安徽亳州市蒙城縣2025-2026學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試卷

高一7答題前，務(wù)必將自己的個(gè)人信息填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一z滿足2z242iz（A.

C. D.a24b1ka與b共線，則k（

D.空間中有一平面αm，nnαmnm∥α，則甲是乙的（A.C.A.C.4.已知cosαπ，則cos2π（ 63

2

2在VABC中，AB2，AC ，BC 1，則B（A. B. C. D.2fφ2 B. C.- D.31519π，則其母線與底面所成角的正弦值為（

2

3在VABCA，B，Ca，b，cVABCSa2+b2+c243SDBCBC的最小值為（

33618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. abab4ab2，則（→ → a

ab 3當(dāng)a3b時(shí)，a，b同 D.當(dāng)b 時(shí)，a在b上的投影向量為5在平面四邊形ABCD中，BCCD3，AB3AD ，BD5，則（BADC.ABD

VBAD的外接圓半徑為D.VBCD9P，底面圓心為OA，B為底面圓周上不重合的動(dòng)點(diǎn)，則（2

圓錐軸截面頂角的余弦值為

點(diǎn)OPAB的最大距離為填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分已知z，z是方程z25z100的兩個(gè)不同的根，則z2zzz2 1 1 4 最小正數(shù)，且abπ，則 解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟z11aiz22iaRz1z2az12aABB1D

AA1BC4D為棱CC1的中點(diǎn)fx在0π3個(gè)零點(diǎn)設(shè)t0，ωZfx1在0t2xxfx

π 3 如圖，在三棱錐PABCPBCABCBAC90AB6AC8.PPDBCDBC上PDAB若△PBC60PC2-PB2=25求點(diǎn)CPAB的距離在VABCcosAcosBcosC12sinAsinB AB時(shí)，求3cosAcosC若tanAtanBtanC2tanBtanC，AC2 ，求VABC的外接圓半徑

高一7答題前，務(wù)必將自己的個(gè)人信息填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置8540分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一z滿足2z242iz（

D.【答案】【詳解】由2z242i，得z1i，z a24b1ka與b共線，則k（

C. D.【答案】a與b共線，所以42kk?2空間中有一平面αm，nnαmnm∥α，則甲是乙的（充分不必要條 B.必要不充分條C.充要條 D.既不充分也不必要條【答案】【分析】分別用反例判斷“甲能否推出乙”和“乙能否推出甲α內(nèi)取直線mmnmαmα平行，乙不成立α內(nèi)取一條與n相交的直線lα外取直線m，使m∥lm∥α但l與n不平行，從而m與n不平行，甲不成立.已知cosαπ1，則cos2α2π（ 6 3 A.

C.2

D.2【答案】【分析】將待求角改寫為已知角的二倍角再加π，然后使用余弦二倍角公式計(jì)算 α2πcos2απ 6

cos

3 6 2π 2 π 由余弦二倍角公式，得cos2α32cosα6 代入cosαπ1， α2π2117 6

cos

3

5.在VABCAB，AC2，BC31BA.【答案】B.C.D.

124 23

43624343624343 因?yàn)?B180B302fφ2 B. C.- D.【答案】算即可 π π π πx3f2x3

2 3 31519π，則其母線與底面所成角的正弦值為（

2

3【答案】【分析】設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為rR．由軸截面面積和圓臺(tái)體積求出RrRr，再在軸截面內(nèi)求母線長(zhǎng)及線面角的正弦值．【詳解】設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑分別為rR，其中Rr，母線長(zhǎng)為l．圓臺(tái)的軸截面是上、下底分別為2r2R，高為3的等腰梯形．

與Rr1512R2r315所以

Rr51π3R2Rrr219π所以R2Rrr219Rr2R2Rrr2RrRr25196．于是Rr2Rr24Rr25241.由Rr，得Rr所以l

10,sinθ3310在VABCA，B，Ca，b，cVABCSa2+b2+c243SDBCBC的最小值為（

3【答案】【分析】先通過余弦定理、面積公式和均值不等式推導(dǎo)出VABC為等邊三角形，再利用“垂線段最短”，得a2b2c22bccosAS1bcsinAb2c22bccosAb2c2431bcsinAbccosA3sinA bc2，當(dāng)且僅當(dāng)bc 而cosA3sinA2sinAπ2 6 此時(shí)bcAπ，所以VABC

ADBCADmin

BC，此時(shí)AD BC BC

33618分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. abab4ab2，則（→ → a

ab 3當(dāng)a3b時(shí)，a，b同 D.當(dāng)b 時(shí)，a在b上的投影向量為5【答案】

→

→ → →ab

a

a 2ab【詳解】A選項(xiàng)：由

，得 →

，即→ → → → a

ab

a

2ab解得→

A→ →

→ a

→ B選項(xiàng)：當(dāng) 6， 4時(shí)，符合→

a

8B

→ →

→ a

Ca3bA選項(xiàng)知→

，即

→ b

→

a,b解得

→

a,

0,π，所以a,b0abC a ab 3D選項(xiàng)：a在b上的投影向量為|a| →→

bb，故選項(xiàng)D正確 |a||b||b ABCDBCCD3AB3AD

BD5，則（A.BADC.ABD

B.VBAD的外接圓半徑為D.VBCD9【答案】【詳解】A選項(xiàng)：如圖所示，在VABDAD2AB2 218 223cosDAB 2232AD BA選項(xiàng)知cosDAB5，得sinDAB

1191112 5 設(shè)VBADR

2R

sin

119解得R30119 30，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤 C選項(xiàng)：如圖所示，在VABD41AB2DB2 182541232cosABD2322BD

yycos 上單調(diào)遞減 ，所以ABD

(0,)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤CD2CB2 99 D選項(xiàng)：在VCBD中，由余弦定理得，cosC 因?yàn)镃(0,π，所以sinC

51118 7

23 設(shè)VBCDrr911D選項(xiàng)正確

2r

511P，底面圓心為OA，B為底面圓周上不重合的動(dòng)點(diǎn)，則（2

圓錐軸截面頂角的余弦值為

點(diǎn)OPAB的最大距離為【答案】AB；設(shè)弦心距，進(jìn)而表示弦長(zhǎng)和高，用C；利用面面垂直的性質(zhì)，表示點(diǎn)OPABRt△PMOPMD．【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為l，高為h，底面半徑r等邊三角形邊長(zhǎng)為2l，外接圓半徑r ，解得l l2l2r

3側(cè)面展開圖為扇形，弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)2πr32π2故圓心角θ2πr 2π2 軸截面為等腰三角形，兩腰為母線l ，底邊為底面直徑2r l2l22r

33

，由余弦定理

Br2dABr2d

2 22dh2d1dh2d1d

V

1ABPM 22 1u2 1u2uu2u

V

當(dāng)u1

V

取最大值，故C正確由面面垂直的性質(zhì)，點(diǎn)OPABRt△PMOPM1ddPO1d

ddd的取值范圍為0,2，

d

6D填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分已知z，z是方程z25z100的兩個(gè)不同的根，則z2zzz2 1 1【答案】

z1z2【詳解】因?yàn)閦1，z2是方程z25z100的兩個(gè)不同的根，所以 z1z2z2zzz2zz(zz105501 1 1 【答案】PB上確定二面角的平面角，再在兩個(gè)全等的側(cè)面三角形中求出平面角兩邊的長(zhǎng)度，利用余弦定理建立關(guān)于側(cè)棱PA的方程.PAPBPC因?yàn)檎睦忮F的底面ABCDABBC2AC2VAPB中，過點(diǎn)A作AEPBEPAPCABBC且PB為公共邊，所以VAPB因此點(diǎn)C到直線PB的垂足也為E，即CE于是AECE分別在平面APB、平面CPB內(nèi)，且都垂直于交線PB，所以

是二面角APB

的平面角

PA2PB2

2x2 在VAPB中，由余弦定理，cos∠APB 2PA 由于PE是PA在PBPEPAcos∠APBx12x2 x2 在直角三角形AEPAE2PA2PE2x2x

4x2 由全等關(guān)系可 CEAE

V

中，由余弦定理AE2CE2AC 2AE2

x2由題意， 1,所以x213,即x24.因?yàn)閤0，所以PAxx2 4 最小正數(shù)，且abπ，則

##1ababπ條件的解即可afx的最小正零點(diǎn)，所以令2xφkπxkπφk0πφ0aφk10φπaπφ bfx的定義域之外的最小正數(shù)，所以令2xφπkπxπkπφk0bπ

a

φ ，則φ aπ

πφ ，

（舍去 綜上所述，φπ解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟z11aiz22iaRz1z2az12a（1）a（2）a4（1）

z1z200（2）利用分母實(shí)數(shù)化求出1z1z21ai2i2a2a因?yàn)閦z是純虛數(shù)，所以其實(shí)部為0，且虛部不為0，即2a1 2a1由2a0，得a2.此時(shí)2a150a2 1 1ai2 a 2a將分母實(shí)數(shù)化，得1 2 2i2 所 的實(shí)部

a

2a由“實(shí)部是虛部的2a222a1. a24a2a4ABB1D

AA1BC4D為棱CC1的中點(diǎn)（1）（2）AC2AB22223216BC2AB因?yàn)橹本€AB在平面ABCAB又AC與AA1相交于點(diǎn)A，且直線ACAA1都在平面ACC1A1AB平面ACC1因?yàn)橹本€A1D在平面ACC1A1AB下面證明A1DADAC2因?yàn)镃D2，且CDACAC2

222A1D22AA4所以在三角形AADAD2AD28816 A1D由于AB與AD相交于點(diǎn)A，且直線ABAD都在平面ABDA1D平面又直線A1D在平面A1B1D內(nèi)，因此平面ABD平面利用，再在直角三角形（2）先證明AB平面ACC1A1ABA1DA1DADA1D平面ABD1AB因此，直線AB與B1D∠A1B1D因?yàn)镈CC1的中點(diǎn)，且CC1AA14，所以C1D又因?yàn)橹比庵膫?cè)棱垂直于底面，所以CC1平面

B1C1DB1D

2AC2C1AC2C1 22BC2C1 42A1B1AB2AD2AB281220BD2ADAB 1 122故在直角三角形ABD中，cos∠ABDA1B1 221 1

因此，直線AB

BD所成角的余弦值 152詳解】fx2sinωxφ23cosωxφ，其中ω0φπf04fx在0π3個(gè)零點(diǎn)設(shè)t0，ωZfx1在0t2xxfx

π 3 （2（i）（ii）22 （1）fxf04和φπ確定（2（i（ii方程4cos3x1的前兩個(gè)正解之間的對(duì)稱關(guān)系求值.1 3 f04，得4sinφπ4所以sinφπ 3 3 因此φππ2kπkZ即φπ 又φπk0符合條件，所以φπ 2 2 x0π時(shí)，ωx0,ωπ函數(shù)cosuπ3π5π7π,， fx在0π3個(gè)零點(diǎn)，必須使前三個(gè)零點(diǎn)落在0,ωπ內(nèi)， 兩邊同時(shí)除以π5ω7 2222由（i）及ωZ，得ωfx1化為4cos3x1即cos3x1設(shè)αarccos1則0απ

α2πα2π, x

α2πα2π xxπ2xπ π πfx1x234cos32x13. π

fx1x234cos6x1π 又因?yàn)閏os3x1，所以cos6x2cos3x212

17 π

fx1x232 如圖，在三棱錐PABCPBCABCBAC90AB6AC8.PPDBCDBC上PDAB若△PBC60PC2-PB2=25求點(diǎn)CPAB的距離（1）因?yàn)槠矫鍼BC平面ABC，且兩平面的交線為BC，又PD平面PBC，且PDBCPD平面因?yàn)锳B平面ABCPD（2（i）4.（ii）（1）利用面面垂直的性質(zhì)，由PDBC推出PD平面ABC，再得到PDAB（2（i）先由底面直角三角形求出BC，再利用VPBC的面積求出PD；根據(jù)PC2PB225BD.在底面內(nèi)過D作DEAB，證明∠PED是所求二面角的平面角，再計(jì)算其正切值.（ii）VPAB的面積，再用三棱錐等體積法求點(diǎn)C到平面PAB1詳解】2

BAC90AB6AC8BC

AB2AC62又因?yàn)镻DAB2AC62由 60，得1BCPD60,110PD60,所以PD12V 在直角三角形PBD和PCDPB2PD2BD2PC2PD2兩式相減，結(jié)合PC2PB225，得CD2BD225又因?yàn)镈在線段BCBDCDBC于是CDBDCDBD25CDBD255 聯(lián)立BDCD10與CDBD5BD15CD25 在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)D作DEAB，垂足為E，連接PE由第（1）問可知PDAB，又DEAB，且PD與DE相交于點(diǎn)D，所以AB平面PDE，從而ABPE.其中，PE平面PAB，DE平面ABC，且PE、DE均過棱AB上的點(diǎn)E∠PED二面角PAB

在平面ABC內(nèi)，因?yàn)锳CABDEABDEBDDE8154

DEAC

在直角三角形PDEtan∠PEDPD12 122故二面角PABC122PD2在直角三角形PD2

3又因?yàn)镻EAB

V

1ABPE169 9設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h以V

為底面時(shí)，因?yàn)镻D平面ABC，三棱錐P

VP

1

V

PD116812 以