2026年高考數學一輪復習專練：分類加法計數原理與分步乘法計數原理（學生版+解析）

專題10.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1分類加法計數原理】...........................................................................3

【題型2分步乘法計數原理】...........................................................................3

【題型3涂色問題]....................................................................................4

【題型4兩個計數原理的綜合應用】....................................................................5

考情分析

1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理

考點要求真題統計考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

從近幾年的高考情況來看，高考對

（1）理解分類加法計數原理、分2023年新高考H卷：第3題，

兩個計數原理的考查比較穩定，多以選

步乘法計數原理及其意義5分

擇題、填空題的形式出現，以考查兩個

⑵能利用計數原理解決簡單2023年全國乙卷（理數）：第

計數原理的基本概念與步驟方法為主，

的實際問題7題，5分

有時會與排列組合結合考查，難度不大.

2023年全國甲卷（理數）：第

9題，5分

知識梳理

知識點1分類加法計數原理與分步乘法計數原理

1.分類加法計數原理

⑴分類加法計數原理的概念

完成一件事直兩類不同方案，在第1類方案中有切種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.

概念推廣:完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有孫種不同的方法，在第2類方案中有m2種不

同的方法，…,在第〃類方案中有用”種不同的方法,那么完成這件事共有N=/M]+/H2+…種不同的方法.

（2）分類的原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，分類

時要注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種方法

必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分步乘法計數原理

(1)分步乘法計數原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有〃?種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么完成這件事共

有種不同的方法.

概念推廣:完成一件事需要〃個步驟，做第1步有皿種不同的方法，做第2步有叱種不同的方法，…，

做第〃步有/詼種不同的方法，那么完成這件事共有心叫Xm2X-X"%種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成?件事”是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才能完

成這件事：

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就

不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這〃個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步

驟既不能重復也不能遺漏.

3.分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析

(1)KM

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區別如

下表：

區別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

娉一將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理；

分蘢一將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的

應用.

知識點2分類、分步計數原理的解題策略

1.分類加法計數原理的解題策略

分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.

(1)根據題目特點恰當選擇一個分類標準；

(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不

同的方法，不能重復；

(3)分類時除J'不能交叉重復外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計數原理的解題策略

(1)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須

滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

（2）分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾：二是步與步確保連續，逐步完成.

【方法技巧與總結】

分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

（1）分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

（2）分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間“相互獨立，分步完成”.

舉一反三

【題型1分類加法計數原理】

【例1】（24-25高二下?福建福州?期末）某天小丁要從福州出發去廈門，已知當天的飛機有5班，動車有12

趟，高鐵有10個車次，則小丁當天出行的方案共有（）

A.12種B.27種C.120種D.600種

【變式1-1]（24-25高二下?青海西寧?期末）在全球高鐵技術競爭中，中國站到了前沿.全國政I辦委員、中國

鐵道科學研究院集團有限公司首席研究員趙紅衛近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗，預

計將在一年后投入商業運營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，

一等座10張，商務座5張，則小張的購票方案種數為（）

A.14B.19C.90D.200

【變式1-2]（2025?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知“漸升數”是指每一位數字比其左邊的數字大的正整數（如236,

567）,則比423大的三位“漸升數”共有個.

【變式1-3]（2025?內蒙古赤峰?模擬預測）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行

決定，共有種不同的去法.（用數字回答）

【題型2分步乘法計數原理】

【例2】（2025?湖北武漢?二模）有四對雙胞胎共8人，從中隨機選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種

數為（）

A.40B.48C.52D.60

【變式2-1]（24-25島二下?河南?階段練習）同時滿足：①偶數；②沒有重復數字的二位數；③個位數不為（）,

這三個條件的數有（）

A.64個B.128個C.196個D.256個

【變式2-2】（2025?云南大理?模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4

個同學順序不變，不同的方法共有（）種

A.10B.20C.30D.60

【變式2-3]（2025?湖北武漢?模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從A,B,C,。四個旅游景點中

任選一個前去游玩，其中甲到過4景點，所以甲不選A景點，則不同的選法有（）

A.64種B.48種C.36種D.24種

【題型3涂色問題】

【例3】（2025?遼寧?模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成五個部分[如圖所示），

現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），等部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區域鮮

花的擺放方案共有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種

【變式3-1]（24-25高二上?山東德州?階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一

個重要的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別卬有數字1,2,3,8.現準

備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區

域（如區域1與區域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.550種B.630種

C.720種D.840種

【變式3-2]（2025?江蘇泰州?模擬預測）如圖，某社區為墻面A、B、C、。四個區域進行涂色裝飾，每個區

域涂一種顏色，相鄰區域（有公共邊）不能用同一種顏色，若只有四種顏色可供使用，則恰好使用了3種

顏色的涂色方法共有（）

AB

CD

A.12種B.24種C.48種D.84種

【變式3-3］（2025?廣東茂名?模擬預測）如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要

求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（）

【題型4兩個計數原理的綜合應用】

【例4】（2025?甘肅?模擬預測）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領導在端午節3天假期值班,

要求每天有兩人值班，且每人需要值班1天或2天，則不同的值班方案有（）

A.92種B.90種C.86種D.76種

【變式4-1］（2025?河北?模擬預測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【變式4-2】（2025?安徽合肥?模擬預測）2024屆高三某次聯考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有

力、B、C、D、E五名屏蔽生總分在前9名，現在確定第一、二、五名是力、B、C三位同學，但4不是第一名,

E兩名同學只知道在6至9名，且。的成績比E好，則這5位同學總分名次有多少種可能（）

A.6B.12C.24D.48

【變式4-3】（2025?河南鄭州?一:模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色.現有一名

游客計劃在三天內品嘗完以下六種河南特色美食：燒面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、炳餅、黃河鯉魚.該

游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗（每天必須選擇且不能重更選擇已品嘗過的美食）.若三

天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數為（）

A.450B.360C.180D.90

過關測試

一、單選題

1.（2025?上海楊浦?二模）3名同學報名參加社團活動，有4個社團可以報名，這些社團招收人數不限，但

每位同學只能報名其中1個社團，則這3位同學可能的報名結果共有（）種.

A.6B.24C.64D.81

2.（2025?云南?模擬預測）為提升學生的數學素養，某中學特開設了“數學史”“數學建?！薄肮沤駭祵W思想”“數

學探究"中國大學先修課程微積分學習指導“五門選修課程，要求每位同學每學年至多選四門，高一到高二

兩學年必須將五門選修課程選完，則每位同學不同的選修方式為（）

A.30B.20C.15D.10

3.（2025?遼寧?二模）第五批實施新高考的8個省份將于2025年迎來新高考，新高考模式下語文、數學、

英語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選科模式，若今年高一的甲、

乙兩名同學，在四選二科目中，恰有一科相同，則他們四選二科目的選科方式共有（）

A.12種B.24種C.48種D.96種

4.（2025?遼寧??模）學校放三天假，甲、乙兩名同學打算去敬老院做志愿者，甲同學準備在三天中隨機選

?天，乙同學準備在前兩天中隨機選?天，則甲乙選擇同?天的概率是（）

Br-

A瑪-Z*3D，3

5.（2025?貴州?三模）省會貴陽已開通的地鐵線路如圖所示.某人乘坐地鐵從貴陽北站（4點）前往貴州大學

（8點），若同一站點最多經過一次，則不同的乘坐線路共有（）

白云北路

竇官貴陽北站

/洛灣

林城西路A

4京路

貴鋼

延安西路?噴水池

1號線|

圖2號線?望城坡力

3號線1中興路

例?一s麗|

―曹司—'

小孟工業園

?貴州大學

皂角壩?B

?桐木嶺

A.6條B.7條C.8條D.9條

6.（2025?河北保定?一模）勒洛三角形是一種特殊三角形，指分別以正三角形的三個頂點為圓心，以其邊

長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.現提供5種顏色給如圖所示的勒洛三角形中的4個小區

域涂色，規定每個區域只涂?種顏色，且相鄰區域顏色不同，則不同的涂色方案種數為（）

A.120B.240C.300D.320

7.（2025?安徽蚌埠?三模）空間中三個點力、B、C滿足力B=8C=C4=1,在空間中任取2個不同的點,

使得它們與人B、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法種數為（）

A.8B.9C.11D.12

8.（2025?全國?模擬預測）如圖：1）,由兩個半徑相等的圓柱體呈直角相交而得到的公共部分對應的幾何

體稱為“牟合方蓋”（如圖（2））,牟合方蓋的表面可以看成四個曲面拼接成的.將一個牟合方蓋的四個曲面

編號為1,2,3,4,然后每個曲面染一種顏色，相鄰（有公共圖邊）的兩面顏色不能相同，如果只有4種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數（）

圖（1）圖（2）

A.24B.48C.60D.84

二、多選題

9.（2025?四川成都?模擬預測）用數字0,123,4組成無重復數字的四位數，下列說法正確的有（）

A.一共可以組成96個數B.一共可以組成120個數

C.一共可以組成偶數60個D.一共可以組成72個大于2000的數

10.（2025?四川眉山?模擬預測）現有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫，則下列說法

正確的是（）

A.從中任選1幅畫布置房間，有14種不同的選法

B.從這些國畫、油畫、水彩畫中各選1幅布置房間，有70種不同的選法

C.從這些畫中選出2幅不同種類的畫布置房間，有59種不同的選法

D.從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有12種不同的

掛法

11.（24-25高二下?廣東東莞?階段練習）某市地鐵按照乘客乘坐的站數實施分段優惠政策，不超過9站的

地鐵票價如下表：現有小明、小華兩位乘客同時從首站乘坐同一輛地鐵，已知他們乘坐地鐵都不超過9站,

且他們各自在每個站下地鐵的可能性相同，則下列結論正確的是（）

站數工0<x<33<x<66<%<9

票價/

234

元

A.若小明、小華兩人共花費5元，則小明、小華下地鐵的方案共有9種

B.若小明、小華兩人共花費5元，則小明、小華下地鐵的方案共有18種

C.若小明、小華兩人共花費6元，則小明、小華下地鐵的方案共有27種

D.若小明、小華兩人共花費6元，則小明比小華先下地鐵的方案共有12種（同一地鐵站出站不分先

后）

三、填空題

12.（2025?浙江?二模）將6個相同的球放入編號為1、2、3的3個盒子中，要求每個盒子至少放1個球，且編

號為1的盒子中球數不超過2個，則不同的放法種數為.（用數字作答）

13.（2025?河北秦皇島?三模）安排4位顧客去48,C三家餐館就餐，其中一位顧客由于飲食特殊性，只能

安排在4餐館，則不同的安排方案共有種.

14.（2025?江蘇南京?二模）英國數學家弗朗西斯?格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面或球面上的

地圖只需不超過四種顏色即可實現相鄰區域顏色不同.該猜想于1976年由阿佩爾和哈肯借助計算機完成證

明.如圖，一個地區分為6個行政區域，現給地圖上的行政區域涂色（注：人工湖不需要涂色），要求：每

個區域涂1種顏色，相鄰區域不同色.現有紅、黃、藍、綠4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法有

種（用數字作答）.

四、解答題

15.（2025高三?全國?專題練習）書架的第1層放有5本不同的計算機書，第2層放有4本不同的文藝書,

第3層放有3本不同的體育書.

(1)從書架中任取1本書，有多少種不同的取法？

(2)從書架的第1,2,3層各取1本書，有多少種不同的取法?

16.(24-25高二下?江蘇南通?階段練習)在0,1,2,3,4,5這6個數字中選擇若干個數.

(1)能組成多少個無重更數字且為5的倍數的五位數？

⑵能組成多少個無重復數字且不大于3450的四位數？

17.(24-25高二下?全國?課后作業)現有來自高一4個班的學生34人，其中7人、8人、9人、10人分別

來自一、二、三、四班，他們自愿組成數學課外小組.

(1)從來自同一班的學生中各選1名組長，共有多少種不同的選法？

⑵推選2人做中心發言，這2人須來自不同的班級，共有多少種不同的選法？

18.(24-25高二下?安徽?階段練習)給如圖所示的五個區域涂色，要求每一個區域只涂一種顏色，相鄰區

域所涂顏色不同.

(1)最少需要幾種顏色才可以完成涂色任務?

(2)現有四種顏色可供選擇，求有多少種不同的涂色方法.

19.(24-25高二下?山東濟寧?階段練習)用0,1,2,3,…，9這十個數字.

(I)可組成多少個三位數？

(2)可組成多少個無重好數字的三位數？

(3)可組成多少個小于500且沒有重復數字的自然數？

專題10.1分類加法計數原理與分步乘法計數原理（舉一反三講義）

【全國通用】

題型歸納

【題型1分類加法計數原理】...........................................................................3

【題型2分步乘法計數原理】...........................................................................3

【題型3涂色問題］....................................................................................4

【題型4兩個計數原理的綜合應用】....................................................................5

1、分類加法計數原理與分步乘法計數原理

考點要求真題統計考情分析

2023年新高考I卷：第13題，

5分

從近幾年的高考情況來看，高考對

（1）理解分類加法計數原理、分2023年新高考II卷:第3題，

兩個計數原理的考查比較穩定，多以選

步乘法計數原理及其意義5分

擇題、填空題的形式出現，以考查兩個

⑵能利用計數原理解決簡單2023年全國乙卷（理數）：第

計數原理的基本概念與步驟方法為主，

的實際問題7題，5分

有時會與排列組合結合考查，難度不大.

2023年全國甲卷（理數）：笫

9題，5分

知識梳理

知識點1分類加法計數原理與分步乘法計數原理

1.分類加法計數原理

⑴分類加法計數原理的概念

完戊一件事宜兩類不同方案，在第1類方案中有機種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那

么完成這件事共有N=m+〃種不同的方法.

概念推廣:完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有如種不同的方法，在第2類方案中有也種不

同的方法，…,在第〃類方案中有種不同的方法,那么完成這件事共有心如…種不同的方法.

（2）分類的原則

分類計數時，首先要根據問題的特點，確定一個適當的分類標準，然后利用這個分類標準進行分類，分類

時耍注意兩個基本原則：一是完成這件事的任何一種方法必須屬于相應的類；二是不同類的任意兩種方法

必須是不同的方法，只要滿足這兩個基本原則，就可以確保計數時不重不漏.

2.分步乘法計數原理

(1)分步乘法計數原理的概念

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有〃?種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，那么完成這件事共

有種不同的方法.

概念推廣:完成一件事需要〃個步驟，做第1步有如種不同的方法，做第2步有〃?2種不同的方法，…，

做第〃步有種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.

(2)分步的原則

①明確題目中所指的“完成一件事.'是指什么事，怎樣才能完成這件事，也就是說，弄清要經過哪幾步才能完

成這件事；

②完成這件事需要分成若干個步驟，只有每個步驟都完成了，才算完成這件事，缺少任何一步，這件事就

不可能完成；不能缺少步驟.

③根據題意正確分步，要求各步之間必須連續，只有按照這〃個步驟逐步去做，才能完成這件事，各個步

驟既不能重復也不能遺漏.

3.分類加法計數原理與分步乘法計數原理的辨析

(1)聯系

分類加法計數原理和分步乘法計數原理解決的都是有關完成一件事的不同方法的種數問題.

(2)區別

分類加法計數原理每次得到的都是最后結果，而分步乘法計數原理每步得到的都是中間結果，具體區別如

下表：

區別分類加法計數原理分步乘法計數原理

①針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題

②各種方法相互獨立各個步驟中的方法互相依存

用其中任何一種方法都可以完成這件

③只有各個步驟都完成才算完成這件事

事

(3)分類加法計數原理與分步乘法計數原理的合理選擇

分類一將問題分為互相排斥的幾類，逐類解決一分類加法計數原理：

分步一將問題分為幾個相互關聯的步驟，逐步解決一分步乘法計數原理.

在解決有關計數問題時，應注意合理分類，準確分步，同時還要注意列舉法、模型法、間接法和轉換法的

應用.

知識點2分類、生步計數原理的解題策略

1.分類加法計數原理的解題策略

分類標準是運用分類加法計數原理的難點所在，應抓住題目中的關鍵詞、關鍵元素和關鍵位置.

⑴根據題目特點恰當選擇一個分類標準；

(2)分類時應注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法才是不

同的方法，不能重復；

(3)分類時除了不能交叉重復外，還不能有遺漏.

2.分步乘法計數原理的解題策略

(I)利用分步乘法計數原理解決問題要按事件發生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須

滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事.

（2）分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續，逐步完成.

【方法技巧與總結】

分類加法計數原理與分步乘法計數原理是解決排列組合問題的基礎，并貫穿其始終.

（1）分類加法計數原理中，完成一件事的方法屬于其中一類，并且只屬于其中一類.

（2）分步乘法計數原理中，各個步驟中的方法相互依存，步與步之間”相互獨立，分步完成”.

舉一反三

【題型1分類加法計數原理】

【例1】（24-25高二下?福建福州?期末）某天小丁要從福州出發去廈門，已知當天的飛機有5班,動車有12

趟，高鐵有10個車次，則小丁當天出行的方案共有（）

A.12種B.27種C.120種D.600種

【答案】B

【解題思路】由分類加法計數原理即可求解.

【解答過程】已知當天的￡機有5班，動車有12趟，高鐵有10個車次，

則小丁當天出行的方案共有5+124-10=27.

故選:B.

【變式1-1]（24-25高二下?青海西寧?期末）在全球高鐵技術競爭中，中國站到了前沿.全國政協委員、中國

鐵道科學研究院集團有限公司首席研究員趙紅衛近日透露，全球最快的高鐵列車CR450正在加緊試驗，預

計將在一年后投入商業運營.小張需要乘坐某班次高鐵去北京，已知此次高鐵列車車票還剩下二等座4張，

一等座10張，商務座5張，則小張的購票方案種數為（）

A.14B.19C.90D.200

【答案】B

【解題思路】由分類加法計數原理運算即可.

【解答過程】按照分類加法計數原理可得小張的購票方案種數為4+10+5=19.

故選:B.

【變式1-2]（2025?黑龍江齊齊哈爾?三模）己知“漸升數”是指每一位數字比其左邊的數字大的正整數（如236,

567）,則比423大的三位“漸升數”共有個.

【答案】20

【解題思路】根據定義結合分類加法計數原理計算可得答案.

【解答過程】完成這件事需選出3個數，要滿足“漸升數”需分類來解.

當百位上的數字為4,十位上的數字為5時，個位上的數字有4種選法;

當百位上的數字為4,十位上的數字為6時，個位上的數字有3種選法;

當百位上的數字為4,十位上的數字為7時，個位上的數字有2種選法;

當百位上的數字為4,十位上的數字為8時，個位上的數字有1種選法;

當百位上的數字為5,十位上的數字為6時，個位上的數字有3種選法;

當百位上的數字為5,十位上的數字為7時,個位上的數字有2種選法;

當百位上的數字為5,十位上的數字為8時，個位上的數字有1種選法;

當百位上的數字為6,十位上的數字為7時,個位上的數字有2種選法;

當百位上的數字為6,十位上的數字為8時，個位上的數字有I種選法;

當百位上的數字為7,十位上的數字為8時，個位上的數字有1種選法;

所以比423大的三位“漸升數”共有4+34-2+1+3+2+1+2+1+1=20個.

故答案為：20.

【變式1?3】（2025?內蒙古赤峰?模擬預測）有3名同學同時被邀請參加一項活動，必須有人去，去幾人自行

決定，共有種不同的去法.（用數字回答）

【答案】7

【解題思路】按去1,2,3個人分類，利用組合數求解即可.

【解答過程】由題意，去1人有禺=3種去法，去2人有鬣=3種去法，去3人有a=1種去法，

所以共有3+3+1=7種不同的去法，

故答案為：7.

【題型2分步乘法計數原理】

【例2】（2025?湖北武漢?二模）有四對雙胞胎共8人，從中隨機選出4人，則其中恰有一對雙胞胎的選法種

數為（）

A.40B.48C.52D.60

【答案】B

【解題思路】由題意，根據分步乘法原理，可得答案.

【解答過程】先從四對雙胞胎中選出一對，有4種選擇：

然后從剩下的六個人中選出兩個人，且不能是同一對雙胞胎，

這相當于從三對雙胞胎中選出兩對，再從每對中選出一個人，共有3x2x2=12種選擇.

根據乘法原理，總共有4x12=48種選法.

故選：B.

【變式2-1］（24-25高三下?河南?階段練習）同時滿足：①偶數；②沒有重復數字的三位數；③個位數不為0,

這三個條件的數有（）

A.64個B.128個C.196個D.256個

【答案】D

【解題思路】根據分步計數原理求解即可.

【解答過程】個位數的選擇：由于是偶數且個位不能為0,個位只能是2、4、6、8中的一個，共有4種選擇.

百位數的選擇：百位不能為0,且不能與個位數字重復.因此，對于每個個位數，百位有8種選擇（1-9中排

除個位數）.

十位數的選擇：十位可以是0-9中排除百位和個位已經使用的數字，剩下的8種選擇.

根據分步乘法計數原理同時滿足題設三個條件得數得總個數為4x8x8=256種.

故選：D.

【變式2-2］（2025?云南大理?模擬預測）現有4個同學站成一排，將甲、乙2個同學加入排列，保持原來4

個同學順序不變，不同的方法共有（）種

A.10B.20C.30D.60

【答案】C

【解題思路】應用分步乘法原理計算即可.

【解答過程】4個同學站成一排有5個空，甲加入排列有5種情況，隊列變成5個人有6個空，乙加入排列

有6種情況，

由分步計數原理得，共有5x6=30種不同的方法.

故選：C.

【變式2-3］（2025?湖北武漢?模擬預測）五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從4B,C,。四個旅游景點中

任選一個前去游玩，其中甲到過4景點，所以甲不選A景點，則不同的選法有（）

A.64種B.48種C.36種D.24種

【答案】B

【解題思路】由分步乘法計數原理求解即可.

【解答過程】因甲不選A景點，應該分步完成：

第一步，先考慮甲在B,C,D三個景點中任選一個，有3種選法：

第二步，再考慮乙和丙，從中分別任選一個景點，有4x4=16中選法.

由分步乘法計數原理，可得不同選法有：3X16=48種.

故選:B.

【題型3涂色問題】

【例3】（2025?遼寧?模擬預測）為迎接元宵節，某廣場將一個圓形區域分成E五個部分f如圖所示），

現用4種顏色的鮮花進行裝扮（4種顏色均用到），每部分用一種顏色，相鄰部分用不同顏色，則該區域鮮

花的擺放方案共有（）

A.48種B.36種C.24種D.12種

【答案】A

【解題思路】滿足條件的涂色方案可分為8,D區域同色，且和其它區域不同色和GE區域同色兩類，且和其

它區域不同色，結合分步乘法計數原理，分類加法計數原理求解即可

【解答過程】滿足條件的擺放方案可分為兩類，

第一類8,0區域同色，且和其它區域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區域A有4種方法，

第二步，擺放區域8,。有3種方法，

第三步，擺放區域C有2種方法，

第四步，考慮到區域不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域E有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4X3X2X1=24種方案，

第二類，CE區域同色兩類，且和其它區域不同色的擺放方案，

滿足條件的方案可分四步完成，

第一步，先擺區域A有4種方法，

第二步，擺放區域B有3種方法，

第三步，擺放區域C,E有2種方法，

第四步，考慮到區域4B,C不同色，且4種顏色都要用到，擺放區域。有1種方法，

由分步乘法計數原理可得第一類中共有4x3x2x1=24種方案，

根據分步加法計數原理可得該區域鮮花的擺放方案共有48種，

故選：A.

【變式3/】（24-25高二上?山東德州?階段練習）中國是世界上最早發明雨傘的國家，傘是中國勞動人民一

個重要的創造.如圖所示的雨傘，其傘面被傘骨分成8個區域，每個區域分別印有數字1,2,3,…，8.現準

備給該傘面的每個區域涂色，要求每個區域涂一種顏色，相鄰兩個區域所涂顏色不能相同，對稱的兩個區

域（如區域1與區域5）所涂顏色相同.若有6種不同顏色的顏料可供選擇，則不同的涂色方案有（）

A.550種B.630種

C.720種D.840種

【答案】B

【解題思路】確定區域1,2,3,4的顏色，分區域3與區域1涂的顏色是否相同兩種情況討論，進而可得出答

案.

【解答過程】由題意可得，只需確定區域1,2,3.4的顏色，即可確定整個傘面的涂色.

先涂區域1,有6種選擇，再涂區域2,有5種選擇，

當區域3與區域1涂的顏色不同時，區域3有4種選擇，剩下的區域4有4種選擇；

當區域3與區域1涂的顏色相同時，剩下的區域4有5種選擇，

故不同的涂色方案有6x5x（4x4+5）=630種.

故選:B.

【變式3-2］（2025?江蘇泰州?模擬預測）如圖，某社區為墻面A、B、C、。四個區域進行涂色裝飾，每個區

域涂一種顏色，相鄰區域（有公共邊）不能用同一種顏色，若只有四種顏色可供使用，則恰好使用了3種

顏色的涂色方法共有（）

AB

CD

A.12種B.24種C.48種D.84種

【答案】C

【解題思路】由條件可知，若只用3種顏色，則只有4和。顏色相同，或只有B和C顏色相同，所以采用分類

和分步計數原理，結合排列組合，即可求解..

【解答過程】由條件可知，可以分成只有A和。顏色相同，或只有B和C顏色相同，

若只有A和。顏色相同，則有C；瑪以=24種方法，

只有B和C顏色相同，也有24種方法，所以一共有24x2=48和方法.

故選：C.

【變式3-3］（2025?廣東茂名?模擬預測）如圖，現要用5種不同的顏色對某市的4個區縣地圖進行著色，要

求有公共邊的兩個地區不能用同一種顏色，共有幾種不同的著色方法？（）

A.120B.160C.180D.300

【答案】C

【解題思路】分兩步，第一步先排I,i【，ni,第二步再排iv,然后根據分步計數原理相乘即可.

【解答過程】先排【，I【，III共有除=60種，再排N有己=3種，

故不同的著色方法數有60x3=180種.

故選：C.

【題型4兩個計數原理的綜合應用】

【例4】（2025?甘肅?模擬預測）因工作需要，某單位安排甲、乙、丙、丁4位領導在端午節3天假期值班，

要求每天有兩人值班，且每人需要值班1天或2天，則不同的值班方案有（）

A.92種B.9（）種C.86種D.76種

【答案】B

【解題思路】根據題意，先確定值班天數分配，然后分兩種情況討論，結合組合數以及兩類計數原理代入計

算，即可得到結果.

【解答過程】總值班人次為3x2=6,每人需要值班1天或2天，

因此唯一可能的分配是其中兩人各值班2天，另外兩人各值班1天，

先從四人中選出值班兩天的兩人，有以=6種，

假設選出的兩人分別為甲乙，需要值班2天，另外兩人丙丁各值班1天，具體分兩種情況，

若甲乙共同值班2天，選擇共同值班的2天，有髭=3種情況，

剩余1天，由丙丁共同值班僅1種方式，總方式3x1=3；

若甲乙共同值班1天，從3天中選1天，有禺=3種情況，

然后甲從剩余的2天選擇1天值班，乙選擇剩下1天，有2X1=2種情況，

然后丙丁分別在甲乙剩余值班天中各選擇1天，有2種方式，總方式3x2x2=12；

一共有3+12=15種方式，

則總方案數有6xl5=90種.

故選:B.

【變式4-1］（2025?河北?模擬預測）用0,1,2,3,4能組成沒有重復數字且比32000小的數字（）個.

A.212B.213C.224D.225

【答案】D

【解題思路】先對數字位數分類討論，在對五位數的苜位數字進行分類討論：①首位為1,2；②首位為3.

然后分析千位數的選取，結合分步乘法計數原理和分類加法計數原理可得結果.

【解答過程】分數字位數討論：

一位數5個；

兩位數有4x4=16個；

三位數有4x4x3=48個；

四位數有4x4x3x2=96個；

五位數分以下兩種情況討論：

①首位數字為1或2,此時共有2川=2x24=48個；

②首位數字為3,則千位數從?；騃中選擇一個，其余三個數位任意排列，

此時共有2a=12個.

綜上所述，共有5+16+48+96+48+12=225個比32000小的數.

故選：D.

【變式4-2】（2025?安徽合肥?模擬預測）2024屆高三某次聯考中對尖端生采用屏蔽措施，某校歷史方向有

B、C,E五名屏蔽生總分在前9名，現在確定第一、二、五名是A、B、C三位同學，但4不是第一名,

D、E兩名同學只知道在6至9名，且。的成績比E好，則這5位同學總分名次有多少種可能（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解題思路】先排4再排B和C,對。進行分類，可排6,7,8位，最后根據D的情況再排E。

【解答過程】第一步排力有兩種可能：第2名或第5名；

第二步排B和。有兩種可能；

第三步排。和E,。有6,7,8位三種可能；

當。為第6名時，E有7,8,9名三種可能，

當。為第7名時，￡有8,9名兩和可能，

當。為第8名時，￡只有第9名一種可能，

所以第三步的總數為3+2+1=6種；

根據分類計數原理，所有名次排位的總數=2x2x6=24種。

故選：C.

【變式4-3】（2025?河南鄭州?三模）河南具有悠久的歷史和豐富的文化底蘊，其美食也獨具特色.現有一名

游客計劃在三天內品嘗完以下六種河南特色美食：炒面、胡辣湯、灌湯包、道口燒雞、炳餅、黃河鯉魚.該

游客每天從這六種美食中選擇1到3種進行品嘗（每天必須選擇且不能重復選擇已品嘗過的美食）.若三

天后恰好品嘗完所有美食，則不同的選法種數為（）

A.450B.360C.180D.90

【答案】A

【解題思路】根據題意可知分配方式有1+2+3和2+2+2兩種情況，然后分別計算這兩種情況的選法種數,

最后相加就是所求答案.

【解答過程】①計算按照1+2+3分配的選法種數.

根據分步乘法計數原理，按1+2+3分配的選法種數為：

CjxCjxCfxA1=6x10x1x6=360種.

②按照2+2+2分配的選法種數為：

全等xAk3^6=90種.

A506

最后將兩種選法種數相加得到總的選法種數為360+90=450