2025-2026學年上海市閔行區龍茗中學八年級（上）期中數學試卷（五四學制）(含解析)

2025-2026學年上海市閔行區龍茗中學八年級（上）期中數學試卷（五四學制）一、選擇題（共6題，每題2分，滿分12分）1．下列說法：①如果一個數的立方根等于它本身，那么它一定是1或0；②平方根和立方根都等于它自身的數是1和0；③互為相反數的兩個數的立方根也是互為相反數；④一個數的算術平方根一定是正數；⑤沒有平方根．其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列說法：①在實數范圍內，一個數如果不是有理數，則一定是無理數；②數軸上的點與有理數一一對應；③無理數都是無限小數；④帶根號的數都是無理數．⑤如果兩個實數的和為無理數，則這兩個實數必有一個無理數．其中錯誤的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．以下各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與4．關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．5．把四張一模一樣的長方形紙片按如圖所示的方式擺放，形成大正方形，它的面積是50．圖中空白部分是一個小正方形．如果，那么這個小正方形的周長為（）A． B． C． D．6．如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根是另一根的一半，則稱這樣的方程為“半根方程”．以下關于半根方程的說法，正確的是（）A．若方程是半根方程，則 B．一元二次方程是半根方程 C．一元二次方程是半根方程 D．如果一元二次方程是半根方程，則系數滿足二、填空題（本大題共12小題，每題2分，滿分24分）7．的平方根為．8．比較大?。海?．的一個有理化因式是．10．等式成立的條件是．11．在實數、、0、、、（位數無限，每兩個2之間依次增加一個，無理數有個．12．如果是方程的一個根，則．13．如果平均每人每天食用糧食，那么按照2020年我國人口普查的數據：全國約有14.4億人，那么上述人口一天約食用千克的糧食（用科學記數法表示）．14．寫出一個一元二次方程使它有一個根為2，且兩根之和是，這個一元二次方程是（只要寫出一個）．15．在實數范圍內因式分解：．16．若實數，分別滿足，，且，則的值為．17．已知3是關于的方程的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長為．18．定義：用表示一個數對，其中為任意數，．記，將數對和稱為數對的一對“開方對稱數對”．例如：數對的開方對稱數對為和．若數對的一個開方對稱數對是，則的值是．三、計算題（每題6分，共5題，滿分30分）19．．20．．21．解方程：．22．解方程：（配方法）．23．若、是實數，且，求的值．四、解答題（24-26每題6分，27題7分，28題9分，共5題，34分）24．數學活動課上，同學們將數軸進行折疊、旋轉等幾何變換．請閱讀下列素材，完成各題．【素材1】靈動小組繪制了一條“靈動數軸”（如圖），其中點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為．已知、、滿足．（1）在“靈動數軸”中，，，．（2）折疊“靈動數軸”，使點與點重合，求此時與點重合的點所表示的數．25．已知關于的一元二次方程有兩個實數根．（1）求實數的取值范圍：（2）若、是該方程的兩個根，且滿足，求的值．26．已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，求的值，并求解此時方程的根．27．已知，是關于的方程的兩個實數根，若滿足，則稱此類方程為“差根方程”．在學習了求根公式法解方程后，小聰同學發現：，最后得到“差根方程”中，，之間的關系是．（1）請通過計算判斷方程是否是“差根方程”；（2）若方程是“差根方程”，請求出的值以及方程的兩個根；（3）若關于的“差根方程”，，均為常數，的一個根是，則關于的方程是“差根方程”嗎？若是，寫出它的根；若不是，請說明理由．28．已知為等邊△的角平分線，△的邊長為6，動點在直線上（不與點重合），連接．以為一邊在的下方作等邊△，連接．（1）如圖1，若點在線段上，①求證：△△；②當，時，求點到的距離；（2）設直線、交于點，求兩直線的夾角（即的度數；若點在的反向延長線（如圖，且直線，交于點仍記為．這兩條直線的夾角是否發生變化，說明理由．

參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每題2分，滿分12分）1．下列說法：①如果一個數的立方根等于它本身，那么它一定是1或0；②平方根和立方根都等于它自身的數是1和0；③互為相反數的兩個數的立方根也是互為相反數；④一個數的算術平方根一定是正數；⑤沒有平方根．其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①立方根等于本身的數有0、1、，但說法限定為1或0，漏了，故①錯誤，不符合題意；②平方根等于本身的數只有0（因為平方根定義，1的平方根為，立方根等于本身的數有0、1、，故②錯誤，不符合題意；③設與互為相反數，即，則，故互為相反數的兩個數的立方根也是互為相反數，故③正確，符合題意；④算術平方根定義為非負數，0的算術平方根為0，不是正數，故④錯誤，不符合題意；⑤因為，4的平方根為，所以有平方根，故說法⑤錯誤，不符合題意．故選：．2．下列說法：①在實數范圍內，一個數如果不是有理數，則一定是無理數；②數軸上的點與有理數一一對應；③無理數都是無限小數；④帶根號的數都是無理數．⑤如果兩個實數的和為無理數，則這兩個實數必有一個無理數．其中錯誤的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：①實數分為有理數和無理數，如果不是有理數，則一定是無理數，選項說法正確，不符合題意；②數軸上的點與實數一一對應，但有理數不能覆蓋所有點，選項說法錯誤，符合題意；③無理數是無限不循環小數，都是無限小數，選項說法正確，不符合題意；④帶根號的數可能是有理數（如，選項說法錯誤，符合題意；⑤兩個有理數的和是有理數，如果和為無理數，則至少有一個是無理數，選項說法正確，不符合題意．錯誤的有②和④，共2個．故選：．3．以下各組二次根式中，是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與解：由同類二次根式需化簡后被開方數相同可得：，被開方數為，不符合題意；，化為最簡二次根式后被開方數為，，被開方數為，不符合題意；被開方數為，被開方數不同，不符合題意；，，是同類二次根式，符合題意．故選：．4．關于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．解：關于的方程是一元二次方程，，，解得：，且．故選：．5．把四張一模一樣的長方形紙片按如圖所示的方式擺放，形成大正方形，它的面積是50．圖中空白部分是一個小正方形．如果，那么這個小正方形的周長為（）A． B． C． D．解：四張一模一樣的長方形紙片按如圖所示的方式擺放，大正方形的面積是50，大正方形的邊長，，長方形的寬為，小正方形的邊長為，小正方形的周長為，故答案為：．6．如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根是另一根的一半，則稱這樣的方程為“半根方程”．以下關于半根方程的說法，正確的是（）A．若方程是半根方程，則 B．一元二次方程是半根方程 C．一元二次方程是半根方程 D．如果一元二次方程是半根方程，則系數滿足解：根據“半根方程”的定義（一根是另一根的一半）逐項分析判斷如下：：方程的根為和，若為半根方程，則或4，代入均不為零，故錯誤，不符合題意；：方程的根為和，不滿足半根關系，故錯誤，不符合題意；：方程的根為和，不滿足半根關系，故錯誤，不符合題意；設方程兩根為和，且，根據根與系數關系：，，則，即，又，即，則，整理得：，故，選項正確，符合題意；故選：．二、填空題（本大題共12小題，每題2分，滿分24分）7．的平方根為．解：，，，的平方根為．故答案為：．8．比較大小：．解：，故答案為：．9．的一個有理化因式是．解：，的有理化因式為．故答案為：．10．等式成立的條件是．解：，且，，，解得，故答案為：．11．在實數、、0、、、（位數無限，每兩個2之間依次增加一個，無理數有3個．解：有理數有，，（位數無限，每兩個2之間依次增加一個，共3個．故答案為：3．12．如果是方程的一個根，則．解：由條件可知．則原式．故答案為：．13．如果平均每人每天食用糧食，那么按照2020年我國人口普查的數據：全國約有14.4億人，那么上述人口一天約食用千克的糧食（用科學記數法表示）．解：全國人口約14.4億（人，平均每人每天食用糧食，一天總糧食食用量為：，故答案為：．14．寫出一個一元二次方程使它有一個根為2，且兩根之和是，這個一元二次方程是（答案不唯一）（只要寫出一個）．解：設另一個根為，則，解得．兩根之積為．?。榱讼帜福?，則兩根之和，兩根之積，故方程為：．故答案為：（答案不唯一）．15．在實數范圍內因式分解：．解：原式，故答案為：．16．若實數，分別滿足，，且，則的值為8．解：，，且，、可看作方程的兩根，，，．故答案為：8．17．已知3是關于的方程的一個實數根，并且這個方程的兩個實數根恰好是等腰的兩條邊的邊長，則的周長為10或11．解：將代入中，得：，解得：，將代入原方程，得，解得：，，三角形的三邊為：3，3，4或3，4，4（均滿足兩邊之和大于第三邊）．或．故答案為：10或11．18．定義：用表示一個數對，其中為任意數，．記，將數對和稱為數對的一對“開方對稱數對”．例如：數對的開方對稱數對為和．若數對的一個開方對稱數對是，則的值是或．解：情況一：若，，，，，，情況二：若，，，，即，故，，．故答案為：或．三、計算題（每題6分，共5題，滿分30分）19．．解：原式．20．．解：由題意可得，，，，，原式．21．解方程：．解：原方程變形可得：，，或，解得：，．22．解方程：（配方法）．解：，移項得：，方程兩邊同除以得：，兩邊同時加得：，配方得：，兩邊同時開方得：，解得：，．23．若、是實數，且，求的值．解：由條件可知，，，，，，將，代入上式得：原式．四、解答題（24-26每題6分，27題7分，28題9分，共5題，34分）24．數學活動課上，同學們將數軸進行折疊、旋轉等幾何變換．請閱讀下列素材，完成各題．【素材1】靈動小組繪制了一條“靈動數軸”（如圖），其中點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為．已知、、滿足．（1）在“靈動數軸”中，，，．（2）折疊“靈動數軸”，使點與點重合，求此時與點重合的點所表示的數．解：（1），，，，故答案為：；7；；（2）點與點重合，折痕處對應的數為，，與點重合的點所表示的數為．25．已知關于的一元二次方程有兩個實數根．（1）求實數的取值范圍：（2）若、是該方程的兩個根，且滿足，求的值．解：（1）關于的一元二次方程有兩個實數根，△，解得：，實數的取值范圍為；（2）、是關于的一元二次方程的兩個實數根，，，，，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），，的值為1．26．已知關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，求的值，并求解此時方程的根．解：關于的一元二次方程有兩個相等的實數根，，解得：或．當時，原方程為，整理得：，即，解得：；當時，原方程為，即，解得：．答：的值為或2，此時方程的根為或．27．已知，是關于的方程的兩個實數根，若滿足，則稱此類方程為“差根方程”．在學習了求根公式法解方程后，小聰同學發現：，最后得到“差根方程”中，，之間的關系是．（1）請通過計算判斷方程是否是“差根方程”；（2）若方程是“差根方程”，請求出的值以及方程的兩個根；（3）若關于的“差根方程”，，均為常數，的一個根是，則關于的方程是“差根方程”嗎？若是，寫出它的根；若不是，請說明理由．解：（1）由題意，原方程整理得，或，，．，方程是“差根方程”；（2）由題意，，．，，，，方程為，，．，．，．（3）由題意得，，，．，將代入方程可得：，，．，方程是“差根方程”，它的根為，．28．已知為等邊△的角平分線，△的邊長為6，動點在直線上（不與點重合），連接．以為一邊在的下方作等邊△，連接．（1）如圖1