2026年線性代數（行列式與矩陣）大學本科期中考試試題解析

2026年線性代數（行列式與矩陣）大學本科期中考試試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題1.下列四個行列式中，值為0的是（）。A.$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$B.$\begin{vmatrix}0&1&2\\3&0&4\\5&6&0\end{vmatrix}$C.$\begin{vmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{vmatrix}$D.$\begin{vmatrix}1&3&5\\2&4&6\\3&5&7\end{vmatrix}$2.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，則$\mathbf{A}$可逆的充分必要條件是（）。A.$ad-bc\neq0$B.$ad-bc=0$C.$a\neq0$且$d\neq0$D.$a\neq0$或$d\neq0$3.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，$\mathbf{B}$為$n\timesm$矩陣，下列說法正確的是（）。A.若$\mathbf{A}$可逆，則$\mathbf{AB}$可逆。B.若$\mathbf{AB}$可逆，則$\mathbf{A}$可逆。C.若$\mathbf{AB}$可逆，則$\mathbf{B}$可逆。D.若$\mathbf{A}$不可逆，則$\mathbf{AB}$不可逆。4.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，$\mathbf{B}$為$n$階可逆方陣，則$(\mathbf{AB})^{\top}$等于（）。A.$\mathbf{BA}^{\top}$B.$\mathbf{AB}^{\top}$C.$\mathbf{B}^{\top}\mathbf{A}^{\top}$D.$\mathbf{A}^{\top}\mathbf{B}^{\top}$5.設$\mathbf{A}$為$m\timesn$矩陣，$\mathbf{B}$為$n\timesm$矩陣，則下列說法正確的是（）。A.$\mathbf{AB}$為$m\timesn$矩陣。B.$\mathbf{AB}$為$n\timesm$矩陣。C.$\mathbf{AB}$為$m\timesm$矩陣。D.$\mathbf{AB}$為$n\timesn$矩陣。6.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，且$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}$，則稱$\mathbf{A}$為冪等矩陣，下列說法正確的是（）。A.冪等矩陣一定是可逆矩陣。B.可逆矩陣一定是冪等矩陣。C.冪等矩陣的特征值只能是0或1。D.單位矩陣是冪等矩陣。7.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，$\mathbf{B}$為$n$階可逆方陣，則$\mathbf{A}^2-\mathbf{A}\mathbf{B}$左乘$\mathbf{B}^{-1}$后等于（）。A.$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^2\mathbf{B}$B.$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B}$C.$\mathbf{A}^2-\mathbf{A}$D.$\mathbf{A}-\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}$8.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，且存在一個$n$階方陣$\mathbf{B}$，使得$\mathbf{AB}=\mathbf{E}$，則$\mathbf{A}$一定是（）。A.可逆矩陣B.不可逆矩陣C.冪等矩陣D.零矩陣9.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，且$\mathbf{A}$經過有限次初等行變換化為$\mathbf{B}$，則下列說法正確的是（）。A.$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$等價。B.$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$相似。C.$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$相似且等價。D.$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$無法進行比較。10.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，$\mathbf{B}$為$n$階可逆方陣，則$\mathbf{A}^{\top}\mathbf{A}=\mathbf{E}$的充分必要條件是（）。A.$\mathbf{A}$可逆B.$\mathbf{A}$為正交矩陣C.$\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}$為正交矩陣D.$\mathbf{B}^{\top}\mathbf{A}$為正交矩陣二、填空題1.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$|\mathbf{A}|=$_______。2.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，且$\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$，則$a+d=$_______。3.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，$\mathbf{B}$為$n$階可逆方陣，若$\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$，則稱$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$可交換，若$\mathbf{A}$與$\mathbf{B}$可交換，且$\mathbf{AB}=\mathbf{E}$，則$\mathbf{A}^{-1}=$_______。4.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，$\mathbf{B}$為$n$階可逆方陣，則$\mathbf{R}(\mathbf{AB})=$_______。5.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}$，則$\mathbf{A}^{-1}=$_______。三、計算題1.計算下列行列式的值：$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$2.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\mathbf{B}=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$，求$\mathbf{AB}$和$\mathbf{BA}$。3.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求$\mathbf{A}$的逆矩陣（如果存在）。4.設$\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&2\\1&3&4\end{pmatrix}$，求$\mathbf{A}$的秩。四、證明題1.設$\mathbf{A}$為$n$階方陣，且$\mathbf{A}^2=\mathbf{A}$，證明$\mathbf{A}$的特征值只能是0或1。2.設$\mathbf{A}$為$n$階可逆方陣，證明$\mathbf{A}$的伴隨矩陣$\mathbf{A}^*$也可逆，并求$\mathbf{A}^*$的逆矩陣。五、應用題設線性方程組$\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=1\\2x_1+x_2+2x_3=2\\x_1+3x_2+4x_3=3\end{cases}$，試用矩陣方法求解該線性方程組（如果存在解，請全部求出）。試卷答案一、選擇題1.A解析：A選項行列式第三行等于前兩行之和，由行列式性質可知其值為0。2.A解析：矩陣可逆的充分必要條件是其行列式不為0。3.A解析：若A可逆，則存在A的逆矩陣A?1，使得A?1AB=B，即AB可逆。4.C解析：根據轉置矩陣的性質(AB)?=B?A?。5.A解析：矩陣乘積的行數等于第一個矩陣的行數，列數等于第二個矩陣的列數。6.C解析：根據冪等矩陣的定義A2=A，設λ為A的特征值，則λ2=λ，解得λ=0或λ=1。7.B解析：根據矩陣乘法的結合律，A2-AB=A(A-B)，左乘B?1得B?1A(A-B)=B?1A-B?1AB=B?1A-E。8.A解析：根據可逆矩陣的定義，存在B使得AB=E，說明A左乘B得到單位矩陣，故A可逆。9.A解析：初等行變換不改變矩陣的秩，且可逆矩陣可由初等行變換化為單位矩陣，故A與B等價。10.B解析：矩陣為正交矩陣的定義是A?A=E，即A?=A?1。二、填空題1.-2解析：按第一行展開計算行列式，1×4-2×3=-2。2.5解析：根據逆矩陣的定義，主對角線元素之和等于副對角線元素之和的相反數，即a+d=-(b+c)=-(-2)=2。3.B解析：由AB=BA且AB=E，可得A(BA)=AB(A)=EA=A，故A?1=B。4.R(B)解析：矩陣乘積的秩不超過乘數矩陣的秩，即R(AB)≤R(B)。當A可逆時，R(AB)=R(B)。5.$\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}$解析：利用初等行變換將A化為單位矩陣，同時用同樣的變換作用于E，得到A?1。三、計算題1.-3解析：按第一行展開計算行列式，1×(5×9-6×8)-2×(4×9-6×7)+3×(4×8-5×7)=1×(-3)-2×(-6)+3×(-7)=-3+12-21=-3。2.$\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}$,$\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}$解析：按矩陣乘法規則計算，AB=$\begin{pmatrix}1×2+2×1&1×0+2×3\\3×2+4×1&3×0+4×3\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}4&6\\10&12\end{pmatrix}$，BA=$\begin{pmatrix}1×2+2×1&1×0+2×3\\3×2+4×1&3×0+4×3\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}5&6\\10&12\end{pmatrix}$。3.$\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}$解析：計算行列式|A|=-2，非零，故A可逆。A?1=(1/|A|)adj(A)=(-1/2)$\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}-2&1\\1.5&-0.5\end{pmatrix}$。4.2解析：對A進行初等行變換化為行階梯形矩陣$\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-4\\0&0&-2\end{pmatrix}$，非零行數為2，故秩為2。四、證明題1.證明：設λ為A的特征值，α為對應的特征向量，即Aα=λα。兩邊左乘A得A2α=A(λα)=λ(Aα)=λ2α。又因為A2=A，所以A2α=A