北師大版八年級數學上冊：第1課時 分層練習

北師大版數學八年級上冊7.1第1課時分層練習

一、基礎夯實

1.下列說法正確的是（）

A.經驗、觀察或實驗完全可以判斷一個數學結論的正確與否

B.推理是科學家的事，與我們沒有多大關系

C.對于自然數n,M+n+37一定是質數

D.有10個蘋果，將它們放進9個筐中，則至少有一個筐中的蘋果不少于2個

2.布魯斯先生、他的妹妹、他的兒子，還有他的女兒都是網球選手.這四人中有以下情況：①最佳

選手的李生同胞與最差選手性別不同：②最佳選手與最差選手年齡相同.則這四人中最佳選手是

（）

A.布魯斯先生B.布魯斯先生的妹妹

C.布魯斯先生的兒子D.布魯斯先生的女兒

3.圖中小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連接表示它們有網線相連，相連標注的數字表示該段網

線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，若信息可以分開沿不同路線同

時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量為（）

4.世界杯足球賽小組賽，每個小組4個隊進行單循環比賽，每場比賽勝隊得3分，敗隊得。分，平

局時兩隊各得I分，小組賽完以后，總積分最高的兩個隊出線進入下輪比賽，如果總積分相同，還

要按凈勝球排序，一個隊要保證出線，這個隊至少要積（）

A.6分B.7分C.8分D.9分

5.能說明“M+3n+l一定是質數”不正確的反例是（）

A.n=4B.n=5C.n=6D.n=7

6.小明中午放學回家自己煮面條吃，有下面幾道工序：（1）洗鍋盛水2分鐘；（2）洗菜3分鐘；

（3）準備面條及佐料2分鐘；14）用鍋把水燒開7分鐘；（5）用燒開的水煮面條和菜要3分鐘.以

上各工序除（4）外，一次只能進行一道工序，小明要將面條煮好，最少用（）

A.14分鐘B.13分鐘C.12分鐘D.11分鐘

7.小明發現：當n=l,2,3H7,n2-6n的值都是負數.于是小明猜想：當n為任意正整數時，j一

6n的值都是負數.小明的猜想正確嗎？請簡要說明你的理由.

二、能力提升

8.當n=l時，代數式fn2—5n+5）2=］；當n=2時，-5n+5）?=；'與n=3

22=

H寸，（M—5n+5）2=：當n=4時，fn—5n4-59.因此，小明推斷，不

論n取任何正整數，*-5n+5）?的值都是,這個推斷是的.（填“正確”或

“錯誤”）

9.好久未見的A,B,C,D,E五位同學歡聚一堂，他們一見面便相互握手一次，中途統計各位同

學握手次數：A同學握手4次，B同學握手3次，C同學握手2次，D同學握手1次，請你推斷一

下，E同學握手次.

10.觀察下列各式:

22-02=4x1

42-22=4x3

62—42=4x5

82—62=4x7

（1）根據你發現的規律寫出第n（n為正整數）個等式：；

（2）如果一個正整數能表示成連續的兩個偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數

在一5,28,2016,2018這四個數中，是“神秘數”的有.

11.由塞的乘方的性質，得（ab）2=a2b2,類比這個等式，能得到（a+b）2=a?+b2也成立嗎？

三、拓展培優

12.如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“奇巧數”，如12=42—

22,20=62—42,28=82-62,…，因此12,20,28都是奇巧數.

（1）36,50是奇巧數嗎？為什么？

（2）設兩個連續偶數為2n,2n+2（其中n為正整數），由這兩個連續偶數構造的奇巧數是4的

倍數嗎？為什么？

答案解析部分

1.【答案】D

【知識點】質數與合數；定義、命題、定理、推論的概念

【解析】【解答】解：A.經驗、觀察或實驗完全不能夠完全判斷一個數學結論的正確與否，還要有嚴

格的邏輯證明，故此項錯誤；

B.生活中也有推理的存在，故此項錯誤；

C.當n=37時，n2+n+37=372+37-37=1443,它不是質數，故此項錯誤；

D.有10個蘋果，將它放進9個筐中，則至少有一個筐中的蘋果不少于2個，此項正確，

故選：D.

【分析】根據推理、證明的作用即可作出判斷.

2.【答案】D

【知識點】推理與論證

【解析】【解答】解：由①和②可知，最佳選手的學生同胞與最差選手不是同一個人，因此一定是

其中的三個人的年齡相同，布魯斯先生很顯然比他的兒子和女兒大，則其中年齡相同的三個人是布

魯斯先生的兒子、女兒和妹妹，由此，布魯斯先生的兒子和女兒必定是①中所指的李生同胞，所以

布魯斯先生的兒子或女兒是最佳選手，最差選手是布魯斯先生的妹妹.由①知，最佳選手的攣生同胞

一定是布魯斯先生的兒子，則最佳選手就是布魯斯先生的女兒.

故選：D.

【分析】根據題意，可以判斷出其中的三個人年齡相同，再根據實際可知其中年齡相同的三個人是

布魯斯先生的兒子、女兒和妹妹，從而可以得到最差選手和最佳選手，本題得以解決.

3.【答案】C

【知識點】推理與論證

【解析】【解答】解：由于信息可以分開沿不同路線同時傳遞，

???從結點A向結點B傳遞信息可經過結點D和結點B；

又???從結點A到結點D的最大信息量為5,從結點到結點B的最大信息量為3,

???從結點A向結點B傳遞信息，若信息可以分開沿不同路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信

息量為5+3=8.

故選：C.

【分析】先找出從結點A向結點B傳遞信息可沿A-C-B和A-D-B路線同時傳遞，再找出每條路線

通過的最大信息量，然后相加即可得到答案.

4.【答案】B

【知識點】推理與論證

【蟀析】【解答】解：4個隊單循環比賽共比賽4x3：2=6場，每場比賽后兩隊得分之和或為2分（即

打平），或為3分（有勝負），所以6場后各隊的得分之和不超過18分，

①若一個隊得7分，剩下的3個隊得分之和不超過11分，不可能有兩個隊得分之和大于或等于7

分，所以這個隊必定出線，

②如果一個隊得6分，則有可能還有兩個隊均得6分，而凈勝球比該隊多，該隊仍不能出線.

應選B.

【分析】易得小組賽的總場數為小組數x（小組數?1）-2,可得4個隊的總積分，進而分類討論小

組得6分或7分能否出線即可.

5.【答案】C

【知識點】舉反例判斷命題真假；猜想與證明

【解析】【解答】解：A.n=4,n2+3n+l=16+12+l=29,故本選項錯誤；

B.n=5?n2+3n+1=25+15+1=41,故本選項錯誤;

C.n=6,n2+3n+l=36+18+l=55,故本選項正確;

D.n=7,n2+3n+1=49+21+1=71,故本選項錯誤；

故答案為：D.

【分析】將各選項中的n值代入表達式M+3n+l,計算結果并判斷是否為質數，若結果不是質數則為

反例.

6.【答案】C

【知識點】生活中的簡單運算推理

【解析】【解答】解：第一步，洗鍋盛水花2分鐘；

第二步，用鍋把水燒開7分鐘，同時洗菜3分鐘，準備面條及佐料?2分鐘，總計7分鐘；

第三步，用燒開的水煮面條和菜要3分鐘；

總計共用：2+7+3=12（分鐘），

故選：C.

【分析】本題考查時間統籌的優化思想，解題的核心是找出可同時進行的工序以縮短總時間。首

先，洗鍋盛水是前置工序，必紀單獨進行，耗時2分鐘；接著用鍋燒開水的7分鐘內，無需持續操

作，可同步進行洗菜（3分鐘）和準備面條及佐料（2分鐘）.這兩道工序總耗時5分鐘，小于燒開

水的時間，不會影響后續步驟；最后用燒開的水煮面條和菜需3分鐘，且必須在水燒開后進行。將

這三個關鍵步驟的時間相加，即為煮好面條的最少時間。

7.【答案】解：小明的猜想不正確.

理由如下：

舉反例，如當n=7時,n2—6n=7>0

【知識點】猜想與證明

【解析】【分析】因為n2?6n=n(n-6),所以只要叱6時，該式子的值都表示非負數.

8.【答案】1；1：1；1；錯誤

【知識點】有理數混合運算的實際應用

【解析】【解答】解：將n=l代入(n2-5n+5)2中,得(12_5xi+5)M,

故n=l時，(M?5n+5)2=1成立;

將n=2RA(n2-5n+5)2中，^(n2-5n+5)2=l,

故n=2時，(n2-5n+5)2=l成立；

22

將n=3彳弋入(X-5n+5)2中,W(n-5n+5)=l,

故n=3時，(n2-5n+5)2=l成立

將n=4代入(*511+5)2中，得(幽1)+5)2=1,

故當n=4時，(n2-5n+5)2=l成立；

由于當n=5時，(n2-5n+5)2=25*,

故不能得到結論：對于所有的正整數n,代數式(M-5n+5)2的值恒等于1.

故答案為：1,1,1,1,錯誤.

【分析】結合題意，看能否找出反例，若能找出反例，則說明結論不成立：若不能找出反例，再結

合所學知識對結論作出嚴密的證明后，才能說明結論成立，本題，結合題意可知當n=5時，(M-

5葉5)2,1,據此即可解答此題.

9.【答案】2

【知識點】邏輯推理

【解析】【解答】解：??,共有5個人，A同學握手4次，

???A與B,C,D,E每人握手一次.

???D同學握手1次，

???B,C一定不與D握手.

握手3次，D握手1次，

.??B握手3次一定是與A,C,E握手.

???C握于2次,

，C是與A和B握手，

.??E一共握手2次，是與A和B握手.

故答案為：2.

【分析】根據握手次數進行推導是解題的關鍵，共有5個人.A同學握手4次，則A與B、C、D、

E每人握手一次，則B、C握手一定不是與D握手，依此類推即可確定.

10.【答案】(1)(2n)2-(2n-2)2=4(2n-l)

(2)28

【解析】【解答】解：⑴根據題意得:第n(n為正整數)個等式為(2n)2-(2n-2)2=4(2n?l)；

故答案為：(2n)2-(2n-2)2=4(2n-l).

(2)根據“神秘數”