陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù) 2.4 二次函數(shù)性質(zhì)的再研究 2.4.3 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值教學(xué)設(shè)計(jì) 北師大版必修1

陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)第二章函數(shù)2.4二次函數(shù)性質(zhì)的再研究2.4.3二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值教學(xué)設(shè)計(jì)北師大版必修1備課組主備人授課教師授教學(xué)科授課班級(jí)課題名稱課程基本信息1.課程名稱：陜西省石泉縣高中數(shù)學(xué)

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高一年級(jí)

3.授課時(shí)間：2022年X月X日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)分析1.發(fā)展數(shù)學(xué)抽象思維：通過二次函數(shù)最值問題的研究，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)的抽象概念，提高抽象思維能力。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力：在探索二次函數(shù)最值規(guī)律的過程中，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行邏輯推理，提升邏輯思維水平。

3.強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模意識(shí)：引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高解決實(shí)際問題的能力。

4.增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)：通過實(shí)例分析，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

-核心內(nèi)容：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，包括求最值的方法和最值點(diǎn)的判斷。

-細(xì)節(jié)說明：重點(diǎn)講解二次函數(shù)的頂點(diǎn)式和一般式，以及如何通過頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸確定函數(shù)的增減性。例如，通過分析函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）在閉區(qū)間[0,2]上的最值，強(qiáng)調(diào)如何使用頂點(diǎn)公式和判別式來確定最值點(diǎn)。

2.教學(xué)難點(diǎn)

-難點(diǎn)內(nèi)容：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題在實(shí)際應(yīng)用中的靈活運(yùn)用。

-細(xì)節(jié)說明：難點(diǎn)在于如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型，并找到合適的閉區(qū)間。例如，在解決實(shí)際問題時(shí)，如優(yōu)化設(shè)計(jì)問題或經(jīng)濟(jì)問題，學(xué)生可能難以確定函數(shù)的形式和合適的閉區(qū)間。此外，難點(diǎn)還在于如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性來分析函數(shù)在閉區(qū)間上的行為，例如，在函數(shù)y=x^2-4x+3上找到[1,3]區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版必修1教材，以便跟隨課本內(nèi)容學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與二次函數(shù)相關(guān)的圖表，如函數(shù)圖像、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)圖，以及相關(guān)視頻，幫助學(xué)生直觀理解函數(shù)性質(zhì)。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器或計(jì)算軟件，以便學(xué)生在解決具體問題時(shí)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，便于學(xué)生合作探究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

1.老師提問：同學(xué)們，我們之前學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，誰能告訴我二次函數(shù)的圖像是什么樣的？

2.學(xué)生回答：二次函數(shù)的圖像是一個(gè)開口向上或向下的拋物線。

3.老師總結(jié)：非常好，二次函數(shù)的圖像是一個(gè)拋物線。那么，今天我們要進(jìn)一步研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

二、新課講授

1.老師講解：首先，我們來回顧一下二次函數(shù)的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。其中，a、b、c是常數(shù)，且a不等于0。

2.老師提問：同學(xué)們，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是多少？

3.學(xué)生回答：頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,c-b^2/4a)。

4.老師總結(jié)：非常好，頂點(diǎn)坐標(biāo)可以幫助我們判斷函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸。

5.老師講解：接下來，我們來研究二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。首先，我們要找到函數(shù)的對(duì)稱軸，然后根據(jù)對(duì)稱軸的位置，我們可以將閉區(qū)間分為三個(gè)部分：對(duì)稱軸左側(cè)、對(duì)稱軸、對(duì)稱軸右側(cè)。

6.老師舉例：例如，對(duì)于函數(shù)y=x^2-4x+3，我們首先要找到對(duì)稱軸，對(duì)稱軸的公式是x=-b/2a，代入a=1，b=-4，得到對(duì)稱軸x=2。

7.老師講解：現(xiàn)在我們知道了對(duì)稱軸的位置，接下來我們要判斷函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的增減性。如果a>0，那么函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)是遞減的，在對(duì)稱軸右側(cè)是遞增的；如果a<0，那么函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)是遞增的，在對(duì)稱軸右側(cè)是遞減的。

8.老師舉例：對(duì)于函數(shù)y=x^2-4x+3，a=1>0，所以函數(shù)在對(duì)稱軸左側(cè)是遞減的，在對(duì)稱軸右側(cè)是遞增的。

9.老師講解：現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了函數(shù)在對(duì)稱軸兩側(cè)的增減性，接下來我們要找到閉區(qū)間上的最值點(diǎn)。如果閉區(qū)間的左端點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，那么最大值一定在閉區(qū)間的右端點(diǎn)；如果閉區(qū)間的右端點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，那么最小值一定在閉區(qū)間的左端點(diǎn)；如果閉區(qū)間的左端點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，那么最小值一定在閉區(qū)間的右端點(diǎn)；如果閉區(qū)間的右端點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)，那么最大值一定在閉區(qū)間的左端點(diǎn)。

10.老師舉例：對(duì)于函數(shù)y=x^2-4x+3，閉區(qū)間的左端點(diǎn)是1，右端點(diǎn)是3，因?yàn)?在對(duì)稱軸左側(cè)，所以最大值一定在閉區(qū)間的右端點(diǎn)，即x=3時(shí)取得最大值。

三、課堂練習(xí)

1.老師提問：同學(xué)們，請(qǐng)完成以下練習(xí)題：

（1）對(duì)于函數(shù)y=x^2+2x-3，求閉區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

（2）對(duì)于函數(shù)y=-x^2+4x+1，求閉區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。

2.學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)題，老師巡視指導(dǎo)。

3.學(xué)生展示解題過程，老師點(diǎn)評(píng)并總結(jié)。

四、課堂小結(jié)

1.老師總結(jié)：今天我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，重點(diǎn)掌握了如何通過頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸判斷函數(shù)的增減性，以及如何找到閉區(qū)間上的最值點(diǎn)。

2.老師提問：同學(xué)們，誰能告訴我二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題在實(shí)際生活中的應(yīng)用？

3.學(xué)生回答：例如，在建筑設(shè)計(jì)中，可以通過二次函數(shù)的最值問題來優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得建筑物的結(jié)構(gòu)更加合理。

4.老師總結(jié)：非常好，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題在許多實(shí)際領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。

五、課后作業(yè)

1.老師布置作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們完成以下作業(yè)題：

（1）對(duì)于函數(shù)y=2x^2-4x+1，求閉區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。

（2）對(duì)于函數(shù)y=-3x^2+6x-1，求閉區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。

2.老師強(qiáng)調(diào)：請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固今天所學(xué)知識(shí)。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料

-閱讀材料一：《二次函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用》

-內(nèi)容摘要：本文介紹了二次函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用，例如在需求函數(shù)和成本函數(shù)中的應(yīng)用，以及如何通過二次函數(shù)分析市場(chǎng)的最優(yōu)定價(jià)策略。

-閱讀材料二：《二次函數(shù)在工程學(xué)中的應(yīng)用》

-內(nèi)容摘要：本文探討了二次函數(shù)在工程學(xué)中的角色，特別是在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和材料科學(xué)中的應(yīng)用，如何利用二次函數(shù)的對(duì)稱性和最值特性來優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究

-學(xué)生可以通過閱讀拓展材料一，深入了解二次函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的具體應(yīng)用案例，如房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)、產(chǎn)品需求分析等。

-學(xué)生可以結(jié)合教材中的實(shí)例，嘗試自己設(shè)計(jì)二次函數(shù)模型來解決實(shí)際問題，如設(shè)計(jì)一個(gè)拋物線模型來描述跳高運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)軌跡，分析其最佳起跳點(diǎn)和最高點(diǎn)。

-學(xué)生可以探究二次函數(shù)在物理中的角色，例如在拋體運(yùn)動(dòng)中，如何利用二次函數(shù)來描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡和速度變化。

-學(xué)生可以嘗試將二次函數(shù)與其他數(shù)學(xué)工具相結(jié)合，如微積分，來研究函數(shù)的局部極值和全局極值，并探討在實(shí)際問題中的意義。

-學(xué)生可以通過在線資源或圖書館查閱相關(guān)書籍，進(jìn)一步了解二次函數(shù)在不同學(xué)科中的廣泛應(yīng)用。

3.實(shí)用性強(qiáng)的拓展活動(dòng)建議

-組織學(xué)生參與數(shù)學(xué)建模比賽，要求他們使用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，如城市交通流量?jī)?yōu)化、資源分配等。

-設(shè)立一個(gè)班級(jí)研究小組，讓學(xué)生選擇一個(gè)感興趣的領(lǐng)域，如體育、藝術(shù)或教育，利用二次函數(shù)分析該領(lǐng)域的特定問題。

-安排學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討二次函數(shù)在不同學(xué)科中的應(yīng)用，如物理學(xué)中的拋體運(yùn)動(dòng)、生物學(xué)中的種群增長(zhǎng)等。板書設(shè)計(jì)①二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

-二次函數(shù)的一般形式：y=ax^2+bx+c(a≠0)

-頂點(diǎn)坐標(biāo)：(-b/2a,c-b^2/4a)

-對(duì)稱軸：x=-b/2a

②最值點(diǎn)的判斷

-當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)開口向上

-閉區(qū)間左側(cè)遞減，右側(cè)遞增

-最大值出現(xiàn)在閉區(qū)間的右端點(diǎn)

-當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)開口向下

-閉區(qū)間左側(cè)遞增，右側(cè)遞減

-最小值出現(xiàn)在閉區(qū)間的右端點(diǎn)

③求最值的方法

-計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)

-判斷頂點(diǎn)是否在閉區(qū)間內(nèi)

-在內(nèi)：直接計(jì)算頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

-不在內(nèi)：比較閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值

④應(yīng)用實(shí)例

-優(yōu)化設(shè)計(jì)問題：如建筑設(shè)計(jì)、材料科學(xué)

-經(jīng)濟(jì)問題：如市場(chǎng)定價(jià)、成本分析

-物理學(xué)問題：如拋體運(yùn)動(dòng)軌跡分析教學(xué)評(píng)價(jià)1.課堂評(píng)價(jià)

-提問環(huán)節(jié)：通過隨機(jī)提問學(xué)生關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的基本概念和應(yīng)用，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握程度。

-觀察學(xué)生參與度：注意學(xué)生在課堂討論中的參與情況，觀察是否能夠積極思考、提出問題或與同伴合作。

-小組活動(dòng)評(píng)價(jià)：在小組討論和合作中，評(píng)估學(xué)生的溝通能力、協(xié)作精神和解決問題的能力。

-實(shí)時(shí)反饋：對(duì)于學(xué)生的回答，給予及時(shí)的正面反饋或糾正，幫助他們鞏固正確概念和糾正錯(cuò)誤。

2.作業(yè)評(píng)價(jià)

-作業(yè)批改：對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行細(xì)致批改，包括計(jì)算準(zhǔn)確性、解題步驟的完整性以及對(duì)概念的理解深度。

-點(diǎn)評(píng)與反饋：在作業(yè)上給出具體、建設(shè)性的評(píng)語，指出學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方。

-及時(shí)反饋：確保作業(yè)反饋在下一節(jié)課之前傳達(dá)給學(xué)生，以便他們有時(shí)間根據(jù)反饋進(jìn)行復(fù)習(xí)和調(diào)整。

-定期評(píng)估：通過定期的作業(yè)檢查，評(píng)估學(xué)生對(duì)二次函數(shù)最值概念的長(zhǎng)期掌握情況。

3.評(píng)價(jià)工具與方法

-形成性評(píng)價(jià)：通過課堂提問、小組討論、課堂表現(xiàn)等方式，持續(xù)監(jiān)控學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)度。

-總結(jié)性評(píng)價(jià)：通過單元測(cè)試或期末考試，對(duì)學(xué)生在二次函數(shù)最值這一知識(shí)點(diǎn)的綜合掌握情況進(jìn)行評(píng)估。

-自我評(píng)價(jià)：鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行自我反思，通過填寫學(xué)習(xí)日志或自我評(píng)價(jià)表來監(jiān)控自己的學(xué)習(xí)效果。

-同伴評(píng)價(jià)：引入同伴評(píng)價(jià)機(jī)制，讓學(xué)生相互評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)成果，培養(yǎng)批判性思維和溝通能力。典型例題講解1.例題：求函數(shù)y=2x^2-8x+7在閉區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

解答：首先，我們找到函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。由于a=2，b=-8，c=7，頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-b/2a=8/4=2。因?yàn)轫旤c(diǎn)x=2在閉區(qū)間[1,4]內(nèi)，所以我們計(jì)算頂點(diǎn)處的函數(shù)值，即y(2)=2*2^2-8*2+7=8-16+7=-1。由于a>0，函數(shù)在[1,2]上遞減，在[2,4]上遞增。因此，最大值出現(xiàn)在閉區(qū)間的左端點(diǎn)x=1，最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)x=2。計(jì)算得到y(tǒng)(1)=2*1^2-8*1+7=1，所以最大值為1，最小值為-1。

2.例題：求函數(shù)y=-x^2+4x-3在閉區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

解答：同樣，先找頂點(diǎn)坐標(biāo)。a=-1，b=4，c=-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-b/2a=-4/(-2)=2。頂點(diǎn)x=2在閉區(qū)間[-2,3]內(nèi)，計(jì)算y(2)=-2^2+4*2-3=-4+8-3=1。因?yàn)閍<0，函數(shù)在[-2,2]上遞增，在[2,3]上遞減。所以最大值出現(xiàn)在頂點(diǎn)x=2，最小值出現(xiàn)在閉區(qū)間的右端點(diǎn)x=3。計(jì)算y(3)=-3^2+4*3-3=-9+12-3=0，所以最大值為1，最小值為0。

3.例題：求函數(shù)y=x^2-2x+1在閉區(qū)間[0,1]上的最大值和最小值。

解答：頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-b/2a=2/2=1。因?yàn)轫旤c(diǎn)x=1在閉區(qū)間[0,1]內(nèi)，計(jì)算y(1)=1^2-2*1+1=0。由于a>0，函數(shù)在[0,1]上遞減，所以最大值出現(xiàn)在閉區(qū)間的左端點(diǎn)x=0，最小值出現(xiàn)在頂點(diǎn)x=1。計(jì)算y(0)=0^2-2*0+1=1，所以最大值為1，最小值為0。

4.例題：求函數(shù)y=-3x^2+6x+2在閉區(qū)間[-1,2]上的最大值和最小值。

解答：頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-b/2a=6/(-6)=-1。因?yàn)轫旤c(diǎn)x=-1在閉區(qū)間[-1,2]內(nèi)，計(jì)算y(-1)=-3*(-1)^2+6*(-1)+2=-3-6+2=-7。由于a<0，函數(shù)在[-1,1]上遞增，在[1,2]上遞減。所以最大值出現(xiàn)在頂點(diǎn)x=-1，最小值出現(xiàn)在閉區(qū)間的右端點(diǎn)x=2。計(jì)算y(2)=-3*2^2+6*2+2=-12+12+2=2，所以最大值為-7，最小值為2。

5.例題：求函數(shù)y=4x^2-16x+12在閉區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值。

解答：頂點(diǎn)坐標(biāo)為x=-b/2a=16/8=2。因?yàn)轫旤c(diǎn)x=2在閉區(qū)間[2,4]內(nèi)，計(jì)算y(2)=4*2^2-16*2+12=16-32+12=-4。由于a>0，函數(shù)在[2,4]上遞減，所以最大值出現(xiàn)在閉區(qū)間的左端點(diǎn)x=2，最小值出現(xiàn)在閉區(qū)間的右端點(diǎn)x=4。計(jì)算y(4)=4*4^2-16*4+12=64-64+12=12，所以最大值為12，最小值為-4。教學(xué)反思哎，今天這節(jié)課上下來，我有個(gè)小小的反思。咱們這節(jié)課是關(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，這個(gè)內(nèi)容對(duì)學(xué)生來說比較抽象，但是我覺得整體效果還不錯(cuò)。

我注意到，學(xué)生在討論對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的時(shí)候，反應(yīng)挺快的，能迅速找出函數(shù)的增減性。但是，當(dāng)涉及到如何判斷最值點(diǎn)的時(shí)候，有些學(xué)生就顯得有些迷茫了。