2026年高考試題分類解析排列組合二項(xiàng)式定理及答案

2026年高考試題分類解析排列組合二項(xiàng)式定理及答案排列組合部分題型1：基本排列組合計(jì)算例1：某班級有5名男生和4名女生，從中選出3人參加辯論賽，要求至少有1名女生。共有多少種不同的選法？解析：直接法需分三類：1女2男、2女1男、3女0男。計(jì)算得C(4,1)C(5,2)+C(4,2)C(5,1)+C(4,3)C(5,0)=4×10+6×5+4×1=40+30+4=74種。間接法更簡便：總選法C(9,3)=84種，減去全男生的C(5,3)=10種，84-10=74種。兩種方法結(jié)果一致，驗(yàn)證正確性。例2：用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為多少？解析：四位數(shù)為偶數(shù)，末位必為2或4，有2種選擇。剩余三位從剩下的4個數(shù)字中選3個排列，即A(4,3)=24種。故總數(shù)為2×24=48種。注意末位限制是關(guān)鍵，優(yōu)先處理特殊位置。題型2：限制條件的排列問題例3：7名同學(xué)站成一排，其中甲、乙兩人必須相鄰，丙、丁兩人不能相鄰，有多少種不同的站法？解析：分兩步處理。第一步，將甲乙視為一個整體（“捆綁法”），內(nèi)部排列A(2,2)=2種，此時相當(dāng)于6個“元素”排列（5人+甲乙整體），總排列數(shù)A(6,6)=720種，故甲乙相鄰的總排列數(shù)為2×720=1440種。第二步，在甲乙相鄰的前提下，排除丙丁相鄰的情況。將甲乙視為整體（2種內(nèi)部排列），丙丁也視為整體（2種內(nèi)部排列），此時相當(dāng)于5個“元素”（甲乙整體、丙丁整體、其他3人），排列數(shù)A(5,5)=120種，故甲乙相鄰且丙丁相鄰的排列數(shù)為2×2×120=480種。因此符合條件的站法為1440-480=960種。例4：3名教師和6名學(xué)生站成一排合影，要求教師不能站在兩端，且任意兩名教師不相鄰。有多少種排列方式？解析：先排學(xué)生，6名學(xué)生排列數(shù)為A(6,6)=720種。學(xué)生排好后形成5個中間空隙（不包括兩端），需從中選3個空隙插入教師，排列數(shù)為A(5,3)=60種。教師自身排列無限制，故總排列數(shù)為720×60=43200種。關(guān)鍵在于利用“插空法”，先排無限制元素，再在空隙中插入受限元素。題型3：分組與分配問題例5：將6本不同的書分成3組，每組分別為1本、2本、3本，有多少種分法？若再將這3組分配給甲、乙、丙3人，有多少種分配方式？解析：分組時，先選1本給第一組C(6,1)，再從剩下5本選2本給第二組C(5,2)，最后3本給第三組C(3,3)，由于各組數(shù)量不同（非平均分組），無需除以組數(shù)階乘，故分法為C(6,1)C(5,2)C(3,3)=6×10×1=60種。分配時，3組對應(yīng)3人，排列數(shù)為A(3,3)=6種，故總分配方式為60×6=360種。例6：將4本相同的數(shù)學(xué)書和3本相同的語文書分給甲、乙、丙3名學(xué)生，每人至少1本書，有多少種分法？解析：因書相同，需用“隔板法”。先處理數(shù)學(xué)書：4本分給3人，每人至少0本（但最終每人至少1本，需調(diào)整）。實(shí)際應(yīng)轉(zhuǎn)化為“每人至少0本”，即C(4+3-1,3-1)=C(6,2)=15種。同理，語文書3本分給3人，每人至少0本，分法為C(3+3-1,3-1)=C(5,2)=10種。但需保證每人至少1本書，即總書數(shù)至少3本（每人1本），而總書數(shù)為4+3=7≥3，故需排除有人未分到書的情況。更簡單的方法是先給每人1本書（共3本），剩余4+3-3=4本書（數(shù)學(xué)書4-3=1本？不，書是不同科目的，需分別處理）。正確思路：數(shù)學(xué)書分給3人，每人至少0本，分法為C(4+3-1,3-1)=15種；語文書分給3人，每人至少0本，分法為C(3+3-1,3-1)=10種。但需滿足每人至少1本，即不存在某學(xué)生既沒數(shù)學(xué)書也沒語文書的情況。用容斥原理：總分配方式（無限制）為15×10=150種，減去有1人沒書的情況：C(3,1)×[數(shù)學(xué)書分給2人C(4+2-1,2-1)=C(5,1)=5種，語文書分給2人C(3+2-1,2-1)=C(4,1)=4種]，即3×5×4=60種；加上有2人沒書的情況（不可能，因總書數(shù)7≥3×1，但若2人沒書，書全給1人，數(shù)學(xué)書4本+語文書3本，可行），C(3,2)×1×1=3種（數(shù)學(xué)書全給1人1種，語文書全給1人1種）。故符合條件的分法為150-60+3=93種。題型4：排列組合在幾何中的應(yīng)用例7：平面內(nèi)有10個點(diǎn)，其中4個點(diǎn)共線，其余無三點(diǎn)共線。可以構(gòu)成多少個不同的三角形？解析：總?cè)切螖?shù)=所有三點(diǎn)組合數(shù)-共線三點(diǎn)組合數(shù)。所有三點(diǎn)組合數(shù)C(10,3)=120種，共線三點(diǎn)組合數(shù)C(4,3)=4種，故可構(gòu)成120-4=116個三角形。例8：正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個點(diǎn)，可構(gòu)成多少個四面體？解析：四面體需4點(diǎn)不共面。正方體中4點(diǎn)共面的情況有：6個表面，6個對角面（如上下底面的對角線形成的面），共12個面。每個面有C(4,4)=1種四點(diǎn)組合，故共面組合數(shù)12×1=12種。總四點(diǎn)組合數(shù)C(8,4)=70種，故四面體個數(shù)為70-12=58個。二項(xiàng)式定理部分題型1：通項(xiàng)公式的應(yīng)用例9：求(2x-1/√x)^8展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)。解析：二項(xiàng)展開式通項(xiàng)為T(r+1)=C(8,r)(2x)^(8-r)(-1/√x)^r=C(8,r)2^(8-r)(-1)^rx^(8-r-r/2)=C(8,r)2^(8-r)(-1)^rx^(8-3r/2)。令指數(shù)8-3r/2=2，解得3r/2=6，r=4。代入得系數(shù)為C(8,4)2^(4)(-1)^4=70×16×1=1120。例10：(x2+1/x)^n展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，求展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)。解析：二項(xiàng)式系數(shù)C(n,2)=C(n,6)，由組合數(shù)性質(zhì)知n=2+6=8。通項(xiàng)T(r+1)=C(8,r)(x2)^(8-r)(1/x)^r=C(8,r)x^(16-2r-r)=C(8,r)x^(16-3r)。令16-3r=3，解得r=13/3（非整數(shù)），說明不存在x3項(xiàng)？檢查計(jì)算：n=8，通項(xiàng)指數(shù)為16-3r，令16-3r=3→r=13/3≈4.33，非整數(shù)，故展開式中無x3項(xiàng)，系數(shù)為0。題型2：二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)例11：已知(ax+1)^5的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為80，求a的值。解析：通項(xiàng)T(r+1)=C(5,r)(ax)^(5-r)(1)^r=C(5,r)a^(5-r)x^(5-r)。令5-r=3，得r=2。此時系數(shù)為C(5,2)a^(3)=10a3=80，解得a3=8，a=2。例12：(1+x)^n展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)。解析：二項(xiàng)式系數(shù)之和為2^n，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，均為2^(n-1)。由題2^(n-1)=128=2^7，故n-1=7，n=8。x2項(xiàng)的系數(shù)為C(8,2)=28。題型3：賦值法求系數(shù)和例13：已知(1+2x)^n=a?+a?x+a?x2+…+a?x?，若a?+a?+a?+…+a?=243，求a?+a?+a?+…的值。解析：令x=1，得(1+2×1)^n=3^n=243=3^5，故n=5。令x=1，得a?+a?+…+a?=243；令x=-1，得(1-2)^5=-1=a?-a?+a?-a?+a?-a?。兩式相減：(a?+a?+…+a?)-(a?-a?+a?-a?+a?-a?)=2(a?+a?+a?)=243-(-1)=244，故a?+a?+a?=122。例14：(x2+2x+3)(2x-1)^5的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)是多少？解析：將式子拆分為x2·(2x-1)^5+2x·(2x-1)^5+3·(2x-1)^5。分別求各部分的x3項(xiàng)系數(shù)：x2·(2x-1)^5中，需(2x-1)^5提供x項(xiàng)，其通項(xiàng)T(r+1)=C(5,r)(2x)^(5-r)(-1)^r，令5-r=1→r=4，系數(shù)為C(5,4)2^1(-1)^4=5×2×1=10，故這部分貢獻(xiàn)x2·10x=10x3，系數(shù)10。2x·(2x-1)^5中，需(2x-1)^5提供x2項(xiàng)，令5-r=2→r=3，系數(shù)為C(5,3)2^2(-1)^3=10×4×(-1)=-40，故這部分貢獻(xiàn)2x·(-40x2)=-80x3，系數(shù)-80。3·(2x-1)^5中，需(2x-1)^5提供x3項(xiàng)，令5-r=3→r=2，系數(shù)為C(5,2)2^3(-1)^2=10×8×1=80，故這部分貢獻(xiàn)3×80x3=240x3，系數(shù)240。總系數(shù)為10-80+240=170。題型4：多項(xiàng)式展開中的特定項(xiàng)例15：(1+x+x2)(1-x)^10展開式中x^5項(xiàng)的系數(shù)是多少？解析：將式子展開為(1-x)^10+x(1-x)^10+x2(1-x)^10。分別求各部分的x^5項(xiàng)系數(shù)：(1-x)^10中x^5項(xiàng)系數(shù)為C(10,5)(-1)^5=-252。x(1-x)^10中x^5項(xiàng)即(1-x)^10中x^4項(xiàng)，系數(shù)為C(10,4)(-1)^4=210。x2(1-x)^10中x^5項(xiàng)即(1-x)^10中x^3項(xiàng)，系數(shù)為C(10,3)(-1)^3=-120。總系數(shù)為-252+210-120=-162。例16：求(1+x)^2(1+x2)^3(1+x3)^4展開式中x^6項(xiàng)的系數(shù)。解析：需找到各因子中指數(shù)之和為6的組合：(1+x)^2貢獻(xiàn)x^a（a=0,1,2），(1+x2)^3貢獻(xiàn)x^b（b=0,2,4,6），(1+x3)^4貢獻(xiàn)x^c（c=0,3,6,9,…），滿足a+b+c=6。可能的組合：①a=0,b=0,c=6：系數(shù)C(2,0)C(3,0)C(4,2)=1×1×6=6（因(1+x3)^4中x^6項(xiàng)系數(shù)為C(4,2)=6）。②a=0,b=2,c=4：但c=4非3的倍數(shù)，不可能。③a=0,b=4,c=2：c=2非3的倍數(shù)，不可能。④a=0,b=6,c=0：(1+x2)^3中x^6項(xiàng)系數(shù)C(3,3)=1，故系數(shù)C(2,0)C(3,3)C(4,0)=1×1×1=1。⑤a=1,b=1,c=4：b=1非2的倍數(shù)，不可能。⑥a=1,b=3,c=2：b=3非2的倍數(shù)，不可能。⑦a=1,b=5,c=0：b=5非2的倍數(shù)，不可能。⑧a=2,b=0,c=4：c=4非3的倍數(shù)，不可能。⑨a=2,b=2,c=2：b=2（C(3,1)=3），c=2（不可能）。⑩a=2,b=4,c=0：b=4（C(3,2)=3），c=0（C(4,0)=1），故系數(shù)C(2,2)C(3,2)C(4,0)=1×3×1=3。?a=0,b=0,c=6（已算），a=0,b=6,c=0（已算），a=2,b=4,c=0（已算）。另一種組合：a=0,b=2,c=4（無效），a=1,b=0,c=5（c=5無效），a=1,b=2,c=3（c=3有效）：此時a=1（C(2,1)=2），b=2（C(3,1)=3），c=3（C(4,1)=4），系數(shù)2×3×4=24。a=1,b=2,c=3：1+2+3=6，有效！a=2,b=0,c=4（無效），a=2,b=2,c=2（無效），a=2,b=0,c=4（無效）。a=3不可能（因(1+x)^2中a最大2）。補(bǔ)充遺漏的組合：a=1,b=2,c=3：和為6，有效，系數(shù)C(2,1)×C(3,1)×C(4,1)=2×3×4=24。a=0,b=4,c=2（無效），a=0,b=0,c=6（6），a=0,b=6,c=0（1），a=2,b=4,c=0（3），a=1,b=2,c=3（24）。還有a=0,b=0,c=6（6），a=0,b=3×2=6（即b=6，系數(shù)1），a=2,b=4（x2·x^4=x^6，系數(shù)C(2,2)=1，C(3,2)=3，C(4,0)=1，故1×3×1=3），a=1,b=2,c=3（2×3×4=24），a=0,b=0,c=6（C(4,2)=6），a=0,b=2×3=6（即b=6，C(3,3)=1）。再檢查：(1+x)^2中x^a的可能a=0,1,2；(1+x2)^3中x^b的可能b=0,2,4,6；(1+x3)^4中x^c的可能c=0,3,6,9（但c≤6）。所有可能的(a,b,c)組合：(0,0,6):a=0,b=0,c=6→系數(shù)1×1×C(4,2)=6(0,2,4):c=4無效(0,4,2):c=2無效(0,6,0):a=0,b=6,c=0→系數(shù)1×C(3,3)×1=1(1,0,5):c=5無效(1,2,3):a=1,b=2,c=3→系數(shù)C(