2026年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：幾何三大變換熱點（折疊、旋轉(zhuǎn)、平移及綜合應(yīng)用）原卷版

專題02幾何三大變換熱點

（折疊、旋轉(zhuǎn)、平移及綜合應(yīng)用）有關(guān)的4類核心題型

目錄

第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向

第二部分方法建模構(gòu)建方法體系，提供通用工具

【結(jié)論背記清單】

方法一折疊變換應(yīng)用及技巧

方法二旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用及解題技巧

方法三平移變換應(yīng)用及解題技巧

方法四三大變換綜合應(yīng)用及解題技巧

第三部分題型專攻實施靶向訓(xùn)練，提升應(yīng)試效率。

【題型01】折疊變換應(yīng)用

【題型02］旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用

【題型03】平移變換應(yīng)用

【題型04］三大變換綜合應(yīng)用

第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學(xué)習(xí)成效，錘煉應(yīng)用能力

01命題解碼.

I.考向聚焦（精煉概括本專題在中考中的核心考查方向與價值）

核心考向1:折疊（軸對稱）一一高頻基礎(chǔ)+中檔壓軸.側(cè)重考查折疊的軸對稱性質(zhì)（對應(yīng)邊、

對應(yīng)角相等，對稱軸垂直平分對應(yīng)點連線），常結(jié)合直足三角形、矩形、菱形，求解邊長、角度、

面積，是中考必考點。

核心考向2：旋軌一一壓軸核心，聚隹旋轉(zhuǎn)不變性（對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)角相等），常與

等腰三角形、全等/相似、坐標(biāo)系結(jié)合，考查最值、存在性、圖形構(gòu)造，是區(qū)分度核心題型（如

半角模型、旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等）。

核心考向3：平移一一基礎(chǔ)融合型，側(cè)重平移的性質(zhì)（對應(yīng)邊平行且相等、對應(yīng)點連線平行且相

等），多與函數(shù)、網(wǎng)格、多邊形結(jié)合，考查坐標(biāo)計算、圖形面積，難度適中，常作為基礎(chǔ)大題或

壓軸題鋪墊。

共性考向：三大變換均側(cè)重“轉(zhuǎn)化思想”，將分散的條件集中，實現(xiàn)“化繁為簡”，貼合中考“幾

何直觀、邏輯推理”核心素養(yǎng)要求。

2.思維瓶頸（精準(zhǔn)診斷學(xué)生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）

瓶頸1：性質(zhì)應(yīng)用不靈活，無法快速關(guān)聯(lián)三大變換的核心性質(zhì)（如折疊忽略”對稱軸垂直平分對

應(yīng)點連線”，旋轉(zhuǎn)遺漏“旋轉(zhuǎn)角相等”），導(dǎo)致無法找到解題突破口。

瓶頸2：圖形構(gòu)造能力薄弱，面對旋轉(zhuǎn)、折疊的動態(tài)問題，不會通過“還原圖形”“構(gòu)造全等/

相似"轉(zhuǎn)化條件，難以將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題求解。

瓶頸3：分類討論不全面，針對折疊中的“落點位置”、旋轉(zhuǎn)中的“旋轉(zhuǎn)方向”（順時針/逆時針），

容易遺漏特殊情況，導(dǎo)致漏解；平移問題中忽略定義域（動點范圍）。

瓶頸4：幾何與代數(shù)銜接不暢，在坐標(biāo)系中遇到變換問題時，不會將圖形變換轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計算，

無法建立幾何性質(zhì)與代數(shù)表達式的關(guān)聯(lián)。

02方法建模.

匹姑論背記

一、三大變換核心基礎(chǔ)公式（解題地基，必背必用）

核心原則：三大變換均為全等變換，變換前后圖形的形狀、大小不變，僅位置改變，對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對

應(yīng)線段長度、對應(yīng)角平分線/中線/高均相等。

（一）平移基礎(chǔ)公式

1.坐標(biāo)平移公式（中考高頻，適配平面直角坐標(biāo)系+動點平移）

點P（x,y）沿欠軸方向平移：向右平移a個單位fPi（x+a,y）；向左平移a個單位f尸式3-a,y）（a>0）

點P（x,y）沿y軸方向平移：向上平移b個單位fPi（x,y+b）；向下平移b個單位一Pi（x,y-b）（b>0）

斜向平移（拓展）：沿與工軸成。角方向平移A個單位-Pi"+kcosa,y+Asina）（中考偶爾考，多用

于幾何最值）

2.平移核心關(guān)聯(lián)公式

平移距離：對應(yīng)點連線長度（即平移的路程），公式：d=J（X2-x1）2+&2—力）2（兩點距禽公式,

與二次函數(shù)專題銜接）

平移后線段關(guān)系：對應(yīng)線段平行（或共線）且相等，對應(yīng)線段所在直線斜率相等（自=心）

（二）折置（軸對稱〉基礎(chǔ)公式

1.軸對稱核心性質(zhì)公式

對應(yīng)點連線：被對稱軸垂直平分，即對稱軸是對應(yīng)點連線的垂直平分線

垂直平分線公式：若兩點4（必,為）、8（次,丫2）關(guān)于直線，對稱，貝IJ：

對稱軸/的斜率叫與AB的斜率心B滿足：k1-kAB=-1（垂直）

48的中點（華，華）在對稱軸I上（平分）

2.折疊常用基礎(chǔ)公式

折段后對應(yīng)邊相等：AB=AB\對應(yīng)角相等：4A=^"（核心，用于求邊長、角度）

折疊中的勾股定理：折疊后形成直角三角形，可列方程：a?+b2=c2（中考折疊題必考，求邊長/

折疊高度）

（H）旋轉(zhuǎn)基礎(chǔ)公式

1.旋轉(zhuǎn)核心性質(zhì)公式

旋轉(zhuǎn)中心到對應(yīng)點距離相等（旋轉(zhuǎn)半徑）：OA=OA'、OB=OB'（0為旋轉(zhuǎn)中心）

旋轉(zhuǎn)角相等：々AOA'=/BOB'=。（8為旋轉(zhuǎn)角，中考常考30°、45°、60°、90°、180°）

2.特殊旋轉(zhuǎn)角坐標(biāo)公式（中考高頻，平面直角坐標(biāo)系+旋轉(zhuǎn)動點）

點P（%,y）繞原點。順時針旋轉(zhuǎn)90°—Pi（y,-x）

點P（x,y）繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°-P]（-y,x）

點P（x,y）繞原點。旋轉(zhuǎn)180°-P/—x,—y）（中心對稱，中考常考）

>>o

點P(x,y)繞原點。旋轉(zhuǎn)60"(拓展)：P1(xcos600—ysin60,xsin604-ycos600)

3.旋轉(zhuǎn)關(guān)聯(lián)公式

旋轉(zhuǎn)弧長（拓展，部分地區(qū)中考考）：1=粵（幾為旋轉(zhuǎn)角，r為旋轉(zhuǎn)半徑）

二、三大變換萬能建模公式&拓展公式（中考解題神器，全國通用）

核心：將三大變換轉(zhuǎn)化為“坐標(biāo)運算”或“幾何等量關(guān)系”，適配中考高頻題型（最值、存在性、計算），

直接套用可快速破題。

（一）平移萬能建模公式（適配：平移+動點+最值/計算）

2.平移最值萬能公式

模型：動點P沿某條直線平移，求P4+PR的最小值（、48為定點）

公式：將點力（或0）沿平移方向平移k個單位（A為平移距離）得到則PA+PB的最小值=勾3（兩

點距離公式計算）

關(guān)鍵：平移后轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”，本質(zhì)是將軍飲馬模型的平移變形

3.平移綜合建模公式（平移十二次函數(shù)/四邊形）

若圖形4BCD平移后得到4夕。設(shè)平移向量為（a,b）,則任意對應(yīng)點坐標(biāo)滿足：x，=x+a,/=

y+b（、a、b為平移量，可通過已知對應(yīng)點求解）

適用場景：求平移后圖形的頂點坐標(biāo)、判斷平移后圖形與拋物線的交點個數(shù)

（二）折疊萬能建模公式（中考Topi熱點，適配：折疊+最值/存在性/計算）

3.折疊求邊長/角度萬能公式

核心：設(shè)未知數(shù)f利用“折疊對應(yīng)邊相等”表示各邊長度一在直角三角形中套用勾股定理

萬能關(guān)系式：折疊前邊長折疊后邊長折疊前邊長=折疊后邊長，直角邊直角邊斜邊直角邊2+直角

邊2=斜邊2

示例：矩形折疊后，頂點落在另一邊，設(shè)折疊后重合的邊長為％,用矩形邊長表示出直角三角形的三

邊，列勾股定理求解（中考必考題型）

4.折售最值萬能公式（將軍詼馬+折疊）

模型：點P是折疊后的動點，求PH+P8的最小值

公式：利用折疊的軸對稱性，找到點4（或8）的對稱點4（折疊后的對應(yīng)點），則PA+PB的最小

值=48（兩點距離公式計算）

拓展：折疊后求點到直線的最短距離，直接轉(zhuǎn)化為“對稱點到直線的距離”（垂線段最短）

4.折疊存在性萬能公式

模型：判斷平面內(nèi)是否存在點P,使折疊后某兩點重合/某圖形為特殊圖形（等腰三角形、矩形）

公式：①對稱點連線的垂直平分線（對稱軸）；②折疊后對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等；③特殊圖形

的判定條件（如等腰三角形：兩邊相等），聯(lián)立求解點P坐標(biāo)

3法歸納

方法一折疊變換應(yīng)用及技巧

利用折疊前后圖形全等、對應(yīng)點連線被折痕垂直平分，找等邊長、等角度，結(jié)合勾股定理、相似列方程求

解。

例題1（2026?內(nèi)蒙古鄂爾多斯-一模）在平行四邊形中，進行如下折疊:

（1）如圖1,將A8CO沿EF折疊，使點C與點A重合,折痕與8C、AO邊分別交于點￡、￡求證：CE=AF：

⑵如圖2,E、尸分別是8C、AO邊上的動點，連接￡/，將oABC。沿EF折疊，點。落在點加處，點C

落在點C'處，EC'交AB于息G,。力‘分別交A3、AD于點H、K,如果FK=EG,請猜想死和。尸的數(shù)

量美系，并說明理由；

（3）在圖1的基礎(chǔ)上，連接所與AE交于點H,如圖3所示，若AB=2,BC=4,ZBCD=6（）0,請直談寫

出4BEH的面積.

例題2（2026?遼寧沈陽?一模）在VA3C中，AB=AC=5,BC=S,。是3C邊的中點，￡是射線84上

一點，將V8OE沿OE翻折得到點/是點4的對應(yīng)點.

（圖1）

⑴如圖1,點E在線段4A上,EF//BC,律分別交AC于點G,H.

①求證：四邊形跳7克＞是菱形；

②連接￡心，求△￡)＜小的面積；

⑵如圖2,點E在剛延長線上，。￡即分別交AC于點M,N.連接防，CF,若ZA8尸=90。-ZA8C,

求C尸的長.

例題3(2026?河北石家莊-一模)【主題研究】利用正方形或矩形紙片折疊出特殊度數(shù)的角.

【操作1】如圖1,對折矩形紙片A8CO,使A。與8C重合，得到折痕把紙片展平.在8c上選一點P,

沿"折疊A/L使點夕恰好落在折痕￡尸上的點用處.結(jié)論是：ZBAP=30°,請你說明理由.

【操作2】如圖2,已知正方形A8CZ)的邊長為4.按與【操作1】相同的步驟得到折痕石尸，連接將A。

沿AF折疊，使點。落在正方形ABCD內(nèi)的點M處.

(1)尺規(guī)作圖：在圖2中畫出點〃的位置，連接歷必并延長交8c于點連接人”，AP.

⑵求/PAF的度數(shù)與BP的長.

方法二旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用及解題技巧

抓住旋轉(zhuǎn)前后圖形全等、旋轉(zhuǎn)角相等、對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，構(gòu)造等腰/直角三角形，轉(zhuǎn)化線段與

角度關(guān)系解題。

例題1(2026?貢州遵義?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點。(-2,0)，點”是直線AB：y=^x+2

上的一個動點，連接尸M，將PM繞點〃逆時針旋轉(zhuǎn)90。到PN,連接ON,則線段ON的最小值是.

例題2(2026?遼寧沈陽?一模)如I圖cA8CQ中，過點8作BE_LOC,垂足為點E,將VBEC繞點8逆

時針旋轉(zhuǎn)90。得到點E落在A8上點尸處，點C落在：4ACQ內(nèi)部點G處，延長AG交A。于點，，

連接CG、EF,且CG與即交于點P,連接3P.

(1)求證：BHJ.AD；

(2)求證：BP=PG；

⑶在A8上取一點Q,連接。。、HQ,4。。=60。，AB=2或，AD=3,AH=\,求△A。。的面積.

例題3(2026?遼寧沈陽?一模)在VA8C中，AB=BC=ENA4C=90。，點。在BC邊上，BD=2,

以80為一邊做等腰其中/BOE=90。，BD=DE,點E在BC上方.

⑴如圖1,BE與AC交于點、F,求石戶的長；

⑵將圖1中的V8DE繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)a(00<?<9()0),

①如圖2,當(dāng)a=30。時，BE與AC交于點F,求所的長;

②如圖3,當(dāng)點A在邊OE上時，連接CE,求CE的長.

方法三平移變換應(yīng)用及解題技巧

依據(jù)平移后圖形全等、對應(yīng)線段平行且相等，結(jié)合坐標(biāo)平移規(guī)律，轉(zhuǎn)化線段位矍與長度關(guān)系。

例題1（2025?河南周口?一模）綜合與實踐

學(xué)完圖形的平移后，小慧為了加深理解，對其進行了進一步探究.

【模型感知】

（1）她把邊長為3的正方形紙片A8CQ沿著對角線AC剪開，如圖1.然后固定紙片V/WC,把紙片AADC

沿剪痕AC的方向平移得到△AOC,如圖2.連接44,D'B,DC,在平移過程中：

①四邊形A'8czy的形狀始終是________（點W與點C重合時除外）；

②求47?+。7?的最小值.

【拓展探究】

（2）如圖3,她把正方形改為邊長為1的菱形ABC。，ND48=60。，將以。。沿射線AC的方向平移得

到△AO'C,連接A'8,D'B,D'C,請直接寫出A3+￡>'8的最小值.

例題2（2025?山西長治?三模）綜合與探究

問題情境：

如圖1,在正方形A3CO中，E,F,G分別是A3,BC,邊上的點，連接O￡,GF.若DELGF,

判斷OE與G尸之間的數(shù)量關(guān)系.老師在課堂上給出如下分析：將G/沿AD方向平移到連接C”.根

據(jù)平移的性質(zhì)，可判斷四邊形"赤”是平行四邊形，再證明△力OESOZXCQ”,得至UDE=DH,繼而得到

DE=GF.

嘗試初探：

(1)老師提出該問題的變式問題：將正方形48C。改為菱形ABC。，4=60。，如圖2,E,尸，G分別

是A8,AD,3C邊上的點，連接AG與OE交于點若N￡MG=60。，猜想OE與AG之間的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由，

通過探究發(fā)現(xiàn)，可以利用平移這一手段，將有些條件集中在一起來解決問題.

遷移應(yīng)用：

(2)如圖3,在VA8C中，點。，￡分別在BC,AB邊上，且AO=CE,AD,CE交于點O,NAOE=60。.判

斷AE+CD與八。的大小關(guān)系，并說明理由.

拓展探究：

(3)如圖4,在正方形A8CO中，點E,尸分別在8C,AB邊上，過點尸作PG_L4E于點〃，交C。邊于

點G,連接￡7"AG.若AB=6,CE=2BE,請直接寫出4G+M的最小值.

例題3(2026?山西晉中-一模)綜合與探究

問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以矩形為背景探索幾何元素之間的關(guān)系.已知在矩形48CD中，AUGE,F

分別是反此的中點，點G在M邊的延長線上‘月裁=募連接小

⑴特例分析：如圖1,小睿同學(xué)畫出了=時的圖形，并提出如下問題，請你解答：猜想線段尸G與打

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

拓展探究：小玫同學(xué)繼續(xù)進行探究.如圖2,已知在矩形A3CQ中，A8=6,8C=8,她提出如下問題，請

你解答:

⑵①求此時或的值；

②將圖2中的刀瓦?從當(dāng)前位置開始，沿射線BC的方向平移得到△DEF（其中點。',￡尸分別是點

尸的對應(yīng)點），點P是平面內(nèi)的一點，請直接寫出以點力',E',G,P為頂點的四邊形是菱形時，」無戶平

移的距離.

方法四三大變換綜合應(yīng)用及解題技巧

先識別折疊/旋轉(zhuǎn)/平移類型，利用變換的全等性質(zhì)，結(jié)合勾股、相似、坐標(biāo)法，分類討論求解綜合問

題。

例題1（2026?陜西西安?三模）問題探究

圖1圖2

（1）如圖1,在RtZXABC中，BC=8,AC=6,點。是A8的中點，點。是8c上一動點，則。P+4P的最小

值為;

⑵如圖2,在等邊VA4C中，AB=6,點D,E分別在邊4C,4c上，且BD=CE,連接AO,BE交于

點尸，連接。尸，CF的最小值是多少？

⑶問題解決：如圖3,一家養(yǎng)老院的平面示意圖可抽象為直角梯形A8C。，經(jīng)測量可得N/WC=90。，

AO=1（X）6m,AB=430m,老年公寓位于點尸處，且取'=6（"^,根據(jù)養(yǎng)老院規(guī)劃，需要在邊A8上建

立一個半徑為20m的餐廳，即半圓，O,并在半圓。的三等分點何處設(shè)置餐廳入口，在半圓與人片交點N

處設(shè)置餐廳出口，同時以直角梯形A8CO的A力邊建設(shè)以點P為入口的老年活動中心△ADP,因活動中心場

地規(guī)劃需求，要使NA尸。=90。.線段MF、PN是要修的兩條道路，為節(jié)約成本，希望MF+PN最小,試

求M~+PN最小值及此時AN的長.

例題2（2025?天津河?xùn)|-一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點A（6,0）,點B在），軸的正半軸上,

4480=30。,ACO是等邊三角形，點C在第二象限.

圖①圖②

（1）填空：如圖①，點8的坐標(biāo)為,點。的坐標(biāo)為________；

⑵將.4CO沿x軸向右平移得到V*。。，點8,C,。的對應(yīng)點分別為匯，C；G.

①如圖②，設(shè)0。=/,一B'CO與A3。重疊部分的面積為S.當(dāng)VUCV與,./W0重疊部分為五邊形時，

夕。，BC,C。'分別與A830相交于點E,F,G,H,試用含有/的式子表示5,并直接寫出/的取值范

圍：

②連接45'、OC,當(dāng)A8'+OC取得最小值時，求點C的坐標(biāo)［直接寫出結(jié)果即可）.

例題3（2026-遼寧營口?一模）已知VABC中，AB=AC,/B=a,點。是邊5c上任意一點（不與

點8,C重合），將△A3。沿AO所在直線翻折，點4的對應(yīng)點為點E.

圖1

備用圖2

（1）如圖1,過點A的直線/〃4c.當(dāng)點七在直線/上時，請畫出點石和折痕4。（尺規(guī)作圖，保留作圖痕

跡，不寫作法），判斷此時四邊形A比比的形狀，并說明理由;

（2）連接￡C并延長，與A。的延長線相交于點F,

①如圖2,若AC=5,8C=8,當(dāng)。E1AC時，求。尸的長；

②當(dāng)點/）與BC中點不重合時，猜想A尸，CF,。石的關(guān)系（用含有a的式子表示），并說明理由.

例題4（2026?河北石家莊?一模）如圖1,將VA8C紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC

邊上，再將紙片分別沿等腰一8瓦）和等腰DHC的底邊上的高線所，偌折疊，折疊后的三個三角形拼合

形成一個矩形，類似地，對多邊形進行折置，若翻折后的圖形恰能拼成一個無縫隙、無重疊的矩形，這樣

的矩形稱為疊合矩形，

⑴將A8co紙片按圖2的方式折善成一個疊合矩形AE/P,則操作形成的折痕分別是線段

S炬彩AE/P'SyABCD

（2）A8CO紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH,若b=5,￡77=12,求A。的長.

⑶如圖4,四邊形A8C。紙片滿足AO〃8C,ADvBC,AB±13C,A8=8,CD=10小明把該紙片折疊,

得到疊合正方形.請你幫助畫出兩個不同疊合方式的疊合正方形的示意圖，并直接寫出AO,4c的長.

例題5（2026?陜西?一模）【問題背景】在幾何學(xué)習(xí)中，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以將一些零散、難以關(guān)聯(lián)

的條件進行有效轉(zhuǎn)化，從而使題目變得簡單.

（1）【問題提出】如圖1,在等邊VA8C中有一點尸，AP=3,4P=5,CP=4,求/APC的度數(shù):

（2）【問題解決】如圖2,某地計劃新建一個四邊形的休閑場所（四邊形A8CO）,在點AC處修建兩個管

理室，且兩個管理室AC的距離為600m.根據(jù)設(shè)計要求，將休閑場所分為△A8O與△8CQ兩部分，其中

在△4BO中，ZA=90°,AB^AD,用來作為游樂場，由管理室A負責(zé)管理；在△&?￡）中，NBCO=45。,

將它作為開心農(nóng)場，由管理室C負責(zé)，為了容納更多動物，要求開心農(nóng)場的面積盡可能大，請你利用所學(xué)

知識求出開心農(nóng)場(△BCO)的最大面積.

例題6(2026?河北滄州?一模)如圖，在矩形A8CO中，A8=6,AO=8,將邊AB繞點8順時針旋

轉(zhuǎn)研0。V。＜180。)得到44,連接A4',過點8作“產(chǎn)J_A4'于點E,交矩形ABCD邊于點?，連接A'A

A尸DAD

丁口

BCBC

備用圖

(1)當(dāng)點尸在邊AO上時，的度數(shù)為______；

(2)連接34,在旋轉(zhuǎn)過程中求出的最小值，并求出此時OF的長；

(3)若點A到直線BC的距離為3時，求邊K4掃過區(qū)域的面積；

(4)連接力月，直接寫出0月的最小值.

例題7(25-26九年級上-重慶?期末)如圖，在等腰三角形A8C中，AB=AC,點E在直線8。上，

點。是平面內(nèi)一點，連接AO.

A〃小

遺

ffllIfl2[113

⑴如圖1,若44C=60°,點E在線段BC上，BE=；AC=26連接AE,

將AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。至

AF,連接小，點。為4c中點，連接㈤，求出此時的面積；

⑵如圖2,若NB4c=120。，點。在V/WC外部，點E,點尸分別是BC,AD的中點，連接將E尸繞

點F順時針旋轉(zhuǎn)120。至/?、〃，連接4”,BD,HD,試猜想線段4〃和4。的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖3,若4/9=60%若點。是平面內(nèi)一動點，連接。。，將△AOC沿AO翻折得△AR2,當(dāng)。,

?

Q三點共線時，在線段3Q上取一點M使8V=§QC,點E是直線3c上的動點，將AE繞點￡順時針旋

S

轉(zhuǎn)12（）。至EK,連接KV,當(dāng)KV取最小值時，直接寫出彳乂也的值.

>dBCK

【題型01］折疊變換應(yīng)用（共10題）

1.（2026?湖北?模擬預(yù)測）如圖折疊一張長方形紙片，已知Nl=70。，則N2的度數(shù)是（）

C.20°I).110°

2.（2026?河南周口?一模）如圖，在oABCQ中，將A4DC沿對角線AC折疊后，點。恰好落在OC的

延長線上的點E處.若AB=2,6c=4,則BE的長是（)

A.272B.3C.2也1).2逐

3.（2026?江蘇連云港?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形O4BC的邊OC在1軸正半軸上，D為OA

邊上一點，連接CQ.將菱形0A5C沿C。折疊，點0落在點￡處，CEJ_44于點尸.若點尸的坐標(biāo)為（5,4）,

則點。的坐標(biāo)為（〉

x

1520201520251525、

77J177177J

4.（2026?江西南昌?一模）如圖，在菱形A8CO中，AB=3,4=120°,點E是對角線AC二佳尊一點，

連接。E,將線段OE沿著直線AD翻折，得到線段。/，若是等腰三角形，則氏/兩點間的距離

不可能為（）

B.3GD.&

5.（2022?江西贛州?模擬預(yù)測）如圖，在8c中，NBAC=6O°,ZC=80°,將叢CD沿A。折疊，使

點C與A3上的點E重合，若CO=4,則8E的長為.

5.

BDC

6.（2026?江西吉安?模擬預(yù)測）如圖，在V4BC中，AB=AC,N84C=120。，D,。分別為人8,8c上

的動點，將△8Z）P沿直線OP翻折（點B的對應(yīng)點為*）,使射線P9恰好經(jīng)過點A,若一幺8為等腰三角

形，則EMZ卯的度數(shù)為.

7.（2026?廣東深圳?二模）如圖，在VABC中，?B90?,ZC=30°,D,尸分別是BC,4c邊上一

點，將△A6O?沿AQ折疊得△AED,7CD尸沿DF折疊得二EDF,若'Afi=2,則石尸=.

8.（2026?山東淄博?一模）【問題情境】

某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了圖形旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識之后，在等腰三角形紙片上進行了關(guān)于旋轉(zhuǎn)的研究性學(xué)

習(xí).VAAC中，A8=AC=2.同學(xué)們在邊上取點。，連接AQ,將“KT）以點A為中心旋轉(zhuǎn)，由于同

學(xué)們所取點。的位置不同，/胡。的角度大小不同，產(chǎn)生了以下兩種方案.

AA

【探究感悟】

小明方案：取/B4C=90。，旋轉(zhuǎn)△人6使點。的對應(yīng)點次落到線段上；

（1）如圖1,小明發(fā)現(xiàn)，此時點。的對應(yīng)點C與點八的連線恰好平分/胡C,則線段。。的長是_____；

【深入探究】

小剛方案：如圖2,旋轉(zhuǎn).AC￡＞使點C的對應(yīng)點C落到點8上，折疊VA3C使點3與點。重合，折痕為EH；

（2）在圖2中找出與■相等的角，并證明；

⑶如圖3,尸為線段4）上的點，EF//BC.若EF=；BE,求CO的長.

9.（2026?遼寧鐵嶺?二模）在VA8C中，點。在48上，連接CO,將△以?沿CO翻折得到￡8,點

B與點E是時應(yīng)點.

（2）如圖2,ZABC=90。，點七落在VABC的內(nèi)部，OE的延長線交人。于點F,若B=4A廠時，求k的

AD

值；

⑶如圖3,在（2）的條件下，若CE平分/AC6,8力=5時，求AO的長.

10.（2026?山東德州-一模）綜合與實踐

【問題情境】

數(shù)學(xué)興趣小組對“矩形的折疊”伶了如下探究.將矩形紙片ABC。先沿￡尸折疊，折痕與邊A。，BC分別

交于點E,F,點C的對應(yīng)點記為C,點。的對應(yīng)點記為以.

⑴【特例探究】

角的探究：如圖1,連接8C,CD與AO交于點”，當(dāng)點8,C,。三點共線時，與N8PC相等的角為

（寫出一個即可）；

⑵線段的探究：如圖2,當(dāng)廣為BC的中點時，點C恰好落在AO邊上.

①猜想AC,DE,產(chǎn)C'三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②延長DC'交A/3于點G,連接BC,判斷G尸與的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）【深入探究】

如圖3,將矩形紙片A3CO更換為平行四邊形、ZABC=60%抬=2,4>=4,廠為8c的中點，當(dāng)所

在直線垂直于平行四邊形A88的一邊所在直線時，直接寫出0E的值.

【題型02］旋轉(zhuǎn)變換應(yīng)用（共11題）

11.（2026-遼寧營口?一模〉如圖，矩形A3CO中，AB=8、BC=4,點E是。。邊上任意一個點，連接AE,

將AE繞點￡順時針旋轉(zhuǎn)90。得到斯，連接b,則線段CF最小值為（）

A-6&C.4721).8

12.（2026?廣東佛山?一模）如圖，在正方形A8CO中，將邊.繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)至AE,若ZBEC=90。,

則cos/8CE=（）

CV2

1),正

35

13.（2026?黑龍江佳木斯?一模）如下圖，在正方形A8Z）石中，連接AD,將含30°的三角板放在如圖

AABC的位置上，ZC=30°,A8=2,將三角板A8C繞點8順時針旋轉(zhuǎn)到△48C的位置，旋轉(zhuǎn)角是一

個銳角，并且使ACAD,AC交BC于點P,求BF的長是（）

V6

rv?----D.R

6

14.（2026?江蘇揚州?一模）如圖，RtZXABC中，ZC=9O°,Z4=30°,AC=3JJ.點。是AC上的一

點，且CQ=6,P為邊AB上的一個動點，連接PD，將尸。繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段.連接他.點

尸在從4向4運動的過程中，線段BQ的最小值為（）

A.4B.273C.2D.6

15.（2026?山東德州?一模）如圖，將正方形A3c。繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到正方形AEAG,若AB=1,

則C戶的長為.

G

16.（2026?安徽馬鞍山?一模）如圖，VA6C中，Z^AC=90%6c=1（）,。為A8邊的中點，將線段

以B點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段8。，連接8'

（1）若AC=6,則瓦7長為.

（2）S長最大為.

17.（2026?遼寧沈陽?一模）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=5,NA=60。，點E在邊AB

上，AE=2,連接DE,將線段。石繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段力尸，連接E尸交對角線小）于點G,作

GMLDE于點M,GN1DF于炊N,則GM+GN=.

18.（2022?江西贛州?模擬預(yù)測）如圖，在正方形A8CO中，AB=4i，點、E是BC上一點.連接AE,

將AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到斯，連接。尸、CF,若DC=CF,則二加C的面積為.

19.（2022?湖北十堰?模擬預(yù)測）如圖1,在等腰直角三角形VAAC中，NB4C=90°.點E尸分別為

AB,4?的中點，”為線段EE上一動點（不與點￡尸重合），將線段AH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到

AC,連接GGBH.

AA

GG

E/J\\

圖1圖2

(1)證明：AHB"AGC；

⑵如圖2,連接GEGH,GH交AF于點、Q.

①證明：在點月的運動過程中，總有N〃/；G=90。；

②若48=47=2,當(dāng)EH的長度為多少時，二AQG為等腰三角形？

20.(2026?江蘇揚州-一模)綜合與探究

學(xué)習(xí)材料：中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加

輔助線.所謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從血運用全等三角

形的有關(guān)知識來解決問題的方法.

如圖1,在RtZXABC中，取8c的中點O,連接AO并延長，使得AO=O￡>,連接80、CD,四邊形A8OC

為平行四邊形.

圖1圖2圖3備用圖

初步探究：

(1)如圖2,數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們制作兩張全等的直角三角形紙片并重合放置，將RtAABC保持固

定，石繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其中NACA=N4E￡>=90。，若NA8C=30。，當(dāng)點E落在AB邊上

時，連接AE并延長，使得CE=EF,連接4尸、BF,判斷四邊形ACBb的形狀，并說明理由.

深入探究：

(2)如圖3,當(dāng)RtAOE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°時，連接CO、BE,取BE1的中點P,連接AP交CO

「點Q，試判斷AP和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

拓展延伸：

⑶當(dāng)RtADE繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°時，連接BE,M是射線人。上的一點，連接DM，過點A作0M

的垂線交晅于點G,若G是座口勺三等分點，請直接寫出絲的值.

AC

21.（2026?廣東深圳?一模）綜合與探究：菱形ABC。中，AB=2,44=120。，連接3D,P是3D上

的動點，將CP繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120"得到CQ.

（1）如圖1,連接。Q,求證：AD1DQ；

⑵如圖2,連接P。交CO于E,當(dāng)△CEP是等腰三角形時，求BP的長度；

⑶如圖3,連接。。交C。于￡,連接AP,記△CKr的面積為SI,△A/7）的面積為打，求U的取值范圍?

【題型03］平移變換應(yīng)用（共11題）

22.（2026?河北廊坊?一模）如圖，美工組用機械臂繪圖時，對平面直角坐標(biāo)系中的菱形4BCD

執(zhí)行了兩步操作：先以〃為位似中心將菱形放大為原來的2倍，然后拖動菱形平移，得到菱形

AW3.已知A（-5,0）,。（0,6）,C（8,-2）,若菱形A8C。內(nèi)部一點戶經(jīng)過上述操作后得到的對

應(yīng)點尸與它本身重合，則點尸的坐標(biāo)是（）

LZ<JXC-

A.(2,2)B.(U)（T2）D.(2,1)

23.（2026?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，已知直線），=1-1經(jīng)過點A和點3,其中點4在x軸

上.?點/的橫坐標(biāo)為10,若將線段A8平移至。，點A的對應(yīng)點。的坐標(biāo)為（-6,2）,則點。的

縱坐標(biāo)是（）

A.3B.4C.5D.6

24.（2026?河南商丘?一模）如圖，VA3C中，Z4BC=120°,AB=BC,將V/WC沿射線4c方

向平移得對應(yīng)/＞石廠，過點3作3O_LAC,垂足為。，BO交DE于點、P,若AC=4G，CE=3BE,

則PO的長是（）

A.4B.4GC.3D.2石

25.（2026-山東青島?一模）無人機編隊表演，在空中先組成如圖所示的菱形圖案"6,

然后整體向右平移5個單位長度，再繞點A的對應(yīng)點A逆時針旋轉(zhuǎn)9（）。得到菱形40C77,此時

點B的對應(yīng)點"的坐標(biāo)為（）

C.(-1,5)D.(0,-1)

26.（2026?河南周口?二模）如圖，在邊長為2的菱形A8CD中，Z4BC=60°,將△A3。沿

著射線町）的方向平移，得到.EFG,連接CE,ED,FC,則△。b周長的最小值為_______.

EG

27.（2026?河北張家口?一模）平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點稱為“整點”.整

點每次平移的規(guī)則：橫縱坐標(biāo)之和除以5,若余數(shù)為0該點向下平移1個單位，若余數(shù)為1向

右平移1個單位，若余數(shù)為2向上平移1個單位，若余數(shù)為3向左平移1個單位，若余數(shù)為4

不動.已知整點尸（乂田滿足、+丁=6,連續(xù)平移6次后恰好落在直線6上，則點尸平移前

的橫坐標(biāo)為.

28.（2026?江蘇無錫?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點力在x軸上，點8在y軸上,

勿=4,=,。為x軸正半軸上一點，以0c為一邊在第一象限內(nèi)作等邊.08.使得〃

點恰好落在線段A8上，〃點2標(biāo)為________,將，08沿x軸的正半軸向右平移得到4。‘。'。'，

當(dāng)A8將一O‘。'/）'的面積分為1:2兩部分時，的長為.

29.（2026?安徽蕪湖-二模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，線

段48和8C的端點均為格點（網(wǎng)格線的交點）.

⑴將線段A8先向上平移2個單位長度，再向右平移4個單位長度，得到線段A4,畫出線段

44；

（2）將線段AA繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段&生，畫出線段&層;

⑶線段A片與8c交于點〃，則幺力。的大小為—

30.（2026?山西大同-一模）綜合與實踐

數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以含60。角的平行四邊形為載體，開展了平移、折疊、旋轉(zhuǎn)的綜合實踐活動.如

圖1,在平行四邊形A3CQ中，NA=6O。，^BDC=9O°,BC=4.

籥用圖

⑴如圖2,將△A4Q沿著射線8。方向平移，得到△AU。，點AB,。的對應(yīng)點為4,B',17.當(dāng)

四邊形4'次"為矩形時，求平移的距離.

【善思小組一一折疊探究】

⑵如圖3,將△5CO沿著8。折疊得到△8CD,點C的定應(yīng)點為C,連接AC,CD,AC1.猜想

四邊形A8DC的形狀，并證明你的猜想.

【探索小組一一旋轉(zhuǎn)探究】

⑶將繞點。順時針旋轉(zhuǎn)得到△在EQ,點8,。的對應(yīng)點分別為點EE.當(dāng)&陽C為以8c

為底的等腰三角形時，請你直接寫出。產(chǎn)的值.

31.（2026?天津和平?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，直角VA08的頂點A（0,5）,

昨"明等邊」）印的頂點E（0.3）,網(wǎng)-G.0）,頂點〃在第二象限.

⑴填空：如圖①，NEFO的度數(shù)為。，點〃的坐標(biāo)為：

⑵將等邊江沿水平方向向右平移，得到等邊△"'￡9，點〃，反尸的對應(yīng)點分別為N,E,

F.設(shè)E￡=〃等邊△〃后9與直角三角形A08的重疊部分的面積為S.

①如圖②，若邊。尸與邊相交于點G,當(dāng)△。￡尸與VAO8重疊部分為四邊形EEFG時\試用

含有t的式子表示S,并直接寫出方的取值范圍；

②當(dāng)堂士工空8時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

22

32.（2026?天津河?xùn)|?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，等腰V4O"的頂點A（4,0）,

N朋0=90°.四邊形O8E是正方形，點C是OB的中點，點。在），軸上.

（1）填空：如圖①，點8的坐標(biāo)為，點E的坐標(biāo)為；

⑵將四邊形OCQE沿x軸向右平移得到四邊形。。'〃笈，點。，。，。,E的對應(yīng)點分別為O',

C,/X,￡,設(shè)O=/.

（i）如圖②，當(dāng)四邊形與VA08重疊部分為五邊形時，。C,CD,分別與A3,BO

相交于點G,H,M,N,試用含有，的式子表示線段M”，并直接寫出『的取值范圍；

（ii）設(shè)平移后四邊形O'COEJVAOB重疊部分的面積為S,當(dāng)34s45時，求/的取值范圍（直

接寫出結(jié)果即可）.

【題型04］三大變換綜合應(yīng)用（共6題）

33,（2024?河南周口?二模）如圖，在矩形48co中，A8=8,灰?=6,點七為人B上一點，將BCE

沿CE折疊，點8的對應(yīng)點尸恰好落在對角線AC上，再符尸治射線C4平移得到△CE7L當(dāng)

AB在△CEU區(qū)域內(nèi)的線段GH的長度為1時,&CEF平移的距離為.

34.(2024?貴州貴陽-一模)如圖，VA6c是邊長為2的等邊三角形，將VA6C沿直線AC翻

折，得到A8,再將ACO在直線AC上平移，得到連接48。右，則-ADB的周長

的最小值是

35.(2024?河南周口?模擬預(yù)測)問題背景：如圖1,在四邊形A3。中,

BC=2瓜CD±AD.ZABC=3()。,乙48=90°,將.沿AC翻折，點。的對應(yīng)點E恰好落在A3邊

(1)操作探究

連接。E,判斷CDE的形狀，說明理由；

(2)探究遷移

將沿射線4B平移得到△4677(點AC、。的對應(yīng)點分別為4、C、〃)，當(dāng)點A的對應(yīng)

點”與點E重合時，求四邊形WO的周長；

(3)拓展創(chuàng)新

將.ACD繼續(xù)沿射線AB平移得到(點4。、。的對應(yīng)點分別為H、C\D),AC與8C

交于點M,且8M=CM,將△4CD繞點用在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C77〃。七時，直接寫出A4,的

長.

36.（2025?安徽淮北?三模）如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，\ABC

⑵將VA8C以然邊所在的直線為軸進行翻折，請畫出翻折后的圖形,A&C.

⑶點〃為力8上一點，請用無刻度直尺在從當(dāng)上求作一點0,使AP=A0.

37.（2024?北京通州?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點M（〃?,〃），力為坐標(biāo)系中任意

一點.現(xiàn)定義如下兩種運動