2026年高考數學復習：空間幾何體的結構、表面積與體積（六類重難點題型）原卷版+解析

專題7.1空間幾何體的結構、表面積與體積

目錄?重難點題型分布

序號題型

重難點題型1空間幾何體的結構特征

重難點題型2空間幾何體的表面積

重難點題型3空間幾何體的體積

重難點題型4直觀圖

重難點題型5展開圖

重難點題型6最短路徑

練娥明倒。給容演金

重難點題型1空間幾何體的結構特征

1.（2025?江蘇南通?模擬預測）過正方體48CO-A8CQ的中心作與4G垂直的平面。，則平面。截正方體

ABC。-ABC"所得的截面是（）

A,三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

2.（2025?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，正方體48CO-A8CQ的棱長為2,￡川分別是棱的中點,

點P是底面ABC。內一動點，則下列結論正確的為（）

A.不存在點人使得松〃平面/IBCQ

B.過優￡，尸三點的平面截正方體所得截面圖形是五邊形

C.三棱錐G-AqP的體積為4

D.三棱錐尸-AC。的外接球表面積為9n

3.（2025?海南?模擬預測）（多選題）如圖所示，正方體A8CO-A4G"的棱長為2,點P為側面AQRA內

的一個動點（含邊界），點￡￡G分別是線段BC、CC、、SB1的中點，則下列結論正確的是-）

A.直線AG〃平面AE/B.平面AE/截正方體所得的截面面積為，

ULR1IU111

C.建Pb的最小值為寧D.若PhBD「則點尸的運動軌跡長度為2及

4.（2025?山東?模擬預測）（多選題）在棱長為3的正四面體ABC。中，已知點M,N分別在線段AB,C。上

運動（不含端點），則（）

A.M,N兩點距離的最小值為地

2

B.直線CM與直線AN有可能平行

C.當MN最小時，以線段為直徑的球與正四面體的棱恰有6個公共點

D.當最小時，與MN垂直的平面截正四面體得到的截面為矩形

5.（2025?陜西安康?模擬預測）（多選題）如圖，已知正方體4BCO-A與GR的外接球表面積為12兀，點M

為線段8。的中點，則（）

A.正方體ABC。-AqG"的棱切球（球與正方體的棱均和切）表面積為6冗

B.力平面AMG

C.在該正方體的8個頂點中任選4個構造一個三棱錐，則該三棱錐體枳的最大值為g

D.平面AMG截正方體ABCD-A4GA所得的截面的面積為

重難點題型2空間幾何體的表面積

,?■?一???■?■???■?????■?????????????????????????■?????????■?????■?????■???■?■???■?■???■?????■???■?????????■?????■?????■???■?■?????????■???■?????■?????■?■???

1.（2025?山東臨沂三模）一圓臺的上、下底面半徑分別為2、4,體積為把17c,則該圓臺的側面積為（）

3

A.12兀B.18兀C.247rD.36K

2.（2025?江西?模擬預測）任意一圓錐的表面積與其側面積之比的取值范圍為（）

A.^1,-B.1?-C.（1,2]D.（1,2）

3.（2025?黑龍江哈爾濱?三模）已知一個等腰梯形的下底邊長是上底邊長的3倍，兩腰與下底邊所成角為（，

面積為86.若該等腰梯形是一個圓臺的軸截面，則該圓臺的側面積為（）

A.16兀B.26兀C.16x/3nD.327t

4.（2025?河北邢臺?三模）在平面直角坐標系中，點4-1,1）,8與A關于原點。對稱，現以工軸為折痕，將

x軸下方部分翻折，使其與上方部分構成直二面角，兩點相應變成A，4兩點，將△入。4繞直線A片

旋轉一周得到一個旋轉體，則該旋轉體的內切球的表面積為（）

n3n3n_

A.-B.—C.—D.2兀

442

5.（2025?陜西漢中?三模）如圖，爵樓長為2的正方體六個面的中心連線，可得到八面體E-4BC。-歹，則

該八面體的表面積為.

重難點題型3空間幾何體的體積

1.（2025?北京?模擬預測）如圖，正四楂臺A3CO-A4CQ,上下底面的中心分別為日和。，若

AC=2AC=4右,側面與底面所成銳二面角的正切值為則正四棱臺A4cO-的體積為（）

3333

2.（2025?湖北武漢?三模）如圖，如圖1的“方斗”古時候常作為一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一

個上大下小的正四棱臺，AB=10,A隹=2,現往該方斗杯里加水，當水的高度是方斗杯高度的彳時，水

4

的體積為84,則該方斗杯可盛水的總體積為（）

圖1圖2

4961850

A.112~9~D.496

3.（2025?重慶?模擬預測）高為2的圓錐的側面展開圖是圓心角為120。的扇形，則此圓錐的體積為（）

27r

ANC.四D.

.62T

4.（2025?福建莆田?模擬預測）在三棱柱”空-A用G中，E為48的中點，平面四6七將三棱柱分成體積為

匕，匕兩部分，則匕：匕=（）

A.1:1B.4;3C.6;5D.7:5

5.（2025?北京大興?三模）《九章算術》是我國古代的一部數學名著，書中記載了一類名為“羨除〃的五面體.如

圖，在羨除中，底面4BC。是正方形，石尸團平面ABC。，EF=2,其余棱長都為1,則這個幾何

體的體積為（）

A.272B.y/2C.—D.—

33

6.（2025?陜西延安?模擬預測）已知正四棱臺ABC。-44GA中，側棱與底面所成的角為45，

AB】=2AB=26則該四棱臺的體積為.

7.（24-25高一下?北京豐臺?期中）如圖，一個直三棱柱容器中盛有水，側棱的=3.若側面44,用8水平放

置時，水面恰好過八的二等分點（靠近。和G），此時容相中的水形成的幾何體為_（填“棱

柱”或"棱臺"）.當底面48c水平放置時，水面高為

重難點題型4直觀圖

1.（2025?四川成都?模擬預測）用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形△O4B的直觀圖為如圖所示的。49,

已知aO'AE是邊長為2的等邊三角形，則頂點8到x軸的距離是.

2.（2023?遼寧錦州?模擬預測）已知川斜二測畫法畫梯形Q4BC的直觀圖OWH'C如圖所示，O'A=3CA',

CE_LOW,5（〃叱=8,CD"、'軸，C￡=顯,M為。4'的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉一周

2

形成的空間幾何體的體積為.

3.（24-25高三下?重慶?階段練習）已知正三棱錐的體積為半，其底面三角形的斜二測直觀圖面積為遙，

則三棱錐的高為（）

A.2BC.1D.

-12

4.（2024?浙江杭州?模擬預測）已知正三棱錐的高為2,其底面三角形的斜二測直觀圖面積為石，則三棱

錐的體積為（）

A.迪B.c.且D.正

33124

5.（2025?陜西西安?二模）（多選題）如圖，四邊形/WCQ的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形4*67九已

知A'?=4,czy=2,則下列說法正確的是（）

A.AD=141B.A8=4

C.四邊形A4C。的面積為6&D.四邊形/WCOII勺周長為6+6+0

重難點題型5展開圖

1.（2025?遼寧?三模）（多選題）有一張長方形的紙（如圖所示），現可任意沿虛線將其剪開或折疊（不將紙

剪斷），可以得到的圖形的直觀圖是（）

A-Z^7

BZOZ

2.如圖為正方體的平面展開圖,則圖中的A氏在原正方體中互為異面直線的對數為（）

CA

A.1B.3C,4D.5

3.如圖，圓臺。億的側囿展升圖扇環的圓心角為180，其中SA=2,5"=4,則該圓臺的高為（）

A.73B.72C.1D.4

4.（2024?安徽?模擬預測）如圖是正方體的平面展開圖,則在這個正方體中，

①BM與ED平行；

②CN與BE是異面直線；

③CN與8W成60角；

④DM與BN垂直.

以上四個結論中，正確結論的序號是（）

A.①②③B.②④C.③④D.①③④

5.如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中"九”在正方體中的對面是（）

6.（2025?河北?模擬預測）己知一個圓臺母線長為3,側面展開圖是一個面積為寸的半圓形扇環（如圖所

示），在該圓臺內能放入一個可以自由轉動的正四面體（圓臺表面厚度忽略不計），則該正四面體體積的最

7.1多選）如圖是四棱錐的平面展開圖，其中四邊形A5C。為正方形，E,尸，G,H分別為抬，PB,PC,

P。的中點，在此幾何體中，下列結論正確的是（）

A.平面￡FG〃//平面ABC。B.平面RW//BC

C.平面PC7)//ABD.平面E4。//平面R44

重難點題型6最短路徑問題

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1.如圖，一個矩形邊長為1和4,繞它的長為4的邊旋轉二周后所得如圖的一開口容器（下表面密封），P

是BC中點，現有一只媽蟻位于外壁A處，內壁P處有一米粒，若這只螞蟻要先爬到上口邊沿再爬到點夕處

取得米粒，則它所需經過的最短路程為（）

A.J兀2+36B.J兀2+16C.，4兀2+36D.y/4n:+I

2.如圖所示，在正三棱柱ABC-ABC中，AB=2,A/\=2,由頂點B沿棱柱側面（經過棱4AJ到達頂點G,

與八A的交點記為何，則從點8經點M到G的最短路線長為（）

C.4D.40

3.（24-25高三下?河南?周測）如圖，正四面體尸-A8c的棱長均為2,M是棱24的中點，N是棱AC上一

動點，則MN+8N的最小值為（）

c.RD.4s

4.（2023?四川資陽?三模）如圖,在正三棱柱從BGA/三0中,AA=AB=2t4在A/C上,4是A出的中點,

則（AD+OE）2的最小值是（）

C

A.6-近B.V?C.3+不D.5+6

專題7.1空間幾何體的結構、表面積與體積

'目錄?重難點題型分布

序號題型

重難點題型1空間幾何體的結構特征

重難點題型2空間幾何體的表面積

重難點題型3空間幾何體的體積

重難點題型4直觀圖

重難點題型5展開圖

重難點題型6最短路徑

癡隨檢㈱測7L__________63?目宓Qo■?窗杰題!志Stt

Iri.IHI

重難點題型1空間幾何體的結構特征

1.（2025?江蘇南通?模擬預測）過正方體的中心作與AG垂直的平面。，則平面。做正方體

A5C。-A,4GA所得的截面是（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】D

【難度】0.85

【知識點】判斷正方體的截面形狀

【分析】證明線面垂直作出圖判斷截面圖形即可.

【詳解】

在正方體中，平面ABC。，3Ou平面ABC。，所以

乂在正方形ABCD中，AC上BD,ACCC,=C,所以2平面AC&,

Agu平面4C0,所以8O_L4G，

由于E,F分別為3C,C￡＞的中點，所以BD//EF,

故E/_L4G，同理N￡_L4G，NE（EF=E,所以AQ_L平面EFGMWN，

且平面EFGHMN過正方體ABCD-仙￡口的中心0,

故選：D

2.（2025?內蒙古包頭?模擬預測）如圖，正方體A38-AMG2的校長為2,￡尸分別是棱斗。,。2的中點,

點P是底面48co內一動點，則下列結論正確的為（）

A.不存在點P,使得松〃平面ABCQ

B.過廠三點的平面截正方體所得截面圖形是五邊形

C.三棱錐G-AB/的體積為4

D.三楂錐尸-ACD的外接球表面積為9幾

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】判斷正方體的截面形狀、多面體與球體內切外接問題、錐體體積的有關計算、證明線面平行

【分析】對于A,找到8。中點為點產，易得心〃平面A8CQ,排除A項；對于B,作出截面并判斷形狀

即可排除：對于C,利用等體積法轉化，結合三棱錐體積公式即可判斷；對于D,根據三棱錐的墻角模型,

將其補形成長方體，從而將三棱錐的外接球轉化成對應長方體的外接球來求解.

【詳解】對于A,當P為3。中點時，由三角形中位線定理可得"P//BR,

因為五PN平面ABCQ,胡^匚平面八^6。一所以外〃平面ABCQ.故A錯誤；

對FB,由中位線可得七尸〃A。，在正方體中，易證A〃〃4G，所以七尸//灰"

即BC就是一條截線，連C/,得截面EBG",又因“'工8G，所以截面仍G尸為梯形，故B錯誤；

對于C,點尸到平面4MGA的距離為2,

II4

故％.「=%-附=三力'2'2'2=、，故C錯誤；

對于D,因。ADC。尸兩兩垂直，

則三棱錐尸-AC力的外接球可以補形成以這三邊長為長、寬、高的長方體的外接球，

則外接球半徑R即該長方體的體對角線的一半，即R=力±2'1：=3,

22

故其表面積S=4TIR2=9幾，故D正確.

故選：D.

3.（2025?海南?模擬預測）（多選題）如圖所示，正方體ABC。-A4G。的棱長為2,點P為側面AORA內

的一個動點（含邊界），點￡￡G分別是線段BC、CC、、的中點，則下列結論正確的是?）

5

小

A

B.平面AEE截正方體所得的截面面積為？

A.直線AG〃平面A"

UUUULUI

c.pqp/的最小值為ID.若PF上,則點〃的運動軌跡長度為2女

【答案】AC

【難度】0.4

【知識點】證明線面平行、立體幾何中的軌跡問題、判斷正方體的截面形狀、空間向量數量稅的應用

【分析】對于A,利用線面平行的判定定理，證明人。平行于平面AEP內的一條線即可；對于B,判斷截面

uuutum

為等腰梯形，然后利用梯形的面積公式求解即可；對于C,建立空間直角坐標系，設。點坐標，將PB「PF

表示出來，利用二次函數求最值即可；對「D,利用P尸確定點P的軌跡方程，然后利用兩點距離

公式求長度即可.

【詳解】對「A,連接

因為點改尸分別是線段8C、CG的中點,

所以EF〃BC\HAD\,所以Abu平面八所，

點EG分別是線段CG、的中點，故Gf7/4A，GF="A，

故四邊形AGFR為平行四邊形，所以AG//DF，目.。尸u平面AEV,

故直線AG〃平面AEF.故A正確:

對干B,由A選項“J?知，平面4所截正方體所得的截面為梯形ARFE,

且由正方體可知，A.D=y/2AD=2>/2,EF=gAR=4i,AE=siAR?+BE?=后,

故梯形A。正的高/?=Q爐一一到2=乎，

故梯形AAFE的面積S=gx（VI+2&卜孚=",故B錯誤；

對于C,以。為原點，分別以。4,。。,。烏為x軸，），軸，z軸建空間直角坐標系,

則D(0,0,0),4(2,0,0),8(2,2,0),4(2,2,2),尸(0,2,1),A(0,0,2),

點P為側面AORA內的一個動點(含邊界)，故設尸(x,0,z),xW0,2],zw[0,2],

所以歿=(2-.%2,2-z),P尸=(f24-z),

所以?片產=_M2_X)+4+(2_Z)(|_Z)=(X_1)2+[Z—)+—<—,

\2)44

當H=1,Z=?|時，即尸(1詞時，等號成立，故C正確；

對于D,BD}=（-2-2,2）,若PF上,

貝I」PF?4]=2x—4+2—2z=0,甘Jx—z—I=0.

因為工e[0,2],ze[0,2],故當x=2時，z=1,此時P（2.0,l）,

當z=0時，工=1,此時2（1,0,0）,

故點尸的運動軌跡為從點（2,0』）到點（1,0,0）的一條線段，軌跡長度為J（2-l）2+0+|2=&,故D錯誤.

故選：AC

4.（2025?山東?模擬預測）（多選題）在校長為3的正四面體A8CO中，已知點M,N分別在線段44,。。上

運動（不含端點），則（）

A.M,N兩點距離的最小值為逆

2

B.直線CM與直線AN有可能平行

C.當2N最小時，以線段用N為直徑的球與正四面體的棱恰有6個公共點

D.當MN最小時，與垂直的平面截正四面體得到的截面為矩形

【答案】ACD

【難度】0.65

【知識點】棱錐的結構特征和分類、棱錐中截面的有關計算、直線與球、平面與球的位置關系

【分析】根據題意可把正四面體放入正方體中，易得當M,N分劃為48,C。的中點時，M,N兩點距離的最

小，最小值為正方體邊長，可判斷A正確；根據AN1平面=可確定直線CM與直線AN是異面直

線，可判斷B錯誤；MN最小時，以線段MN為宜徑的球與正四面體的各棱相切，所以恰有6個交點，可

判斷C止確；截面與止方體左右側面平行，然后可i止其是矩形，叫判斷D止確.

【詳解】根據題意可把正四面體放入正方體中，正四面體ABC。棱長為3,所以正方體邊長為逑,

2

MN分別在線段A氏CZ）上,

當M,N分別為股。的中點時‘兩點距離的最小'最小值為半，故A正確;

a/u平面ABC,AN1平面/WC=A,.,.宜.線CM與直線AN異面，故B錯誤;

當.最小時，％'分別為的中點，最小值為凈

所以以線段MN為宜徑的球球心為MN中點，也是正方體的中心位置,

設E,F,P,Q分別為BC,AD,BD,AC中點,

4/?

在正方體中，OE=OF=OP=OQ=±

4

故球與正四面體各棱相切，即與正四面體只有6個公共點，故C正確：

當MV最小時，M,N分別為ARC。的中點，此時MN與正方體左右側面垂直,

所以截面與正方體左右側面平行，設截面為H"K,

/.ABH平面HIJK,AI3u平面A3。，平面AMc平面平面HIJK=HK,

：.AB//HK,同理可證即〃K//〃，

同理可證印//K7,所以截面”〃K為平行四邊形，

又在正方體中A8_LCD,AB//HK,CD//KJ,所以“K_LK7,

即截面為矩形，故D正確；

故選:ACD.

5.（2025?陜西安康?模擬預測）（多選題）如圖，已知正方體4BCD-A優GR的外接球表面積為12元，點M

A.正方體A3CO-A4GR的棱切球（球與正方體的棱均相切）表面積為6兀

B."C//平面AMG

Q

C.在該正方體的8個頂點中任選4個構造一個三棱錐，則該三棱錐體積的最大值為微

D.平面AMG截正方體ABCD-AMR所得的截面的面積為26

【答案】BCD

【難度】0.4

【知識點】錐體體積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、判斷正方體的截面形狀、判斷線面平行

【分析】先由外接球的表面積計算正方體的棱長“，由面對角線為棱切球的直徑即可求得棱切球的半徑，，

進而得表面積，連接。/交AC”。，連接OM,即證。W//RC,由線面平行判斷定理即可判斷，求當底

面為正方體一個面的一半，高為棱長時，三棱錐的體積,再求當底面為正方體面對角線時，高為AG時，

三棱錐的體枳，比較體積最大即可判斷C,先求平面AMG截正方體ABC。-AB。。所得的截面即可求解.

【詳解】設正方體的棱長為。，由正方體的外接球的表面積為12%，所以5=4兀2=12兀，

解得R=G，又=3求=4x3=/=4=a=2,

對于A：設正方體ABC。-AACA的棱切球的半徑為

所以（2r）-=/+/=2,/=8=＞廠=上，所以棱切球的表面積為4+=8兀，故A借誤；

對干B：連接交AC；于。，連接0W,在正方體ABCO-ABCOI中，。為BR的中點，又M為線段BC

的中點，

所以又。《不在平面AM,內，QWu平面AMC，所以。￡//平面可必6，故B正確：

114

對于C：這樣的三棱錐有兩類：有3個頂點在正方體的一個面內，體積為gx：x2x2x2=1,

4?Q

三棱錐任意3個頂點不在正方體的同一面內，體積為23-4XM=],因此三棱錐的體積最大為C正確；

對rD：取AA的中點為N,連接AMNG,取B￡的中點為H,連接A”，MH,由A.N//C.H且4N=C、H,

所以四邊形4"GN平行四邊形，所以A〃〃GN,又且AA=MH,所以四邊形為平行

四邊形，

所以所以AM//NG，所以平面AMGN為平面AMG截正方體A8CO-AMGA所得的截面，

又正方體的棱長為2,所以AM=MG=GN=N4二石,所以四邊形AA/GN為菱形，

又AC、=2瓜MN=2叵,所以四邊形4MGN的面積為:x2gx2x/I=2G,故D正確，

故選：BCD.

重難點題型2空間幾何體的表面積

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1.12025?山東臨沂三模）一圓臺的上、下底面半徑分別為2、4,體積為辿7c,則該圓臺的側面積為（）

3

A.12兀B.18兀C.24nD.367c

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】圓臺表面積的有關計算、臺體體積的有關計算

【分析】利用圓臺體積公式可得其而為人即可知母線長，利用側面展開圖面積求出圓臺的側面積.

【詳解】根據題意可知，圓臺上底面面積為，=4%，下底面面積為1=16兀；

設圓臺的高為〃，由體積可得;4耳+52+/祠）=邛兀，

解得力=26，所以可得圓臺母線長為/=,42+（4.2）2=4,

根掂側面展開圖可得圓臺側面積為加（2+4）x4=24元.

故選:C

2.（2025?江西?模擬預測）任意一圓錐的表面積與其側面積之比的取值范圍為（）

A.B.C.d,2]D.0,2）

【答案】D

【難度】0.85

【知識點】圓錐表面積的有關計算

【分析】根據題意，設圓錐的底面圓半徑和母線長分別為「，I,求出表面積和側面積，列式運算得解.

【詳解】設某圓錐的底面圓半徑和母線長分別為八I，

則其表面積與其側面積之比為則*=1+y,

urlI

在直角三角形中，易得/>「，故其取值范圍為（1,2）.

故選：D.

3.（2025?黑龍江哈爾濱?三模）已知一個等腰梯形的下底邊長是上底邊長的3倍,兩腰與下底邊所成角為：，

面積為86.若該等腰梯形是一個圓臺的釉截面，則該圓臺的側面積為（）

A.16兀B.26兀C.16x/3nD.327r

【答案】A

【難度】0.65

【知識點】圓臺表面積的有關計算、圓臺的結構特征辨析

【分析】由題意得8C=3O4NB=NC=W.設等腰梯形48CD的上、下底邊長分別為小3%a>0,分

別過點D，A作0GJ_8C,AkJ_8C,垂足分別為點G,F,判斷四邊形4QGF為矩形，且AD=FG=a,再

根據腰與底邊的角度，求圓臺的側面積.

【詳解】如圖，由題意得=

設等腰梯形/仍CD的上、下底邊長分別為m3a,?>0,即AD=〃,BC=3a.

分別過點。，人作DG_LBC,A/_L8C,垂足分別為點G,F,

因為AQ〃Gf\則四邊形AOG/為矩形，MAD=FG=a,所以CG=GF=FB=a.

在R/.CDG中，DG=CGtan-=V3a,DC=""n=2a,

3cos-

則等腰梯形的面積S=g?(〃+3a).瓜=2扃2=g百，解得a=2,

則圓臺的上、下底面的半徑分別為r=1/'=3,母線長為/=4,

所以圓臺的側面積為兀/(r+/)=%x4x(l+3)=16兀.

故選：A.

4.(2025?河北邢臺?三模)在平面直角坐標系中，點4-1,1),8與A關于原點O對稱，現以工軸為折痕，將

x軸下方部分翻折，使其與上方部分構成直二面角，AB兩點相應變成A，4兩點，將△A。4繞直線人圈

旋轉一周得到一個旋轉體，則該旋轉體的內切球的表面積為()

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】球的表面積的有關計算、多面體與球體內切外接問題、余弦定理解三角形

【分析】先判斷的形狀，將其繞直線AA旋轉一周得到的旋轉體為兩個同底面且等高的圓錐組合體，

計算該旋轉體內切球的半徑「即可求解.

【詳解】由題可知8(1,-1),所以04=。8=右，由翻折的不變性可知0=0線=虛,翻折后的圖形如圖

所示，

設點A在x軸上的投影為石，易知AE_L平面E。片,

連接Eg,A&,所以瓦九點片在x軸上的投影為尸，

在乙￡7詞中，由勾股定理得￡B：="2+FB；=5,

所以在Rt'AEB]中，易得A&=8,

在△AO4中，由余弦定理得，\B[=A.O2+08；-2^0x013.cosZ^OB,,

K|J6=2+2-2x72x72cosZAjOB,.解得cos幺。4=一1,所以幺。4=120。.

所以AAO片是一個頂角為120。，腰長為&的等腰三角形，

將其繞直線A圈旋轉一周得到的旋轉體為兩個同底面且等高的圓錐組合體，

則在該軸截面中△04。和△OB0為邊長為及的等邊三角形，

則該旋轉體內切球的半徑「即為菱形OAG片內切圓的半徑，

由等面積法可得2S.a；=g-(QA-AG+Gg+B0)r,

2X-^X(>/2)2=—xV2x4xr,解得r=

424

因此該旋轉體內切球的表面積為4口2=牛.

故選：C.

5.(2025?陜西漢中?三模)如圖，洛棱長為2的正方體六個面的中心連線，可得到八面體E-4BC。-尸，則

該八面體的表面積為.

【答案】4x/3

【難度】0.65

【知識點】棱錐表面積的有關計算

【分析】八面體-/是由八個邊長為gx2&=夜的等邊三角形所組成的，結合等邊三角形的面

積公式即可求解.

【詳解】由題意八面體E-A8CD-尸是由八個邊長為白2&=夜的等邊三角形所組成的，

故所求為S=8x曰x（國=4技

故答案為：4G.

重難點題型3空間幾何體的體積

1.（2025?北京?模擬預測）如圖，正四棱臺八BCDABCR,上下底面的中心分別為和O,若

4C=2AC.=4>/2,側面與底面所成銳二面角的正切值為拉，則正四棱臺4BCD-AqCQ的體積為（）

「28卡D.嫗

3333

【答案】A

【難度】0.65

【知識點】臺體體積的有關計算、由二面角大小求線段長度或距離

【分析】在正四棱臺中利用定義找出側面與底面所成銳二面角，根據其正切值可計算樓臺的高，再利用棱

臺的體積公式即可求.

【詳解】取AC、4G的中點產、E,連接0或、EF、OF,

則由題意可知NEFO為側面與底面所成銳二面角，則ianNEFO=叵，

AC=2AG=4應，得A8=4,A4=2,

在直角梯形中，tanNEFO="=6,則。?=血，

2.（2025?湖北武漢?三模）如圖，加圖1的"方斗"古時候常作為一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一

3

個上大下小的正四棱臺，AB=IO,44=2,現往該方斗杯里加水，當水的高度是方斗杯高度的：時，水

4

的體積為84,則該方斗杯可盛水的總體積為（）

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】臺體體積的有關計算

【分析】根據已知條件結合臺體體積公式計算求解即可.

【詳解】設水面與樓臺的四條側棱分別相交于4，&，。2.。2,

過4作AE//B4交A8F點E,交A2B2于點E2,如卜圖所示:

易知四邊形AA罔B為等腰梯形，則四邊形為平行四邊形，

因為水面的高度是方斗杯高度的;，則與七=BE=A、B1=2,

4

33

4丘2=》七=30。-2)=6,因此44=8,

設棱臺的高為〃，設體積為匕

3

則棱臺A8CQ—A82c2鼻的高為；〃，設體枳為匕，

4

則匕=；X(22+82+2X8)?；/，=2M,V=；X(22+102+2X10)〃=彳/?.

124

所以上=』=些，由題意，匕=84，

乂21/z63

則該方斗杯可盛水的總體積為曠二12=4乂84=4哼96.

633

故選:B.

3.(2025?重慶?模擬預測)高為2的圓錐的側面展開圖是圓心角為120。的扇形，則此圓錐的體積為()

Z7t

A烏B.工C,三D.—

-6323

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】錐體體積的有關計算、弧長的有關計算

【分析】利用圓錐的底面圓的周長等于側面展開圖扇形的弧長，以及圓錐的高、底面圓的半徑、母線之間

的關系列出方程組求出底面半徑和弧長，利用圓錐的體積公式進行求解.

【詳解】設圓錐的底面圓的半徑為「，母線長為/,高為力，體積為V,側面展開圖扇形的圓心角為a,

則根據題意可知。=120。=與，A=2,

2nr=al2nr=^-x!.F)Q./O

所以，2，,2,即3,解得「二衛，/=包，

所以圓錐的體積為V=^xnr2/z=^x7txix2=^.

3323

故選：B.

4.（2025?福建莆田?模擬預測）在三棱柱ABC-A8c中，E為A8的中點，平面將三棱柱分成體枳為

V）,匕兩部分，則乂：％=（）

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】柱體體積的有關計算、錐體體積的有關計算、面面平行證明線線平行

【分析】根據割補法及棱臺、棱柱的體積公式即可求解.

【詳解】由題可知用，G，E,尸四點共面.

在三棱柱ABC-AgG中，團平面A8C〃平面A&G，平面8CFEC平面平面瓦C/Ec平面

A51cl=81cl,

團EF〃瓦G，^EF//BC.

圈上為A8的中點，囹尸為AC的中點.

延長AA至點4使AA=，延長瓦8至點B2使B[B=BB],延長G。至點C2使C）C=CC2,連接A-,B2,A,C,,

BG，得到三棱柱AgG-A?星C.延長C,F.

在三棱柱482c2中，（3E，尸分另|J為/W，AC的中點，1?避E,G尸相交于點A?,0多面體AE產一AgG

為三棱臺.

設三棱柱ABC-ABG的高為人上下底面面積均為S,體積為V,則丫=乂+%=助.

田石，戶分別為A2,AC的中點，OSAAFF=!S.

4

根據棱臺的體積公式可知K=!EFG=Us+；s+JTp]/?qs/7,K=v-V\=sh-，h4sh,團

J1?1'）'J1414

K：％=7:5.

故選：D

5.12025?北京大興?三模）《九章算術》是我國古代的一部數學名著，書中記載了一類名為“羨除〃的五面體.如

圖，在羨除ABCDEF中，底面人BC。是正方形，石"例平面ABC/）,EF=2,其余棱長都為1,則這個幾何

體的體積為（）

A.2x/2B.◎C.孚D.與

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】錐體體積的有關計算、求組合體的體積

（分析]連接ACBD交于點M,取石尸的中點為O,則。M_L平面ABCDMBC的中點為G，連接柘,則

FGLBC,過。作ONJLR7,則OV_L平面BCF，進而求解體積.

【詳解】連接ACBD交「點M，取EF的中點為。，則OM1平面ABCD,

由即=2,其余棱長都為1,所以。必=也

2

取BC的中點為G,連接"G,則/G_L8C,過。作ON_L尸G,

則。N_L平面3b,如圖所示，由題意可知，FG瀉，則FN瀉q瀉,

所以。G=J。產「一EV?=",

mWv4x,x,xT+24xTxl2xf=T-

故選：D

6.（202S?陜西延安?模擬預測）已知正四棱臺ABC。-AqCR中，側棱與底面所成的角為45，

A4=2A3=2血，則該四棱臺的體積為.

【答案】y14/412

【難度】0.85

【知識點】臺體體積的有關計算

【分析】首先求楂臺的高，再代入體積公式，即可求解.

【詳解】由條件可知，上下底面對角線長為2和4,因為側棱與底面所成角為45，

所以高為一=1，則四棱臺的體積V=；X1X（2+8+V^K）=*

14

故答案為：—

7.（24-25高一下?北京豐臺?期中）如圖，一個直三棱柱容器中盛有水，側棱照=3.若側面A4因B水平放

置時，水面恰好過AC6cAG，與G的三等分點（靠近C和G），此時容器中的水形成的兒何體為_（填”校

柱''或〃棱臺"）.當底面4BC水平放置時，水面高為

【難度】0.85

【知識點】棱柱的結構特征和分類、柱體體積的有關計算

【分析】根據棱柱的定義判斷容器中的水形成的幾何體為棱柱；不同放置方式水的體積相等，結合柱體的

體積公式求解即可.

【詳解】當側面明48水平放置時，由于水面恰好過4cBeAC，的三等分點,

此時平面〃平面A&G。，其余各面都是平行四邊形,

旦每相鄰四邊形的公共邊互相平行，所以容器中的水形成的幾何體為棱柱；

設當底面A3C水平放置時，液面高度為〃，

依題意，側面A〃耳A水平放置時，液面恰好過4C8C,AC，4C的三等分點處，

CE1

=—,

CA3

（1\Q

所以水的體積V=3S"EF=Sxec-Q5ABCx3=5ABcxh,解得h=工.

故答案為：棱柱；I

J

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重難點題型4直觀圖

1.（2025?四川成都?模擬預測）用斜二測畫法畫出的水平放置的平面圖形△O