青海西寧市2026屆高三年級(jí)復(fù)習(xí)檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷（試卷+解析）

2026年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

西寧市高三年級(jí)復(fù)習(xí)檢測(cè)（一）

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

z」+叵一

1.已知22,則z的虛部為（）

13

A.yB百C.一

222

2.設(shè)集合4={2,3,a},5={l,b},若B=A,則力中各元素之和為（)

A.3B.6C.9D.12

3.若且〃>1,則下列結(jié)論正確的是（)

A.ac>cB.ac'>c2C.a2>aD.a+c>\

4.己知向量標(biāo)滿(mǎn)足7B=-3,且|%|=2,則向量￡在向量B上的投影向量為（）

3-3-3-3-

A.——bB.——bC.一bD.—b

4224

5.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)xQER與函數(shù)y=/（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.IC.（）或ID.0或1或2

6.2026年央視春晚舞蹈機(jī)器人節(jié)目《武Bol》驚艷全球！其中，機(jī)器人以“似倒非倒”的姿態(tài)將醉拳的飄逸

與力量完美融合.根據(jù)系統(tǒng)日志，一個(gè)機(jī)器人執(zhí)行“后空翻”任務(wù)時(shí)，落地狀態(tài)僅存在三種互斥的情況：

①平穩(wěn)落地（概率為0.7）：動(dòng)作精準(zhǔn)，必定能站穩(wěn)；

②踉蹌落地（概率為0.2）：重心略偏，90%能站穩(wěn)；

③近乎倒地（概率為0.1）：姿態(tài)失衡，50%能站穩(wěn).

則這個(gè)機(jī)器人執(zhí)行后空翻任務(wù)時(shí)能站穩(wěn)的概率為()

A.0.9B.0.91C.0.92D.0.93

7.已知直線(xiàn)/：3x+4y—2=0與圓GV一2X一2、-2二0相交于4B兩點(diǎn)、,則劣弧令的長(zhǎng)為

()

8兀4兀.一2兀

A.—B.—C.2兀D.—

333

8.已知函數(shù)/(x)=sin(mC),當(dāng)xw[0,20]時(shí)，把/(x)的圖象與直線(xiàn)尸!的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)限

I642

依次記為…，巴，記它們的和為S”，則，=()

1160580560280

A.----B.一C.——D.——

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體機(jī)被抽到的概率是

0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)大于中位數(shù)

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是21

D.甲乙丙三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9,則樣本容量為18

1().已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為石，網(wǎng),直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)吊，且與雙曲線(xiàn)的右支交

于,4,8兩點(diǎn)，其中4點(diǎn)位于第i象限.若|/@=7,的周長(zhǎng)為18,點(diǎn)r為雙曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.。=1

B.點(diǎn)7到兩條漸近線(xiàn)的距而之積為定值

C.過(guò)點(diǎn)。(1/)的直線(xiàn)4與雙曲線(xiàn)。相交于M,N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足。為線(xiàn)段MV的中點(diǎn)，則直線(xiàn)4為

3x-y-2=0

D.若/耳環(huán)=三，則AKM的面積為36

1L若數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為s“，且2S”=a”+l,在數(shù)列｛凡｝的前〃+2(〃金N)項(xiàng)中任取兩項(xiàng)都是

正數(shù)的概率記為則下列說(shuō)法正確的是()

A.2=￡B.P2n.\<P?nC.P2n<￡“+2D.

o

E"-l+&<&+I+&+2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為鄉(xiāng)，若。2，3q,生成等差數(shù)列，則'/=.

13.已知定義在R上的偶函數(shù)/(工)滿(mǎn)足/(於2)=/(-x),且xw［l,2］時(shí)，/(x)=ln(x+a),若

%=竽是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，則。的值為.

14.三棱錐的一組對(duì)棱長(zhǎng)為。，其余四條棱長(zhǎng)均為1,則該三棱錐體積最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知/'(X)=a?-8x+4在x=2處取得極小值一士.

3

(1)求/(X)在x=3處的切線(xiàn)方程：

(2)若kwR,討論g(x)=/(x)+〃零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

16.已知函數(shù)/(x)=2V3sinxcosx-2cos2x+1.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期，以及在［0,2句內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在V/18C中，角力,B,。所對(duì)的邊分別為凡瓦C,若/(4)=2,3“收=6，b+c=5,求a的

長(zhǎng).

17.如圖，。(一1,0),4(1,0),圓C的半徑為4,。是圓C上任意一點(diǎn).線(xiàn)段力。的垂直平分線(xiàn)/和半徑

C。相交于點(diǎn)P,當(dāng)。在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)戶(hù)的軌跡為T(mén).

(1)求丁的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)C,力分別作直線(xiàn)交7于笈，D,E,F四點(diǎn)(八下在x軸的上方)，旦BD//EF.

(i)判斷四邊形BOE夕的形狀(只提供結(jié)論，無(wú)需證明)；

(ii)求四邊形面積的最大值.

18.已知四棱錐尸一力3c。的底面48c。是平行四邊形，4P=4Q=4,<B=3,P4工平面從BCD.

(1)若平面尸彳。與平面尸8C的交線(xiàn)為/,證明：BCUlx

(2)若平面JL平面PQC

(i)求平面與平面尸8。夾角的余弦值；

(i:)判斷四楂錐48co是否存在內(nèi)切球，若存在，求出內(nèi)切球半徑：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.為促進(jìn)消費(fèi)，某電商平臺(tái)和生產(chǎn)商在本周聯(lián)合推出“有獎(jiǎng)闖關(guān)”活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：消費(fèi)者成功闖過(guò)

第一關(guān)獲得基礎(chǔ)券(獲得10元基礎(chǔ)券的概率為0.6,獲得20元基礎(chǔ)券的概率為0.4).闖過(guò)第一關(guān)后，可

進(jìn)行第二關(guān)闖關(guān)，成功闖過(guò)第二關(guān)后可獲得進(jìn)階券20元，目.這兩種優(yōu)惠券可疊加使用抵扣支付金額.已知

消費(fèi)者闖過(guò)第一關(guān)的概率為Po,聞過(guò)第二關(guān)的概率為〃.某生產(chǎn)商將商品定價(jià)100元，成本41元優(yōu)惠券

成本由牛?產(chǎn)商承擔(dān)基礎(chǔ)券面額的30%,進(jìn)階券面額的50%.

(1)若Po=O$,p=0.5,記消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)一件該商品的實(shí)際支付金額為X(單位：元)，求X的分布列

和數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(2)設(shè)所有消費(fèi)者均闖過(guò)第一關(guān)獲得了基礎(chǔ)券，推出活動(dòng)后商品購(gòu)買(mǎi)概率為?P)=0.2+0.4〃+().2〃2,

記生產(chǎn)商銷(xiāo)售一件該商品的期望利潤(rùn)為/(p)(單位：元).(期望利潤(rùn)=購(gòu)買(mǎi)概率x(支付金額的期望-商

品成本)-優(yōu)惠券成本的期望)

(i)求/(p)關(guān)于P的函數(shù)表達(dá)式：

(ii)證明：/(p)在［0內(nèi)內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)，并求當(dāng)P為何值時(shí)，商家期望利潤(rùn)/(P)最大？最大期望

利潤(rùn)是多少？(結(jié)果保留1位小數(shù))

2026年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

西寧市高三年級(jí)復(fù)習(xí)檢測(cè)（一）

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)

在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1A技

Z=—H1-

1.已知22,則z的虛部為（）

【答案】D

【解析】

【分析】若Z-4+磯4,%R）,則I=a—bi（dbuR）,三的虛部為-6,利用這些公式求解.

【詳解】vz=l+^i>』的虛部為一更，故選項(xiàng)D正確.

22222

故選：D.

2.設(shè)集合力二{2,3,。},8={1,6},若BqA,則4中各元素之和為（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的關(guān)系和元素與集合的關(guān)系確定。的值，進(jìn)而求得結(jié)果.

【詳解】由8=4可知164，于是只能。=1,

故,4中各元素之和為1+2+3=6.

3.若awR且則下列結(jié)論正確的是（）

A.ac>cB.ac:>c2C.a2>aD.a+c>\

【答案】C

【解析】

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)c<0時(shí)，由。>1,得ac<c,故A錯(cuò)誤；

對(duì)干B,當(dāng)c=0時(shí)，有叱2=°2,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,因?yàn)椤?gt;1,所以。?a>La,即a?〉。，故C正確；

對(duì)于D,若。=2,。二一2,則〃+c=0,不滿(mǎn)足故D錯(cuò)誤.

4.已知向量￡3滿(mǎn)足￡石=-3，旦出|=2,則向量"在向量B上的投影向量為（）

3-3-3-3-

A.——bB.一一bC.-bD.-b

4224

【答案】A

【解析】

【分析】宜接根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.

a-h-3-

【詳解】因?yàn)閨可=2,且5.萬(wàn)=-3，由投影向量的定義，向量）在石上的投影向量為：~Y^-b=--b.

叫“4

故選：A.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)x=。，QER與函數(shù)y=/（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.0或1D.0或1或2

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)函數(shù)定義可知，當(dāng)〃在定義域中時(shí)，直線(xiàn)x與函數(shù)y=/（x）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)〃不在定義域中時(shí)，直線(xiàn)x與函數(shù)y=/（x）的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，

所以直線(xiàn)X=a,QWR與函數(shù)歹=/（x）的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為。或1.

6.2026年央視春晚舞蹈機(jī)器人節(jié)目《武Bot》驚艷全球！其中，機(jī)器人以“似倒非倒”的姿態(tài)將醉拳的飄逸

與力量完美融合.根據(jù)系統(tǒng)日志，一個(gè)機(jī)器人執(zhí)行“后空翻''任務(wù)時(shí)，落地狀態(tài)僅存在三種互斥的情況：

①平穩(wěn)落地（概率為0.7）：動(dòng)作精準(zhǔn)，必定能站穩(wěn)；

②踉蹌落地（概率為0.2）：重心咯偏，90%能站穩(wěn)；

③近乎倒地（概率為0.1）：姿態(tài)失衡，5（）%能站穩(wěn).

則這個(gè)機(jī)器人執(zhí)行后空翻任務(wù)時(shí)能站穩(wěn)的概率為（）

A.0.9B.0.91C.0.92D.0.93

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全概率公式求解即可.

【詳解】P=0.7+0.2x0.9+0.1x0.5=0.93.

7.已知直線(xiàn)/：3x+4y-2=0與圓G/十/一2X一2j一2=0相交于4B兩點(diǎn),則劣弧標(biāo)的長(zhǎng)為

()

8兀4n32兀

A.—B.—C.27rD.—

333

【答案】B

【解析】

【分析】由弧長(zhǎng)公式進(jìn)行求解.

【詳解】圓C：Y+yZ-Zx-Zy-ZuO化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-l『+(y-l『=4,

圓心。(1,1),半徑廠(chǎng)=2,

則點(diǎn)C到直線(xiàn)/：3x+4y—2=0的距離為：|兇='+：一斗=1,

而忸C|=2,CH1AB,

得乙4cB=2/BCH=2x三=」,

33

則劣弧力B的長(zhǎng)為：-^-x2=?

故選：B

(元、1

8.已知函數(shù)/(x)=sinxv--,當(dāng)x?0,20]時(shí)，把/'(x)的圖象與直線(xiàn)y=一的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)限

I6J2

依次記為。”。2，。3,…，。〃，記它們的和為S”，則s.=()

1160580560280

I.----B.一C.——D.——

3333

【答案】B

【解析】

【分析】求出函數(shù)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，再結(jié)合數(shù)列求和計(jì)算即可.

【詳解】解：由sin(心:-2]二:，則兀=+U或2E+?兀，kvZ

\62666

解得x=2左+—或2k+l,keZ

3

1755

所以q=§，a2=1,%=§，%=3,…，a19=—,a2Q=19

所以。C71355、々\ug-x(l+55)xl0(1+19)x10280580

1AA故B

一o(3333J,3233

正確.

故選：B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說(shuō)法正確的是()

A.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則個(gè)體，〃被抽到的概率是

0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)大于中位數(shù)

C.數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位數(shù)是21

D.甲乙丙三種個(gè)體按3:1:2的比例分層抽樣，如果抽取的甲個(gè)體數(shù)為9,則樣本容量為18

【答案】AD

【解析】

【分析】利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的意義判斷A；求出眾數(shù)、中位數(shù)為斷B；求出第70百分位數(shù)判斷C；利用分

層抽樣的意義求出樣本容量判斷D作答.

【詳解】對(duì)于A,個(gè)體〃?被抽到的概率為3=0.1,A正確；

50

對(duì)于B,數(shù)據(jù)1,2,3,3,4,5的眾數(shù)為3,中位數(shù)為3,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,數(shù)據(jù)27,12,14,30,15,17,19,23從小到大排列為：12,14,15,17,19,23,27,30,

由于8x70%=5.6,因此給定數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是23,C錯(cuò)誤；

93

對(duì)于D,令樣本容量為〃，依題意，-=-------,解得〃=18,D正確.

n3+1+2

故選：AD

10.已知雙曲線(xiàn)。：二-二=1(〃>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片，外,直線(xiàn)/過(guò)點(diǎn)鳥(niǎo)，且與雙曲線(xiàn)的右支交

a“3

于48兩點(diǎn)，其中4點(diǎn)位于第一象限.若|力同二7,△片45的周長(zhǎng)為18,點(diǎn)「為雙曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.tz=1

B.點(diǎn)7到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為定值

C.過(guò)點(diǎn)。(1,1)的直線(xiàn)4與雙曲線(xiàn)。相交于M,N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足。為線(xiàn)段MV的中點(diǎn)，則直線(xiàn)4為

3x-y-2=0

D.若/月環(huán)=三，則△1碼的面積為36

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義可判斷A；根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可判斷B；根據(jù)點(diǎn)差法可判斷C；根據(jù)雙

曲線(xiàn)的定義，余弦定理，面積公式可判斷D.

【詳解】對(duì)于A：根據(jù)雙曲線(xiàn)定義對(duì)右支上點(diǎn)48,有146Hz瑪1=2%|%|一|BF2\=2at

相加得:(I4用+1明|)-(|AF2M鳴1)=4〃①,

由|附+|明|+|451=18,得14"1+1姐|=11,

代人①得：11-7=4?^/=1,故A正確；

對(duì)于B：由。=1,〃=3,得雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)為丁=±瓜，即、&土y=0,

設(shè)7(%，%)，滿(mǎn)足片一堂■川始片一*=3，

「到兩漸近線(xiàn)距離乘積；44J"0一%I」百%十.%二3工■.博二3為定值,故B正確;

2244

22

對(duì)于C:設(shè)"（不,必）,汽（工2，，2），則x：-,=l，X?-^y=11

兩式相減得-石）一=o,

3

由。（1,1）是中點(diǎn)得用十八=2,%十%=2,得斜率4=匕二A=史匚?=3,

Ff必+外

直線(xiàn)4的方程為y_l=3（x—l）即3工_?-2=0,

3x-?y-2=0

聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn):2y2整理得6/一12工+7=0,

x--=1

判別式A=144—168=-24<0,無(wú)實(shí)根，不存在這樣的直線(xiàn)，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：設(shè)ITF]\=m,\TF2\=n,由雙曲線(xiàn)定義Im-n\=2a=2,

平方得"/+1—2"〃?=4；^F(TF2=—,|￡瑪|=2。=4,

由余弦定理：16=〃7?+/—〃〃7，聯(lián)立得〃皿=12,

面枳S=，〃7〃sin四=，x12x—=3?故D正確.

2322

11.若數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，且2S”=%+1,在數(shù)列｛為｝的前〃+2（〃￡]<）項(xiàng)中任取兩項(xiàng)都是

正數(shù)的概率記為匕，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.鳥(niǎo)=2B.必」<鳥(niǎo).C.P2n<PMD.

O

a-I+P2n<%+1+&+2

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)2,再按〃為奇數(shù)、偶數(shù)分類(lèi)求出門(mén)并逐項(xiàng)求解判斷.

【詳解】數(shù)列應(yīng)｝中，2s.=%+1,當(dāng)〃22時(shí)，2%=2S「2Si=%-%,則％=-％…

而2al=2S[=q+1,解得q=1,

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為1,公比為一1的等比數(shù)列，

當(dāng)〃=2%-1,%EN*時(shí)，數(shù)列｛%｝的前2A+1項(xiàng)中，有（4+1）個(gè)正數(shù)，k個(gè)負(fù)數(shù),

C+1二代上+1)=k+1

任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為P”_\

Cl十一(24+1).2〃一就+2

當(dāng)〃=2%,〃EN*時(shí)，數(shù)列｛%｝的前2A+2項(xiàng)中，有（人+1）個(gè)正數(shù)，（左+1）個(gè)負(fù)數(shù),

_C2「>一+1)=k

任取兩項(xiàng)都是正數(shù)的概率為P

lk一C&2-(2〃+1)(2〃+2)-4k+2

對(duì)于A,4=!，A正確;

6

n+\

對(duì)于B，P-\‘焉"七’口錯(cuò)誤,

2n~4w+2

J；4-1nn+\

對(duì)于C%=碇'&一&+2=<0,C正確;

4〃+24〃+6(4〃+2)(4〃+6)

〃+1n/〃+2〃+1、11八

對(duì)于D,(七_(dá)]+&)-(&+]+6“+2)=()-(-----+-----)=-----=0,D錯(cuò)誤.

4〃+24〃+24〃464〃+622

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為<7,若。2，3%,生成等差數(shù)列，則夕=

【答案】2

【解析】

【分析】由條件結(jié)合等差數(shù)列定義可得2x3%=%+%，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求其解，可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝的公比為9,且%>0,所以q>0,

因?yàn)椤?，3q,%成等差數(shù)列，

所以6q=。臼+。“2,又qwO,

所以q2+g-6=0,

所以，/=一3（舍去）或夕=2,

所以<7=2.

故答案為：2.

13.已知定義在R上的偶函數(shù)/（工）滿(mǎn)足/（x-2）=/（-x）,且xe[l,2]時(shí)，/（x）=ln（x+a）,若

X==是/(X)的一個(gè)零點(diǎn)，則。的值為

【答案】一二㈱-05

2

【解析】

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為偶函數(shù)，

所以/'(-X)=/(%),

所以/(x-2)=/(r)=/(工)，

所以函數(shù)/(X)的周期為7=2,

所以/(竽卜根x2+捫/臥/卜￡|={|}

Q05

由題意知，f=0,

(3、(3)

即/—=In—+a=0,

O\2J

解得a=——.

2

14.三棱錐的一組對(duì)棱長(zhǎng)為。，其余四條棱長(zhǎng)均為1,則該三棱錐體積最大值為.

【答案】空

27

【解析】

【分析】由題意畫(huà)出圖，先證明出8CJL平面4￡。，根據(jù)圖由三棱錐的體積公式，構(gòu)造函數(shù)

/(〃)=2/>0),利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可.

【詳解】由題意畫(huà)出棱錐的圖形，AB=CD=BD=AC=\,AD=BC=a；

取BC4O的中點(diǎn)分別為E/.則8。_1力￡,8。_1。瓦力￡「1。￡=￡,4瓦”匚平面力￡。,所以

8C_L平面ZE。，

AE2=AB2-{-BC\=\--^,FE2=AE2AD\=\--a2--a~=\--a\

U)412J442

令f（。）=2a4-a6,（a＞=8a3—6/=a5（8—6a?）,

當(dāng)Ova愕/（40J（〃）在（o，￥卜調(diào)遞增，

當(dāng)0＞半J'（a）＜0J（a）在（苧,+e單調(diào)遞減，

故當(dāng)〃=2叵時(shí)，體積叱as取得最大值2叵.

327

故答案為：空

27

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知/（x）=-bx+4在x=2處取得極小值一g.

（1）求/（X）在x=3處的切線(xiàn)方程；

（2）若kwR,討論g（x）=/（》）+〃零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】⑴5x-y-14=0

（2）答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由題意可得/'（2）=0,/（2）=-g,聯(lián)立等式可得函數(shù)/（X）,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得

切線(xiàn)方程；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)及三次函數(shù)性質(zhì)可得其圖象，結(jié)合圖象可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得/'（X）=3。小一〃.因?yàn)?（x）在x=2處取得極小值—g,

'/"(2)=12"b=0

,解得。二,，6=4,

(4

/(2)=8。-2"4二――3

L3

所以/(工)=；/一41+4,/'(工)=/一4,

故/(3)=；、27—12+4=1,/'(3)=9-4=5,

則切線(xiàn)方程為y-l=5（x-3）,即5x-y-14=0；

【小問(wèn)2詳解】

令g(x)=/(x)+%=。,所以/(%)=一女.

令f'（x）=O,解得x=—2或x=2.則X,/'（X）,/（X）的關(guān)系如下表:

X(-00,-2)-2(-2,2)2(2,+00)

小）十0—0十

284

/W單調(diào)遞增T單調(diào)遞減-3單調(diào)遞增

作出函數(shù)/（x）的圖象如下:

2Q4

②當(dāng)〃〈一丁或女〉§時(shí)，g（x）有一個(gè)零點(diǎn);

284

③當(dāng)一鼻時(shí)，g（x）有三個(gè)零點(diǎn).

JJ

16.已知函數(shù)/(x)=2>/3sinxcosx-2cos2x+1.

（1）求函數(shù)/'（X）的最小正周期，以及在［0,2句內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）在V44C中，角力，B,。所對(duì)的邊分別為dAc,若/（4）=2,S"BC=G,b+c=5,求。的

長(zhǎng).

IT57r47r11jr

【答案】（1）最小正周期為兀，在[0,2兀]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,-,—,—,2K

L3J[_63J]6

⑵V13

【解析】

【分析】（1）由/（x）=2jJsinxcosx—2cos21+1,利用二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，再據(jù)此計(jì)算最

小正周期及單調(diào)增區(qū)間即可：

（2）由/（力）=2,得力二利用三角形面積公式1”c=Jbcsin/,得加=4,利用余弦定理，計(jì)算

即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意得/（》）=2jJsinxcosx-2cos2x+\

=石sin2x-cos2x=2sin2x——cos2x

2

=V3(2sinxcosx)-(2cos2x-l)=2sin2xcos--cos2xsin—

66J

=2sin(2x~—,即/"(x)=2sin2x~—

6J6

2Tljr717r

所以最小正周期為丁=——二兀，令一一+2kn<2x一一4一+2kn,kwZ,

2262

解得---FkuWxW—Fku,%￡Z,令----FkuW2兀,口J"得左W—,

6366

令巳+4兀20,可得AN-；,又因?yàn)椋Z,所以4=0』,2,

當(dāng)太=0時(shí)，為一Kn[O,27t]=0,?,

,,,,「5兀4兀]「八c7「5兀4兀

當(dāng)犬=1,為—n[0,27t]=—

03」LO3_

11花7兀]?■八-1「11兀/

當(dāng)人=2,為n[0,27i]=二一,2兀

636

TT57r47r11jr

綜上，在[。,2兀]內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)何為0,—,—,,2兀.

L3J163J16

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?（力）=2,所以/（4）=2sin2A--=2,

<6，

即sin24一仁）=1,24—5=1+2/rn;（k€Z）,解得4=g+kn（k€Z）,

又,4e（0,7i）,故/=彳，因?yàn)椤闧8C=J^，所以二力csin；=,

\3&/Ii>VG2

解得bc=4,乂6+c=5,

由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA=（/>+c）2-26cl+cosy^j

=52—2x4x[l+；）=13,故"瓜

17.如圖，C（-l,0）,4（1,0）,圓C的半徑為4,。是圓C上任意一點(diǎn).線(xiàn)段力。的垂直平分線(xiàn)/和半徑

C。相交于點(diǎn)當(dāng)。在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記動(dòng)點(diǎn)。的軌跡為7.

(1)求丁的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)C,力分別作直線(xiàn)交丁于8,D,E,尸四點(diǎn)(6,尸在x軸的上方)，旦BD//EF.

(i)判斷四邊形尸的形狀(只提供結(jié)論，無(wú)需證明)；

(ii)求四邊形8OE廠(chǎng)面積的最大值.

【答案】(1)工+22=1

43

(2)(i)平行四邊形；(ii)6

【解析】

【分析】(1)連接4,由題意可得|尸C|+|尸㈤=4〉|力。=2,即可得到動(dòng)點(diǎn)/>的軌跡是以。(一1,0),

4（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而求解即可；

（2）（i）結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可判斷；

（ii）由（i）易得四邊形BOE/面積為S=4S0QM，設(shè)直線(xiàn)的方程為“〃少+1,

片（演,凹），尸（12，8），聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得表示出

s-4s-_______二________

37^71」，令/=J〃/+1,/>1,進(jìn)而結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

y1m2+1

【小問(wèn)1詳解】

連接尸4,由題意知，|PC|+|F=|PC|+|P0|=|cq=4>KC|=2,

則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以c（-l,o）,.4（1,0）為焦點(diǎn)的橢圓，

即2Q=4,C=1,則〃=2力2=/一。2=3,

所以丁的方程為工+或=1.

結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性，易知忸。|二|即

則四邊形BDEF為平行四邊形.

（ii）由（i）知，四邊形BQEb為平行四邊形，。為其中心,

則四邊形BDEF面積為S=45.3/,

由題意，設(shè)直線(xiàn)石產(chǎn)的方程為x=〃?y+l,E（X1,y1/伍,h），

x=my+1

聯(lián)立〈Yy2,得（3加2+4）y2+6my—9=0,

+-1

43

則A=36〃/+36（3〃7?+4）=144〃/+]44>0,

6m9

%+必=,必=

3m2+43m2+4

則凡爾=；|?|必-V2I=JX1xJ（必十%『-4必必

16，/+1

03/?2+4

_24A/W2+1_24j〃/+]=24

則四邊形BOER面積為>='。卬=3加2+4=3（加2+1）討=37^71+—「

\lm2+1

_____S一〃八=24

令-4717,d1，則i尸夕+1，

因?yàn)楹瘮?shù)）,=3Z+；在[1,+oc）上單調(diào)遞增，則3，+123+1=4,

「“、24,24/

S=f（1]=-----<—=6

則M.1-4，即四邊形8。律面積的最大值為6.

jtH—

18.已知四棱錐尸—4ACO的底面44C。是平行四邊形，<P==4,48=3,P/工平面力BCD.

P

（1）若平面產(chǎn)力。與平面尸8C的交線(xiàn)為/,證明：BC//L

（2）若平面P/OJL平面"C

（i）求平面4。與平面P8c夾角的余弦值；

（i：）判斷四楂錐尸-45d）是否存在內(nèi)切球，若存在，求出內(nèi)切球半徑；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

4

(2)(i)-；(ii)不存在，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)首先證明867/平面40,利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)即可證明結(jié)論;

(2)(i)以點(diǎn)］為坐標(biāo)原點(diǎn)，而所在的方向?yàn)閤軸，益所在的方向?yàn)閂軸，/所在的方向?yàn)閦軸建

立坐標(biāo)系，分別求出平面與平面PAC的法向量，利用向量夾角公式求解即可;

(i：)假設(shè)四棱錐尸-/4CO存在內(nèi)切球，內(nèi)切球的半徑為廣，根據(jù)棱錐內(nèi)切球半徑公式求得

8,J888

且求t出0----/=,----/=,----7=,計(jì)算球心。到平面尸8C的距離d=與半徑

6+616+及6+V26+V2

比較即可得到結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)榈酌?8CQ是平行四邊形，故平面產(chǎn)力。，可得3。//平面尸4),

又因?yàn)锽Cu平面P8C,平面PBCn平面4。=/,所以BC”l.

【小問(wèn)2詳解】

在平面PAD內(nèi)過(guò)點(diǎn)力作4E_LPD于點(diǎn)E,

因?yàn)槠矫鍶_平面PDC,所以力E_L平面POC，故4EJLQC,

又因?yàn)槭?_LZ)C,又因?yàn)槭诹蠖Γ?/p>

所以QCJ.平面PAD,有QCJ_.所以平行四邊形ABCD為長(zhǎng)方形.

如圖所示，以點(diǎn)力為坐標(biāo)原點(diǎn)，1方所在的方向?yàn)閄軸，力分所在的方向?yàn)閥軸，五p所在的方向?yàn)閦軸建

立坐標(biāo)系.

則有4(0,0,0),。(4,0,0),8(0,3,0),0(0,0,4),C(4,3,0).取平面的法向量為％=(0,1,0),

設(shè)平面PBC的法向量為萬(wàn)2=(x,y,z),沅=(4,0,0)，加二(0,-3,4),

BCn2=04x=0

則有代入得《，取方2=(0,4,3),

而％=0—3y+4z=0

%?萬(wàn)2=4

設(shè)平面上”>與平面所成用為〃，貝

PACijcosd=|國(guó)同=5

=66、S.PBC

(3)易知S^PAD=8,S^PAB=66PDC:二3BCD=12,

假設(shè)四棱錐。-44co存在內(nèi)切球，內(nèi)切球的半徑為人

則有1(8+6+6近+10+12)"='x12x4,解得尸=—二=

336+V2

'888]

設(shè)內(nèi)切球球心為0,根據(jù)圖形特征，必有。、6+"6+應(yīng)'6+⑸

'88

B0=

、6+收6+應(yīng)

BO%8

則球心。到平面PBC的距離”=y與內(nèi)切球與平面尸8c相切矛盾,

故四棱錐尸一力6。不存