（2027年春）北師大版2024七年級下冊數學知識點大全

北師大版（2024修訂）七年級數學下冊·知識點大全

顏色標注說明：■紅色——核心定義/概念■藍色——重要公式/定理■綠色——重要性質/法則■紫色——易錯點/注意事項

第一章整式的乘除1.1冪的乘除一、同底數冪的乘法同底數冪相乘，底數不變，指數相加。a^m·a^n=a^(m+n)（m、n為正整數）?底數必須相同才能用此法則。不同底數的冪相乘需要先化成同底數。二、冪的乘方冪的乘方，底數不變，指數相乘。(a^m)^n=a^(mn)（m、n為正整數）三、積的乘方積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘。(ab)^n=a^n·b^n（n為正整數）四、同底數冪的除法同底數冪相除，底數不變，指數相減。a^m÷a^n=a^(m-n)（a≠0，m、n為正整數，m>n）五、零指數冪與負整數指數冪a^0=1（a≠0）a^(-p)=1/a^p（a≠0，p為正整數）?任何不等于0的數的0次冪都等于1。0的0次冪無意義。?科學記數法可以表示絕對值很小的數：如0.0000023=2.3×10^(-6)。1.2整式的乘法一、單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘，其余字母連同它的指數不變，作為積的因式。?只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式，不能遺漏。二、單項式乘多項式單項式與多項式相乘，就是根據分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。a(b+c)=ab+ac?單項式乘多項式時，要乘遍多項式的每一項，注意不要漏乘，特別要注意符號。三、多項式乘多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn?展開后若有同類項要合并。多項式乘多項式的結果在合并前項數等于兩個多項式項數的乘積。1.3乘法公式一、平方差公式兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差。(a+b)(a-b)=a2-b2?使用平方差公式時，關鍵是找準哪個是相同項（a），哪個是相反項（b）。結果中相同項的平方減去相反項的平方。二、完全平方公式兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們積的2倍。(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2?完全平方公式的展開式有三項，不要漏掉中間的2ab項。口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。1.4整式的除法一、單項式除以單項式單項式相除，把系數、同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數一起作為商的一個因式。?只在除式里含有的字母不能保留，如果被除式沒有該字母，相當于該項為0。二、多項式除以單項式多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。(am+an)÷a=m+n第二章相交線與平行線2.1兩條直線的位置關系一、相交線●相交：兩條直線有一個公共點時，稱這兩條直線相交，這個公共點叫做交點。二、對頂角●對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，這兩個角互為對頂角。●對頂角相等。三、余角和補角●互余：兩個角的和為90°，互為余角。●互補：兩個角的和為180°，互為補角。●同角或等角的余角相等；同角或等角的補角相等。四、垂直●垂直：兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直。●其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。●垂線的性質：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。●垂線段最短：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。●點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度。2.2探索直線平行的條件一、平行線●平行線：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。●平行符號：a∥b表示直線a與直線b平行。●平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。●平行線的傳遞性：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。二、同位角、內錯角、同旁內角●同位角：在截線同側，被截兩線的同一方位的兩個角。●內錯角：在截線兩側，被截兩線之間的兩個角。●同旁內角：在截線同側，被截兩線之間的兩個角。?這三種角是判斷兩直線平行的關鍵，正確識別它們是前提。口訣：F型找同位角，Z型找內錯角，U型找同旁內角。三、平行線的判定●判定1：同位角相等，兩直線平行。●判定2：內錯角相等，兩直線平行。●判定3：同旁內角互補，兩直線平行。?三個判定方法中，條件分別是角的關系，結論是線的平行關系，不要混淆判定和性質。2.3平行線的性質平行線的性質●性質1：兩直線平行，同位角相等。●性質2：兩直線平行，內錯角相等。●性質3：兩直線平行，同旁內角互補。?性質和判定的區別：判定是由角的關系推出平行關系；性質是由平行關系推出角的關系。條件和結論正好互換。第三章概率初步3.1感受可能性一、事件的分類●必然事件：在一定條件下一定會發生的事件。●不可能事件：在一定條件下一定不會發生的事件。●隨機事件（不確定事件）：在一定條件下可能發生也可能不發生的事件。?必然事件和不可能事件統稱為確定性事件。判斷事件類型要看條件。3.2頻率的穩定性一、頻率與概率●頻率：在大量重復試驗中，某事件發生的次數與試驗總次數的比值。●在大量重復試驗中，事件發生的頻率會穩定在一個常數附近，這個常數就是該事件發生的概率。●概率：表示一個事件發生的可能性大小的數，記作P(A)。0≤P(A)≤1●必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，隨機事件的概率在0和1之間。?頻率是試驗值，概率是理論值。大量試驗時頻率接近概率，但頻率不一定等于概率。3.3等可能事件的概率等可能事件的概率●如果一個試驗有n種等可能的結果，事件A包含其中m種結果，則事件A的概率為：P(A)=m/n●適用條件：所有可能出現的結果必須是等可能的（每種結果出現的可能性相同）。?計算概率時要注意確認所有結果是否等可能。如擲兩枚骰子，36種結果是等可能的。常見概率模型●擲骰子：一枚骰子6個面，每個面朝上的概率為1/6。●摸球：袋中有n個球，其中紅球m個，摸到紅球的概率為m/n。●轉盤：扇形面積占總面積的比例即為概率。第四章三角形4.1認識三角形一、三角形的概念●三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形。二、三角形的三要素●頂點：三角形三條線段的公共端點，共3個。●邊：組成三角形的三條線段，共3條。●角：三角形中相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，共3個。三、三角形的分類●按角分類：銳角三角形（三個角都是銳角）、直角三角形（有一個角是直角）、鈍角三角形（有一個角是鈍角）。●按邊分類：不等邊三角形、等腰三角形（兩邊相等）、等邊三角形（三邊相等）。四、三角形的重要性質●三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°。∠A+∠B+∠C=180°●三角形任意兩邊之和大于第三邊。●三角形任意兩邊之差小于第三邊。●三角形外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角。●三角形外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。?判斷三條線段能否組成三角形，只需判斷較短兩邊之和是否大于最長邊即可。?三角形的外角和等于360°（每個頂點處取一個外角）。五、三角形的重要線段●中線：連接一個頂點與對邊中點的線段。三條中線交于一點（重心）。●高：從三角形一個頂點向對邊（或對邊所在直線）作垂線，頂點到垂足間的線段。●角平分線：三角形一個內角的平分線與對邊相交，頂點與交點間的線段。4.2全等三角形一、全等三角形的概念●全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形。●全等三角形：兩個三角形能夠完全重合，就是全等三角形。●對應頂點、對應邊、對應角：重合的頂點、邊、角分別叫做對應頂點、對應邊、對應角。二、全等三角形的性質●全等三角形的對應邊相等。●全等三角形的對應角相等。?找對應邊和對應角時要注意對應頂點的順序，如△ABC≌△DEF中，A?D,B?E,C?F。4.3探索三角形全等的條件三角形全等的判定方法●SSS（邊邊邊）：三邊對應相等的兩個三角形全等。●SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。●ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。●AAS（角角邊）：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。?SSA和AAA不能判定兩個三角形全等。特別注意"邊邊角"不能作為全等的判定條件。?在直角三角形中，還有HL判定法：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。4.4利用三角形全等測距離應用●利用全等三角形的原理，可以將不可直接測量的距離轉化為可測量的距離。●構造全等三角形的方法：利用角平分線、垂直、中點等條件構造。第五章圖形的軸對稱5.1軸對稱及其性質一、軸對稱的概念●軸對稱：如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。二、軸對稱的性質●對應點所連的線段被對稱軸垂直平分。●對應線段相等，對應角相等。●軸對稱圖形的對應線段或其延長線的交點在對稱軸上。?對稱軸是一條直線，不是線段或射線。一個圖形可能有多條對稱軸。5.2簡單的軸對稱圖形一、等腰三角形●等腰三角形：有兩條邊相等的三角形。相等的邊叫做腰，另一邊叫做底邊。●等腰三角形的性質：●①等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）。●②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。●③等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線。等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（等角對等邊）。二、等邊三角形●等邊三角形：三條邊都相等的三角形（也叫正三角形）。●等邊三角形的性質：三個內角都等于60°；有三條對稱軸。●等邊三角形的判定：三邊相等的三角形；三個角都相等的三角形；有一個角是60°的等腰三角形。三、線段的垂直平分線●線段垂直平分線：垂直于一條線段并且平分這條線段的直線。●性質：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。若MN⊥AB且AN=BN，P在MN上，則PA=PB四、角平分線●角平分線上的點到角兩邊的距離相等。若OC平分∠AOB，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，則PD=PE第六章變量之間的關系6.1現實中的變量變量的概念●在某一變化過程中，數值發生變化的量叫做變量。●在變化過程中，數值始終保持不變的量叫做常量。●自變量：主動變化的變量。●因變量：隨著自變量的變化而變化的變量。?自變量和因變量是相對的，取決于我們研究的角度。6.2用表格表示變量之間的關系表格表示法●通過表格可以清楚地看到自變量和因變量的對應數值。●優點：能