2026年高考數學一輪復習：重難突破（二十）圓錐曲線之焦點三角形（四類重難點題型專練）學生版+解析

重難專攻（二十）圓錐曲線之焦點三角形

目錄?重難點題型分布

重難點題型四、以焦點三角形與其它知識綜合為情景命題

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ZHINENQJIANCE

重難點題型1以焦點三角形的周長為情景命題

r2V23

1.（2025?西藏南木林縣第一中學高三月考）若橢圓5+4=1（其中a>6>0）的離心率為二，兩焦點

a-b-5

分別為大，心洶為橢圓上一點，且的周長為16,則橢圓。的方程為（）

A.cD,二+J

B.看4=1小小

*2516

2.（2。24?遼寧大連?統考二模）設橢圓+/=1的左焦點為?直線/：y=H（左w0）與橢圓C交于45

兩點，則△，所周長的取值范圍是（）

A.(2,4)B.(6,4+2VJ)C.(6,8)D.(8,12)

3.（2024?山東青島?統考三模）已知。為坐標原點,雙曲線C0-4.=l（a>（）力>（））的左，石焦點分別為

ab'

22

F、，F”過C的右焦點鳥且傾斜角為?的直線交C右支于44兩點，48中點為此，\F2lV\=yla+b,

△耳48的周長等于12,則（）

A.。=3B.雙曲線。的漸近線方程為y=

C.\AB\=9D.\OW\=46

4.（24-25高二上?陜西西安）已知點與鳥分別為橢圓U《+仁=1的左、右焦點，過點片作工軸的垂線交

43

橢圜C于M,N兩點，O1,Q,O3分別為的內切圓圓心，則△0003的周長是（）

A.@+1B.75+1C.V5+2D.V5-2

2

X2u2

5.（24-25高三上?江蘇南京?期中）已知橢圓。:戶+臺=1（。＞人＞0）的左、右焦點分別為片、F1,離心率

為手，過上頂點“和右焦點5的直線與橢圓。的另一個交點為A,且△月力8的面枳為3右，則^耳/出的周

長為（）

A.4B.4拒C.4A/3D.476

6.（2025?廣東深圳?一模）已知雙曲線C:x、/=1,左、右焦點分別為￡、F）,過g作傾斜角為60。的直線

與雙曲線。交于”,N兩點，則△△仆打的周長為.

7.（2025?安徽馬鞍山?模擬預測）已知雙曲線「1-[=1（。＞0,"0）的一條漸近線與圓。：m2+『=/

交干4c兩點，設圓。在4c兩點處的切線與工軸分別交于優Z）兩點、若雙曲線「的焦距為則四邊形

/8CO周長的最大值為.

8.（2025?廣西南寧）定義：橢圓上一點與兩焦點構成的.三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓

22

。:二+與=1（。〉匕〉0）的焦距為4"，焦點三角形的周長為46+12,則橢圓C的方程是

a~b-

重難點題型2以焦點三角形的面積為情景命題

1.（2025海南海口?模擬預測）已知耳、鳥是橢圓無工+匕.=1的左右焦點，點尸（4,匕）為￡上一動點,

32

且|A-0|＜I,若/為△然鳥的內心，則△自鳥面積的取值范圍是（）

A?惇用B.［應閩c.D.［后一加,3一伺

2.（2024?四川宜賓?統考三模）已知雙曲線￡-仁

=1的左右焦點分別為片,鳥，以它的一個焦點為圓心，半

a~3

徑為。的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于4〃兩點，則四邊形片力的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

3.（多選題）已知橢圓￡+￡=1的離心率為;，48為橢圓的左、右頂點，々，乃為橢圓的左、右焦點，P

a'b’~

是橢圓上異于4〃的任意一點，過弓作直線4P的垂線，垂足為M,直線尼股交40于點N,交橢圓于此"

兩點，的面積最大值為12,則（）

A.。=4

B.若以。力）,則歸。|+歸周的最大值為8+46

C.N在圓上運動

112

D?網+網=5

2

5.（2025?陜西西安?模擬預測）已知雙曲線C：q~-V=l的左、右焦點為片，鳥，直線N=x+〃?與。交于

A,8兩點，若△石力3的面積是△巴力8面積的2倍，則〃?=（）

A22一D.-6或二

B.§或6C.-6

33

6.（24-25高三上?云南）已知雙曲線二一與=1（。＞0,/）＞0）的左、右焦點分別為外F經過寫作雙曲線一

條漸近線的垂線，垂足為〃，若乙七奶的面積為2/,則雙曲線的離心率為（）

A.V5B.75c.2D.5/2

力2。25?遼寧?二模）已知橢圓C「+》叱…）的左、右焦點分別為片，匕上頂點為A,直線北

與C交于另一點4,若4AOF、與＞BOF2（。為原點）的面積之比為4:3,則C的離心率為（）

A1B幣c舊D百

A.1B.C.U.

3753

8.（24-25高三上?江蘇揚州?期末）根據物理知識橢圓有如下光學性質：從一個焦點發出的光線將匯聚到另

一個焦點處.己知橢圓C：/=1,0乃分別是橢圓C的左、右焦點，點P是橢圓C上的任意一點，根據

研究，我們知道直線尸￡、直線刊片與在P點處的切線/所成的角相等.過G作直線近足為〃，則

c.V5D.272

重難點題型3以焦點弦為情景命題

1.（2024?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考模擬預測）橢圓過原點O斜率為6的直線與橢圓交

于C,D,若|CQ|=4,則橢圓的標準方程為（）

），22

A..—X~+—y~=.1Bc.—r+—y~=1,

7473

C.巨+仁=1D.J空=1

7677

2.（2025湖南永州?校聯考二模）已知橢圓C:二+己=1的左焦點為尸，過點尸作斜率為1的直線交橢圓C

434

于，4,8兩點，則48的長度為（）

,.232527

A.3B.—C.—D.—

777

3.（2025?全國?模擬預測）已知橢圓。:「+與=1（"人＞0）的右焦點為E過點廠且斜率為1的直線/交C

a'b~

于4,8兩點，若|月6|=%則C的離心率為（）

A.正B."C.2D.近

3324

4.（2024?陜西銅川?一模）古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的

長半軸長和短半軸長乘積的兀倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓。的面枳為12石冗，離心率為:,

R,5是橢圓C的兩個焦點，A為橢圓C上的動點，則下列結論正確的是（）

①㈱圓。的標準方程可以為6+4=1②若/6力居=g,則S/dA=20x/5

Jo2U3

③存在點A，使得④諭］+向的最小值為：十4

A.①③B.②④C.②③D.①④

2

5.（2024?四川?模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為片與，過片的直線與。的兩條漸近

線分別交于44兩點.若△。44為直角三角形，則￡.=（）

A.上B.偵C.速D.也

422

6.（2024?山東青島?三模）已知0為坐標原點，雙曲線C：二力＞0）的左，右焦點分別為片,

crD

用，過C的右焦點￡且傾斜角為弓的直線交。右支于力，B兩點,中點為印,區啊=，/+/,△”48

的周長等于12,則（）

A.4=3B.雙曲線C的漸近線方程為歹=±JL-

C.|力卻=9D.|0叼=血

7.已知過拋物線C/=2pMp>0）的焦點廠的直線/交。于44兩點，。為坐標原點，點P（〃八2）為C

95

上一點，記△。力尸心。8尸的面積分別為邑，若|尸用=2,則I"尸卜（4+不工）的最小值為（）

A.16B.20C.25D.28

重難點題型4以焦點三角形與其它知識綜合為情景命題

1.（2024?湖南郴州?安仁縣第一中學校考模擬預測）弓琴，是弓琴彈撥弦鳴樂器（如下左圖）.歷史悠久，形

制原始，它脫胎于占代的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國彈弦樂器的始祖.占代有“后羿射十口”的神話，

說明上古生民對善射者的尊崇，樂弓自然是弓箭發明的延伸.古代傳說將“琴”的創始歸于伏羲，也正由于他

是以漁獵為生的部落氏族首領.在我國古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續竹，飛土逐肉〃.常用于民

歌或舞蹈伴奏.流行于臺灣原住民中的布農、鄒等民族聚居地區.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的

琴腔，其正視圖即為一橢圓面，它有多條弦，撥動琴弦，發音柔弱，音色比較動聽，現有某專業樂器研

究人員對它做出改進，安裝了七根弦，發現聲音強勁悅耳.如下右圖，是?弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對

稱建立如圖所示坐標系，尺（-。，0）恰為左焦點，外，=123,4,5,6,7）均勻對稱分布在上半個橢圓孤上（［在44

上的投影把線段力B八等分）,」可為琴弦,記q=留用6=1,2,3,4等分7）,數列｛4｝前〃項和為，，橢圓

2.（2025?湖南長沙?雅禮中學校考一模）（多選題）如圖，已知雙曲線：工2-21=1的左右焦點分別為6,

4

入，以6鳥為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點&連接8片，BF-8月與雙曲線左支交于點尸，與漸近

A.\PM\=\BN\

B.SAFER=2

C.過用的雙曲線的弦的長度的最小值為8

4

D.點8到兩條漸近線的距離的積為《

3.（多選題）如圖，類似“心形”的曲線E,可以看成由上部分曲線G：y=^-x2+2\x\,下部分曲線G：

[+>=1（），40）構成，過曲線C的焦點口。,-1）的直線/與曲線Q交于N兩點，"（"）是"心形〃曲線

a~b~

E上的動點，下列說法正確的是（）

B./+（y_1）2的最大值為1+石

c.直線y=與曲線E有4個交點，則〃?的取值范圍為

D.AOW面積的最大值為石

4.（2024.云南大理?一模）（多選題）法國數學家加斯帕爾?蒙日被稱為“畫法兒何創始人〃“微分兒何之父〃.他

發現與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙

R圓.若橢圓r：=1的蒙日圓為圓C,過c上的動點M作『的兩條互相垂直的切線，分別與C交于

R2兩點，直線產。交「于48兩點，則（）

A.橢圓「的蒙日圓方程為/+丁=7

B.AMP。面積的最大值為7

C.|力用的最小值為26

D.若動點。在「上，將直線。4。8的斜率分別記為匕,〃2,則上內二

5.（2025?山西晉中?模擬預測）把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱".如圖，A'B',43分別

是橢圓柱的上、下底面橢圓的長軸，AB=AA,=4,且底面橢圓的離心率為斗鳥分別為下底面橢

圓的左、右焦點，"為母線"7上的動點，。為線段上的動點，8為過點片的下底面橢圓的一條動弦

（不與長軸重合），則三棱錐0-PC。體積的最大值為

重難專攻（二十）圓錐曲線之焦點三角形

目錄?重難點題型分布

衡能檢惻4

ZHINENOJIANCE

重難點題型1以焦點三角形的周長為情景命題

22

1.（2025?西藏南木林縣第一中學高三月考）若橢圓Jr+4v=l（其中蘇>6>0）的離心率為3二，兩焦點

/b25

分別為片，&"為橢圓上一點，且的周長為16,則橢園。的方程為（）

->>>2，,>2

.x-V-.xv'_x~y.八廠Vi

A.—+—=1Bn.—+—=1Cn.—+—=1D.—+—=1

16252599252516

【答案】D

【解析】橢圓￡+《=1（其中蘇>式>0）的兩焦點分別為小3M為橢圓上一點，且的周長為

a~b-

—V23c3

16,可得2寸2G16,橢圓。+—=1（其中的離心率為一，可得一=一,解得于5,c=3,則

a2b15a5

b=4,所以橢圓C的方程為：-4-^=1.故選D.

2516

2.（2024?遼寧大連?統考二模）設橢圓C：E+/=i的左焦點為/，直線/:?=h（々工0）與橢圓。交于48

兩點，則△力周長的取值范圍是（）

A.(2,4)B.k,4+26)C.(6,8)D.(8,12)

【答案】C

【分析】根據給定條件，結合橢圓的對稱性、橢圓的定義，求出弦長的范圍即可.

【詳解】令橢圓。:二+V=i的右焦點為尸，長半軸長。=2,直線/：丁=履/工0)過橢圓中心，因此

4

15尸|=|4尸

,

則A4F8周長M尸|+|8尸|+|”|=|AF\+\AF\+\AB\=2a+\AB^^\AB\t

kN由C=4得葉因此|環附.2|x|=4^^=4^l^e(2,4)，

所以△/尸8周長的取值范圍是(6,8).

故選：C

22

3.(2024?山東青島?統考三模)已知。為坐標原點，雙曲線C：￡—?=的左，右焦點分別為

22

￡,乙，過。的右焦點后且傾斜角為。的直線交C右支于4,8兩點，48中點為人\F2lV\=y]a+b,

△的周長等于12,則()

A.。=3B.雙曲線C的漸近線方程為)，=±缶

C.|48|=9D.|0叼=6

【答案】D

【分析】運用韋達定理、弦長公式、雙曲線定義及兩點間距離公式可求得。、〃的值，進而代入計算判斷各

個選項即可.

【詳解】如圖所示，

由題意知，月(-c,0),8(c,0),其中c=J/+b2,

設直線AB方程為y=G(x-c)，

卜=G(x-c)

聯立J=>(b2-3a2)x2+6a2ex-3a2c2-a2b2=0,

設，4（陽,必），8（七,必），

6a1c

則再+x2=商二記，V2=3a2-b2

%2-3/H0

IA>°=3//

則?

X1+x2>0

X|X2>0

所以|AB\="+爐x吊』+士）2-4再々=2,（言與了一4x，邪二,=①，

由雙曲線定義知,\AFx\-\AF2^BFx\-\BF2]^2at

所以的周長為

|力耳|+14瑪|+|%|+|5瑪|=21典|+2a+2|8瑪|+2。=2(|48|+15工|)+4a=21431+4〃=12,

所以|砌=6-2。②,

由①②得：/一3〃2+出/+〃=0③,

又因為力為力8的中點,

所以為?=土乜?=當二C

yw=>5(xw-c)=

'23a1-b15a-b

所以陽宮，，百牛），

3a2-b~3cr-b-

所以.4岳一日瞿%=1=即,解得-6④,

由③④可得：。="1,

所以雙曲線方程為,，-必=1

所以雙曲線漸近線方程為J，=±x,故A項錯誤、B項錯誤;

對于C項，|48|=6-2。=4,故C項錯誤；

對于D項，因為1=/>=1,所以。=行，

所以陽乎,當），

所以IOW|=J（竽）2+（當）2=〃，故D項正確.

故選：D.

4.（24-25高二上?陜西西安）已知點片,乃分別為橢圓C:--------h------=1的左、右焦點，過點片作工軸的垂線交

43

橢圓。于兩點，。”。2，。3分別為AMG6,的內切圓圓心，則A。。2a的周長是（）

A.正+1B.#+1C.V5+2D.75-2

2

【答案】A

【難度】0.65

【知識點】橢圓中焦點三角形的周長問題、橢圓定義及辨析、橢圓中焦點三角形的面枳問題、橢圓中三角

形（四邊形）的面積

【分析】由題意，根據橢圓及乙，4NF\F?△5A/N的位置關系，利用等面積法可分別求得它們的內

切圓圓心位置及其半徑，分別計算出△QQQ的各邊長度可得結果.

【詳解】由題意可得/=4,〃=3,。2=|,

所以耳（7,0）,|耳旦|二2,

此時過片作垂直于x軸的直線為x=-l,

33

所以〃（一1，5）,7V（-1,--）,

因為鳥，石的內切圓的半徑相等，月」班|=|西|,

△Mg,△8月乙的內切圓圓心Q,Q的連線垂直于x軸，垂足為。,

設△」回入內切圓的半徑為J

在瑪中，可得夕|A*|十|A/+|65|）"=孑耳瑪|?|町1,

易知|,W；|+|MEI=2a=4,

33

乂M（—1,卞，所以|%|二5，

所以;（4+2）u=gx2xm，解得，?=（，

在△5MN中，因為耳瑪為乙取N的角平分線，

所以Q-定在x軸上,

令圓q半徑為A,

在△gA/N中，可得；（"|+|八5|+也\|）.〃=；|桃|.|皿|,

易知|MKI+|MJ+|MN|=|g|+|A^|+|N￡|+|A%|=4a=8,

所以!x8xA=!x2x3,解得R=。，

224

311

所以IQ0l=iq￡l-l0E=R-r=（-5=W，

所以|。冏=4。3。『+|。。||2="；）2+（3=冬

則△OQO的周長為2、4+；+：=亭+1.

故選：A.

5.（24-25高三上?江蘇南京?期中）已知橢圓C：與+方=1（。＞人＞0）的左、右焦點分別為片、K,離心率

a~b

為正，過上頂點4和右焦點6的直線與橢圓。的另一個交點為A,且的面積為3及，則△大力8的周

3

長為（）

A.4B.45/2C.4百D.4瓜

【答案】D

【難度】0.65

【知識點】橢圓中焦點三角形的周長問題、橢圓中三角形（四邊形）的面積

【分析】由題意可得出°=&，b=?，將直線力5的方程與椎圓方程聯立，求出點A的坐標，根據

的面積為3及，求出。的值，可得出。的值，再利用橢圓的定義可得出的周長.

【詳解】如下圖所示:

所以，橢圓的方程為￡+C；=]，

3c2c

易知點8（0,岳）、尼（c,0）,%=痣=_&,

所以，直線明的方程為y=+岳，

3c

x=一

x=02但，烏

聯立或-，即點4—,

y=41c^62

y=-----c

2

所以，5八仍=3|尸閭?缶+￥。=?2"手°=￥^2=3>/1,解得c=&,

所以，a=y[ic=y/6?

則△力姐的周長為|力用+|/用+忸用+忸用=4a=4#,

故選：D.

6.（2025?廣東深圳?一模）已知雙曲線。：/-/=】，左、右焦點分別為片、居，過鳥作傾斜角為60。的直線

與雙曲線C交于M,N兩點，則耳的周長為.

【答案】12

【難度】0.65

【知識點】利用定義解決雙曲線中焦點三角形問題、求雙曲線中的弦長、根據直線與雙曲線的位置關系求

參數或范圍

【分析】由應,0）,國（&0）,可得MV為y=lanW（x-&）=G（x-亞），代入雙曲線方程中，利用弦

長公式求出|48|,再由雙曲線的定義即可求解周長.

【詳解】因為片(-五,0),鳥(&,0),

所以直線/WN為)，=tang(x-&)=75a-0),

設Ji),%G,%),

X2_2=]

由《次r，得2--6&工+7=0，

7=V3(X-V2)

7

則為+X2=3&,中2=5，

所以IMVkJTT5?J(耳+勺)2_4芭4=2718-14=4,

因為|町|=|峭|+2,|附=|附+2,

所以|M用+pV￡|=|MR|+|NE|+4=|MN|+4=8,

所以I"用i|N片|“MAZ|=12

故答案為：12

7.（2025?安徽馬鞍山?模擬預測）已知雙曲線/：；-^=1（。>01>0）的一條漸近線與圓。/+/=/

ab“

交干4C兩點，設圓。在4C兩點處的切線與x軸分別交于民。兩點、若雙曲線「的焦距為G，則四邊形

4BCO周長的最大值為.

【答案】4

【難度】0.65

【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、已知方程求雙曲線的漸近線

【分析】根據相切以及勾股定理，結合對稱性可得周長的表達為2（〃+百FF）,即可里利用向顯數最積

的性質求解.

【詳解】由題意可知漸近線方程為y=±2x,tanNAO8=2,O4=%

故tan/AOB=?二/故AB=b,

aOA

又AC=2dBe=dAC2+AB?="/+〃,

由于焦距為百，故2c=G，則/=/+川=；,

由對稱性可知四邊形d8CO為平行四邊形，故周長為

2（力+j4/+/）2）=2（6+,412_町+〃2）=2（〃+一時=2（6+小Jl-h，）,

設而=（1,6）,斤=卜,由瓦萬引利司可得b+JJJ1方\2"2+1-但=2,當且僅當彳=4^,即

時等號成立，

故29+技/「44,

故最小值為4

8.（2025?廣西南寧）定義：橢圓上一點與兩焦點構成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓

。:，+彳=1（〃〉6>0）的焦距為4石，焦點三角形的周長為4逐+12,則橢圓C的方程是

【答案】雜器=1

【解析】設橢圓的半焦距為c,由題意得，｛金常屏12n｛管生所以6=4,故橢圓C的方程是

=1.

重難點題型2以焦點三角形的面積為情景命題

-?Mi

1.（2025海南海口?模擬預測）已知耳、鳥是橢圓從J+[=l的左右焦點，點尸（x0,y。）為E上一動點,

且|x0|<l,若/為△夕石鳥的內心，則△俏鳥面積的取值范圍是（）

-3->/3

[立網—

B.C.D.^A/6->/2,3

372

【答案】C

【分析】由等面積法求出內切圓的半徑的表達式，代入三角形的面枳公式，可得所求的三角形的面積.

【詳解】由橢圓的方程可得a=G，力=J2，c=\,

設內切圓的半徑為，則Sm,M=；x2c?|%|=；（2a+2e）-r,

[”熱=亨|刈

而9+4=1，所以|川=0?何，

所以「=約區.，

所以S5；-23g2x與與舊=學.后,

因為闖41，

2.（2024?四川宜賓?統考三模）已知雙曲線二一片=1的左右焦點分別為斗心，以它的一個焦點為圓心，半

a3

徑為。的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于4〃兩點，則四邊形片力用8的面積為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】根據漸近線方程及焦點到漸近線的距離等結合雙曲線中。、b、c的關系可求得。、。的值,

進而求得切點A的坐標,即可求四邊形￡力￡8的面積.

【詳解】因為雙曲線，-1=1的左右焦點分別為E（-c,0）,鳥（c,0）

雙曲線的漸近線方程為y=±3x,即其中一條漸近線方程為Gx-ap=0

a

以它的?個焦點為圓心，半徑為。的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線分別切于A,B兩點

根據焦點到漸近線的距離及雙曲線中。、b、c的關系

可得.熱“

c2=a2+3

所以解得。=百,。=指，

進而可求得切點

則四邊形中月8的面積為與什=2Sw「2xgx2指x*=6

故選D

【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質以及圓與雙曲線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力，屬

于中檔題.

3.（（多選題）已知橢圓￡+E=i的離心率為：，44為橢圓的左、右頂點，耳鳥為橢圓的左、右焦點,

a~b~2

戶是橢圓上異于44的任意一點，過用作直線力P的垂線，垂足為“，直線鳥M交于點N,交橢圓于E/

兩點，的面積最大值為12,則（）

A.a=4

B.若。他向，則|尸。|+歸閭的最大值為8+4百

C.N在圓上運動

I1_2

D?西+網=5

【答案】ABD

【分析】判斷出點M的軌跡即可求出△力弱/的面枳最大值，進而求出。也c：根據橢圓的定義即可求出

歸0+|在|的最大值；設出直線的方程，且點尸在橢圓上，即可求出秘2=-：，最后聯立直線

BP,F2M的方程即可求得點N的軌跡方程；設出直線E戶的方程，并與橢圓聯立利用韋達定理卻可求解

11

西+網.

〃+「

【詳解】對于選項A,因為力M_L"K，所以點“在以力用為直徑的圓上，所以44邊上高為半徑亍時,

△ABM的面積最大值，即S.=12〃?①0=也上0=12,

O/I

乂因為e=3=g，即c=；*所以業用=]2,解得。=4,故A正確；

a2

由選項B,由選項A可知，”=4,c=2,則力=J〃2-c2=2石，所以。（4,26），

|PO|+|P用=|P0|+24Tm2a+|0/=8+[4+2）2+（26-0丫=8+4百，當P在直線巧上時,等號成

立.故B正確；

由選項C,因為力（-4,0）*（4,0）/式2,0）,所以設直線4P:y=K（x+4）化工0）,

直線/?"：y=七（丫一4）化工0）,直線KM：y=-[（x-2）,

因為橢圓方程為《+仁=1，所以P（x。,%）滿足瑩+超=1，所以說「2（16一竺）,所以

16121612~16

桃、=4——^-=-r^=--,

x0+4x0-49-164

聯力直線BP,F2M的方程得一;（九-2）=網。-4）,解得x=-4,

所以N在直線x=-4上運動，故C錯誤；

設直線E廠的方程為曠=%。-2）（人工0）,設￡（/,丹.）,尸（丹，力）,

?=&（x-2）

直線和橢圓聯立x2v2,消去歹整理得（3+4r）/-16/x+165-48=0,

-----F--=1

1612

△=（一1612）—4（3+4左2）（16左2-48）=576（%2+1）＞0,

16%16〃-48

所以4+工尸二3+4尸'”.與_3+4公

因為點E在橢圓上，所以犬，2K:啕,

CT

所以|%|二J（XLC）+E="%=4-;刀￡,同理可知|產周=〃-e*=4-;.丫尸,

111132-2仁+孫）

所以任周,府丁

434一工64-8（X￡+XF）+X￡-XF

92儂2

32-2（*+.*）RF96+96公2

64-8（4+工廠）+xrxFM_816心?161-48144+144/3

―"3+4--+3+4公

故選項D正確;

故選：ABD.

【點睛】本題考直考生運算求解能力、推理論證能力、函數與方程的思想、數形結合的思想、化歸與轉化

的思想.

2

5.（2025?陜西西安?模擬預測）已知雙曲線C:,-爐=1的左、右焦點為片，F”直線》二大+〃?與。交于

A,6兩點，若的面積是面積的2倍，則〃?=（）

222

A.-B.§或6C.—6D.-6或一§

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、根據直線與雙曲線的位置關系求參數或范圍

【分析】利用面積關系，得到線段比例關系，設出直線與x軸交點后求參數即可.

【詳解】

易得。=石,b=l,c=2,故閨用=4,設力區,必），B（x29y2）,

直線N=x+用與x軸交點歷（一肛0）,△石44面枳為SI,△6力4面積為S2,

由題意得△￡力8面積是△用力8面積的2倍，則;x怩"岡弘一力卜;X|KM|X|M-%|X2,

化簡得|EM|=2|8M，結合山閭=4,

故|用1|=4+|瑪切,解得|人”|=4,即"（6,0）,故一加=6,解得用=—6.

故選：C.

6.（24-25高三上?云南）已知雙曲線\-，=1（4>0,〃>（））的左、右焦點分別為耳F2,過寫作雙曲線一

條漸近線的垂線，垂足為〃，若乙6/隼的面積為2”,則雙曲線的離心率為（）

A.V5B.y/5C.2D.y/2

【答案】A

【難度】0.65

【知識點】求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題、求雙曲線的離心率或離心率的取值范隹、求點到直

線的距離

【分析】由題設條件推導出周"，|。〃|=%可得2a2=5.鵬氏=25出年="，結合/=/+〃，計算

求出離心率e.

???右焦點B（c,0）,且月〃中,

，穴攔乳尸=b,

-\OH\=ylc2-b2=q,由S,HOF,解得2a2=S./=2sH華=ab,

乙乙

22

又J=a+b，

b=2a,即4/=b-,

/.4^2=c2-a',5a2=c2,

所以￡=5,故得e=逐，

a

故選：A.

7.(2025?遼寧?二模)已知橢圓C:1+與=1(Q%>0)的左、右焦點分別為"，人,上頂點為A,直線力鳥

ab~

與C交于另一點4,若△力。片與（。為原點）的面積之比為4:3,則C的離心率為（）

A.1B.立C.在D.立

3753

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】求橢圓的離心率或離心率的取值范圍、向量的線性運算的幾何應用、橢圓中三角形（四邊形）

的面積

【分析】根據題意易得局=彳，可得匕8=：彳乃，進而設4Q,y）,列方程求解即可.

I明|3~4

【詳解】由題意，沁^二:,|。制=|。6|，所以目=:，則

、4BQF?J1yBiJ?六2|J

——3——

所以68=^力工，由力（0,份，入（c,0）,設B（x,y）,

則鳥8=（x-c,y）,伍=（。，叫,

3

X-e=-7C73（13>

則「，解得x=：c，y=--b,^B\-c--h\,

y=-，44144J

：4

因為點8在橢圓。上，所以竺竺=1,化簡得￡=

16416b-a~7

所以e=￡=立.

a7

故選：B.

8.（24-25高三上?江蘇揚州?期末）根據物理知識橢圓有如下光學性質：從一個焦點發出的光線將匯聚到另

一個焦點處.已知橢網C：［+日=1,耳鳥分別是橢圓C的左、右焦點，點尸是橢圓C上的任意一點，根據

研究，我們知道直線〃月、直線。馬與在P點處的切線/所成的角相等.過片作直線會足為〃，則

片面積的最大值為（）

IF\O\F?）x

A.V2B.2C.V3D.2>/2

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】求橢圓中的最值問題、橢圓定義及辨析、橢圓中三角形（四邊形）的面積

【分析】根據垂直以及角相等,結合橢圓定義可得|尸瑪|+|尸用=|尸。|+|尸鳥|=|。可|=20=4,進而得

\OH\=^\QF2\=2t即可利用三角形面積公式，結合三角函數的最值求解.

【詳解】由題知，橢圓半焦距c=l,延長￡〃，鳥尸相交于Q,

由于4HPF、=4MPF］，又4MPF】=AHPQ,故4HPF、=/MPF?=4HPQ,

結合垂足為〃，故|尸。=|。四，

|尸閭+|尸周=|P0|+|PE|=|0瑪|=2a=4,

故1。皿=：出用=2,

S皿石=邑岬+邑//=J。耳||。*sin/HOF、+；|0曰|。"sinNH0F?

=sin/HOF、+sinZ.H0F,=2sinNHOF、,

故當sinN〃C*=l時，△”耳馬的面積最大為2,

故選：B

重難點題型3以焦點弦為情景命題

1.（2024?重慶沙坪壩?重慶南開中學校考模擬預測）橢圓過原點。斜率為石的直線與橢圓交

于C,D,若|CQ|=4,則橢圓的標準方程為（）

），22

x

A..—X~+—y~=1.Bc.—~+—y"=1,

7473

C.巨+仁=1