第九章 第5節 第1課時 橢圓

第5節橢圓

最新考綱1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中

的作用；2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質.

I基礎修斷回歸教材，夯實基礎

知識梳理

1.橢圓的定義

在平面內與兩定點Fi,B的距離的和等于常數(大于IQBI)的點的軌跡叫做拽圓.

這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦坦.

其數學表達式:集合P={M]|MFI|+|MF2|=20,|其數|=2C,其中。>0,c>0,

且mc為常數：

(1)若心，則集合P為橢圓；

(2)若口,則集合P為線段；

(3)若則集合夕為空集.

2.橢圓的標準方程和幾何性質

1+.=14+n=i

標準方程

(a>b>0)(a>b>0)

y[A,

簿一

圖形-

一一bWxWb

范圍

-

對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點

Ai(一〃，0),4(〃，0),4(0,一〃)，4(0,〃)，

性質頂點

Bi(0,—b),B2(0,b)Bi(—b,0),B?(b,0)

軸長軸41A2的長為為；短軸8i員的長為四

焦距\F\F2\=2C

離心率e=*(0，1)

a,b,c的關系c2=a2—b2

［常用結論與微點提醒］

2b2

1.過橢圓的一個焦點且與長軸垂直的弦的長為詈，稱為通徑.

2.橢圓離心率亭口=\尸耳.

3.應用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交.

診斷自測

1.思考辨析(在括號內打“J”或“X”)

(1)平面內與兩個定點尸I,凡的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓.()

(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()

(3)方程"/+町2=1(〃/>0,心0,表示的曲線是橢圓.()

992V^2

(4點+3=1(〃>6>0)與%+方=1(〃20)的焦距相同.()

解析(1)由橢圓的定義知，當該常數大于內乃西，其軌跡才是橢圓，而常數等

于尸尸2|時，其軌跡為線段FiB,常數小于|F】B|時，不存在這樣的圖形.

(2)因為］—《)，所以e越大，則!越小，橢圓就越扁.

答案(1)X(2)X(3)J(4)V

92

2.(2017?浙江卷)橢圓與+寧=1的離心率是()

A叵3「25

?3?3^"^.3n

解析由已知，4=3,6=2,則C=<9—4=小,所以6=?=申.

C?J

答案B

3.(2018.張家口調研)橢圓春+得=1的焦點坐標為()

A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±9,0)D.(0,±9)

解析根據橢圓方程可得焦點在)，軸上，且，=〃2一序=25-16=9,??.c=3,故

焦點坐標為(0,±3),故選B.

答案B

4.已知中心在原點的橢圓C的右焦點為尸(1,0),離心率等于今則橢圓。的方

程是()

A.[+?=lB亭旨1

C5+5=1D.'+]=1

c1

解析由題意知。=1,e=a=2f所以。=2，從=〃一，=3.故所求橢圓C的方

程為彳+1=1?

答案D

7?

5.（選修2—IP49A6改編）己知點P是橢圓5+1=1上），軸右側的一點，且以點P

及焦點人，尸2為頂點的三角形的面積等于1,則點尸的坐標為.

解析設P（X,），），由題意知/=〃2一從=5—4=1,

所以c=l,則凡（一1,0）,乃（1,0）,由題意可得點尸到x軸的距離為1,所以

y=±1,把y=±l代入^_+?=1,得x=±'承，又x>0,所以產書工點坐

J4?X*4

標為苧1）或浮-1）.

答案作，1）或停，—1）

第1課時橢圓及其標準方程

考點突破喏咕彩PPT名師講解分類講練，以例求法

考點一橢圓的定義及其應用

【例1】（1）（選修2-1P49A7改編）如圖，圓O的半徑為定長廠，

4是圓O內一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分fxVS）

線/和半徑。尸相交于點Q,當點P在圓上運動時，點。的軌跡/

是（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

⑵橢圓磊+）2=1上一點P到一個焦點的距離為2,則點尸到另一個焦點的距離

為（）

A.5B.6C.7D.8

解析⑴連接Q4.

由已知得|QA|=|QP|.

所以IQOI+IQA|=IQOI+IQPI=\OP\=r.

又因為點A在圓內，所以|OA|V|OP|,根據橢圓的定義，點。的軌跡是以。，A

為焦點，7,為長軸長的橢圓.

(2)由橢圓定義知點尸到另一個焦點的距離是10-2=8.

答案(1)A(2)D

規律方法1.橢圓定義的應用主要有：判定平面內動點的軌跡是否為橢圓、求橢

圓的標準方程和離心率等.

2.橢圓的定義式必須滿足2a>\F\乃

9

【訓練1】(1)設定點Fi(0,—3),五2(0,3),動點尸滿足條件|PFI|+|PF2|=“+"

3>0),則點P的軌跡是()

A.橢圓B.線段

C.不存在D.橢圓或線段

⑵與圓G：(工十3)2+)，2=1外切，且與圓C2：(x—3>+)，2=81內切的動圓圓心P

的軌跡方程為_______.

9/9

解析(l).?Z+z22\'〃?~=6,

9

當且僅當7即4=3時取等號，

/.當〃=3時,|PFI|+|PF2|=6=|FIF2|,

點。的軌跡是線段FIF2；

當〃>0,且〃W3時，|PF1|4-|PF2|>6=|F1F2|,

點P的軌跡是橢圓.

(2)設動圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PCi|=r+l,|PQ=9一匚

所以|PC1|+|PC2|=1O>|CC|,

即P在以&(一3,0),C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，

得點P的軌跡方程為邑^=1.

答案(1)DQ)福+石=1

考點二橢圓的標準方程

【例2]⑴已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點(一宗(),

g小)，則橢圓的標準方程為.

(2)(一題多解)過點(市，一小)，且與橢圓蕓+5=1有相同焦點的橢圓的標準方

程為.

解析(1)設橢圓方程為〃/+〃),2=]("7,心0,"血7).

36+5〃=1,

解得77?—7，Yg.

二a

?,?橢圓的標準方程為方十放=1.

V2r2

(2)法一橢圓六+a=1的焦點為(0，—4),(0,4),即c、=4.

由橢圓的定義知，2〃=7(小一0)2+(--+4)2+

7(小一())2+(一小一4)2,解得4=2小.

由C1=a2—b2可得〃=4.

所以所求橢圓的標準方程為導+3=1.

法二設所求橢圓方程為W二十七=1(2<9),將點(小，一小)的坐標代入可

NDKyK

(—yfS)2(.\[3)2

得=1，解得k=5伏=2\舍夫)，所以所求橢圓的標準方程

N”D匕K.+yK

K+4=1-

答案(語+9=1Q備+9=1

規律方法1.求楠圓方程的基本方法是待定系數法，先定位，再定量，即首先確

定焦點所在位置，然后根據條件建立關于4,〃的方程組.

2.如果焦點位置不確定，可設橢圓方程為〃猶2+〃尸=](,〃>0,〃>(),/〃去〃)，求

出〃2,〃的值即可.

【訓練2】(I)己知Fl(—1,0),五2(1,0)是橢圓C的兩個焦點，過f2且垂直于

x軸的直線交。于A,B兩點，且|AB|=3,則C的方程為.

(2)(一題多解)若橢圓經過兩點(2,0)和(0,1),則橢圓的標準方程為

解析(1)依題意，設橢圓C：

過點F2(l,0)且垂直于X軸的直線被曲線C截得弦長|AB|=3,

???點A(l,號必在橢圓上，

又由c=l,得1+4=/.②

由①②聯立，得〃=3,/=4.

故所求橢圓。的方程為5+^=1.

(2)法一當橢圓的焦點在x軸上時，設所求橢圓的方程為3+最=1(。乂>0).

???橢圓經過兩點(2,0),(0,1),

a=2,

b=\.

.??所求橢圓的標準方程為全+)2=1；

當橢圓的焦點在)，軸上時，設所求橢圓的方程為《+營=1

???橢圓經過兩點(2,0),(0,1),

0.4

cr?Ib>-9—1

解得

4+4

kcrb~

與a>b矛盾，故舍去.

綜上可知，所求橢圓的標準方程為Y+V=L

法二設橢圓方程為次.F+町7=1(〃2>o,〃>o,m^n).

???橢圓過(2,())和(()，1)兩點，

4AM=1,

解得

〃=1,

綜上可知，所求橢圓的標準方程為，+)2=1.

答案（店+1=1（2百+）,2=1

考點三焦點三角形問題

【例3】⑴已知橢圓，+苧=1的兩個焦點是/2,點P在該橢圓上，若所|

一|PB|=2,則△PFiB的面積是()

A.^2B.2

C.2V2D.小

92

(2)已知R,乃是橢圓C：$+￡=1(。＞力＞0)的兩個焦點，尸為橢圓C上的一點,

且NRPF2=60°,SdF—B小,貝1」匕=.

解析⑴由橢圓的方程可知。=2,c=&，且|PFi|+|尸產2|=2a=4,又伊川一尸兩

=2,所以|PFi|=3,|尸網=1.又|“乃|=2(、=2啦，所以有|PFi|2=|P@F+|廣聲2|2,

即△PFiB為直角三角形，且NPBFi為直角，

所以見尸丫2=如同|儼/?2|=卜2啦乂1=&.

⑵由題意得|P尸i|+|P或=2a,又/尸iP尸2=60°,

2

所以|尸產1『+|尸尸21一21尸尸1||PF21cos60°=|FIF2|,

所以(|PFII+IPF2I)2-3|PFI||PF2|=4C2,

所以3|PFI||P乃|=4〃-4，=4/，

4

所以|PF]||P尸2|=辛2,

所以F2=^|PF1||PF2|sin60°=“酎義當=

坐力2=3/，所以〃=3.

答案(1)A(2)3

規律方法1.橢圓上一點P與兩焦點乃構成的三角形稱為焦點三角形，解

決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理等知識.

2.橢圓中焦點三角形的周長等于2a+2c.

【訓練3】已知橢圓蘇+若=1上一點P與橢圓兩焦點R,B的連線夾角為直

角，則|「四廠伊網=.

解析依題意。=7,b=2y[6ic=q49-24=5,

|FIF2|=2C=10,由于PB_LPB,

所以由勾股定理得|PFr+|0BF=|FIBF，

22

BP|PFI|+|PF2|=100.

又由橢圓定義知|PB|+|PB|=2〃=14,

，（|PFI|+|PB|）2-2|PFI|?|PB|=1（）（）,

即196-2|尸R|?|P冏=100.

解得|PFi|?|P戶2|=48.

答案48

課時作業分層訓練，提升能力

基礎鞏固題組

（建議用時：40分鐘）

一、選擇題

1.橢圓5+，=1的焦距為2，則〃7的值等于（）

A.5B.3C.5或3D.8

解析由題意知橢圓焦距為2,即C=l,又滿足關系式。2—〃=。2=1,故當〃2

=4時，〃2=。2=3;當"=4時，"2=〃2=5.

答案C

2.設產2為定點，內乃|=6,動點M滿足|MR|+|MF2|=6,則動點M的軌跡

是（）

A.橢圓B.直線C.圓D.線段

解析,??陽人|+附入|=6=陰乃|,，動點M的軌跡是線段.

答案D

3.設“，B是橢圓大十七=1的焦點，戶為橢圓上一點，則△尸;”2的周長為（）

NDV

A.16B.18C.20D.不確定

解析△PFE的周長為產人|+|尸網+|乃乃|=2〃+2乙因為2a=10,。=或口=

4,所以周長為10+8=18.

答案B

4.“2＜機＜6”是“方程上7+4=1表示橢圓”的（）

m-2o-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析若上7+/一=1表示橢圓.

tn—26~in

p??—2>0,

則有<6—〃7>0,2</n<6且mW4.

、，〃—226一6,

92

故"2<〃?<6”是“―+廣一=1表示橢圓”的必要不充分條件.

in—26—〃i

答案B

5.過橢圓《+去=1的中心任意作一條直線交橢圓于P,。兩點，b是橢圓的一

個焦點，則△PQb周長的最小值是（）

A.14B.16C.18D.20

解析如圖，設Fi為橢圓的左焦點，右焦點為根據

橢圓的對稱性可知|QQ|=|PB|,|OP|=|OQ|,所以△PQFi

的周長為|PFi|+|FiQ|+|PQ|=|+\PF2\+21Poi=2。+

21Poi=1（）+21Po|,易知210Pl的最小值為橢圓的短軸長，

即點P,。為橢圓的上下頂點時，△PQFi即/的周

長取得最小值為10+2X4=18.

答案C

二、填空題

6.橢圓9『+16），=144的焦點坐標為.

解析橢圓的標準方程為興店=1,

，。2=16,扶=%心=7,且焦點在x軸上,

.??焦點坐標為（一夜，0）,（V7,0）.

答案（一市,0）,（V7,0）

7.已知橢圓的中心在原點，一個焦點為（0,—23）且a=2b,則橢圓的標準方程

為.

解析?.,「=2小，a2=4b2,/.?2-/?2=3/?2=C2=12,

廬=4,/=]6.又焦點在y軸上，

22

?,?標準方程為石+，=1.

答案言亭1

8.(2018?昆明診斷)橢圓"+次=1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為〃?，當m

取最大值時，點尸的坐標是_______.

解析記橢圓的兩個焦點分別為“，乃，有|PFi|+|P3|=2〃=10.

則〃?=|PFi|,|PB|W伴將￡包]2=25,當且僅當|PFi|=|PB|=5,即點P位于

橢圓的短軸的頂點處時，機取得最大值25.，點戶的坐標為(-3,0)或(3,0).

答案(一3,0)或(3,0)

三、解答題

9.已知動圓M過定點.4(—3,0),并且內切于定圓&(x-3)2+_/=64,求動圓

圓心歷的軌跡方程.

解設動圓M的半徑為r,則|MA|=r,|加周=8-八

，|M4|+|MB|=8,且8>|A8|=6,

???動點M的軌跡是橢圓，且焦點分別是4—3,0),5(3,0),且2〃=8,

222

/?a=4,c=3fb=a—c=16—9=7.

???所求動圓圓心M的軌跡方程是1.

1().已知橢圓的中心在原點，兩焦點為，乃在x軸上，且過點A(—4,3).若月4

A-FiA,求橢圓的標準方程.

解設所求橢圓的標準方程為5+^=13?>0).

設焦點尸i(-c,0),尸Xc,0)(00).

VF1AIF2A,???戶a?后入=0,

而加=(-4+c,3),局4=(一4一C,3),

/.(-4+C)-(-4-C)+32=0,

???/=25,即c=5.

/.Fi(—5,0),五2(5,0).

：.2a=\AFi\+\AF2\

=yj(—4+5)2+32-|-\/(—4—5)2+32

=710+^90=4^10.

u=2f\j10,

Ab2=a2—c1=（2yl~\O）2—52=15.

???所求橢圓的標準方程為言+言1.

能力提升題組

（建議用時：2（）分鐘）

11.已知宿分別是橢圓E：，+*=1（公切>0）的左、右焦點，點（1,用在橢

圓JL,且點（一1,0）到直線?乃的距離為填，其中點尸（-1,-4）,則橢圓的標

準方程為（）

Af+：=1B.]+）2=l

C.A2+5=1D.y+>>2=1

44

解析設色的坐標為（c,0）（00）,則枕尸2=干，故直線尸凡的方程為）=而

44c

（x—c）,即■廣一y—2^7=°，點（—1，。）到直線PF2的距離d=/2b

'C'島）+1

解得c=l或C=—3（舍去），

所以/一序=1.①

又點（1,明在橢圓E上，所以%+1=1,②

d=2,F

由①@可得,2I所以橢圓的標準方程為4+）2=1.

答案D

12.橢圓方+方=1的焦點為點尸在橢圓