線性基礎(chǔ)代數(shù)7

2.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算第2章行列式1.轉(zhuǎn)置行列式及其性質(zhì)為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記n階行列式則稱若記,則.

性質(zhì)2.1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.注：以上性質(zhì)說明：行列式中行與列具有同等的地位，因此，行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的，對(duì)列也同樣成立！2.行列式中兩行(列)互換的性質(zhì)

性質(zhì)2.2互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào).例如:第i行與第j行互換，記作.

第i列與第j列互換，記作.

注：2.行列式中兩行(列)互換的性質(zhì)(續(xù))于是.

推論2.1若行列式有兩行(列)元素完全相同，則此行列式為零.

證明：互換相同的兩行，有3.行列式的數(shù)乘性質(zhì)性質(zhì)2.3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用這個(gè)數(shù)乘此行列式.即某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.

證明：3.行列式的數(shù)乘性質(zhì)(續(xù))注：第i行乘k，記作.

第i列乘k，記作.

第i行提出公因子k，記作.

第i列提出公因子k，記作.

注：

數(shù)乘矩陣與數(shù)乘行列式是有區(qū)別的：4.行列式中兩行(列)元素的比例性質(zhì)推論2.3行列式中若有兩行(列)元素成比例，則此行列式為零.

證明：5.行列式的拆分性質(zhì)性質(zhì)2.4若行列式的某一行(列)元素都是兩數(shù)之和，則它等于兩個(gè)行列式之和.

5.行列式的拆分性質(zhì)(續(xù))證明：6.兩個(gè)行列式/矩陣相加的區(qū)別知識(shí)點(diǎn)比較

7.行列式中行(列)相加的性質(zhì)性質(zhì)2.5把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變．7.行列式中行(列)相加的性質(zhì)(續(xù))

證明：7.行列式中行(列)相加的性質(zhì)(續(xù))注：第i行乘k加到第j行上，記作.

第i列乘k加到第j列上，記作.

8.利用行列式性質(zhì)計(jì)算行列式的的思路利用行列式的性質(zhì)，特別是以下運(yùn)算將行列式化為上(下)三角形行列式，從而算出行列式的值．9.例1例1

計(jì)算

解：9.例1(續(xù))9.例1(續(xù))9.例1(續(xù))10.例2例2

計(jì)算n階行列式

解：將第2、3、…、n列都加到第1列得10.例2(續(xù))例3(練習(xí))計(jì)算4階行列式(1)(2)

(3)11.例312.例4例4

設(shè)，且設(shè)證明：.12.例4(續(xù))

證明：對(duì)作運(yùn)算，將其化為下三角形行列式，設(shè)為對(duì)作運(yùn)算，將其化為下三角形行列式，設(shè)為12.例4(續(xù))對(duì)的前k行作運(yùn)算，再對(duì)后n列作運(yùn)算，將化為下三角行列式故13.例5

例5計(jì)算行列式13.例5(續(xù))

解：將第2n行依次與第2n-1行、第2n-2行、···、第2行作對(duì)換，可得再將第2n列依次與第2n-1列、第2n-2列、···、第2列作對(duì)換，可得13.例5(續(xù))于是，由例4的結(jié)論有13.例5(續(xù))以此作遞推，可得14.關(guān)于行列式的運(yùn)算順序

例如：特別值得注意的是：上述各例都用到把幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法，要注意各個(gè)運(yùn)算次序一般不能顛倒，因?yàn)楹笠淮芜\(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算的結(jié)果上.15.方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì)(1)(2)(3)(4)注：雖然但16.例6例6

設(shè)A是三階方陣，且，求和.

解：17.行列式展開的引入考慮三階行列式：一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算！問題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n-1階行列式來計(jì)算？18.余子式與代數(shù)余子式定義2.6在一個(gè)n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作.

稱為元素的代數(shù)余子式．例如：18.余子式與代數(shù)余子式(續(xù))注：

行列式的每個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式．19.引理引理一個(gè)n階行列式D，如果其中第i行所有元素除外都為零，那末這個(gè)行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即例如：19.引理(續(xù))

證明：當(dāng)位于第一行第一列時(shí),由上一節(jié)的例題，有又因?yàn)?，從?9.引理(續(xù))將D的第i行依此與第i-1行、第i-2行、···、第1行作對(duì)換，可得再證一般情形，此時(shí)19.引理(續(xù))再將以上行列式第j列依次與第j-1列、第j-2列、···、第1列作對(duì)換，可得19.引理(續(xù))19.引理(續(xù))因此有，我們以4階行列式為例.思考：能否以代替兩次行變換？

被調(diào)換到第1行，第1列.19.引理(續(xù))20.行列式按任一行(列)展開定理2.1行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

證明：只對(duì)行的情形證明，列的情形類似可證．20.行列式按任一行(列)展開(續(xù))注：定理2.1稱為行列式按行（列）展開定理．21.例7例7

計(jì)算行列式

解：21.例7(續(xù))22.利用展開法則計(jì)算行列式的思路(1)利用行列式的性質(zhì)，將行列式的某一行（列）盡量多地化出0；(2)利用展開法則將行列式展成低階行列式；(3)依此下去；(4)直至展成二階行列式或者可直接計(jì)算的行列式．23.例8例8

計(jì)算行列式

解：23.例8(續(xù))24.例9

例9

證明：范德蒙德（Vandermonde）行列式24.例9(續(xù))

證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明.因?yàn)樗裕?dāng)n=2時(shí)，Vandermonde行列式成立.假設(shè)Vandermonde行列式對(duì)于n-1階成立，下面考慮n階的情形.從第n行開始,后一行加上前一行的倍,可得24.例9(續(xù))按第1列展開，并將每列的公因子提出，得到

n-1階Vandermonde行列式24.例9(續(xù))因此有24.例9(續(xù))25.一個(gè)推論推論2.4行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即25.一個(gè)推論(續(xù))

證明：將行列式按第j行展開，有上式中，將換成，可得25.一個(gè)推論(續(xù))所以有相同類似可證26.代數(shù)余子式的重要性質(zhì)

將定理2.1和推論2.4結(jié)合，我們將得到以下重要性質(zhì)：對(duì)于n階行列式D，它的元素的代數(shù)余子式滿足：27.例10例10設(shè)，求和.

解：27.例10(續(xù))28.本節(jié)小結(jié)

3.計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義；(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用行列式按行（列）展開法則，把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式的計(jì)算.1.行列式的5個(gè)性質(zhì)及其推論(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對(duì)行成立的性質(zhì)對(duì)列也同樣成立).2.方陣行列式的運(yùn)算性質(zhì).4.29.思考題1計(jì)算解：29.思考題1(續(xù))30.思考題2解：設(shè)，計(jì)算和