。,則點人到△8C。所在平面的距離為.

16.學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD-AiB,C|D,

挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的中心者,F,G,〃分別為所在棱的中

點、,AB=BC=6cm,AAi=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm’.不考慮打印損耗，制作該模型

所需原料的質量為g.

四、解答題:解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.如圖，在三棱柱AiI^Ci-ABC中,E,F,G,H分別為8/九。。/用/?的中點.證明:

(1)￡F,G,”四點共面.

(2)EG,"M4三線共點.

18.（2023上海徐匯月考］某種“籠具”由上、下兩層組成，上層和下層分別是一個圓錐和一個圓

柱，其中圓柱與圓錐的底面半徑相等，如圖所示，圓錐無底面，圓柱無上底面有下底面，內部鏤空,

已知圓錐的母線長為20cm,圓柱高為30cm,底面的周長為247rcm.

⑴求這種“籠具”的體積（兀取3.14,結果精確到0.1cm3）;

⑵現要使用一種紗網材料制作這樣“籠具”的保護罩（包括底面）50個，該保護罩緊貼包裹“籠

具”，紗網材料（按實測面積計算）的造價為每平方米8元,共需多少元?（結果精確到0.1元）

19.［2（）23陜西渭南韓城期中］如圖，已知正方體"CQ-A向CQ的棱長為分別是A1D3O

的中點.求證：

DiG

⑴平面48Q〃平面CBiDi；

(2)￡:尸〃平面DCCiDi.

20.［2023山東青島即墨期中］如圖，在直三棱柱ABC-A冏G中工CJ_8C/C=BC=CG=I,M,N,Q

分別為ACWGCG的中點.求證：

(l)MN〃平面人BBiA;

(2)48_L平面MNQ.

21.(2023山東聊城期末］如圖，平面四邊形4ECC由等腰直角三角形4瓦？和等邊三角形4co

拼接而成，將△AC。沿4。折起，使點D到達點P的位置，且BP=AB.

(1)求證:平面ACP_L平面ABC;

(2)求二面角P-AB-C的余弦值.

D

AC

B

B

22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，以平面"CD,底面ABCD為菱形，七為CD的中點.

(1)求證:8O_L平面PAC,

⑵若NABC=60。,求證:平面平面PAE;

⑶棱PB上是否存在點”，使得C/〃平面力￡?說明理由.

參考答案

第八章綜合訓練

LD設△AOB的邊08上的高為力，因為5號田產2注52氏因,所以308X/?=2&X，0BX2,

又OB=O'B；所以h=4a.

2.C設圓錐的母線長為/,底面半徑為匚則兀"=4兀,又/=4,所以r=l.

所以圓錐底面面積為S』,圓錐的高為/尸底,故圓錐的體積V=Js/『半兀

3.C

如圖，由A6=3C=1,NA'5090。知AC=VI

TM為AC的中點,，MC=AM=?，且CM_L8M,4M_L8M,

???ZCMA為二面角C-BM-A的平面角.

'：AC=i,MC=MA=^,：.NCM4=90。,故選C.

4.A四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉一周所成的幾何體,如圖.

/.\/2

S*面=SK)6下成而+S0D6例為+S對”倒，。

二兀堵+兀（門+/2），2+九八/1=兀x52+7tx（2+5）x5+7tx2x2\/^=（60+4或）7t.故選A.

5.C如困，過點。作PO_L平面48CD,點O為更足.連接ACID,則AC與BD相交于點

0.

在正四棱錐中，根據底而積可得,8。二論，根據體積公式可得,PO=1.BO_LAC,即8O_L平面

PAC/BEO為直線BE與平面網C所成的角.

囚為尸O=1,OA=8，所以辦=2.O￡=2左=1，而打。二、3,所以um/8EO=^=遍,即/

/1/C

BEO=600.故選C.

6.A

如圖，連接4D

4八B

D

?：aLB，：?AC1B，DB工a.

在Rt^ABD中+BZ)2=742+12z=

在Rt^CAD中,CQnxM(72+＜。2=V32+160=13.

7.D

如圖所示.設BD的中點為O,連接EO,FO,所以EO//AD,FO〃BC網/EOF是AD,BC

所成的角或其補角，

又EO=^AD=1,FO=^BC=V3,EF=y/7,

根據余弦定理，得cosNEOQ=W*=-V，

Zv32

所以NE。產=150。,異面直線4。與8c所成的角為30°.

8.C設球。的半徑為R由球的體積為等可得，乎R:半解得R=2.

因為三棱錐2A8c的高"為1,所以球心O在三棱錐外.

如圖，設點0\為△ABC的外心，則OO1_L平面ABC

在Rt/^AOiO中，由AO?=OA2-OO^^L00尸得力。產V5.

因為△ABC為等邊三角形，所以Aa="8sin60。=當B,所以A8=可。產3.故選C.

9.ABC選項A的已知條件中如果加上mu￡,那么命題就是正確的，也就是面面垂直的性

質定理.選項B錯誤,容易知道兩個平面內分別有一條直線平行，那么這兩個平面可能相交

也可能平行.選項C錯誤，因為兩個平面各有一條與其平行的直線，如果這兩條直線垂直,

并不能保證這兩個平面垂直.選項D正確，由〃_La,〃_L4可得a〃從又因為〃?_1_夕,所以機_La.

10.ABD由AB是底面圓的直徑，得/AEB=90。,即AELEB.

,/圓柱的軸截面是四邊形A8CD

.\ADJ_底面AEB.8C_L底面AEB.

???8七_14。,又4。1%4石=44。,4石＜=平面ADE,

；?BE上平面ADE,

：,BELDE.

同理可得,AE_LCE,易得平面8CE_L平面AOE

可得A,B,D正確.

FAD//BC,：.N4OE（或其補角）為DE與CA所成的角，顯然乙4。母90。,??.。瓦1,平面CE8

不成立，即C錯誤.

11.ABD連接B。,圖略，顯然。為BO的中點，又N為PB的中點，所以P0〃ON,由線面平

行的判定定理可得,PO〃平面OMNR正確；

由M,N分別為側棱PAyPB的中點，所以MN〃A8,又底面為正方形，所以AB//CO,所以MN

〃。。，由線面平行的判定定理可得,CO〃平而OWN,又由選項A得PO〃平面OMN,由面

面平行的判定定理可得，平面PC。〃平面OMN,B正確；

因為MN//CO,所以/PDC為直線P。與直線MN所成的角，又因為所有枝長都相等，所以

NP0060。,故直線PO與直線MN所成角的大小為60°,C錯誤；

因為底面為正方形，所以人尸+人/^二打02,又所有梭長都相等，所以PB'PDZMBD?,故P8_L

PD,

又PD〃ON,所以ON上PBQ正確.

12.BC,:ADJ/EF,

，平面AEF即平面AEfDi,故A錯誤.

*：A\G//DxF,AyGdAEFD\,

???4G〃平面AE尸。即4G〃平面AER故B正確.

平面AE/極正方體所得截面為等腰梯形AEm,易知梯形面積為自故C正確.

8

點、G到平面AEFM的距離即點、4到面ADiF的距離，顯然D錯誤.

13.520（次設圓柱的底面圓的半徑為rem,

則S劉秋a=2兀?廣8+2兀，2=130兀.解得〃=5,即圓柱的底面圓#徑為5cm.圓柱的體積

y=527rx8=200n（cm3）.

14.g正三棱柱A8C-A6'C的側面部分展開圖如圖所示，

圖2

如圖1,連接AC'與班T交于點C,則爬行的最短路程是沿著AC爬行,

此時4c'=jAC2+cc，2=J（2V3）2+22=4.

如圖2,連接AC,過。'作AB的垂線交A'B'于點旦則C'E=A'C^in60。二宗

則C'F=,所以AC'=AMF+"2=J(爭2+(32=口5

VV13<4,???爬行的最短路程是

15,y設ACn8Z”0,則翻折后AO_1_3。,。。_1_8。,即ZAOC即為二面角的平面角，所以N

40。=120。,且40=1,故d=lxsin60°=y.

16.118.8由題意得,四棱錐O-EFGH的底面積為4x6-4x1x2x3=12(cm2),^O到平面

BBCiC的距離為3cm,則此四棱錐的體積為Vi=ixl2x3=12(cm3).

3

又長方體ABCD-A.B^Di的體積為V2=4x6x6=144(cm),則該模型的體積為

%-V產144-12=132(cm3).故其質量為0.9x132=118.8(g).

17.證明⑴如圖，連接M,G”.

???G”是的中位線，

???GH//ByC\.

???BiE〃CiF,且B\E=C\F,

???四邊形BiEFCi是平行四邊形，

:.EF"B\C\、：.EF〃GH、

???瓦KG,”四點共面.

(2)如圖,由⑴知EF豐GH,點E,F,G,H四點共面，

延長EG,FH相交于點、P.

???PeEG,EGu平面A88|A?,.二P￡平面A881Al.

?：PWFH,FHu平面ACCAi,，P￡平面ACG4,.

???平面ABBiAC平面ACCiAi=AAi,

???PWAAi,

???EG,777AAi三線共點.

18.解(1)設圓錐的底面半徑為人母線長為/,高為舟，圓柱高為力2,

則由題意有27n-=24%得r=12cm,圓錐高h\=V202-122=16(cm),

所以“籠具”的體積丫=方％!+%，〃產兀(144x30+$144xl6)=5088gl5976.3(cm3).

(2)圓柱的側面積Si=2兀叢2=72071(5?),圓柱的底面積S2=nr=144兀(cnf),

圓錐的側面積S3-nrl=240n(cm2),

所以“籠具”的側面