數學歸納法【七大題型】-人教A版高中數學選擇性必修第二冊（解析版）

專題4.7數學歸納法【七大題型】

【人教A版（2019）］

＞題型梳理

【題型I數學歸納法的證明步驟】...............................................................2

【題型2用數學歸納法證明恒等式】.............................................................3

【題型3用數學歸納法證明不等式】.............................................................6

【題型4用數學歸納法證明幾何問題】............................................................7

【題型5用數學歸納法證明整除問題】...........................................................10

【題型6用數學歸納法證明數列問題】...........................................................12

【題型7用數學歸納法證明其他問題】...........................................................15

A舉一反三

【知識點1數學歸納法】

1.歸納法

由一系列有限的特殊事件得出一般結論的推理方法，通常叫做歸納法，它是人們發現規律，產生猜想

的一種方法.

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法.

2.數學歸納法

一般地，證明一個與正整數〃有關的命題，可按下列步驟法行：

第步（歸納莫基），證明當〃取笫-個值〃o（〃o￡N*）時命題成立；

第二步（歸納遞推），以當片做汐0,止7V*）時命題成立為條件，推出當+1時命題也成立.

只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從〃。開始的所有正整數〃都成立.

上述證明方法稱為數學歸納法.

3.數學歸納法的重要結論及適用范圍

1+2+3-1----\-n=+

產+2?+…+〃2=+1)(2〃+1)

O

數學歸納法

的重要結論『+23+…+”3=(〃+[)2

1+3+5+―+(2〃-1)=〃2

2+4+6+…+2〃=n2+n

適用范圍只適用于證明與正整數有關的數學命題

【題型1數學歸納法的證明步驟】

【例1】⑵-24高二下?遼寧?階段練習）利用數學歸納法證明不等式1+：+：+…+七V/（"之WV）

/JJ-JL

的過程中，由ri=k（A之1）變到九二k+1時，左邊增加了（）

A.1項B.k項C.3k項D.2x3”項

【解題思路】根據題意，結合九=k變到n=k+l時，左邊由（3卜一1）項增加到（3日】一1）項，即可求解.

【解答過程】由題意，不等式的左邊中分子都為1,分母是從1開始到故共有3"-1項，

又由九=k變到九=k+1時，左邊由（3k-1）項增加到（3k+1-1）項,

從而左邊增加了（3日1—1）一（3|-1）=2x3〃項.

故選：D.

【變式1-1]（23-24高二下?四川成都?階段練習）用數學歸納法證明”對任意的九6N*,都有1-

貴一金=++++++.??+親第一步應該驗證的等式是（）

AA.1?—-14.--1—1=-1+.-1B.+

234342323

C.1=;+1D.1-

22

【解題思路】根據數學歸納法的知識確定正確答案.

【解答過程】在等式1一"；"??,+號7-齊?+++++…+/“N”中，

當K=1時，2九=2,

故等式的左邊為右邊為:

所以第一步應該驗證的等式是1-;\

故選:D.

【變式1-2]（23-24高二上?浙江杭州?期末）用數學歸納法證明：f（n）=1+抖[+…+*2等（九￡川）

的過程中，從n=k到n=k+l時，/"（/c+1）比/"（A）共增加了（）

A.1項B.2"-1頃C.2k+1項D.2k項

【解題思路】分別計算出/（k+1）和/（A）的項數，進而作差即得結論.

【解答過程】因為/'5）=1+：+；+???+、

所以/出=1+]+；+…+總共2k項,

則依+1)=1+"扛...+6+六+...+日2丘1項,

所以J(k+1)比f(k)共增加了￥+1-2%=2k項,

故選：D.

【變式1-3](23-24高三?全國?對口高考)某同學用數學歸納法證明不等式荷E<n+l(n￡N，)，過程

如下：

(1)當n=i時，+不等式成立.

(2)假設當〃=k(k€N”,且kNl)時，不等式成立，即VFTiFvk+1,則當〃=k+l時，

d(k+1尸+(k+1)="2+3k+2<32+3k+2+(&+2)=J(k+2》=(/c+l)+l,

當九=k+1時，不等式成立.

根據(1)和(2)可知對任何九6/7?,后而〈71+1都成立.則上述證法()

A.全部過程均符合數學歸納法的原理

B.n=l的驗證不正確

C.歸納假設不正確

D.從71=/^1伍=憶+1的推理沒有用到歸納假設

【解題思路】根據數學歸納法的定義與證明即可判斷.

【解答過程】根據數學歸納法的證明可知當〃=1的驗證正確，舊納假設正確，故BC錯誤；

從n=k到九=k+l的推理中，并沒有用到九=攵時的假設，故D正確，A錯誤，

故選:D.

【題型2用數學歸納法證明恒等式】

[例2](24-25高二上?全國?課后作業)用數學歸納法證明：對任意的正整數幾,2+6+10+…+(4n-2)=

2n2.

【解題思路】應用數學歸納法證明即可.

【解答過程】當九=1時，左邊=2=2X/=右邊；

假設九二k(kZ1,)時，原等式成立，則"=攵+1時，

等式左邊=[2+6+10+-+(4A-2)]+(4k+2)=2/c2+4Ar4-2=2(k+l)2,因此n=k+1時原等式也

成立.

綜上，VneN”都有2+6+10+…+(4n-2)=2n2.

【變式2-1](23-24高二上?全國,課后作業)用數學歸納法證明：

2

(1)1卜3+5+…」(2n-1)=n(nCN+)；

(2)1x4+2x7+3xlOH-----Fn(3n+1)=n(n4-l)2(nGN+).

【解題思路】(1)記土=1+3+5+-+(2幾-1)=九2,驗證當n=1時，等式成立；假設當〃=Z(/cWN+)

時，等式成立，然后證明由當九=k+1(憶6'+)時，等式成立，利用數學歸納法可證得結論成立；

(2)記〃=1x4+2x7+3x10+…+n(3n+1)=n(n+l)2(neN+),驗證當n=1.時，等式成立；假

設當n=k(kWN+)時，等式成立，然后證明出當7i=k+l(AEN+)時，等式成立，利用數學歸納法可證得

結論成立.

【解答過程】(I)證明：記%=1+3+5+…+(2九-1)=*

當冗=1時，則有Si=1=#,等式成立，

假設當？i=Z(k￡N+),等式成立，即鼠=1+3+5+…+(2左—1)=/，

則品+i=S；.+2(k+1)-1=1+2k+1=(k+l)2,

這說明當日=〃+l(k6N+)時，等式成立，

2

故對任意的neN+,1十3十5十…十(2n-1)=n.

(2)證明：設7；=lx4+2x7+3xl0+???+n(37i+l)=?2S+l)2(nWN+),

當n=1時，八=1x4=1x(1+1)2,等式成立，

假設當n=k(kWN+)時，等式成立，

即限=1x4+2x7+3x10+-+k(3k+1)=k(k+I)2,

2

所以，Tk+1=Tk+(k+l)[3(k+1)+1]=k(k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+1)伙(k+1)+3k+4]

=(k+l)(k2+4k+4)=(k+l)(k+2)2,

這說明當71=k+l(/cEN+)時，等式成立，

2

所以，對任意的幾EN+,1X4+2X7+3X10H-----Fn(3n+1)=n(n+l)(nGN+).

【變式2-2](23-24高二上?上海?課后作業)用數學歸納法證明1?n+2?(n—1)+3?(九一2)+…+n?1=

；n(n+l)(n+2)(n為正整數).

6

【解題思路】根據數學歸納法證明的步驟，首先驗證當九二1時成立，進而假設〃二k時等式成立，證明九二

k+1時，等式也成立；即可得證.

【解答過程】設/(")=l-n+2-(n-l)+3-(n-2)+---+(n-l)-2+nl.

①當舞=1時，左邊=1,右邊=：x1x(1+1)x(1+2)=1,等式成立；

6

②設當71=々時等式成立,即f(A)=1?Z+2?(k-1)+3?(k-2)+…+(k-1)?2+k?1=-k(k+

6

l)(k+2),

則當九=k+1時,

f(A+1)=1?(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(/c+1)-2]+-+[(/c+1)-2]-3+[(/c+1)-1]?24-(/c

+1)-1

=/(k)+1+2+3+…+k+(k+1)

=+l)(/c+2)+：(A+l)(/(+1+1)

6Z

=：(k+l)(k+2)(k+3).

6

由①@可知當九€N”時等式都成仁

【變式2-3](23-24高二上?全國,課后作業)用數學歸納法證明以下恒等式(-EN+)：

(1)-1+3-5+-+(-l)n(2n-1)=(-l)nn；

(2)(n+l)(n+2)…(九+7。=2"x1x3x…x(2n-1).

【解題思路】(1)按照數學歸納法的步驟證明即可；

(2)按照數學歸納法的步驟證明即可；

【解答過程】(1)①當n=l時，左邊二一1,右邊=左邊與右邊相等，即n=l時等式成

立；

②假設當〃=k(k€N+)時，等式成立，

即-1+3-5+-+(-l)k(2fc-1)=

貝I」當-=k+1時，左邊=-1+3-5+…+(-1)氣2〃-1)+(-1)"+1(2〃+1)

=(一1)。+(-l)%+i(2k+1)=(-1)”k-(2k+1)]=(-l)k(k+l)x(-1)=(-1)"1伏+1)=右邊，

即當n=/c+l時，等式也成立；

綜上所述，由①②可知，對于任意正整數，-1+3-5+???+(-1尸(2n-1)=(一1)喋成立.

(2)①當九=1時，左邊=1+1=2,右邊=21=2,左邊與右邊相等，即n=l時等式成立；

②假設當n=k(k€N+)時，等式成立，

即(k+l)(k+2)…(k+k)=2?<x1x3x…x(2k-1),

則當？i=k+1時，左邊=(k+1-l)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k+2)

2kxix3x…x(2k-l),、/、…

=--------.+])-----乙?(k+k+l)(k+k+2)=2k+1x1x3x-x(2/c-1)x(2k+1)=

右邊，

即當n=/c+l時，等式也成立；

綜上所述，由①②可知，對于任意正整數，5+1)(71+2>??(九+71)=2'乂1乂3乂~乂(2?1-1)成立.

【題型3用數學歸納法證明不等式】

【例3】（2024高三.全國.專題練習）證明：不等式。x；x：x…X2%工而了I成立.

2462n

【解題思路】利用數學歸納法證明即可.

【解答過程】①當九=1時，左邊=:>&=右邊，，不等式成立.

②假設當九=Z時不等式成立，BP-X-X-X-X要>VFT1.

2462k

③當?i=k+l時,

卜3)2

+!)■

4(k+I)2+4(k+1)+1

4(k+1)

=W+1）+1+高>J（k+D+L

；?當〃=k+l時，不等式也成立.

綜上可得，原不等式恒成立.

【變式3-1]（24-25高二上?全國,課后作業）用數學歸納法證明：對任意的正整數幾>4,2,

【解題思路】運用數學歸納法的步驟進行證明即可.

【解答過程】當幾=5時，不等式25>5?成立，

假設九=/c（/c>4）時原不等式成立，即2k>1,

則r=k+l時，左邊=2"+】=2-2">21,

當A>4時,2k2一（k+1產=爐-24一1二（k-1）2-2>0,

即2"+】>（攵+1）2,

因此九=k+1時原不等式也成立.

綜上，對任意的正整數九>4,2〃AM.

【變式3-2]（23-24高二下.河南南陽?期末）觀察下列不等式:5+3>8,25+9>32,125+27>128,

6254-81>512......

（1）根據這些不等式，歸納出一個關于正整數〃的命題：

（2）用數學歸納法證明（1）中得到的命題.

【解題思路】（1）不完全歸納得解：

（2）利用數學歸納法證明即可.

【解答過程】（1）解：不等式可寫為：5+3>23,52+32>25,53+33>27,54+34>29,

所以歸納得到命題：5n+3n>2^+1（〃為正整數）.

（2）證明：①當〃=1時，易知命題成立；

②假設當n=k（k工1次￡N"）時，命題成立，即5k+3"N22kT.

則當〃=k+l時，

5k+1+3k+1=5x+3x3k

=（4+1）x5k+（4-1）x3k

=4x（5"+3"）+5"-3〃

>4x22k+1+5比一3k>22（"+D+I,

即n=^十l時，命題也成立.

由①@可知，5n+3n>22n+1.

【變式3-3］（23-24高二上.全國,課后作業）證明不等式1+++專+~+奈<2詆（〃￡"）.

【解題思路】利用數學歸納法可證明，先假設〃=&時成立，再證明〃=k+1時成立即可.

【解答過程】當〃=1時，左邊=1,右邊=2,左邊<右邊，不等式成立.

假設當〃=%七"）時，不等式成立，即1+專+專+???+3<2遍,

當n=k~V\時,

1111

1+7+下+…+下+1--------

V2>/3瓜vm

"i2vwm+1

<2V/c+,=----7,----——

7k+1V/c+1

（慶產+（歷T）2+l

鬻=2再1,

TPT

所以當〃=k+iM,不等式成立.

綜上，原不等式對任意〃都成立.

【題型4用數學歸納法證明幾何問題】

【例4】（23-24高二?全國.課堂例題）在平面上畫八條直線，且任何2條直線都相交，其中任何3條直線不

共點.問：這〃條直線將平面分成多少個部分？

【解題思路】先通過n=l,2,3,4,5的結果歸納出7=1+1+2+3+4+…+n,再用數學歸納法證

明即可.

【解答過程】記〃條直線把平面分成％個部分，我們通過n=1,2,3,4,5,畫出圖形觀察注的情況(如

圖)

從圖中可以看出，

4=2=1+1,

^=4=^+2=14-1+2?

r3=7=r2+3=14-14-2+3,

74=11=r3+4=1+1+2+34-4,

%=16=心+5=1+1+2+3+4+5.

由此猜想。=1+1+2+3+4+…+n.

接下來用數學歸納法證明這個猜想.

(1)當?i=1,2時，結論均成立.

(2)假設當〃時結論成立，艮1〃=1+1+2+3+4+~+仁

那么，當/=k+l時，第"1條直線與前面的左條直線都相交，有"個交點，

這上個交點將這條直線分成什1段，且每?段將原有的平面部分分成兩個部分，

所以球+1=q+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),結論也成立.

根據(1)和(2)可知，對TIEN"都有有=1+1+2+3+4+…+71,

即4=1+智.

【變式4-1](23-24高二上?全國,課后作業)用數學歸納法證明：凸n邊形的內角和/(n)=S-2)?

180*(n>3,nGN)

【解題思路】驗證當〃=3時，結論成立；假設當九=k(kGN*)時，結論成立，分析可知凸k+l(k>3,kGN*)

邊形4遇2…邊形可以在以AiA為邊的△與凸k邊形4通2…4拼接而成,即可得出

/(〃+1)=/(幻+180。成立，這說明當九=左+1時，結論成立，再由歸納原理可證得結論成立.

【解答過程】證明：當日=3時，三角形的內角和為180°,即/'(3)=180°=(3-2)?180°,結論成立；

假設當九=k(kWAT,kN3)時,結論成立，即/'(%=(&-2)?180°,

假設凸k4-l(fc>3,keN")邊形為力2…44+1，如下圖所示:

Ak

則凸k+l(fc>3,fcGN*)邊形44???44+1邊形可以在以公4為邊的△&44+1與凸々邊形4遇2…由拼

接而成，

所以，f(k+1)=f(k)+180°=(k-2)?180°+180°=(fc-1)-1800,

這說明當〃=k+l時，結論成立，

故凸n邊形的內角和f(n)=(n-2)?180°(n>3,n6AT).

【變式4-2](23-24高二?全國?課后作業)已知九22,且平面內有〃條直線，其中任意兩條不平行，任意

三條不過同一點，證明這些直線的交點的個數為/(X)

【解題思路】按照數學歸納法證明步驟證明即可.

【解答過程】證明：(1)當九=2時，兩條直線的交點只有1個，又/"(2)=管?=1,

所以n=2時，命題成立；

(2)假設n=k￡N?且k>2時，命題成立，即平面內滿足題設的任何2條直線交點個數/'(幻=絲嚴，

那么，當九二k+l時，任取一條直線/,除/以外其他左條直線的交點個數為/(幻="嚴，

因為任意兩條直線不平行，所以直線/與其他上條直線的交點個數為匕又任意三條不過同一點，

所以上面4個交點兩兩不同，且與平面內其他的/(町=空?個交點也兩兩不同，從而"I條直線共有/(￡)+

k個交點，

即/(k+1)=f(k)+k=+k=：k(k-1+2)=\k{k+l)=1(/c+l)[(k+1)-1],

所以當〃=k+1時，命題成立.

綜上，原命題成立.

【變式4-3](24-25高二?全國?課后作業)己知九(九>2,neN*)個半徑相等的半圓的圓心在同一直線I上，

這九個半圓每兩個都相交，且都在直線，的同側，試用數學歸納法求這幾個半圓被所有的交點最多分成多少段

圓弧.

【解題思路】設這幾個半圓被所有的交點最多分成八九）段圓弧，由/（2）=4,/（3）=9,由此猜想/'5）=

712g>2,neN?），再用數學歸納法證明即可

【解答過程】設這幾個半圓被所有的交點最多分成/（八）段圓弧，

如圖分別是n=2,n=3的情形.

由圖可知，/（2）=4,/（3）=9,由此猜想/5）=/（幾之2,〃6叱）.

現用數學歸納法證明該猜想.

①當日=2時，猜想顯然正確.

②假設九=底九22,71€7.）時，猜想正確，即/■（口=12,

則當九=k+l時，作出第k+1個半圓，它與前上個半圓均相交，最多新增k個交點，

第A+1個半圓自身被分成了k+1段弧，同時前攵個半圓又各多分出1段弧，

故有/（k+1）=f（k）+k+k+l=k2+2k+i=（k+i）2,

即當n=k+l時,猜想正確.

綜上，對于幾>2,n€N*,/（n）=/都成立.

故這幾個半圓被所有的交點最多分成九2段圓弧.

【題型5用數學歸納法證明整除問題】

[例5]（2024高二下?全國?專題練習）用數學歸納法證明“對任意偶數九，那-L能被。-力整除時，其第

二步論證應該是（）

A.假設九=k（A為正整數）時命題成立，再證n=A+1時命題也成立

B.假設7i=2A（憶為正整數）時命題成立，再證n=2k+1時命n=2k題也成立

C.假設〃（k為正整數）時命題成立，再證九=2k+1時命題也成立

D.假設九=2k（々為正整數）時命題成立，再證九=2（k+1）時命題也成立

【解題思路】根據題意可得〃為偶數，結合數學歸納法的證明步驟即可得出答案.

【解答過程】因為，為正偶數，所以第二步的假設應寫為：

假設〃=2k（k為正整數）時命題成立，再證n=2（々+1）時命題也成立，

即當九=2k（k為正整數）時，（^上一^上能被^^一力整除，

再在n=2（k+l）B寸，a一〃（k+i）能被。一。整除

故選：D.

【變式5-1](23-24高一下?上海徐匯?期末)已知/'(九)=(2n+7)-3n+9,存在自然數m,使得對任意在eN\

都能使m整除/(〃),則最大的血的值為()

A.30B.9C.36D.6

【解題思路】依題意，可求得/(I)、-2)、〃3)、/'(4)的值，從而可猜得最大的m的值為36,再利用數學

歸納法證明即可.

【解答過程】由/(九)=(2"+7)?3n+9,得/'(1)=36,

/(2)=3X36,/(3)=10x36,

f(4)=34X36,由此猜想771=36.

下而用數學歸納法證明：

(1)當九=1時，顯然成立。

(2)假設?1=4時,f(k)能被36整除，即

fW=(2k+7)?3火+9能被36整除；

當n=k+1時，

[2(k+1)+7]?3"+1+9

=3[(2/c+7)-3fc+9]-18+2x3k+1

=3K2k+7)?3%+9]+18(3b1-1)

是2的倍數，

18(3"i-l)能被36整除,

.?.當九=k+1時，/?5)也能被36整除.由(1)(2)可知對一切正整數幾都有/(八)=(2n+7)?十9能被

36整除,

m的最大值為36.

故選：C.

【變式5-2](23-24高二上?全國?課后作業)用數學歸納法證明：n3+(n+l)3+(n+2戶能被9整除(nGN*).

【解題思路】先驗證〃=1時，n3+(n+I)3+6+2產能被9整除；假設當n=k時,k3+(k+l)3+(k+2)3

能被9整除，再證明(k+17+(A+2>+(k+3產能被9整除，結合歸納原理可得出結論成立.

【解答過程】證明：(1)當n=1時，13+23+33=36能被9整除，所以結論成立；

(2)假設當九=k(kEN")時結論成立，即4+a+i)3+(A+2產能被9整除.

則當n=k+1時，(k+I)3+(k+2)3+(k+3)3=(k+l)3+伏+2)3+k3+9/c2+27k+27k

=k3+(k+I)3+(k+2)3+9(H+3k+3),

因為4+/+1)3+(k+2尸能被9整除,9*2+3k2+3)能被9整除,

所以，(Z+17+(A+2尸+(A+3)3能被9整除，即即71=k+1時結論也成立.

由(1)(2)知命題對一切?都成立.

【變式5-3](23-24高三?全國?對口高考)是否存在正整數機使得f6)=(2n+7)?3"+9對任意正整數九都

能被租整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結論.若不存在說明理由.

【解題思路】

求出/'(1)、f(2)的最大公約數，可得出m的值，然后利用數學歸納法證明出/(九)都能被36整除，即可得出結

論.

【解答過程】解：f(l)=9x3+9=36,f(2)=11X9+9=108,

所以，/⑴、f(2)的最大公約數為36,

猜想:對任意的neN3/'(n)能被36整除，

當九=1時，猜想顯然成立；

假設當n=k(kEN),猜想成立，即/(幻=(21+7)-3k+9能別36整除，

即存在￡eN*,使得/(k)=(2k+7).3-+9=363

則當"=k+l(keN*)時，f(k+1)=[2(k+1)+7]-3k+1+9=3(2k+7)?3卜+2?3k+1+9=

3(36t-9)+2?3"+】+9

=108t+2?3nl-18=108t+18(3"i-1),

因為3”】為奇數,則3%T-1為偶數,則18(3?】-1)能被36整除,

所以，/*(k+l)能被36整除，

這說明當〃=k+l時，猜想也成立，

故對任意的TIENMf(冗)=(2n+7)?3n+9對任意正整數n都能被m整除，且?n=36.

故?n的最大值為36.

【題型6用數學歸納法證明數列問題】

【例6】(24-25高二上?全國?課后作業)已知正項數列｛。〃｝的前n項和為S”，滿足為+1=弊.

(1)求出數列｛即｝的前三項：

⑵根據數列的前三項猜想出其一個通項公式，并用數學歸納法證明.

【解題思路】(1)分別將幾=1,九=2,71=3代入求解即可；

(2)先猜想通項公式，再應用數學歸納法及而=%Sn_i證明即可.

【解答過程】(I)當n=l時，由已知條件可得%+1=爐，即酒+2%—2=0,

Zal

解得處=V5-1(如>0)；

當冗=2時，由已知條件可得%+a2+1=將%=V3—1代入得今+2s/3a—2=0,

2a22

解得做=V5-V3(a2>0)；

當？i=3時，由已知條件可得為+g+。3+1=等上，同理解得Q3=上一遍(。3>0)。

(2)由(1)可以猜想即=可2人+1—72n-1,九二1,2,3時，等式成立；

假設當九=攵(4>3,1￡1<)時，等式也成立，B|Jak=y/2k+1-72/c-l,

1

又因為=Sk+i-Sk=粵+1---竽一十，

將以=以+1-72k-1代入上式解得4+1=y/2k4-3-y/2k4-l(an>0),

所以ri=k+1時命題成立.

綜合可得，當n€N*時，+1-72n一1(九￡N').

【變式6-1](24-25高二上?上海?課后作業)設數列｛曰｝各項均為正數，且滿足*+君+…+以=2層+2/1

(“為正整數).

⑴求數列｛』｝的通項公式f；

2

(2)試用數學歸納法證明：xrx2+x2x3+—+xnxn+1<2[(n+l)-1].

【解題思路】(1)先根據和項與通項關系求得片，解得出；

(2)先證明71=1成立，再根據九=k成立推導九=k+1成立即可.

【解.答過程】(1)當n>2時比-據+…+1=2n2+2n,xf+xf+???+嵋=2(n—l)2+2(n—1),

所以以=2n24-2n—2(n—I)2—2(n—1)=4n

當冗=1時％f=2+2=4,?,.以=4n,vxn>0,:.xn=2yfn；

2

(2)①當九=1時，x^2=2x272<2x3=2[(1+I)-1],即？2=1時，結論成立；

②假設當九二k,(AZl,k￡Z)時，結論成立，即占不++…+%行卜+1V2[(k+一1]

2

當n=k+1時，x1x2+%2^3+…+xkxk+1+xk+1xk+2V2[(k+l)-1]+xk+1xk+2

22

因為2KA+l)-1]+xk+1xk+2=2[(k+2)-1]+4vmVm-2(2k+3)

=2[(k+2)2-1]+2(，4k2+12k+8-+12k+9)<2[(k+2)2-1]

即當n=k+l時，結論成立；

由①@得，%i%2+X2X3+…+xnxn+l<2[(H+1不一1].

【變式6-2]（23-24高二下?北京房山?期中）已知數列｛〃｝中,與=0且即+i=

（1）求數列｛冊｝的第2,3,4項；

（2）根據（1）的計算結果，猜想數列｛a"的通項公式，并用數學歸納法證明.

【解題思路】（1）由題意逐個計算即可得；

（2）由（1）的計算結果可猜想出數列｛a“｝的通項公式，利用數學歸納法證明即可得.

【解答過程】（1）由%=0且冊+i=一，則即=丁」二，

°3=有=弓=丁?4=^=q=-；

（2）由（1）的計算結果可猜想即=%,證明如下:

當冗=1時，%=_=0,等式成立;

假設當〃二k時等式成立，即有。〃二早，

K

則當九=Z+1時，有以+i=±=金T=備

即當n=k+l時,等式成立;

故猜想Q”二-7成立.

【變式6-3]（23-24高二上?上海,課后作業）設數列｛a，｝的各項均為正整數，且%=L記6=a1+a2+-+

a”.如果對于所有的正整數ri均有5-1+工=（$-1-工）2

（1）求S],52，S3,54，S$；

（2）猜想｛SJ的通項公式，并加以證明.

【解題思路】（1）利用代入法進行求解即可；

（2）根據｛Sn｝前五項的特點進行清想，然后利用數學歸納法進行證明即可.

【解答過程】（I）因為數列｛Q?J的各項均為正整數，

所以數列?工是遞增數列，

2

因為又+i+S'=（Sn+1-Sn）,$=%=1,

所以S2+Si=0-SJ2=>S2=3,S2=0舍去，

同理可得：S3=6,S3=1舍去，S*=10,=3舍去，S5=15,S5=6舍去,

所以S]=1,$2=3,$3=6,$4=10,S5=15；

（2）猜想：Sn=g3,證明過程如下：

當力=1時，S[=1顯然成立,

假設當n=k時成立，即品="羅，

當九=攵+1時，Sk+i+sk=（Sk+i-5Q2=SE1-（必+k+r）sk+1+，T）（7）（〃+2）=o,

（k+l）（k+2）1[k（k-l）l_

=S〃+1-Sk+]--0n

解得;S"+】=（一堂+"或1+「〃（F）,

因為數列｛Qn｝的各項均為正整數，

所以數列｛S"是遞增數列，

顯然（k+l）（k+2）>k（k+l）>

所以品+1=7絲衛金+[=竺/舍去，

所以當n=k+1時，S〃=絲羅成立，

綜上所述：Sn=K羅.

【題型7用數學歸納法證明其他問題】

【例7】（23-24高二下.山西呂梁期末）給出下列不等式：

（1）根據給出不等式的規律，歸納猜想出不等式的一般結論;

（2）用數學歸納法證明你的猜想.

【脩題思路】（1）猜想不等式左邊最后一個數分母2“T,對應各式右端為今即得解;

⑵遞推部分，利用〃時結論，替換括號內部分1+/打/……+六+/+……+汨七+高

>\（次+六+…+汨七+汨匕）即得證?

【解答過程】解：（1）觀察不等式左邊最后一個數分母的特點:

1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,

猜想不等式左邊最后一個數分母2吁1,對應各式右端為去

所以，不等式的一般結論為：1+T+3+3+…+￡T>；（nWN，）

（2）證明：①當〃=1時顯然成立；

②假設九=女時結論成立，即：1+；+；+；+...+六>9成立，

2342K-12

當九二k+l時，

1111111

1+2+3+4+……+齊R丞+……+聲=+歷=1

冶+假+含+…+尋3+品!）

i

>^+2^x47=-+=—

22k+,222

即當71=Z+l時結論也成立.

由①②可知對任意nWN?，結論都成立.

【變式7-1］（2024高三?全國?專題練習）試證用面值為3分和5分的郵票可支付任何n（n>7,nEN）分的

郵資.

【解題思路】利用數學歸納法證明.

【解答過程】I。當〃=8時，結論顯然成立.

2。假設當n=k（k>7,kWN）時命題成立.

若這4分郵資全用3分票支付，則至少有3張，將3張3分票換成2張5分票就可支付hl分郵資：

若這女分郵資中至少有?張5分票，只要將?張5分票換成2張3分票就仍可支付M分郵資.

故當n=k+\時命題也成立.

綜上，對幾>7的任何自然數命題都成立.

【變式7-21（23-24高一上?上海浦東新?階段練習）已知M是滿足下列條件的集合：①0WM,1EM；②

若x、yEM,則x-yCM；③若％6M且x工0,則56M.

（1）判斷［EM是否正確，說明理由；

（2）證明：“若％€Z,則3WM”是真命題;

（3）證明：若x,ye則xyEM.

【解題思路】（1）結合性質①②證明2￡M,然后利用性質③即可求解：

（2）結合（1）中結論，利用數學歸納法即可求解：

(3)結合已知條件，先證明X2EM,然后證明x+y€M,然后證明;EM即可求解.

【解答過程】正確，理由如下：

由??可知，O-1=-1EM,1-(-1)=26M,

由③可知，M.

(2)由②可知，對于0-x=-X6M,故只需證明對于Vx€N,xEM,

由(1)中知，-1GM,

可知0€M,16M,

假設正整數kWM(k工1),可得k一(-1)=k+16M,

故對于V%€N\xE