（新高一暑假預習）人教A版高中數學必修第一冊：充分條件與必要條件（解析版）

叫，加是"的充分條件,〃即的必要條件）

充分條件與必要條件充要條件的慨念）<7%=

如果1!1仃p=g.乂4tq=p.就記作pff.

這iHp是g的充分必孌條件，加是夕的充要條件.

Ipf,似夕Ap,如是勺的充分不必要條件.

g明的必要不充分條竹

、/Mgf?，乂力是g的仍要不充分條件，

）夕期的允分小。要條件

必鬟條件與充要條件的判斷

充分條件與必要條件

rP=g.即0』，蜘、g"：為充要條件

切刊P則戶足夕的既不充分也不必要條件

Ctt臟卜|p(t)LB=biQ(I))

關系向tlkAA-BAOUKQ

從集合與集合間的關系看）忸小O)&

pliq的充分不必1.足?1的0要不允P是Q??不充分也

結論AQ4為充要條什

e*n分條件林,締

題型七：探求命題成立的充要條件

題型四：由必要條件確定參數的取值范圍

02基礎知識梳理

知識點一：充分條件與必要條件充要條件的概念

符號〃=4與〃至9的含義

“若p,則夕”為真命題，記作：P=q；

“若p,則如'為假命題，記作:p書q.

充分條件、必要條件與充要條件

①若〃二夕，稱〃是q的充分條件，夕是〃的必要條件.

②如果既有〃=4，又有夕=>〃，就記作這時P是<7的充分必要條件，稱P是9的充要條

件.

知識點詮釋：對〃=>夕的理解：指當p成立時，q一定成立，即由P通過推理可以得到g.

①“若〃，則夕”為真命題；

②p是q的充分條件；

③q是〃的必要條件

以上三種形式均為“pnq”這一邏輯關系的表達.

知識點二：充分條件、必要條件與充要條件的判斷

從邏輯推理關系看

命題“若P，則q"，其條件〃與結論學之間的邏輯關系

①若〃=q,但q*p,貝］p是4的充分不必要條件，^是p的必要不充分條件；

②若〃*4,但9=>〃，貝Jp是q的必要不充分條件，夕是〃的充分不必要條件；

③若〃=q,且4=>〃，即〃oq,則p、q互為充要條件；

④若p*q,且g於〃，貝Jp是9的既不充分也不必要條件.

從集合與集合間的關系看

若p：xEA?q：xWB,

①若4q氏則〃是q的充分條件，q是p的必要條件；

②若A是3的真子集，則p是q的充分不必要條件；

③若A=B,則p、q互為充要條件；

④若A不是B的子集且3不是A的子集，則〃是夕的既不充分也不必要條件.

記法A={x|p(x)},B={x|q(x))

關系A&A二BA2B且B2A

圖示

P是q的充分不必p是q的必要不充P是q的既不充分也

結論P,q互為充要條件

要條件分條件不必要條件

知識點詮釋：充要條件的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充

分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：

①確定哪是條件，哪是結論；

②嘗試用條件推結論，

③再嘗試用結論推條件，

④最后判斷條件是結論的什么條件.

知識點三：充要條件的證明

要證明命題的條件是結論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必

要性（即證原命題的逆命題成立）

知識點詮釋：對于命題“若p,則4”

①如果〃是q的充分條件，則原命題“若p,則夕”與其逆否命題“若-/，則一p”為真命題；

②如果p是q的必要條件，則其逆命題“若烏，則p”與其否命題“若力，則r”為真命題；

③如果p是q的充要條件，則四種命題均為真命題.

03題型精講舉一反三

題型一：充分條件、必要條件與充要條件的判定

例1.（2026?高一?上海奉賢?期末）已知乂ycR,貝『3""是"冷，=網"的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】C

【解析】若冷后。，則孫=阿，放"―后。"是"個=網”的充分條件，

若砂T孫I，則燈之0，故"孫之。"是"寸=網”的必要條件,

綜上可得：“冷后0〃是"歲=網”的充要條件.

例2.（2026?高二?安徽?學業考試）設p:（a—2）（。—3）=0,q-.a=3,則（）

A.〃既是4的充分條件，也是“的必要條件

B.〃是，/的充分條件，但不是9的必要條件

C.P是9的必要條件，但不是^的充分條件

D.〃既不是夕的充分條件，也不是“的必要條件

【答案】C

【解析】由m-2）m-3）=0可得G=2或a=3,

■?1命題P不一定推出命題。，...命題P不是命題"的充分條件；

???命題4可推出命題P,命題〃是命題"的必要條件，

是"的必要不充分條件.

故選：C.

例3.（2026?高一?江蘇常州?階段檢測）下列所給的各組〃,4中，。是，/的充分條件的是（）

A.〃:/=1國:。=1

B.p,—<\yq.b<a

C.P：w<Lt/：關于x的方程/幾12+2大+1=（）有兩個實數解

D.〃:&A8C中，/8AC>/n8C,q：AA8C中，BC>AC

【答案】D

【解析】對于A,若/=1則。=一1或。=1,則九q,

所以，不是夕的充分條件，故A不符合；

對于B,若2<1,則。va且。>0或〃且〃<0,則〃4",

所以P不是夕不充分條件，故B不符合；

對于C,若關于x的方程〃>+2工+1=0有兩個實數解，

mH0

則|A=22-4解得〃臼且叱。,

則04q,所以〃不是4不充分條件，故c不符合；

對于D,在VA8C中，"4C>N/$C可得8c>4C,

則p=q,所以P是9的充分條件，故D符合.

故選：D.

變式1.（2026?高一?江西?階段檢測）“3x7為整數”是。為整數”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

9

【解析】當上=；時，3x-1=1為整數，故x不一定是整數，而當x是整數時，3x-1一定是整數，所以

“3/-1為整數"是"％為整數”的必要不充分條件.

故選：A.

變式2.（2026?高一?山東荷澤?階段檢測）己知〃是〃的充分不必要條件，4是「的充分條件，$是「的

必要條件，^是$的必要條件，下列命題正確的是（）

A.「是，/的充分不必要條件B.P是4的充分不必要條件

C.「是的必要不充分條件D.「是，的充分不必要條件

【答案】B

【解析】由已知有p=>r,葭P,q=「,r=>s,s=>“，

由此得，.=>/且qnr,故AC不正確；

pnq、QGP,故B正確：

〃=>s且S=r,故D不正確.

故選：B.

題型二：充分條件與必要條件的基本性質及應用

例4.（2026?高一?上海-期中）下列是人成立的一個充分非必要條件的是（）

A.a2>h2B.?>/>+!C.D.a3>by

b

【答案】B

【解析】對于A,由于〈J不能推出?>〃，故A錯誤，

對于B,由a>〃+l可得a>1,故可得。>力，但〃>6可得。一。>0,無法得至故a>〃+l是。>〃成

立的一個充分不必要條件，B正確，

對于C,由9>1可得噌>0,由于無法得知人的符號，所以無法確定〃>/九故C錯誤，

bb

對于D,故是〃成立的充分必要條件，口錯誤，

故選:B

例5.（2026?高一?河北?階段檢測）已知條件〃:xv。或x>2,則使得條件〃成立的一個充分不必要條

件是（）

A.x<l或x>2B.xv-1或x>4C.xvO或x>2D.0<x<2

【答案】B

【解析】使得條件〃成立的一個充分不必要條件應為｛x|.r<0或x>2｝的真子集，

只有XV-1或x>4滿足要求.

故選：B.

例6.（2026?高一?上海?期末）古人云“一屋不掃，何以掃天下"，這句諺語說明古人認為“能掃一屋〃的

一個（）條件是"能掃天下"

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】A

【解析】"能掃天下〃一定得到"能掃一屋"，

所以“能掃天下〃是“能掃一屋”的充分條件.

故選：A.

變式3.（2026?高一?湖南衡陽?階段檢測）已知條件則使得條件，成立的一個充分不必要條

X

件是（）

A.x<-lB.x>\C.x<（）或x>lD.x/0

【答案】A

【解析】由題意得!<1,解得x>l或x<0,

X

故使得條件〃成立的一個充分不必要條件應為I或XV0的真子集，

其中/<-1滿足要求，其他選項不滿足.

故選:A

變式4.（2026?高一?河北石家莊?階段檢測）下面四個條件中，使成立的一個必要不充分條件是

（）

A.a>b-2B.a2>b2

C.—>1D.a>b+2

b

【答案】A

【解析】對于A,"a>?’能推出"a>b-2",但“a>6-2"不能推出"。>人,故滿足題意;

對于B,"a>"不能推出，2>加”,故選項B不是“心曠的必要條件,不滿足題意；

對于C,“a>〃〃不能推出“二>1”,故選項B不是的必要條件，不滿足題意：

b

對卜D,"a>8"不能推出“a>〃+2",故選項C不是“a>b〃的必要條件，不滿足題意.

故選：A.

題型三：由充分條件確定參數的取值范圍

例7.（2026?高一?河北保定?期中）已知集合A={H3WXW6},集合8={巾22〃1或

X<W-1./77GR1.

⑴若A3=0,求實數用的取值范圍；

（2）設〃:xeA,q”B,若〃是4的充分條件，求實數川的取值范圍.

【解析】（1）已知力={x|3WxW6},8={x|xWm—1或％22m-1},若4c8=0,

則工的所有元素都不在B中，可得不等式組：］丁一i］：A，

127n-1>6

77

解得-<m<4,即m的取值范圍為不<m<4-

22

（2）若p是q的充分條件，則AqB,即A的所有元素都屬于8,

因此有兩種情況：?71￡［x\x此時〃?一126,解得〃欄7；

②Ac{x|x>2/?-l）,此時2〃?-1?3,解得小42,

綜上，m的取值范圍是或加27.

例8.（2026?高一?陜西渭南?期末）設全集U=R,集合4={小>時，B={A\-3<X<5}.

⑴當相=—2時，求@4）08；

⑵若“xcB〃是“工€人〃的充分條件，求小的取值范圍.

【解析】（1）當〃?=一2時，集合八={x|x>-2},

又因為全集U=R,所以+A={XxW-2},

因為集合8=國-3Vx<5},所以⑼A）cB={x|-3vxW-2}

（2）因為“xeB〃是"xeA”的充分條件，所以8cA.

乂因為集合4={#>機}，B={x|-3<x<5},所以〃2K-3.

即陽的取值范圍為{討,3-3}.

例9.（2026?高一?湖南婁底?期末）設全集U=R,集合A={止2vxv5},B={x|/n-5<x<2,72+1）.

（1）若〃7=1,求集合Q/A,408；

(2)命題〃:xeA,命題/xcA,且〃是“的充分不必要條件，求實數川的取值范圍.

【解析】(1)6=1,B={x|-4<x<3},

所以4,4={小《-2或xN5},Au8={x|-44x<5}；

(2)因為P是4的充分不必要條件，所以A=3且

m—5W—2

所以C八一其中等號不同時成立，解得2?〃”3，

所以實數力的取值范圍是卜〃|23匹3}.

變式5.(2026?高一?福建三明?階段檢測)已知全集〃=區，集合尸={x|a+14xW2a+l},

(?={x|-2<x<5).

(1)若4=3,求PDQ,PCQ；

(2)若“xeP〃是“xeQ〃充分不必要條件，求實數〃的取值范圍.

【解析】(1)當a=3時，P={xl4<x<7],

因為Q={X|-2V*W5},所以PCQ={X[-2<X<7}；Pr>Q={x\4<x<5}；

(2)若“xeP〃是“xcQ”的充分不必要條件，即P是。的真子是,

當〃+1>為+1時，”0,此時尸=0,滿足尸是Q的真子集，

A+1>-2

當Pw0時，則，2a+\<5,解得：04aW2,且a+1=—2和2a+l=5不能同時成立，

2a+\>a+\

綜上所述：實數〃的取值范圍為。W2.

變式6.已知命題p:-2WxW10,c/:x>\+a^x<}-a,a>0,若〃是9的充分不必要條件，則。的取值范

圍為.

【答案】0

【解析】命題〃對應集合八={R-2KXK10},

命翹“對應集合B={x\x21+a或xK1-a>0},

若P是4的充分不必要條件，則集合人是集合B的真子集，

則有1+“七一2或1一々21(),解得。4一3或。4一9,即。工一3,

又〃>0,故。的取值范圍為。.

題型四：由必要條件確定參數的取值范圍

例10.（2026?高一?上海?期末）已知集合A={x|2vx<4},5={x|2m<x<\-mjneR}.

⑴若AB=0,求實數用的取值范圍；

（2）已知機<；,記命題〃:xeA/xwB,若4是P的必要不充分條件，求實數初的取值范圍.

【解析】（1）若8=0,則26？1m,得加彩

若8工0,則〃

因為4B=0,所以1一〃?工2或力心4,得〃出一1或/〃，2,則一1工〃?<；,

綜上，實數〃1的取值范圍為卜山〃后-1}；

（2）因為小<；,所以笈工0,

因為4是〃的必要不充分條件，所以A是3的真子集，

2m<2

則?、.且等號不同時成立，得機工-3,

故實數機的取值范圍為{W〃工-3}.

例11.（2026?高一?廣東深圳?期末）已知集合4={劃一1<工<4},B={x\m-\<x<2m-3}.

（1）若〃?=4,求4A和AB-

⑵若"xeA”是"xe夕的必要不充分條件，求實數用的取值范圍.

【解析】（1）當巾=4時,B={M〃IW2小-3}=33W5},

因為人={目-1式工<4},所以電A={4r<-1或xN叫，4^^={x|-l<x<5}.

（2）因為“xc4”是"xw8〃的必要不充分條件，則集合4是集合A的真子集，

當8=0時，fn-\>2m-3,解得m<2：

m-\<2m-3

當3/0時，要使集合3是集合A的真子集，則，m-\>-\,解得2金〃<?.

2m-3<4

7

綜上所述，實數，〃的取值范圍是〃

/

例12,（2026?高一?陜西寶雞?期末）已知集合4=3—1K2N+1S3},13={x\a<x<a+4}.

⑴若a=（）,求4B；

⑵若是xe人的必要條件，求實數。的取值范圍.

【解析】（1）A={X|-1<2X+1<3}={A-|-1<X<1},當〃=0時E={x[0<x<4},

所以入3=3-。<4}；

（2）由（1）得4=卜卜1WxWl},B={x\a<x<a+4],

因為xeB是xeA的必要條件，所以AqB,

所以,,解得

。+4>1

所以實數。的取值范圍是{。|-3v。v7}.

變式7.（2026?高一?四川涼山?期末）已知集合A={N2?x<3},B={RXV”?或〃+2}.

（1）當m=0時，求Ac及4（Au3）；

（2）若xeA是xwA的必要不充分條件，求實數〃?的取值范圍.

【脩析】（1）因為〃?=（）,所以6={Nxv〃?或x>〃i+2}={x|x<0或K>2}

所以4cB={x|2<x<3},

AuA={x|x<0或xN2}

^（AuB）={x|0<x<2）

（2）因為是xeA的必要不充分條件，則A是"的真子集.

則〃?+2<2或，〃之3,所以/〃<0或，〃之3,

所以實數m的取值范圍為{ml〃?<0或加N3}.

變式8.設人=卜|/-34+2=0},B={x|ar+2=0}

⑴用列舉法表示集合A并寫出集合A的所有子集；

（2）若“KwA〃是“XeB〃的必要條件，求實數。的值.

【解析】（1）由題可知集合人中元素滿足方程V-3x+2=0,解得x=l或x=2,

即集合A={1,2}所以集合A的所有子集是0,{1},{2},{1,2}.

（2）因為“xeA”是"xeB”的必要條件，所以8口A,

當8=0時，ar+2=0無解，則a=0；

當8={1}時，a+2=（）,則〃=一2；

當8={2}時，24+2=0,則a=T,

綜上所述，實數〃的值為0或T或-2

題型五：由充要條件確定參數的取值范圍

例13.（2026?高一?湖南岳陽?期中）已知集合P={x|-2KXK6},非空集合S={x|1-〃+3M.

⑴若xe尸是xeS的必要條件，求實數m的取值范圍；

⑵是否存在實數，〃，使xw〃是xeS的充要條件.

【解析】（1）團xwP是xeS的必要條件，故SqP.

\-m<\+3m

,解得

3

1+3〃？<6

即所求實數，〃的取值范圍是

（2）團若xwP是xeS的充要條件，則夕=S,

\-m=-2

"3〃?二6'由于該方程組無解,

即不存在實數小，使xwP是xeS的充要條件.

例14.（2026?高一?廣東東莞?階段檢測）已知集合A={M-3?XW4},8={X|1-〃?4X?3〃L2,〃01}.

⑴是否存在實數加，使得xwA是xe3成立的充要條件，若存在，求出實數川的值，若不存在，請說明理

由；

⑵若xeA是xe3成立的必要不充分條件，求出”的取值范圍.

【解析】（1）若存在實數加，使得xcA是成立的充要條件，則A=8.

\—m=—3

故。.無解，故不存在實數〃"使得是xeB成立的充要條件.

3〃?-2=4

（2）因為〃?>1,所以3/〃一2>1>1—/〃.故4/0,

由xeA是xeA成立的必要不充分條件，得4真包含于A,

\—tn>—3

所以。且不等式組的兩個等號不同時取得，解得〃?K2,乂機>1,

所以加的取值范圍為lv〃?42.

例15.已知集合人={.4-1<1<3},集合8={x|-1vxv〃2+l}.

⑴若xeA是xe4成立的一個充分不必要條件，求實數機的取值范圍；

⑵若xr人是ru。成立的充要條件，求實數〃?的值.

【解析】（1）由題意人是8的真子集，所以〃?+1>3,即〃>2,

所以實數m的取值范圍為{m\m>2}.

（2）因為xwA是成立的充要條件，所以A=8,

所以，〃+1=3,即加=2.即實數m的值為2.

變式9.（2026?高二?陜西咸陽?階段檢測）已知P={x|”x42},S={x\\-m<x<\+m].

⑴是否存在實數〃?，使xeP是]三5的充要條件？若存在，求出”的取值范圍；若不存在，請說明理由.

⑵是否存在實數用，使xeP是xwS的必要條件？若存在，求出”的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【解析】（1）要使xc尸是xeS的充要條件，需使P=S,

1—=1

即1ni七此方程組無解，

i+m=2

故不存在實數〃?，使xe。是xeS的充要條件.

（2）要使xwQ是xwS的必要條件，需使SqP.

當S=0時，1-〃7>1+〃7,解得〃7<0,滿足題意;

當SW0時，\-m<\+m,解得，"之0,要使Sq尸，則有

1T〃21

\,?解得tn<0,所以〃?=0.

1-m<2

綜上可得，當實數，〃K0時.，xcP是xeS的必要條件.

變式10.(2026?高一?湖南郴州?階段檢測)設集合A={#+3X+2=。},

4=卜卜2+(〃?+l)x+/〃=0};

⑴用列舉法表示集合A；

⑵若是xe4的充要條件，求實數，〃的值.

【解析】(1)集合4={小2+3/2=0}=卜1,-2},

即A={T_2}；

(2)由已知A={-l,-2},x2+(m+\)x+m=()}=[x\(x+l)(x+//z)=()},

若犬?4是xcA的充要條件，則4=8,

/.-m=-2,

.,./〃=2.

題型六：充要條件的雙向證明

例16.已知a+〃+c=O,證明：ZJ+〃+c?=0"是"a〃+Z?c+ac=O"的充要條件.

【解析】先證充分性：

由/+Z/+/=0得a=O=c=。，貝ij〃力=O,bc=O.ac=。，因此2+〃c+ac=U；

再證必要性：

由+=2cib+2bc4-2ac=0,由a+〃+c=(),得(a+A+c)?=(),

因此a?+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,則a2+b2+c2=0

所以+c2=0是"。〃+從'+比=0"的充要條件.

例17.(2026?高一?上海?階段檢測)(1)已知關于x的一元二次方程/+(2"7+1)》+〃?-2=0.求證:

無論機取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；

(2)求證：關于工的方程a「+A+c=0有一個根為1的充要條件是。+〃+。=0

【解析】(1)關于x的一元二次方程x2+(2〃z+l)x+,〃-2=0.

因為△=(2〃Z+1)2-4x(〃?-2)=4//+9>0,所以無論力取何值，此方程總有兩個不相等的實數根；

(2)必要性：若關于4的方程or?+歷:+c=0有一個根為1,則a+/?+c=O,

充分性：若a+Hc=0,

則關于x的方程?2+bx+c=ax2=_])+0(X—1)=(1_])(依+4+/?)=0有一個根為1,

所以關于X的方程aF+Zu，+c=O有一個根為1的充要條件是a+b+c=o；

例18.（2026?高一?湖南長沙?階段檢測）設集合例={1=病—〃2,‘〃”z}.

⑴11和36是集合M中的元素嗎？若是，請說明理由.

⑵證明：屬于M的兩個整數，其積也屬于例；

（3）寫出“偶數2&（八Z）屬于的一個充要條件并證明.

【解析】（1）因為11=62-52,36=62-0\所以lie",36eM；

（2）設這兩個整數分別為右山，

則集合/={t\t=m2-n\m,neZ\中的元素乙=而一〃；/=*一〃；，

所以乙,G=（訴-〃；）。宿一W）=〃才涕一訴裙-〃:局+〃訊

=+n]n2）~{m\n2+"1建）=（小嗎+〃1〃2）2_（町%+）'.

因為〃?,/?eZ,所以碼嗎+n}n2,m}n2+勺m2eZ,

r（€；W,/2GM,則4“2e”成立.

（3）“偶數2MzeZ）屬于M〃的一個充要條件是女為偶數.

充分性：因為k為偶數，所以設攵=2a（awZ）,所以喋=4〃，

而3+1）2-（4-1）2=4。，所以”=3+1）2-（"1）2滿足集合M={r|t=m2-7l2,/W,nGZ|,

所以偶數2A（AwZ）屬于M.

必要性：因為偶數減為wZ）屬于%所以兼=〃/—/="〃+〃）（〃?_〃）

因為〃,所以/〃+〃與川-〃有相同的奇偶性.

因為2代AwZ）為偶數，所以〃7+“與〃一〃均為偶數，所以⑺+九）⑺一切應為4的倍數,2k必為4的倍

數，即左必為2的倍數，所以攵為偶數.

變式11.（2026?高一?上海?期中）己知A是R的非空真子集，如果對任意兒ywA,都有』+ye4,

.yywA,則稱A是封閉集.

⑴判斷集合8={0},。={-1。1}是否為封閉集，并說明理由：

（2）命題p：若非空集合兒，4是封閉集，則“AC&W0"是"AC4是封閉集"的充要條件.請判斷命題〃的

直假,并說明理由.

【解析】（1）3={0}是封閉集，C={T0,l}不是封閉集，理由如下：

對于集合8={0},因（）+0=0e8,（）XO=（）€/故8={0}是封閉集；

對于集合。={—1,0,1}，因-1+（-1）=-2任C,l+I=2/C,

故集合。={-1,0,1}不是封閉集.

（2）真命題，理由如下：

若A|C�,不妨任取a,〃e（4C4）,則有a,〃eA，

又集合A是封閉集，則“+力，同理4+A'MW4，

因此a+b?Ac4),處?Ac&)，即Ac,是封閉集;

反之，若AC4是封閉集，則A,C4是非空集合，即AC&H0,

故AC4H0是AC4是封閉集的充要條件，命題是真命題.

變式12.(2026?高一?河北邢臺?階段檢測)已知M是正實數集的一個子集，定義運算8,使其滿足下

列4個條件：①貝廣牙=V的充要條件是叮③V=1〃；②則的充要條件是

“x8y>l”；③Vx,ywM,則"％<y"的充要條件是"0vx?yV1”；(4)Vx,j,z€A/,(iy)?z=x(j0z).

⑴設集合若求a的取值集合；

(2)設％yw",證明："x?y=y8"的充要條件是"工=丁"；

(3)設x,)\zeM,且x(g)z>y③z,證明：x^y>\.

【解析】(1)因為M是正實數集的一個子集，所以。>0,

乂因為/<8)4>1，則/>〃，解得

所以。的取值集合為{小>1}.

(2)充分性：若x=y,貝ijy=E則由①可知x③)，=)，③x=i,

故由x=)L可得=

必要性：由x<8)y=y?%,設==,

若加>1,則由可得x>)',由丁③x="z,可得)'>x,矛盾.

若"?=1,則由小，可得工=兒由)，③X=〃L可得y=￡符合題意.

若0<〃2<1,則由入6'=，〃，可得“<y,由y?x=,〃，可得y<x,矛盾.

故由x(8>y=y綏x,可得x=y.

綜上可知："x?y=y二"的充要條件是“工=y:

/Y、X

(3)由④可知x<3)z=—y0z=-,

㈠Jy

因為x③z>y③z,則土.()，?z)>y聳z,

y

設y?8>z=〃，可知〃>O,

則；(yXz)>)咆z,可得

且H>0,y>。，可得x>V,所以x③y>l.

題型七：探求命題成立的充要條件

例19.一元二次方程加+云+。=0("0)有兩個異號實根的充要條件是.

【答案】ac<0

【解析】acvO是該方程有兩個異號實根的充要條件，

證明必要性：由于方程依2+法+，=。（a,b,。是常數且。工0）有一正實根和一負實根,

設兩根為內,修，所以△=Z/-4ac>0，且$居=￡<0,所以ac<0.

'a

充分性：由acvO可推出△=〃一4oc>0.

從而元二次方程ad+/*+c=O有兩個不相等的實數根，設為,、與，

則心與=￡，由此<0知：犬內〈0，即兩根異號，

a

所以方程加+Zu-+c=O（。，b,。是常數且。工0）有一正一負兩實根.

因此比<0是方程芯+區+。=。（。工0）有兩個異號實根的充要條件.

故答案為：ac<0

例20.關于x的方程依+1=0有兩個負實根的充要條件是.

【答案】2}

A>0i/2-4>0

【解析】充分性：由題意可得=*<。，即得。4-2,充分性成立；

x,x2>01>0

必要性：a<-2,則此時Au/idNO,』+修=4<0，王工2=1>。，

滿足方程有兩個負實根，必要性成立.

故關于x的方程％2-如+|=。有兩個負實根的充要條件是充要條件是aK-2.

故答案為：{a|aW-2}

例21.（2026?高一?上海?階段檢測）設x,yeR,已知夕：V<）,3,則△的一個充分必要條件是

【答案】

【解析】因為V<），3=/一）,3=（.力卜2+冷，+,2）=（1—）,）（?；）'）<0

oxvy,

所以。的一個充分必要條件是XV）'.

故答案為：xv丁

變式13.寫出關于a,b,C的等式3（/+//+c2）=（a+〃+c）2成立的一個充要條件：.

【答案】a=b=c

【解析】將等式3（/+/+。2）=（。+人+。）2整理得2/+21?+2從一2a〃一2Ac—2ac=0,

BP（a-c）~+（b-c）~+（a-b\=0,即a=0=c.

故原式的等價于：a=b=c.

故答案為：a=b=c

變式14.（2026?高一?北京海淀?階段檢測）設4、8是任意兩個集合，請寫出一個“A15=8”的充分

必要條件是________.

【答案】（只需與A=8等價即可）.

【解析】=

所以，"44=4〃的充分必要條件是"4=夕1

故答案為：AcB（只需與A=8等價即可）.

04過關測試

1.（25?26高一下?貴州畢節?期中）"<?>了"是一>1"成立的（）條件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】由題可得，/>工=>式0或1?,充分性不成立；x>i=>x2>x,必要性成立

2.（25-2G高一下?上海閔行?期中）設集合A、6是全集。的兩個子集，則是同=。一。的（）

A.充分但非必要條件B.必要但非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【答案】D

【解析】若可得AJ8=B,但集合3不一定等于全集U,所以充分性不成立；

例如：設全集U={123,4,5},集合4={1,2,3）,5={3,4,5},

此時滿足=但集合A不是集合3的子集，所以必要性不成立，

綜上可得，AqB是Au8=U的既非充分也非必要條件.

3.（24-25高一上?陜西榆林?階段檢測）已知eR,則“1<a<Z?"是"a+>>2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若貝lJa+〃>2,是充分條件，

若〃+則推不出

比如：。=2,〃=0.5也可以，

所以“1<a<人是“〃十八2”的充分不必要條件.

4.（2026?云南昆明?模擬預測）已知VA6c的三條邊長為a,b,c,則“V/WC是等邊三角形”是

/Z6z2+Z>2+c2=ab+ac+bc"^'J（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】因為a?+從+c2=ab+ac+be=2a2+2b2+2c2=lab+2ac+2bc

<=>2^2+2b2+2c2—lab-lac-2bc=0<=>（6/—Z>）2+（/?-c）24-（67-e）2=0

oa-〃=0且〃-c=0且a-c=（）O4=〃=ooVA/3c是等邊三角形，

所以“VA8C是等邊三角形〃是“〃2+b2+c2=c必+比+兒”的充要條件.

5.（25-26高一下?安徽?開學考試）“三〉微〃的一個充分不必要條件是（）

A.a>0D.cz<0C.<7<—1D.a<1

【答案】c

【解析】若WW，解得avO,嗚W等價于avo.

對「?選項A：因為集合同力。｝與集合｛〃|。<0｝之間不存在包含關系，

可知。>0是的既不充分也不必要條件，故A錯誤；

對于選項B：因為集合｛。|。<0｝與集合｛。|。<0｝相等，

可知avO是的充要條件，故B錯誤；

32

對于選項C：因為集合是集合｛。|。<0｝的真子集，

可知〃<-1是:〉￡的充分不必要條件，故C正確；

對于選項D：因為集合｛。|。<0｝是集合的真子集，

可知avl是二〉二的必要不充分條件，故D錯誤.

6.(25-26高一上糊北孝感?期末)“x+y>0〃是“閃+>>0〃的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】先討論充分性：

當xNO時，|x|+y=x+y,故工+)>。能推出W+y>0：

當xv()時，l-v|=-x,由1+.丫>0得),〉一X二國，故國+),>兇一4=_24>(),即x+y>()能推出N+y>(),

所以“x+y>0〃是“岡+)，>0〃充分條件成立；

再討論必要性：

取了=-3,)=2,此時滿足兇+)>0,但x+y>0不滿足，

所以必要性不成立.

綜匕。+y>o〃是“國+)'〉0"的充分不必要條件.

故迄A

7.設集合4=卜|/+彳-6=0｝,8=｛刈如-2=0｝,則8是4的真子集的一個充分不必要條件是()

2'

A.wejO,-B.me0,—■

3]

C.利￡〈0,-三,1>D.we]o,-^,l>

3J3

【答案】B

【解析】A={X|X2+X-6=0}={2,-3},

若加=0,則4=0,B人,

若〃?=1,則8={2},BA,

若加=-§,則8={-3},BA,

..2

1344的一個充分不必要條件是，〃￡，。，-w，.

故選：B

8.（24-25高三?全國?一輪復:習）若不等式的一個充分條件為0<x<l,則實數。的取值范圍是

（）

A.a>0B.a>（）C.a>lD.a>\

【答案】D

【解析】由不等式打一1|<“，可得一。十Ivxva十1（avO不合題意），

要使得0<工<1是-。+1vxva+1的一個充分條件，

-?+1<0

則滿足《解得aNl.

a+\>\

故選:D.

9.（多選題）（25-26高一上?山東嗯州?階段檢測）“集合4={（3，）辰2+y2<4”、），6}只有3個真子

集”的充分不必要條件有（）

3

A.1<?<4B.1<。？3C.1<a<2D.—<a<3

2

【答案】CD

【解析】因為集合A只有.3個真子集，所以集合A中有2個元素，

因為xeN,yeN,則有：

當工=0,），=。時，3x2+y2=0,

當x=0,y=l時，3/+丁=1,

當R=l,y=0時，3x2+y2=3,

因集合A中只有2個元素，則lva?3,

a

所給選項中：{?|1<?<2}.{?|l<f/<3},<a-<a<3[a\\<a<3],

所以只有C和D中的范圍符合充分不必要條件，

故選：CD.

10.（多選題）（25-26高一上?福建福州期中）下列說法正確的是（）

A."x<3〃是“xv2〃的充分不必要條件

B."邛為無理數〃是“xy都為無理數”的必要不充分條件

C.xeA是xe的充分不必要條件

D.設a,b,cwR,則“a=b=c"是"片+//+°2=a〃+ac+〃c”的充要條件

【答案】CD

【解析】對于A,令x=2.5v3,則x>2,所以充分性不成立，

若』<2,則一定有x<3,所以必要性成立，

所以"x<3”是"x<2〃的必要不充分條件，故A錯誤；

對于B,令x=l,y=&,則xy=&為無理數，但x為行理數，故充分性不成立，

令x=y=叵,則個=2,所以必要性不成立，

綜上，”孫為無理數〃是“MN都為無理數”的既不充分也不必要條件，故B錯誤；

對于C,因為B,所以xeAnxwAug,充分性成立，

當xeAuB時，比如xeB,但x任4,

故不一定推出xeA,必要性不成立，

所以“xwA"是"xwAuZT的充分不必要條件，故C正確；

對于D,由/+〃+。2=.〃+權,+ac,可得（。一〃）~+（〃一cf+（c-a）