第2節：因式分解（學生版）

第2講：因式分解

【考點梳理】

＞題型一：提取公因式和公式法因式分解

＞題型二：分組分解法

＞題型三：十字相乘法

＞題型四：因式分解的綜合

【知識梳理】

知識點一、公式法(立方和、立方差公式)

/+方=(〃+b)(a2-ab+b2)

2

43-b'=(。一b)(cT+ab+b)

這就是說，兩個數的立方和(差)，等于這兩個數的和(差)乘以它們的平方和與它們積的差(和).

運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解.

知識點二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式.而對于四項以上

的多項式，如〃口+〃心+〃4+〃〃既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取.因此，可以先將多項式分

組處理.這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法.分組分解法的關鍵在于如何分組.

知識點三、十字相乘法

1./+(p+q)x+/均型的因式分解

(1)二次項系數是1；(2)常數項是兩個數之積；(3)一次項系數是常數項的兩個因數之和.

x2+(〃+q)x+pq=x1px+qx+pq=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).

因止匕,Y+(〃+q)x+pcj=(x+p)(x+q).

2.一般二次三項式辦2+法+c型的因式分解

大家知道,31"+。［)(。2*+。2)+(。1。2+。2。1)%+。1。2-

反過來，就得到：。山2*2+(%。2=(。仔+。1)(。2二十。2)

我們發現，二次項系數a分解成/外,常數項c分解成9與，把4,心,《,q寫成叫xG,這里按斜

a

20

線交叉相乘，再相加，就得到〃金+。2。1，那么?+8X+C就可以分解成(0/+4)(42%+。2).

這種借助畫十字交叉線分解系數，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法.

【題型突破】

題型一：提取公因式和公式法因式分解

1.(25?26高一?上海)分解因式：

⑴(〃/一])(,/+；

(2)(X+1)4+(X2-1)24-(X-1)4;

⑶x3-9x+8；

(4)/+x+l.

2.(25-26高一上?全國?課前預習)計算：

(1)1-7H+—n--7??z/+—/22I?

2人25104),

(2)(a+2)(a-2乂/+4/+]6).

3.(25-26高一上?全國?課前預習)分解因式:

(1)-4ab—8//+10人；

(2)2(/i-/n)2—;

(3)\5y\a-b)2-3y(b-a).

題型二：分組分解法

4.(25-26高一上?全國?課前預習)分解因式：

(l)x2-xy+3y-3.r;

(2)2x2+A31-y2-4x+5y-6.

5.(25-26高一上?全國?假期作業)閱讀理解題：

拆項法是因式分解中一種技巧較強的方法，它通常是把多項式中的某一項拆成幾項，再分組分解，因

而有時需要多次實驗才能成功，例如把丁-31+4分解因式,這是一個三項式，最高次項是三次項，

一次項系數為零，本題既沒有公因式可提取，又不能直接應用公式，因而考慮制造分組分解的條件,

把常數項拆成1和3,原式就變成1+1)-(3-—3),再利用立方和與平方差先分解，解法如下：

原式=V+]_(3x2_3)=(x+l)(f_x+i)_3(x+])(x_|)

=(A+1)(X2-X+1-3X4-3)=(X4-1)(X-2)2

公式：/+/『=(〃+”)(片一，"一〃3=(4一〃)(片+

根據上述論法和解法，

(1)因式分解：X^+X2-2；

(2)因式分解：/-7X+6；

(3)因式分解：x4+xz+\.

6.(25-26高一上?全國假期作業)閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來分解用提公因式

法和公式法無法直接分解的多項式，比如：四項的多項式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進行分

組分解.

例1:“兩兩分組"：ax+ay+bx+by

解：原式=(ax+a_y)+Sx+〃y)=a(x+y)+伙x+y)=(a+8)(x+y)

例2例三一分組“：2xy+x2-1+y2

解：原式二(丁+2與'+丁)一1=(x+y『-1=(x+y+l)(x+y-l)

歸納總結：用分組分解法分解因式要先恰當分組，然后用提公因式法或運用公式法繼續分解.

請同學們在閱讀材料的啟發下，解答下列問題：

(1)分解因式：

①d-xy+4x-4y:

@x2-y2+4y-4,

(2)已知VA8C的三邊〃，b,c滿足/一改一//+兒=(),試判斷VABC的形狀.

題型三：十字相乘法

7.(25-26高一上?全國?課前預習)分解因式.

(1)X2-2X-3；

(2)2)，2-7)，+3;

(3)12r-5x-2;

(4)1lx-%2—18；

(5)/-3肛+2/.

8.(25-26高一上?全國?課前預習)把下列各式因式分解.

(l).v4-(2/7?+1)x+77?2+m;

(2)7(.+%)2-5(〃+。)-2;

⑶2/+產-3；

9.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

⑴Y-7X+6

(2)X2-4X-21

(3)2.r2+15x+7

(4)3f—Ux+6

(5)6X2-7x-5

題型四：因式分解的綜合

10.(25-26高一?上海?假期作業)分解因式：

(l)ab-2a-b+2;

(2)8X3+4X2-2X-1；

(3)f―g，一2y2-2x+7y-3;

(4)4?2-2O?Z?+25Z?2-36；

⑸不-；/-2》、］；

(6)x2(j+l)-y(xy+x).

11.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

(1)x2+3A+1

⑵f-3皿+2〉

(3)+mb+na+nb

(4)?2-3ab+ac-3bc

(5)a2+ab-3b-3a

12.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

(1)X2-4A-5

(2)2/+7.r+3

(3)f4-(m-2n)x-2nm

(4)2x2-7ar+3?2

(5)x2+(2a-〃)x+(/

【專題突破】

一、單選題

1.（25-26高一上?全國?課前預習）下列因式分解中，結果正確的是（

A.X2-4=(X+2)(X-2)B.1-(X+2)2=(X+1)(X+3)

2

C.2"?2〃—8"3=2〃"―4叫口.x-.￥+^-=X2^1--+

2.(25-26高一上?全國?課前預習)下列運算正確的是()

A.(a-b)2=a2-b2B.(a-b)3=fl3-^

C.-ly'={a-b)(cr+ab+b~)D.t?3+=(a+b)(?2+ab+Z?2)

3.(25-26高一上?全國?課前預習)不能用十字相乘法分解的是()

A.X2+X-2B.3X2-10X+3

C.4x2+x+2D.5x2-6^-8y2

4.(2025高一?全國?專題練習)將/+4/因式分解的結果是()

A./+4/=(/+2b2+2")(/+2b2-2ab)

12

B./+4/=(/_2b2+2cib)[a+2b-2ab)

C./+Ab4=(/+2從+2ab)(a2-2b2-2ab)

D.a4+4b4=(a1-2b2+2ab)(a2-2b2-2ab)

5.(25-26高一上.福建廈門.階段練習)給出下列等式，其中因式分解錯誤的是()

A.^x2-O.OI=^|x-O.lJ|x+O.I^B,27/+]=(%+i)(9a2_%+])

C.64-勖3=(4-2與(16-妨+46)D,a2-(b+c)2=(a-b-c)(a+b+c)

6.(25-26高一上?四川內江?開學考試)把Y-2-+)，2+x-＞，分解因式的結果是()

A.(x-y)(x-y+l)B.(工一)，)(工一),一1)

C.(x+y)(x-y+l)D.(x+y)(x-y-l)

7.(25-26高一上?湖北黃石?開學考試)下列因式分解的結果正確的是()

A.4a2-\=(4a+\)(4a-i)B.a2-2ab-h2=(a-b)2

C.+a=-a(2a+1)D,a2+a-6=(a-2)(a+3)

8.（25-26高一上?全國?假期作業）由〃?（。+〃+。）="以+，汕+"江可得

(a+b)(a~-ab+b2)=a3-a'b+ab-+a'b-ab~+b3=ay+,即(a+Z?)(a?-+h2)=a+b'(7),我們把等式①叫做

多項式乘法的立方公式.下列應用這個立方公式進行的變形不正確的是()

A,(x+4y)(.r2-4Ay+I6y2)=一+64y3

B(x-4y)fx2+4xy+16y2J=x3-64j3

C.-x3+27=(3-x)(x2+3x+9)

D.(a+l)(/+a-1)=廿+1

二、多選題

9.(25-26高一上?云南保山?階段練習)下列選項中錯誤的是()

A.4x2-y2=(2x+y)(2x-y)B.x2-7x+6=(x+l|(x-f-6)

C.(a+b)2=(a-b)2+2abD,x2+5x+6=(x+2)(x+3)

10.(25-26高一上?云南昆明?開學考試)由〃z(a+"c)=〃w+〃7〃+〃7c,可得：

22y2222yy223

(a+b){a-ab+b)=a-ab+ab+ab-ab+b=a+b\^(a+h)(<a-ab+b)=a+b\..(i),我們把等式①

叫做多項式乘法的立方和公式.下列應用這個立方和公式進行的變形正確的是()

A(x+4y)(x2-4xy+16y2)=x3+64y3B.(2JC+y)(4x2-2xy+y2)=8x3+y3

C.(〃+1)(4+〃+1)="+1D.V+27=(x+3)(f-3x+9)

11.(23-24高一上?廣西玉林?開學考試)下列因式分解中正謫的是()

A.x2-8A3'+16/=(x-4y)2B.^-x+y-l=(x+l)(>?-l)

C.x2-4^-5=(x-l)(x+5)D16x4-1=(4x2+l)(2x+l)(2x-I)

12.(23-24高一上.廣西欽州.開學考試)將下列多項式因式分解，結果中含因式(X+1)的有()

A.x2+12x+l1B.x3-x2+x-l

C./+2/+5X+4D.(x2-3x)"-2(x2-3x)-8

13.(23-24高一上?江蘇泰州.開學考試)給出下列等式，其中因式分解正確的是()

A.x2-0.01=f|x-0.1Y|x+0.1jB.64-8^=(4-2Z?)(16-8Z?+4/?2)

C.27t/3+1=(3tz+1)(9<72-3?+1)D.a2—(b+c)1=(a-b—c)(a+b+c)

14.（23-24高一上?福建寧德?開學考試）下列計算正確的是（）

A.(x+y)2=x2+y2B.X2+4X-12=(X+2)(X+6)

C.x2-^a+b)xy+aby2=(x-?)?)(^-^v)D,x3+9+3x2+3x=(x+3)(x2+3)

三、填空題

15.(25-26高一上?全國?課前預習)若將多項式辦+〃因式分解為(x-2)(x+5)，則伽-/^您的值為.

16.(25-26高一上?全國?課前預習)在實數范圍內分解因式2Y+2X-1=.

17.(2025高一逢國?專題練習)分解下列因式：

(1)3X2+8X-3=；

(2)x2->/2x-4=；

(3)\n+\)a2+ab-nb2=.

18.(2025高一?全國?專題練習)分解下列因式：

(1)1-m2-n2+2mn=；

(2)r-y2-x+y=;

(3)x3+3x2-4x-12=.

四、解答題

19.(25-26高一?上海?假期作業)分解因式：

(l)./+9+3.r2+3.r；

(2)2x24-xy-y2-4x+5y-6;

(3)r*-3x2+4.

20.(25-26高一?上海?假期作業)分解因式：

(1)(r+x+l)(尸+x+2)—12;

(2)(x2￥xy+y2)-4xy(x2+y2).

21.(25-26高一上,全國?課前預習)計算：

(1)(2^4-Z?)(4t/2-2ab+b2^;

(2)(5所產)(25"+卜、|加);

(3)(5-2X)(4W+25+10X).

22.(25-26高一上?全國?課前預習)分解因式：

(1)3X2-I4X+15；

⑵(/+2x7-7(/+2x)-8；

(3)x2+2x-15-ar-.

23.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

⑴(大+?-4(.丫+)，)+3

(2)x2-3xy+2y2

(3)f+9+3/+3x

(4).\yT+x_y

(5)x2+2x-l

24.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

(l)x24-3x-/-3y

(2)a2-6ab+9b2-c2

(3)x2-x+2y-2xy

(4)f+2f-3

(5)x3+5x2+7^+3

25.(25-26高一上?全國.課前預習)閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：

I+X+J(X+1)+x(x+1)2=(l+x)[l+X+X(A+I)1=(14-X)2(1+X)=(1+x)’

(1)上述分解因式的方法是_________,共應用了次.

⑵若分解l+x+Mx+l)+x(x+l)2++MX+1產，則需應用上述方法_________次，結果是_________.

(3)分解因式：1+x+r(r+1)+r(r+1)2+..+x(x+l)"(〃為正整數).

26.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

(1)x2-5x+3

(2)X2-2A-4

(3)x2+2x-15-cix-5a

(4)a2-lab+b2+2a-2b-3

(5)Z?2+c2+2ab+2ac+2bc

27.(2025高一?全國?專題練習)因式分解練習

⑴3-+展-2〃

(2)〃方_7必+10

⑶-45ab-4a~b

(4)x2+x-(tz2-a)

(5)x2-a2-2x-2a

28.(25-26高一上?河北邯鄲?階段練習)【教材呈現】人教版八年級上冊數學教材121頁有“閱讀與思

考”：根據多項式的乘法法則，可知(工+〃)(1+4)=/+川+/+〃鄉=X2+(〃+4?+的.那么，反過來，也

有犬+⑺+功班人4工+^^+4這就是將某些二次項系數是1的二次三項式進行的分解因式.例如，因

式分解f+3x+2.這個式子的二次項系數是1,常數項2=1x2，一次項系數3=1+2，符合f+(〃+4)工+成

類型，于是有f+3x+2=(x+l)a+2)這個過程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次項

系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角：再分解常數項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下

角；然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數.這樣，我們也可以得到丁+3彳+2=(1+1)(工+2).

利用上面的方法，因式分解以下題目：

1x2+ix1=3

⑴(/+*--(/+.1)一2；

(2)/y+V_3沖+盯2―49.

29.(25-26高一上?全國?假期作業)閱讀理解：

在松松與南南學習到分解因式的知識時，發現8年級上教材第65頁有一種因式分解的方法叫十字相乘

法，即(1+〃)(X+4)=/+(〃+夕〃+內，則可按此多項式乘法計算逆向思考，將二次三項式f+51+6因

式分解成(工+2)(1+3),松松沒有看明白書中的方法，請南南幫助他，南南告訴他：”要把二次三項式

中的常數項6分成兩個整數的積,且這兩個整數的和等于5才可以，即/=6,p+q=5,則口算就可

以得到〃=2,。=3或〃=3,4=2，然后在將〃與4的值代入式子a+p)(x+4中即可得到("2)(/3