山東聊城市2026年高考模擬數(shù)學(xué)試題（二）+答案

山東聊城市2026年高考模擬試題數(shù)學(xué)(二)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合力={-2,一112,3},8={%|優(yōu)-1]<2},則4nB=()

A.{1,2}B.{-2,-1}C.{1,2,3}D.{-1,1,2,3)

:2026

2.設(shè)復(fù)數(shù)2=皆，貝Ij|z|=()

A.工B.三C.回D.辿

5555

3.已知直線L：x+ay+1=0,%：2%+4y+3=0,且I1/。，則匕與%的距離為()

A.匹B.匹C.匹D.V5

1052

4.已知正數(shù)。,/)工滿足1。％「>1。8”>0,則下列說法正確的是()

A.c>1B.a<b

C.ac>bcD.cb>ca

5.已知直線，過拋物線C:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)凡與C交于力、B兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為

48的垂直平分線交y軸于E(0,4),貝Up的值為()

A.1B.2C.1或2D.2或4

6.已知|南|==4,且滿足摩?浜=0,則萬2說的最大值為()

A.12B.16C.20D.24

7.已知3H0,函數(shù)/?(X)=2COS(MI+9在區(qū)間(0弓)內(nèi)恰有三條對稱軸和兩個(gè)極大值點(diǎn),

則()

.1913C1319

A.----<0)<------B.—<0)<—

3333

〃19一，13n17?,11

C.-------<,6)<---------D.-------<>M<-----

3333

8.數(shù)列{aj共有10項(xiàng)，其中%=2,a10=16,且2或+i-Sakak+1+2或=0(/c=1,2,3,…,9),

則滿足這種條件的不同數(shù)列{%J的個(gè)數(shù)為()

A.2B.20C.84D.120

二、多選題

9.杲醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)為探究新型降壓藥的療效與患者年齡的關(guān)聯(lián)，將12()名高血壓患者按年

齡分為“中青年組（＜60歲）”和“老年組（N60歲）”,記錄用藥后的療效（“有效”“無效”）,

得到如下列聯(lián)表：

療效

患者總計(jì)

有效無效

中青年組104050

老年組403070

總計(jì)5070120

附：產(chǎn)二言罌擒麗其中"Q+b+c+d.

P（X2>k）0.100.050.0250.01

k2.7063.8415.0246.635

則下列說法中正確的有（）

A.若在“老年組”中按療效分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取2人，則至少抽到

1名“無效”患者的概率為］

B.從所有患者中隨機(jī)抽取1人，設(shè)事件力=“該人在中青年組“，事件8="該藥對此人有

效”，則事件A與8相互獨(dú)立

C.根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“降壓藥療效與患者年齡有關(guān)”，且該推斷

犯錯誤的概率不超過5%

D.若將列聯(lián)表中“中青年組有效”的人數(shù)改為15,“中青年組無效”的人數(shù)改為35,則所

得f值比原公值大

10.設(shè)函數(shù)/（%）=cos（sinx）+訴gp則（）

A.函數(shù)/（均的最小正周期為2n

B.函數(shù)/'（X）的圖象關(guān)于直線％=71對稱

C.函數(shù)/（%）在區(qū)間圖上單調(diào)遞增

D.當(dāng)2Vm＜苧時(shí)，方程/'（X）=m在區(qū)間［一口,2可上所有實(shí)根的和為3TT

11.已知棱長為2的正四面體4BCD,P為△BCD的中心，M為平面48c內(nèi)的動點(diǎn)，N為梭AD

試卷第2頁，共4頁

上一動點(diǎn)，則下列說法正確的是()

A.若MN〃平面BCD,且霽=2,則4M的最小值為等

B.若MN1AD,且黑=1，則MN的最小值為企

ND

C.若4MJLPC,則DM的最小值為企

D.PM+MN+NP的最小值為9

三、填空題

12.函數(shù)/(%)=一-Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為.

13.如圖，線段48=3,C和。為其三等分點(diǎn)，E為半圓。上一動點(diǎn)，ABEF為等邊三角形,

則4BEF面積之用的最大值為.

14.已知4(2,0)、8(—2,0),動點(diǎn)P滿足：以為直徑的圓與圓/+V=9相切，若△248的

外接圓的面積是其內(nèi)切圓面積的16倍，則△248的面積為.

四、解答題

15.某夏令營在△4BC區(qū)域內(nèi)活動，三個(gè)內(nèi)角滿足2sia4+sinB=3sinC.

⑴求cos。的最小值；

(2)夏令營活動組織者要求在4點(diǎn)集合，設(shè)小明從8點(diǎn)出發(fā)淮時(shí)到達(dá)4點(diǎn)的概率為p,小紅從C點(diǎn)

出發(fā)準(zhǔn)時(shí)到達(dá)4點(diǎn)的概率為q,兩人是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)4點(diǎn)互不影響，已知兩人中有且僅有一人準(zhǔn)

時(shí)到達(dá)4點(diǎn)的概率為0.52,至少有一人準(zhǔn)時(shí)到達(dá)4點(diǎn)的概率為0.76,求|p—q|的值.

16.已知雙曲線。:會《=1(。>03>0)的漸近線方程為、=±亨％,過點(diǎn)Q(4,0)且與諭

不重合的動直線I交C于4、B兩點(diǎn),當(dāng)，與％軸垂直時(shí)，|力B|=6.

⑴求雙曲線C的方程：

(2)在3軸I：是否存在一定點(diǎn)M,使初?而為定值，若存在，求出M的坐標(biāo)及福的值;

若不存在，說明理由.

17.在梯形A8CD中，4B//CZ),71814D,E、尸分別是的中點(diǎn)，48=2,AD=CD=4,

如圖1所示.沿EF將梯形48FE折起，得到一個(gè)多面體AED-BNC,如圖2所示.

(I)求證：/I'B'L平面AOE；

(2)若二面角E-A'D-9的大小為60°,

①求多面體AED-夕尸C的體積；

②求直線AC與平面BCF所成角的止弦值.

18.記數(shù)列的前?I項(xiàng)和為Sn,若滿足2Sn=n(4+On),nGN\且=16.

(I)求證：｛aj是等差數(shù)列，并求｛4J的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)匕=I—:———,〃為數(shù)列｛匕八｝的前幾項(xiàng)和，若V。GnGN*,不等式〃<

anyjQn+i+an+iyan

t2+Q￡-|恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

19.設(shè)函數(shù)f(x)=x+alnx(aGR),

(I)若/(%)有極值點(diǎn)、無零點(diǎn)，求a的取值范圍；

(2)若/'(x)的圖象在區(qū)間弓,2)內(nèi)存在兩條互相垂直的切線，求a的取值范圍；

(3)設(shè)0<bV1,若方程/(x)=bcosx有兩個(gè)實(shí)數(shù)根4、%2,且%1>不，求證：Q<0,且與不<

試卷第4頁，共4頁

《山東聊城市2026年高考模擬試題數(shù)學(xué)(二)》參考答案

題號1234567891()

答案ABADBDCCACBCD

題號11

答案ABD

I.A

【詳解】由反-1|<2得一2<x-A<2.兩邊同時(shí)加I,得一1VxV3.

所以8={%|-1<%V3}.

又4={-2,-1,1,2,3},

因此集合A中落在區(qū)間(-1,3)內(nèi)的元素只有1,2.

故4rB={1,2}.

所以正確選項(xiàng)是A.

2.B

【詳解】2=警=9=票=^^=手=一：+!

|Z|=j(-1)2+GY=J卷+1=上洋

3.A

【分析】根據(jù)兩直線平行求出實(shí)數(shù)Q的值，再利用平行線間的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤！á賱t<工;，解得。=2,即直線。的方程為x+2y+l=0,可化為

2x+4y+2=0,

故小與，2的距離為d=^=*=春

4.D

【分析】由logaC>O,logdc>0可知a,瓦C要么都大于1,要么都在(0,1)內(nèi)，再由logaC>log*

分類討論C>1和0VCV1兩種情況，分別比較a,b的大小，最后判斷c。與力的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閘ogaC>0,log》c>0,所以：若a>1,則c>l；

若0<a<l,則0VcVI,同理由10gbe>0可知b與c要么都大于1,要么都在(0,1)內(nèi)，

因此，a,b,c滿足以下兩種情況之一：a>l,b>1,01；0<a<1,0<b<1,0<c<1.

下面分類討論：

情況一：c>1,

答案第1頁，共18頁

此時(shí)a>l,b>1,所以Ina>O,\nb>O,Inc>0,

由嗨0SgbC得需）需

因?yàn)镮nc>0,所以4>二.

Inahib

又因?yàn)閘na,lnb>0,故Ina<Inb,從而a<b.

由于c>1時(shí)，函數(shù)y=c”單調(diào)遞增，所以a<b=>ca<cZ即c">ca.

情況二：0vcvL

此時(shí)0<a<l,0<b<l,所以Ina<0,lnZ?<0,lnc<0.

由】。gaC'ogbC得Q需.

因?yàn)镮nc<0,兩邊同除以Inc時(shí)不等號方向改變，故出〈工

Ina\nb

又因?yàn)镮najnb<0,所以Ina>In瓦從而a>b.

由十0<cVl時(shí)，出數(shù)丫=戶單調(diào)遞減，所以a>b=c。Vd.即d>c。.

綜上，無論哪種情況，都有力>/.

所以正確選項(xiàng)是D.

5.B

【分析】設(shè)點(diǎn)力（//1）、8（%2，丫2），可得+x2=23yi+y2=4，利用點(diǎn)差法可求得直線

4B的斜率，根據(jù)%8/即=一1可得出口的值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A（%i，%）、8（%2，丫2），易知直線AB的斜率存在，且%1+x2=23yi+y2=4,

若直線48_Ly軸，則線段A8的垂直平分線為y軸，不符合題意，

所以直線48的斜率存在且不為零，

則X\]:P%，作差得（與一工2）（工1+%2）=2P（、1一丫2），

1%2=。丫2

故直線”的斜率為嘮=合=J

答案第2頁，共18頁

因?yàn)閗0E=W=-；，且DE14B,所以心8岫￡=一三二一1,解得p=2.

C-ucp

6.D

［分析】利用向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】設(shè)4B的中點(diǎn)為M,如圖

則刀+而=2而，且|而|二：廊|=1

因?yàn)槿fJ=~f)C.+~CA,~DR=T)C.+

所以說D^=(fiC+CA)-(pC+CB>)=DC2+~DC?(CA+CB)+CA-'CB

=16+2CM-DC+0=16+2xlx4cos<CM,DC><24,

當(dāng)反，而同向共線時(shí)，等號成立.

7.C

【分析】對稱軸對應(yīng)相位cox+m=kn(keZ),極大值點(diǎn)對應(yīng)相位3%+3=2kMlc￡Z),因

此只需研究當(dāng)時(shí)，相位t=3%+：所掃過的區(qū)間內(nèi)，落入多少個(gè)kTT和多少個(gè)2km

【詳解】令t=

6

當(dāng)XE(0,3時(shí)，￡的取值范圍取決于3的符號，

當(dāng)G>0時(shí)，te/=Q,y+^),

當(dāng)3<0時(shí)，?/=(3+沃)，

1.對稱軸與極大值點(diǎn)的判定：

函數(shù)/(x)=2cos(a)x+己)轉(zhuǎn)化為y=2cos3

y=2cost的對稱軸對應(yīng)￡=Zar(keZ),

y=2cost的極大值點(diǎn)對應(yīng)t=2kir(keZ)

題意即為：區(qū)間/內(nèi)恰有3個(gè)形如kn的點(diǎn)，且恰有2個(gè)形如2/GT的點(diǎn).

答案第3頁，共18頁

2.先判斷3的符號：

若3>0,則/=苫+)

由于左端點(diǎn)大于0,若區(qū)間內(nèi)恰有三條對稱軸，

則只能是w2n,3n這三個(gè)點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)，

這時(shí)極大值點(diǎn)只可能有2n這一個(gè)，不可能有兩個(gè)極大值點(diǎn)，與題意矛盾,故必有eV0.

于是/=(m+39,記左端點(diǎn)為m=m+?

\Z66/26

3.利用“三條對稱軸”和“兩個(gè)極大值點(diǎn)”列條件：

因?yàn)?0m),要使區(qū)間/內(nèi)恰有三條對稱軸，只能對應(yīng)-2冗,一、0，

這三個(gè)點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，而-311不在區(qū)間內(nèi)，

所以-V-2m這時(shí)區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)對應(yīng)-2砥0恰好有兩個(gè)，也滿足題意.

因此只需求解—3n<7C<2n,

26

兩邊同除以m得一33巴+工〈一2,

26

即一12工”〈一三，再乘以2,得一空43〈一空.

62633

8.C

【分析】分析可得以+i或以+i=2ak,記qi=?q2=2,設(shè)a］。=&?■

求出m的值，再利用組合計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.

【詳解】由2或+i-5akak+1+2或=0(fc=1,2,3,「,9)可得(2%+1-afc)(afc+1-2clic)=0,

所以Q/c+i=或Q/c+i=2縱，記%=:，q2=2,

因?yàn)?=2,a10=16,設(shè)a］。=%?q9?勺廠m06N,m<9),

/八抽

即16=2-(m?29-m,整理可得21°-2m=16,所以10—2m=4,解得m=3,

所以從%變化到%。的過程中，需要乘3個(gè)點(diǎn)6個(gè)2,

由組合計(jì)數(shù)原理可知，滿足這種條件的不同數(shù)列｛a“｝的個(gè)數(shù)為量=84.

9.AC

【分析】選項(xiàng)A,用分層抽樣先確定抽出的“有效”和“無效”人數(shù)，再做組合概率；選項(xiàng)B,

用獨(dú)立事件定義檢驗(yàn)PQ48)是否等于PG4)P(B)；選項(xiàng)C,計(jì)算列聯(lián)表的％2值，與臨界值3.841

比較；選項(xiàng)D分別計(jì)算修改前后的公值大小.

答案第4頁，共18頁

【詳解】選項(xiàng)A,老年組中有效與無效的人數(shù)比為40:30=4:3.

按療效分層抽樣抽取7人，則應(yīng)抽到：4人有效，3人無效，

再從這7人中隨機(jī)抽取2人，至少抽到1名無效患者的概率為1-醇=1-5=：.所以A

正確；

選項(xiàng)B,設(shè)事件4表示“該人在中青年組”，事件8：表示“該藥對此人有效”，

則PG4)=言=。P⑻=言=/而P(4B)=我二2

JLX

若4,8相互獨(dú)立，則應(yīng)有P(AB)=P(A)P(B)=一三=與

1212144

顯然於中多所以事件4與8不相互獨(dú)立，B錯誤;

12144

選項(xiàng)C,由題中列聯(lián)表，Q=10"=40,c=40,d=30,n=120.

所以公=120(10X30-40X40)2

(10+40)(40+30)(104-40)(40+30),

120X13002

即/=?16.555.

50x70x50x70

因?yàn)?6.555>3.841,所以艱據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),

可以認(rèn)為“降壓藥療效與患者年齡有關(guān)“，目該推斷犯錯誤的概率不超過5%,所以C正確;

選項(xiàng)D,若將“中青年組有效”改為15,“中青年組無效”改為35,

則新列聯(lián)表中a=15,b=35,c=40,d=30,n=120.

此Mi?=120115X30-35X40)2

(15+35)(40+30)(15+40)(35+30)，

120X9S02

即f=8.65,而原來的%2X16.56.

50X70X55X65

所以修改后的f值比原來的小，D錯誤.

10.BCD

【分析】先利用sin(x+n)=-sinx以及余弦函數(shù)的偶函數(shù)的性質(zhì)判斷周期和對稱性，再求

導(dǎo)討論單調(diào)性.最后把方程/(無)=m轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的方程，再列出區(qū)間［-殖2m內(nèi)的全部根

并求和.

【詳解】因?yàn)?(幻=如(5加)+忌荷且cost,士都是偶函數(shù)，

所以/(、+n)=cos(sin(x+n))+皿回屋))

=cos(sinx)+8s(；nx)=/(無)?故n是函數(shù)的一個(gè)周期.

又/'(0)=2,fC)=coslI二產(chǎn)2,

答案第5頁，共18頁

所以/(X)的最小正周期不是211,而是7L因此A錯誤.

對于B,任取tER,

+t)=cos(sin(n+t))H-----rA_7：=cos(-sint)+-，

八,、、〃cos(sin(n+t))''cos(J-si,nt、)

-t)=cos(sin(n-t))H-----；~\---------r=cos(sint)4"——~r.

k7

八cos(sin(ir-1))cos(sint)

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得/(IT+t)=/(n一t),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=TT對稱，B正

確.

對于C,因?yàn)?Q)=cos(sin%)+忌孩

所以廣(幻=卜sin(sin幻+黑黑|cosx

=8S"sm(sinx)(晨^-1)=cosx.sin(sinx)(:露鬻)

sin2(sinx)

=cosx?sin(sinx)——丁不一r

cosz(sinx)

=cosx?sin(sinx)tan2(sinx).

當(dāng)工€[o,；]時(shí)，cosx>0,sinx6[0,1],

從而sin(sinx)>0,tan2(sinx)>0.

于是/''(%)>0.故函數(shù)/(%)在區(qū)間[。身上單調(diào)遞增，C正確.

對于D,令t=cos(sinx),則方程r(x)=m化為t+:=m,即產(chǎn)-mt+1=0.

因?yàn)閠=cos(sinx)G[cosl,l],且2<7九<乎，

所以在區(qū)間(0,1]上，方程t+3=m只有唯一解

設(shè)a=arccost。,則0VaV：V1.

于是cos(sinx)==sinx=±a.

在區(qū)間[-ii,2ii]內(nèi)，方程sin人=以的解為八=arcsiiiaji-arcbiiia;

方程sinx=一。的解為x=—arcsina,n+arcsina,2n—arcsina,—n+arcsina.

故區(qū)間內(nèi)全部實(shí)根為

aresina,TT—arcsina,—arcsina,n+arcsina,2ir—arcsina,—K+arcsina.

這些根的和為

arcsina+(TT-arcsina)+(-arcsina)+(ir+arcsina)+(2TT-arcsina)+(—IT+arcsina)=

3TT,

答案第6頁，共18頁

所以D正確.

綜上，正確選項(xiàng)為BCD.

11.ABD

【分析】過點(diǎn)N作NE〃8D交715于點(diǎn)E,過點(diǎn)N作N/7/C0交力。于點(diǎn)尸，連接推導(dǎo)出平面

NEF〃平面BCD,推導(dǎo)出E/為點(diǎn)M的軌跡，可求出/1M的最小值，可判斷A選項(xiàng)；推導(dǎo)出401

平面8CN,則點(diǎn)M的軌跡為線段8C,可求出MN長的最小值，可判斷B選項(xiàng)；過點(diǎn)P作G〃//B0

分別交BC、CD于點(diǎn)G、H,連接AG、AH.DG,推導(dǎo)出PC1平面力GH,可知點(diǎn)M的軌跡為

線段4G,當(dāng)DM14G時(shí)，DM的長取最小值，可判斷C選項(xiàng)；延長DP交線段BC于點(diǎn)T,推

導(dǎo)出平面4)71平面力BC,可知點(diǎn)P關(guān)于平面ABC、關(guān)于直線力。的對稱點(diǎn)都在平面4"內(nèi)，

結(jié)合“將軍飲馬''思想求出PM+MN+NP長的最小值，可判斷D選項(xiàng).

【詳解”寸于A選項(xiàng)，過點(diǎn)N作NE〃BD交AB干點(diǎn)E,過點(diǎn)N作N/7/C0交4c于點(diǎn)F,連接EG

因?yàn)镹E//BD,NEC平面BCD,所以NE〃平面BCD,同理可證N/〃平面BCD,

又因?yàn)镹ECNF=N,NE、NFu平面NEF,所以平面A，EF〃平面BCD,

因?yàn)镋Fu平面NEF,所以￡/7/平面BCD,

當(dāng)MWEF時(shí)，MNu平面N￡F,則MN〃平面8C0,故點(diǎn)M的軌跡為線段EF,

因?yàn)镹E//BD,所以若二黑=：則力E同理可得"二：

/\D?KUSJ3J

又因?yàn)?比4尸=60°,AE=EF=則ZiAE尸是邊長為卯等邊三角形，

?5J

當(dāng)點(diǎn)M為Er的中點(diǎn)時(shí)，AMLEF,此時(shí)4M的長取最小值，

此時(shí)AM=>/AE2-EM2=J(?2_6)2=等，人對;

對于B選項(xiàng)，如下圖所示，連接BN、CN,

答案第7頁，共18頁

易知△48D、△4CD都是邊長為2的等邊三角形，且N為4D的中點(diǎn)，

所以AD1BN,ADA.CN.

又因?yàn)?N、CNu平面BCN,BNCCN=N,所以力。，平面BCN,

當(dāng)M68。時(shí)，MNu平面BCN,則MN1AD,故點(diǎn)用的軌跡為線段8C,

由勾股定理可得BN=一AN2=<4-1=板,同理可得CN=V5,

故當(dāng)M為PC的中點(diǎn)時(shí)，MNIRC,此時(shí)MN的長取最小值，且MN=7RN?一RM2==

V2,B對；

對于C選項(xiàng)，過點(diǎn)P作GH//80分別交8C、CO于點(diǎn)G、H,連接力G、AH.DG,

因?yàn)镻為正△8CD的中心，則PC180,因?yàn)镚"〃班），則PC1GH,

因?yàn)槿F4-3CD為正四面體，則力P_L平面BCD,

因?yàn)镻Cu平面BCD,所以PC_L/IP,

因?yàn)?PnG〃=P,AP.G〃u平面4GH,所以PCL平面4GH,

當(dāng)MW4G時(shí)，則AMu平面AG，，所以/MlPC,故點(diǎn)M的軌跡為線段4G,

延長CP交8。于點(diǎn)Q,則Q為8C的中點(diǎn)，因?yàn)镻為正△BCD的中心，則第=j

因?yàn)镚H〃BD,所以黑=累=也故8G=?C8=g

由余弦定理可得力G2=AB2+BG2-2AB-BGcos60。=4+g—2x2x：x；=g,

答案第8頁，共18頁

故AG=^,同理可得0G=^,

一2828「

A力2+AG2-DG24+不二_他

由余弦定理可得cosz_￡MG=2X2X千"百'

2ADAG

2

所以sinN/X4G=V1-cosAG=Jl-（兼j=焉,

當(dāng)OMJ.4G時(shí)，DM的長取最小值，此時(shí)DM=40"in/O/lG=2乂可=衛(wèi)

2V77

故DM氏的最小值為第，C錯;

對于D選項(xiàng)，如下圖所示：

延長。P交線段8c于點(diǎn)T,則點(diǎn)7為線段8c的中點(diǎn),

因?yàn)椤鰽BC、△BCD均為等邊三角形，所以AT13C,DT1.BC,

因?yàn)榱nOT=T,AT、DTu平面/IOT,所以BC_L平面力07,

因?yàn)锽Cu平面ABC,所以平面407_L平面ABC,

故點(diǎn)P關(guān)于平面ABC、關(guān)于直線AD的對稱點(diǎn)都在平面4DT內(nèi)，

因?yàn)锳PI平面BCD,D7u平面BCD,所以力P1DT,

易知DP==^BD2-BT2=1V4^1=言,

AP=y/AD2-DP2=J2?一（乎J=乎,

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AT、40的對稱點(diǎn)分別為2、七，

由對稱性可知4Pl=力。=力「2=詈，NPi力F=NP47，^P2AD=^PAD,

答案第9頁，共18頁

所以4=NP14P+4P2Ap=2(Z.TAP+ADAP)=2^AD,

在A/IDT中，AT=DT=6,AD=2,

/產(chǎn)+心一”23+4-3_V3

由余弦定理可?得cosz7\4D=

2ATAD2X4X2-3

所以cos乙=COS2/.DAT=2cos2Z-DAT-1=2x(9)-1=

2

由余弦定理可得PiP/=4號+API_2APX-AP2COS^P1AP2=1+1-2X(竽)x(-1)=

64

9

故PIP2=p

由對稱性知PM=PiM,FN=P2N,

所以PM+MN+NP=PiM+MN+PN>PP=

2X23

當(dāng)H.僅當(dāng)M、N為線段PiP2分別與線段力丁、力。的交點(diǎn)時(shí)，等號成立，

故PM+MN+N尸的最小值為。產(chǎn)2=/D對.

12.(0,1)/(0,1]

【分析】利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)八%)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/0)=e三一Inx的定義域?yàn)?0,+8),

x_xex-(ex-l)1_(x-ljt^+Cl-x)_(x-l)(ex-l)

，(幻=x==x=，

當(dāng)%>。時(shí)，ex—1>0,由/'(%)<0可得0V%V1,

故函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).

【分析】設(shè)N80E=e,其中0<evn,將aBOE、△BE尸用含。的三角函數(shù)式加以表示,

再利用三角恒等變換結(jié)合正弦型函數(shù)的有界性可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)/BDE=0,其中0Ve<7T,

因?yàn)锳8=3,C和。為其三等分點(diǎn)，^\BD=\AB=2,DE=AD=1,

由余弦定理可得BE?=BD2+DE2-2BD-DEcosO=5-4cos19,

所以SABEP=^8E.E尸sin60。=4朝=手(5-4cos。)=竽一百cos。,

S^BDE=：BD?DEsinO=；x2x1xsinO=s\n3,

答案第10頁，共18頁

所以+S&BEF=sin。+-V3sin^=2sin-g)+

因?yàn)閛veve所以一；<e—；VJ故當(dāng)e—5=?時(shí)，即當(dāng)6=9時(shí)，

333326

△BDE^^8E/面積之和取最大值2+乎.

4

14.鳴壇

33

【分析】設(shè)￡為線段PA的中點(diǎn)，利用圓與圓內(nèi)切結(jié)合橢圓的定義可求得點(diǎn)P的軌跡方程，設(shè)

匕APB=0,利用余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得出SAAP?=黑高，可求出△P4B內(nèi)切

圓的半徑，利用正弦定理求出△248外接圓半徑，結(jié)合題意求出8的值，即可得出△PMB的

面積.

【詳解】設(shè)E為線段尸力的中點(diǎn)，又因?yàn)椤?坐標(biāo)原點(diǎn))為48的中點(diǎn)，所以|OE|二：|PB|,

易知點(diǎn)力在質(zhì)l/+y2=9內(nèi)，所以以線段P4為百徑的圓E內(nèi)切于圓/+y2=9,

所以|。臼=3-|AE|,所以但。|+|E4|=3,即*|P8|+|P川)=3,

可得|P川+\PB\=6>\AB\=4,

所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)小8為焦點(diǎn)，且長軸長為2a=6,焦距為2c=4的橢圓(除去長軸端

點(diǎn))，

設(shè)該橢圓的短半軸長為匕，則Q=3,c=2,所以b=la2-c?=-4二遍,

故點(diǎn)P的軌跡方程為三+《=1(%H0).

1S.Z.APB=0,設(shè)|P4|=m,|PR|二九，則m+n=2Q=6,

由余弦定理可得|48/=16=m2+n2-2mncos0=(m+n)2-2mn(l+cos0)

=62-2mn(1+cos。)=36-2mn(l4-cos。)，

答案第11頁，共18頁

5sing

所以mn=-^―?所以S^APB=-mnsinO=-x儂嗎=

1+COS0221+COS01+COS0

設(shè)△4P8的內(nèi)切圓、外接圓半徑分別為小-2,由題意可知需=2，則￡=%

因?yàn)镾AAPB=%(伊川+|P8|+Hfi|)=ir1(2a+2c)=%x(6+4)=5rL'^懸，

sin。

所以7*1=

1+COS0

由正弦定理可得2r2=岑=-三，故丁2=-J,

“sin?sin?/sin6

因?yàn)榭?%即七=4/1，即告二言吟，

1

r24,sin0l+cos0

整理可得1+cos0=2sin20=2(1-cos20),

又因?yàn)閚m=<("?丫=Q2=9,可得cos。>

1+COS0\2/9

又因?yàn)??！?0,口)，則一1<COS6<L故Fwcosecl,

所以1+cos0=2(1-cos20)=2(14-cos0)(l-cos0),

所以2(1-cos。)=1,解得cos。=g,則。=或

,5sin三5X*5y/3

此時(shí)SMPB=E==—

15.(1)^

(2)0.2

【分析】(I)先設(shè)三邊，利用正弦定理把角條件轉(zhuǎn)成邊的關(guān)系，再代入余弦定理表示出cos。,

最后用基本不等式求最小值。

(2)按獨(dú)立事件的概率公式列方程組，先求出p+q和pq,再由(p-q)2=(p+q)2-4pq,

求出|p-q|.

【詳解】(1)設(shè)△A3C的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,瓦c.

由2sirM+sinR=3sinf,根據(jù)正弦定理，得2。+b=3c,即0二笥史,

由余弦定理，得3。=爭了=2得+與V，

因?yàn)榕?型工4同，所以cosCN等二，

ba9

當(dāng)建二野，即時(shí),上式等號成立，

ba4

此時(shí)，b<.a,于是bvc<a,b+c-a=a>0,

答案第12頁，共18頁

2依-2

因此，cosC的最小值為:9'

(2)設(shè)事件M=”小明準(zhǔn)時(shí)到達(dá)A點(diǎn)”，事件N="小紅準(zhǔn)時(shí)到達(dá)A點(diǎn)”，則P(M)=p,P(N)=q.

由題意P(M)P(")+P(M)P(N)=0.52,即p(l-q)+(1-p)q=0.52,

化簡，得p+q-2pq=0.52?,

1-P(“)?P(N)=0.76,p)(l-q)=0.76,

化簡，得p十q—pq=0.76②，由①②，得p十q=l,pq=0.24,

所以|p-q\=J(p+q)?-4Pq=V1-4x0.24=0.2.故|p-q|的值為0.2.

16.⑴？一？=1

(2)存在，點(diǎn)M管,0),定值為一詈

【分析】(1)根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、b的方程組，解出a?、爐的值，即可得出雙曲線。的

方程：

(2)根據(jù)題意設(shè)直線［的方程為x=my+4,設(shè)點(diǎn)/(xpyD、B(x2ty2)f將該宜線方程與雙

曲線C的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，化簡加?麗的表達(dá)式，根據(jù)加?而為定值可得出關(guān)

于n的等式，解出n的值，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由C的漸近線方程為丫=±53得5①，

由歷8|=6,根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨設(shè)4(4,3),則費(fèi)一盤=1②，

由①@得/=4,b2=3,所以雙曲線C的方程為?一?=1.

(2)根據(jù)題意設(shè)直線［的方程為x=my+4,

將/的方程代入雙曲線方程?-9=1，得(3/-4)y2+24my+36=0,

A=(24m)2-4(3m2-4ix36=144m2+576>05.3?n2-400,

設(shè)點(diǎn)力(力,、1)、8(孫,先)，由韋達(dá)定理得力+為=一貳4，乃丫2=熹7，

假設(shè)存在M(n,0)滿足題意，

則近？?MB=(xj-n)(x2-n)+yry2

=(my1+4—n)(my2+4—n)+yAy2

22

=(m+l)yiy2+(4-九加仇+y2)4-(4-n)

,7、36,、-24m.

=(m+1)xw^+(4-n)mxw^+(4-^

答案第13頁，共18頁

(24n—60)m2+36.

=--3.7M2-4——+6一九)，

要使拓？?麗為定值，則上式需與m無關(guān)，則皆竺=稱,解得n=g此時(shí)而？?麗=-署

3—4864

(2)①3次；

【分析】(1)證明出AB'JLDE,結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)①連接B'E、B，D,取DE中點(diǎn)N,連接AN,取線段大。的中點(diǎn)M,連接EM、FM,分

析可知二面角￡-A'D-F的平面角為4EMF=60°,進(jìn)而推導(dǎo)出力'N_L平面〃平

面CDEA則夕到平面CD"?的距離等于AN,再利用錐體的體積公式可求得多面體/I'ED-

)產(chǎn)。的體積；

②以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF所在直線為x軸，ED所在直線為,軸，過E與4N平行的直線為z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解即可.

【詳解】(1)翻折前,在梯形48。。中,AB//CD,且￡、F分別是力。、的中點(diǎn),

所以E尸為梯形48co的中位線，所以EF〃48,

因?yàn)?18J.40,所以EFJLA'E,EF1DE.

翻折后，則4B7/EF,所以AB'IA'E,A'B'1DE,

因?yàn)锳EnDE=E,4E、DEu平面ADE,所以A'B'1平面ADE.

(2)①連接8'E、B'D,取DE中點(diǎn)N,連接4N,

取線段A。的中點(diǎn)M,連接EM、FM,

因?yàn)镋/7/48',48'1平面ADE,所以EF1平面AOE,

因?yàn)锳。u平面ADE,所以EF_L40,

答案第14頁，共18頁

又因?yàn)锳E=DE,M為AD的中點(diǎn)，所以EMIAD,

因?yàn)镋尸OEM=E,EF、EMu平面E/M,所以4D1平面EFM,

因?yàn)镕Mu平面E/M,所以"MlAD,

故二面角E-AD-F的平面角為4EM尸=60°,

因?yàn)镋F_L平面AOE,AN、EMu平面ADE,所以EF_LEM,EFlAN,

因?yàn)镋/7=也竺=￡ii=3,所以EM=上一=1==代，

22tan600V3

又因?yàn)锳'E=DE=2,所以AM=DM=VDE2-EM2=V4^3=1,故AD=2,

所以△4DE為等邊三角形，

因?yàn)镹為DE的中點(diǎn)，所以ZfN_LOE,

因?yàn)?。ECEF=E,DE.EFu平面CDE凡所以HN1平面CDEF.

因?yàn)锳B7/EF，力'8'仁平面。。￡「，EFu平面CDEF,配以487/平面CDEr，

故點(diǎn)夕到平面CDE尸的距離等于AN=4Esin60°=2x?=V5,

4

所以％梭惟B,YDEF=9s梯彩CD"?AN=[x（"；）X2X遍=等，

A，B，2

P三棱W-HDE=：S“DE-=^XyX2X2=^,

因此多面體4EO-B'FC的體積P多面體="四棱推B'-CDE尸+金棱錐B'-A'ED=誓+

竽=3代

②因?yàn)镋/，平面AOE,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF所在直線為義軸，

EO所在直線為y軸，過E與AN平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(3,0,0)、4(0,1,6)、夕(2,1,⑹、6(4,2,0),

所以加二(4,1,一舊)，F(xiàn)^=(-1,1,V3),FC=(1,2,0).

答案第15頁，共18頁

設(shè)平面夕CF的一個(gè)法向量為江=(居y,z),則一二‘°一八二乙尸,

m?FB1=—x+y+V3z=0

取x=2,可得記=(2,—1,V5),

C0S(/m—?'AA,Gr-\=]n^t]-A^'C|=4=才v'lO

所以AC與平面B'CF所成角的正弦值為噂.

18.(1)證明見解析，an=3n+1

(2)(-oo,-2]U[2,4-oo)

【分析】(1)由2又="(4+Q,J(九WN*),得25^+1=S+1)(4+6+1)，將這兩個(gè)等式作

差結(jié)合等差中項(xiàng)法可證得結(jié)論成立，在等式2Sn=n(4+an)(n6N,)中令71=1,可求出肉的

值，結(jié)合的=16可求得該數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)

公式；

(2)求得益=焉焉，利用裂項(xiàng)求和法可求得7；的表達(dá)式，得出心V；，結(jié)合題意

得出產(chǎn)+就一220對VaE[-1,1]恒成立，于是得出關(guān)于t的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)1的取

值范圍.

【詳解】(1)由2Sn=〃(4+Qn)①，得2Sn+l=(7^+l)(4+Qn+l)②，

②-①得(九-1)即+1-九即+4=0③，則九即+2-(n+l)a?+1+4=0④，

④一③得九冊+2-2nan+i+nan=0,UP2an+1=an+an+2?

所以｛%J是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

rh2Sn=n(4+a^,得2a1=4+%,所以的=4.

因?yàn)镼5=16,所以公差(/二學(xué)=亨=3,

所以Qn=44-3(〃-1)=3九+1.

(2)b=_3__________3____

nanVan+1+an+1y/^ri\/^nxVan+l(i/On+>/an+l)

___________________3__________________

V3n4-1x\j3n+4(V3n+1+、3n+4)

3(V3n+1—73n+4)

V3n+1x73n+4?3n+1+V3n4-4)(V3n+1-J3TI+4)

V3n+4-\/3n+l11

V3n+lxV3n+4V3n+1V3n+4

所以