復數【8大題型】（原卷版）-2025-2026學年高一數學下學期（人教A版必修第二冊）

復數【8大題型】（期中復習講義）

內容導航

明?期中考清把握命題趨勢，明確備考路徑

記?必備知識梳理核心脈絡，掃除知識盲區

破?重難題型題型分類突破，方法技巧精講

題型01復數的概念與分類題型02復數與復平面內的點一一對應

題型03復數與復平面內的向量一一對應題型04復數的四則運算綜合

題型05復數的高次方運算題型06復數范圍內解方程

題型07復數的模長及應用題型08與復數模有關的最值問題

過?分層驗收階梯實戰演練，聆收復習成效

k明?期中考情

核心考點復習目標考情規律

復數的概念1、能準確識別復數的實部和虛部，明確基礎必考點，常以選擇題、填空題形式出現；

虛數、純虛數的定義：高頻易錯點：混滔純虛數的條件（實部為（）

2、能利用復數相等的條件（實部相等、且虛部不為0）；忽略虛部的取值范圍；

虛部相等）求解參數值：命題趨勢：側重基礎概念辨析，結合參數求

3、能判斷兩個復數是否相等，區分實數、解考查

虛數、純虛數

復數的幾何意義1、能明確復平面的構成，掌握復數與復中頻考點，選擇題、填空題為主，偶爾結合

平面內點的一一對應關系；簡單解答題：

2、能將狂數轉化為對應向量，理解現數易錯點；混淆更平面內橫縱坐標的對應關系

的模的幾何意義；（實部對應x軸，虛部對應y軸），誤將復數

3、能根據復數的幾何意義判斷點的位置、模長與向量坐標運算混淆；

求向量模長命題趨勢：常與平面向量結合：考查模長計

算、點的軌跡判斷

復數的四則運算1、能熟練掌握復數加減運算的法則，準核心必考點，貫穿小題和解答題；

確計算兩個復數的和與差；高頻易錯點：除法運算中分母實數化出錯，

2、能運用乘法法則進行復數乘法運算，i的塞運算記錯周期性（ifiiiji,

掌握共桅復數的性質并靈活運用；kl）,共挽復數的概念混淆；

3、能熟練進行復數除法運算（分母實數命題趨勢：以運算化簡為主，偶爾結合概念

化），準確化簡復數表達式；考查，解答題多為基礎運算，難度適中

4、能利用i的暴運算性質（in的周期性）

求解簡單問題

復數的模與共挽1、能準確計算復數的模，掌握復數模的中頻考點，多與復數運算:結合考查：

復數性質（憶0|=同憶2卜|Z1/Z2|=|Z1|/|Z2|等）;易錯點：模的性質記憶不牢固；共桅復數的

2、能準確求出一個復數的共挽復數，學運算出錯（如共挽復數的和差積商性質）：

握共筑包:數的運算性質：命題趨勢：常作為運算題的中間步驟，或單

3、能利用模與共輾復數的性質解決簡單獨考查模的計算，難度不大

的求值、判斷問題

■記?必備知識.

愎知識點01復數的概念

1、復數的有關概念

（1）定義：形如。+8i（m6￡R）的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，實部是“，虛部是分

（2）虛數單位：把平方等于一1的數用符號i表示，規定i2=-l,我們把i叫作虛數單位.

（3）表示方法：復數通常用字母n表示，代數形式為z=a+8iQ,b￡R）.

（4）發數集：①定義：全體亞數所成的集合.②表示：通常用大寫字母C表示.

2、復數的分類：對于復數。+從，

（1）當且僅當人=0時，它是實數；

（2）當且僅當。=3=0時，它是實數0；

（3）當3和時,叫做虛數；

（4）當a=0且屏0時，叫做純虛數.

這樣，復數z—+從可以分類如下：復數=僵18；%當"0時為純虛數）?

【注意】復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系

3、復數相等

在復數集。=｛。十加〃，beR｝中任取兩個數。+加，c十小（mdc,代咫,我們規定：。十萬與c+di相

2/12

等的充要條件是。=。且6=".

4、共匏復數

如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共扼復數.

復數z的共規復數用日表示，即當z=o+〃m，b￡R）時，日=〃一反

?示例：z=2+3i的共物復數是0=2—3i.

【注意】（1）當復數z=a+8i的虛部。=0時,有2=日，也就是，任一實數的共扼復數是它本身；（2）在復

平面內，表示兩個共規復數的點關于實軸對稱，并且它們的模相等.

R《知識點02復數的幾何意義

1、復平面定義：當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸

為虛軸.

2、復數的幾何意義

（1）任一個復數z=o+/>i（4,6￡R）與復平面內的點Z（m與是一一對應的.

（2）一個復數z=a+bi（4,/>￡R）與復平面內的向量52=（a,b）是---對應的.

【注意】實軸、虛軸上的點與復:數的對應關系

實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，

原點對應的有序實數對為（0,0）,它所確定的復數是z=0+0i=0,表示的是實數.

/復數、

z=a+bi

(Q,6WR)

/(

7

，

復

面

平

內

點向量

的

及

4虬—對應

3、復數的模

（1）定義：向量次的模，?叫做復數z=Q+bi（〃，5￡R）的模或絕對值

（2）記法：復數z=“+bi的模記為團或|。+磯

（3）公式：|z|=|a+bi|=〃="T京（尼0,r^R）.

3/12

限知識點03復數的四則運算

1、復數的加法

(1)加法法則：設Z[=a+bi,Z2=c+di(。、b、c、d￡R)是任意兩個復數,規定Z|+z2=(a+方i)+(c+di)=

(a+c)+S+,/)i,即兩個更數相加，就是實部與實部、虛部與虛剖分別相加，顯然兩個復:數的和仍然是好數.

注意：對于復數的加法可以推廣到多個復數相加的情形，

即Z]=[+b]i,22=42+62],23=43+63]，…，z〃=a”+b〃i,

則Z]+22+…+z“=.…+(仇+慶+…+4t)i.

(2)加法運算律：復數的加法滿足交換律、結合律，即對任意的引、Z2、Z3EC,

有Z]+Z2=Z2+Z[，(Z]+Z2)+Z3=Z|+(Z2+Z3).

2、復數的減法

(1)相反數:已知復數a+bi(a,b￡R),根據復數加法的定義，存在唯一的復數一a一歷,

使(。+歷)+(-a—方i)=0.其中一a一人叫做a-\~b\的相反數.

(2)減法法則：規定兩個復數的減法法則，設Z1=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R)是任意兩個復數，則

Z[—Z2=(a+bi)—(c+di)=(a—c)+S+c/)i,即兩個復數相減，就足實部與實部、虛部與虛部分別相減，顯然

兩個復數的差仍是一個復數.

3、復數的乘法

(1)運算法則：兩個復數的乘法可以按照多項式的乘法運算來進行，只是把i?換成一1,并把最后結果寫

成a+bi(a、6WR)的形式.設Ni=a+bi,&=。+片(々、b、c￡R),

則Z\Z2=(a+bi)(c+t/i)=ac+(7t/i4-bci+bd\2=(ac—bd)+(ad顯然兩個復數的積仍是復數.

(2)復數乘法的運算律：對于任意?、Z2、z.ec,有

①Z[22=222(交換律);②(ZiZ2)Z3=Z](Z2?Z3)(結合律);③Z[(Z2+Z3)=Z]Z2+Z|Z3(分配律).

(3)復數的乘方：復數的乘方也就是相同復數的乘積，根據乘法的運算律，實數范圍內正整數指數幕的運

算律在復數范圍內仍然成立.即對復數力、Z2、Z和自然數根、”有

mnm

#.#=*+〃,(z)=zm.?,(Z|?Z2)”=才?方，Z°=l：Z-=-^-(z/0).

4、復數的除法

規定兩個復數除法的運算法則：(八b、c、d￡R,c+di￥0)

a+bi(a+bi)(c—di)(ac+bd)(be-ad)iac+bdbe—ad

(a+bi)+(c+di)=——=-~~-------=-----------,,----------=?甯+4i

c+di(c+ai)(c—di)c274-az7cz+dzc2+a2

在進行復數除法運算時，通常先把m+〃i)+(c+di)寫成粵的形式，

再把分子、分母同乘分母的共規復數c—di,把分母變為實數，化簡后就可得到所求結果.

【注意】(1)兩個復數相除(除數不為0)，所得的商仍是一個復數.

(2)z=a^b\[a,8WR),溫=加+〃是復數除法運算中實現分母，，實數化，，的一個手段.

4/12

?破?重難題型.

國題型一復數的概念與分類

攤T題i￡iEs'

j判斷好數a+〃i的實部、虛部的關鍵：(1)看形式：看好數的表示是否是a+力的形式：(2)看屬性：j

:看Q，b是否都是實數：(3)看符號：復數的實部和虛部的符號是易錯點.:

f真夠行…豆調《蒿二下:薪運薪麗麗市廠巨如豆藪;福京I二§二;丁麗;而康前忌7…5..........

A.-1B.-IC.1D.i

【變式1-1](24-25高一下?河南鄭州?期中)若實數小歹滿足x+yi=l+2i,則所()

A.-2B.1C.2D.3

【變式1?2】(24?25高一下?廣東?期中)己知z=/-5"6+(a-2)i為純虛數，則實數。=.

【變式1-3](24-25高一下?天津濱海新?期中)已知i為虛數單位，“wR,復數

z=(〃/-86+15)+("/—46+3)i.

⑴若z是實數，求m的值；

(2)若z是純虛數，求機的值；

(3)若復數z與l-2i在復平面上對應的向量分別為G,h，且口與5的夾角為鈍角，求〃?的取值范圍.

3題型二復數與復平面內的點一一對應

解|題|花i巧

復數z=a+bi<對魔-?復平面內的點Z(a+b).

一項前方…蒼i出滴二節無奈麗艾麗幣5,五畫，…在我乖而丙丁董藪之蔚應的點2面保所水;可笈藪￡三

)

5/12

Z

1

?

.A

O2x

A.l-2iB.2-iC.l+2iD.2+i

【變式2-1]（24-25高一下?河北?期中）已知復數z,彳在復平面內對應的點分別為4幾則“/在第二象

限”是“5在第三象限”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【變式2-2]（24-25高一下?重慶沙坪壩期中）當0＜根＜1時，復數z=+在復平面內對應的點

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【變式2-3]（24-25高一下?廣東?月考）已知z+|z|=2+4i,那么z在復平面內對應的點位于第

象限.

口題型三復數與復平面的向量一一對應

解?題?花i巧

在平面直角坐標系中，每一個平面向量都可以用一個有序實數對來表示，而有序實數對與愛數是一一對應

的.這樣就可以用平面向量來表示復數.

〒巔行V7示石商二不疝東泰荽痂幣,巨拓豆平而上茯6克應的夏至是…i；黃R肝應懶藪基7「麗

向晟麗對應的復數是.

【變式3?1】（24-25高一下?湖南?期中）在復平面內，里數2-3i、-1+2i對應的向量分別是方、礪，其

中。是坐標原點，則向量而對應的復數為.

【變式3?2】（24-25高一下?甘肅金昌?期中）在更平面內，向量而對應的或數4=l+2i,刀繞點。逆時針

6/12

旋轉9（r后對應的復數為馬，則z2=.

【變式3?3】（24-25高一下吶蒙占興安盟?期中）設史數4/2滿足㈤=E|=2E+Z2=JJ+i,則|z「Z21二

（）

A.2GB.6C.2D.1

3題型四復數的四則運算綜合

解?題?豆?巧

復數運算的幾個重要結論

（D|Z|+Z#+E-N2|2=2（|R2+|Z2|2）；（2）日2=邸=日2

（3）若z為虛數，則W先2；（4）（l±i）2=±2i：（5）—=i；—=-i

1—i1+i

【典例4】（24-25高一下?廣東佛山?期中）復數」的實部是

1-1

【變式川⑵-25高一下?黑龍江大慶?期中）設復數”崇，則其共輾復數的虛部為（）

【變式4-2]（24-25高一下?安徽阜陽?月考）若復數z=2+i,其中i是虛數單位，則（z-￡），=（）

A.-2B.4C.3D.-4

【變式4-3]（24-25高一下?浙江杭州?月考）設復數z=（i為虛數單位），則z的虛部為（）

A.3B.2iC.1D.i

包題型五復數的高次方運算

解|題|技|巧

7/12

計算復數的乘積要用到虛數的單位i的乘方，i”有如下性質：

il=i,i2=—1,i3=ii2=—i,i4=i3i=—ii=1,從而對于任何〃￡N+，都有i4”+i=i4"i=(i4)”.i=i；

同理可證i4"+2=-],j4〃+3=-i,,4n+4=|

這就是說，如果〃WN+，那么有沙+i=i,i4n,2=-1,i4n+3=—i,i4n+4=1

由此可進一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=—2i,---=—1,-=—i

1+i1-ii

?2025

【典例5】(24-25高一下?山西忻州?期中)已知幺數z-二，則z的共鈍復數()

1-i

【變式5-1](24-25高一下?廣東東莞?期中)若復數2=1+21+n2+4尸+51，則z的虛部為.

【變式5-2](24-25高一下?吉林長春,期中)已知復數z=l+「,則|/+…+/°25一()

1-1

A.1+iB.1-iC.iD.0

【變式5-3](24-25高一下?湖北武漢?期中)已知復數0=+立"則/+1+療+…+療024+①2025=

22

包題型六復數范圍內解方程

葡最醫TE

在復數范圍內，實系數一元二次方程a/+以+c=0(。牛0)的求解方法：

(1)求根公式法：①當AN0時，x=一"也2-4空②當AV0時，％=也巨三恒1

2a2a

(2)利用復數相等的定義求解，設方程的根為x=m十川(m,ne/?),

將此代入方程ad+bx+c=0(a￡0),化簡后利用復數相等的定義求解.

彳捻兩%】…曰二*高二木疝懣藏肅.面市丁巨如"之.浪莢手;而另需；2；晟；二.而二不直

數根，則〃二()

A.-6B.-4C.4D.6

【變式6-1](24?25高一卜??廣東?期中)在復數范圍內，方程xj+5=0的解為

8/12

【變式6-2](24?25高一下?福建福州?期中)已知復數z=i202o+(l-i)2(其中i為虛數單位)，若復數z的共

胡復數為彳，且彳“=4+3i.Z1是關于x的方程x2-px+q=0的一個根，

(1)求實數p，q的值

⑵求出方程/-川+q=0的另一個復數根.

【變式6-3](24-25高一下?遼寧沈陽?期中)己知復數z和它的共聊復數三滿足3z+』=4+4i.

⑴求復數z；

(2)若z是關于x的方程x2+2x+f=0(feC)的一個根，求方程的另一個根，并驗證此方程的兩個根是否滿足

韋達定理.

3題型七復數的模長及應用

解|題|卷|巧

(1)定義：向量旗的模，?叫做組數z=a+bi(m/)￡R)的模或絕對值;

(2)記法：復數N=a+bi的模記為團或|〃+汕

(3)公式:團=|。+bi|=r=+〃(/升,,vR).

【典例7](24-25高一下?遼寧沈陽?期中).

11-211

【變式7-1](24-25高一下?河南鄭州?期中)已知z=4+3i,則|z|=()

A.5B.-5C.不D.-V7

【變式7-2](24-25高一下?河北石家莊?期中)己知復數2=?，其中i為虛數單位，則忖=()

A.y-B.1C.V2D.2

9/12

【變式7?3]（24-25高一下?廣東揭陽?期中）己知復數z=a+bi滿足|z_l|=|z_2|（〃,beR）,則。=（）

\_

A.C.2D.4

2

3題型八與復數模有關的最值問題

;解?題?技?巧

:1、復數的模的幾何意義

;（1）復數z=a+bi（a,b￡火）的模|z|就是復數z=。+方在復平面內對應的點Z=（a,b）到坐標原點的距

:離，這是復數的模的幾何意義.

;（2）復數z在復平面內對應的點為Z,〃表示一個大于0的常數，則滿足條件|z|二,,的點Z組成的集合是

，以原點為圓心，尸為半徑的圓，|z|＜廠表示圓的內部，|z[〉/?表示圓的外部.

:2、兩個復數差的模的幾何意義

:（1）|2-2。|表示復數2,z0對應的點之間的距離，在應用時，要把絕對值號內變為兩復數差的形式.

：（2）|z-Zo|=尸表示以z（）對應的點為圓心，〃為半徑的圓.

:（3）涉及復數模的最值問題以及點的集合所表示的圖形問題，均可從兩點間距離公式的復數表達形式入手

;進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解.

…而）“8]…[五豆一高二不疝紊菊舉訴市丁疝集豆藪，漏油日二21+石；『二3二…麗ZE二5二面屬美面嵬…

【變式8-1]（24-25高一下?廣東深圳期中）復數Z滿足目=1,則|z-3+4i|（i為虛數單位）的最小值為

（）

A.4B.5C.2D.3

【變式8-2]（24-25高一下?江蘇連云港?期中）已知i為虛數單位，如果復數z滿足|z+2i|+|z-2i|=4,那

么卜-1|的最小值是（）

A.1B.y[2C.2D.75

【變式8?3】（24-25高一下?浙江杭州?期中）復數馬，z?滿足|zd="+i卜|Z2-2|=1,則區—|的最小

10/12

值為.

■過?分層驗收.

期中基礎通關練（測試時間：10分鐘）

11，24-25謫二不編港布麗麗市「直藪2二^而適額亮7…5............

A.2B.6C._垂＞D.-x/3i

2.（24-25高一下?江蘇南通?期中）若瑪數z與（z+l『+2i都是純虛數，則及數z=.

3.（24-25高一下?天津濱海新區?期中）已知（2x-l）+i=），+（3-y）i,其中x,yeR,則4+4=.

4.（24-25高一下?湖北武漢?期中）（多選）歐拉公式e，i=cosx