函數(shù)的概念與性質(zhì) 全章十一大基礎(chǔ)題型歸納（基礎(chǔ)篇）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊（解析版）

專題3.6函數(shù)的概念與性質(zhì)全章十一大基礎(chǔ)題型歸納(基礎(chǔ)篇)

【人教A版(2019)]

題型1上函數(shù)的定義域的求解_______________

1.(23-24高一下?廣東湛江?期末)函數(shù)/(》)=泰+(3—%)°的定義域是()

A.[1,3)B.(3,+8)C.(1,3)U(3,4-00)D.[1,3)U(3,+8)

【解題思路】根據(jù)根式、分式以及零次方成立的條件分析求解.

【解答過程】令卮一23解得工>1且XW3,

(3一工工0

所以函數(shù)f0)=^=+(3-%)°的定義域是(1,3)U(3,+00).

故選：C.

2.(23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí))已知函數(shù)/■(%)定義域?yàn)閇-1,2],則函數(shù)g(x)=^的定義域?yàn)?).

A.&3]B.&+8)

C.C，2]D.康+8)

【解題思路】根據(jù)給定條件，利用復(fù)合函數(shù)的定義域的意義列式求解即得.

【解答過程】函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇-1,2],由函數(shù)g(%)=魯有意義，得「彳”;“，解得;VXW3,

1IZX—JL>U/

所以函數(shù)儀外的定義域?yàn)镚，3].

故選:A.

3.(24-25高一上?上海?課堂例題)求下列函數(shù)的定義域:

(l)y=(2%+3)°；

(2)y=Vx-1-V4-x+2；

【解題思路】(1)根據(jù)題意結(jié)合零次方底數(shù)不為0運(yùn)算求解;

(2)根據(jù)題意結(jié)合根式的意義分析求解；

(3)根據(jù)題意結(jié)合分式的意義運(yùn)算求解.

【解答過程】(1)要使函數(shù)有意義，需滿足2%+3工0,

解得工工一右所以y=(2x+3)。的定義域?yàn)椋?k0一|卜

(2)要使函數(shù)有意義，需滿足｛:二;旨：解得1WXW4.

所以函數(shù)y=Vx-1?y/4-x+2的定義域?yàn)椋鹸I1WxW4｝.

(3)要使函數(shù)有意義，需滿足1+xHO,解得XH—1.

所以函數(shù)y=蕓的定義域?yàn)椋??%。-1).

4.(23-24高一.全國.課后作業(yè))求抽象函數(shù)的定義域.

(1)已知函數(shù)f(x)=『7+VTT3,求函數(shù)+1)的定義域；

(2)已知函數(shù)/(3x+1)的定義域?yàn)椤惨?,6],求/'(2%-5)的定義域.

【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)解析式可知可得出函數(shù)/(幻的定義域，再根據(jù)抽象函數(shù)的定義域

求法，即可求出函數(shù)/'(x+1)的定義域；

(2)根據(jù)題意，可知-1Vx工6,根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法,可求出函數(shù)/'(%)的定義域，從而得出/"(2%-5)

的定義域.

【解答過程】(1)解：由/(幻="1一x+G+3,

得解得：-3二以

，函數(shù)/(幻=小三?+VFTI的定義域?yàn)?/p>

由-3MX+141,得一4Mx40,

即函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)閇-4,0].

(2)解：???函數(shù)/(3%+1)的定義域?yàn)?-1,6],

/.-I<x<6,則一2V3%+1W19,

即函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?—2,19],

由一2V2x—5W19,得弓V%W12,

???/(2%-5)的定義域?yàn)閮?4.

題型2卜函數(shù)的值域的求解O|

1.(23-24高一上?江蘇南京?期中)下列函數(shù)中，值域是(0,+8)的是()

A.y=\!x2—2xB.y=G(0,4-co)

C?丫=忌77，"€'D.y=&

【解題思路】根據(jù)值域的定義結(jié)合函數(shù)解析式逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過程】對于選項(xiàng)A：當(dāng)％=0時(shí)，y=0,即值域有0,故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B,因?yàn)槭叶?+小學(xué)1,即值域沒有1,故B錯(cuò)誤；

X+lX+1

對于選項(xiàng)C：函數(shù)的定義域?yàn)閤￡N,所以函數(shù)值域不連續(xù)，故C錯(cuò)誤.

對于選項(xiàng)D：因?yàn)槌酪?|的取值范圍是(0,+8),所以函數(shù)的值域?yàn)?0,+8),故D正確.

故選：D.

2.(2024.湖南懷化.三模)己知函數(shù)/'(約=：。WXW2),則函數(shù)g(%)=2/(x)+/Q2)的值域?yàn)?)

A.[3,2+272]B.63]C.[^,3]D.[|+V2,3]

【解題思路】由己知求得函數(shù)g(x)的定義域，換元后利用配方法求函數(shù)的值域.

【解答過程】?.?/-(%)=1(1<x<2),

由<X<42.

???&)=2f(x)+f(x2)=^+^(l<x<V2).

令”久?W￡W1),

二函數(shù)y=t2+2t=(t+I)2-1.

當(dāng)t時(shí),ymjn=1+V2;

'與t=l時(shí)，>max=3,

???函數(shù)g(x)=2/(x)+/(M)的值域?yàn)镋+四,3]

故選：D.

3.(23-24高一上?浙江杭州?期中)求下列函數(shù)的值域：

X2-4X+4/、1、

(?=1a>i)

(2)y=3x-VxTl

(3)f(x)=3x+1+(x<I)

【解題思路】(1)(3)根據(jù)題意結(jié)合基本不等式求值域；

(2)換元令t=77不INO,結(jié)合二次函數(shù)求值域.

【解答過程】(1)因?yàn)椋?gt;1,貝卜一1>0,

當(dāng)且僅當(dāng)％-1=工，即％=2時(shí)，等號成立,

所以函數(shù)的值域?yàn)閇0,+8）.

(2)令t=Qx+1>0,則x=t2—1?

可得y=3(d—1)-t=3t2—t-3=3(t—》—

當(dāng)y；時(shí)，等號成立,

所以函數(shù)的值域?yàn)椴?,+8）.

(3)因?yàn)樨?」2—3%>0,

可得一/⑸=一⑶+1+六)=(2-3%)+&一322.2—3》).號

-3=3,

當(dāng)且僅當(dāng)2-3%=&,即％=-：時(shí)，等號成立，

即/（切工一3,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?8,-3].

4.（23-24高一上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：

⑴川）=黑，…（-1,+8）

（2）/（x）=x+V3-2x+1

【解題思路】（1）由/（幻=工+1+卷7-1。+1>°）結(jié)合基本不等式得出值域；

（2）由換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得出值域.

【解答過程】（1）解：/'a）=x+i+W-ia+i>o），故/（022同777^-1=1.

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)“=”成立，/（均值域?yàn)閇1,+8）.

（2）設(shè)￡=，3-2%N0,則%二^一提

f（x）=：g+t+1=_§+￡+；g（t），t20

對稱軸為￡=1,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知g（t）<g（l）=3,故/。）值域?yàn)椋?8,3].

k同一函數(shù)的判斷

1.（23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí)）下列表示是同一個(gè)函數(shù)的是（）.

A./(x)=|x|4-\2x+1|與g(z)=3x4-1

B./(x)=Vx—1-7x+1與g(x)=vx2—1

C./(x)=|x|與g(x)=x

23

D./?=|3-^|+1^)=(^-；^3

【解題思路】利用相同函數(shù)的意義，逐項(xiàng)判斷即得.

【解答過程】對于A,函數(shù)g(x)的值域是R,而函數(shù)f(x)的值不可能為負(fù)數(shù)，A不是；

對于B,函數(shù)/(x)中，{：；：：，解得“21，即八幻的定義域?yàn)榭?+8),

函數(shù)g(x)中，x2-1>0,解得工4一1或xNl,即g(x)的定義域?yàn)?-8,1]u[1,+8),B不是;

對于C,函數(shù)/(%)的值域?yàn)閇0,+8),函數(shù)g(x)的值域是R,C不是；

對于D,/(x)=|3-x|+1={%~，函數(shù)/(%)與gQ)是相同函數(shù)，D是.

故選：D.

2.(24-25高一上?上海?課后作業(yè))下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)足相同函數(shù)的足()

x+l,xN—1

B.y=|x+1|與y=

—x—1,x<—1

C.y=1與y=(%4-1)

D.y=與y=(Vx)

【解題思路】根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的定義域以及對應(yīng)關(guān)系是否相同，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【解答過程】對于A,7二竄的定義域?yàn)閧匯|不。一1},而丫=工-1的定義域?yàn)樨刀x域不相同，故不是同

一函數(shù)，A錯(cuò)誤，

對于B,y=|%+l|與y=二的定義域均為K且對應(yīng)關(guān)系相同，故為相同函數(shù)，B正確，

對于c,y=a+1)°的定義域?yàn)椴芬圆弧?},而y=1的定義域?yàn)镽,定義域不相同，故不是相同函數(shù),C錯(cuò)誤,

對于D,y=濘的定義域?yàn)镽,與y=(〃?的定義域?yàn)閧x|xN0},定義域不相同，故不是相同函數(shù),D錯(cuò)誤,

故選：B.

3.(23-24高一?全國?課后作業(yè))判斷卜列各組函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)：

⑴/(%)=?，g(x)=%；

(2)/(x)=g(x)=x2-1；

(3)/(%)=y/x^,g(x)=x.

【解題思路】當(dāng)一組函數(shù)定義域與對應(yīng)關(guān)系均相同時(shí)即為同一函數(shù),以此為依據(jù)進(jìn)行判斷即可

【解答過程】(1)因?yàn)閒(%)的定義域?yàn)閧x|xH0},而g(x)的定義域?yàn)榇怂詅(%)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù):

(2)因?yàn)閒(x)與g(x)的定義域均為凡所以定義域相同，

又/(%)=^71="J；?；：*，=x2-l=g(x),所以/(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)；

(3)因?yàn)?(x)與g(x)的定義域均為此所以定義域相同，

又/(x)=yjx^=\x\x=g(x),所以/(無)與g(x)不是同一個(gè)函數(shù).

4.(23-24高一.全國?課后作業(yè))下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)？

(1)/(x)=Vx7,g(x)=(Vx)2；

(2)/(x)=x2,g(x)=(x4-1)?；

(3)/(r)=//(r)=r-1：

(4)/(x)=x+pg(￡)=t+卜

【解題思路】(1)由定義域不同，對應(yīng)法則也不同判斷；

(2)由對應(yīng)法則不同判斷；

(3)由兩函數(shù)定義域不同判斷；

(4)由定義域都為(-8,0)U(0,+8),且對應(yīng)法則也相同，判斷是同一函數(shù)，

【解答過程】(1)函數(shù)/'(%)=后=氏|的定義域?yàn)榉埠瘮?shù)g(x)=(q)2定義域?yàn)椋?,+oo),

定義域不同，對應(yīng)關(guān)系也不同，不是同一函數(shù)：

(2)?.?函數(shù)/?(%)=/,ga)=Q+i)2對應(yīng)法則不同，即解析式不同，

兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)，函數(shù)/'(%)與g(x)不是同一函數(shù)；

(3)v/(x)=夕卜g(x)=x-1由于/(%)的定義域?yàn)閧x|xH-1},

g。)的定義域?yàn)镽，兩函數(shù)定義域不同，兩個(gè)函數(shù)不是同一函數(shù)；

(4)函數(shù)/(x)=x+1與g(t)=t+g的定義域都為(一oo,0)U((),+oo),

且對應(yīng)法則也相同，是同一函數(shù).

題型4函數(shù)單調(diào)性的判斷及單調(diào)區(qū)間的求解

I.(2024高三.全國.專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(0在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()

A.y=74在R上為減函數(shù)

B.y=|/?(x)|在R上為增函數(shù)

C.丫=一六在R上為增函數(shù)

D.丫=一人外在氏上為減函數(shù)

【解題思路】通過舉反例即可判斷A、B、C選項(xiàng)，可以借助單調(diào)性的定義證明D選項(xiàng).

【解答過程】對于A選項(xiàng)，若/G)=x,則y=/=3,在R上不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

lf(x)l|x|

對于B選項(xiàng)，若/(%)=%,My=|/(x)|=|xb在R上不是增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，若/(%)=%,則y=一卷=一%在R上不是增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng),函數(shù)/(%)在R上為增函數(shù),則對于任意的必,必eR,設(shè)%]<不，必有fGi)</(g)，即/(%)-

/fe)<0,

對于y=-/(%)，則有%-力=[-/Ui)]-[-/(x2)]=-[fM-/(x2)]>o

則y=—/(%)在R上為減函數(shù)，故D正確.

故選：D.

2.(23-24高一上?江蘇徐州?階段練習(xí))函數(shù)/(幻=一右的單調(diào)增區(qū)間是().

X-Z

A.(2,4-00)B.(—oo,2)

C.(-2,2)D.(-8,2).(2,”)

【解題思路】首先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的變換規(guī)則判斷即可.

【解答過程】函數(shù)八%)=一專的定義域?yàn)椴芬载S2},

又/(%)=-+的圖象是由y=-：向右平移2個(gè)單位而來，

y=—3的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,0),(0,+oo),

所以/(%)=一_\的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8),(—8,2).

X—2

故選：D.

3.(23-24高一上?河北邯鄲?期中)已知函數(shù)f(x)=ax-^(a,beR)t圖象經(jīng)過點(diǎn)(2》且/(I)=

(1)求a,b的值；

(2)用定義法證明函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(一1,+8)上單調(diào)遞增.

【解題思路】(1)根據(jù)條件得到方程組，可求出答案；

(2)VX1，%26(-1，+8),且/(Xl)-/(X2)=X1---三-X2+二7變形判斷符號可得結(jié)論?

2ca-b---=s-

針：，

a------=-

11+12

解%二:

(2)由(1)可知f(x)=x—W，

Vx1(x26(-1,+8),且與<X2,

...........1111

/(勺)-f(x2}=xr--------X2+----T=Xi1-X2+----T-------

八“八"1%]+12物+12X2+1X1+l

1

=X-i-X+石-%2=(必—DU+I，

2(*2+1)(必+】)(必+1)(必+1)

因?yàn)楸?lt;X?,所以％]-％2V°，

又力-E（T,+8）,所以1+E中

1

所以（無1-%2）口+；]<0,即/（%）—/（不）<0,所以〃與）〈/（小），

(必+1)(*1+1)

所以函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（—1,+8）上單調(diào)遞增.

4.（23-24高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（幻=|x|+\2x-3|.

（1）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象;

（2）寫出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間;

（3）用定義證明函數(shù)，（外在售,+8）為增函數(shù).

【解題思路】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，即可求解其函數(shù)圖象,

（2）由單調(diào)性的定義，結(jié)合圖象即可求解，

（3）利用單調(diào)性的定義，即可求證.

，一3%4-3,x<0

3

【解答過程】（1）函數(shù)/■（%）—（3—無,0工無工之大致圖象如圖所示:

3x-3,x>1

O3

-X

2

(2)由(1)圖可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-8,習(xí)：

(3)證明：設(shè)石,必e柢，+8),X1〈0,

則/Gi)—f(八)=(3%1-3)-(3X2-3)=3(匕-%2)，

??X，%2￡||，+8),與<%2，

??XjX2<0,??3(xj%2)<0?

/./(Xi)<f(x2),

???/(%)=\x\+|2x-3|在',+8)上為增函數(shù).

題型5數(shù)的最值問題。|

I.(2024高二下.湖南?學(xué)業(yè)考試)已知函數(shù)/(幻=%+：(%>0),則/?(幻的最小值是()

A.2B.3C.6D.10

【解題思路】方法一：運(yùn)用基本不等式可求得最小值.

方法二：求出函數(shù)f(%)在(0,+8)上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值.

【解答過程】方法一：當(dāng)%>0時(shí)，fM=x+l>2=

所以/(%)=%+g(x>0)得最小值是6.

方法二：因?yàn)楹瘮?shù)/'(》)=x+^(%>0)在(0,3)上單調(diào)遞減，在(3,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(')min=f(3)=3+3=6.

故選:C.

2.(23-24高一上.四川眉山?期中)已知函數(shù)、=若,%￡(1,詞的最小值為8.則實(shí)數(shù)m的值是()

A.-1B.1C.2D.3

【解題思路】將原函數(shù)'=黃分離常數(shù)，由題意，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)建立方程，解之即可.

【解答過程】由y=W=這半=3+吃，

/x-1x-1X-1

而函數(shù)y=三在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y=3+三在(0,+8)上單調(diào)遞減，

又其在(l,m]上的最小值為8,

所以Vmin=ylx=m=3+高=8,解得?n=2.

故選：C.

3.(23-24高一上?寧夏吳忠?期中)己知/'(%)=登

⑴根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)/(%)在區(qū)間(2,+8)上是減函數(shù)

(2)若函數(shù)g(x)=超,XW[3,a](a>3)的最大值與最小值之差為1,求實(shí)數(shù)a的值

【解題思路】(1)VX1,X2€(2,十8)且與<X2,利用作差法證明/"(/)>f@2)即可;

(2)由(1)求出函數(shù)的最值，再根據(jù)題意即可得解.

(解答過程1(1)x2e(2,+8)且%i<x2，

則/(%】)一人小)=濘一X濘-2=(工1J-：2”)(0-2))，

2

因?yàn)閂%i，%2€(2,4~°°)?所以%-2>0,%2—2>0,

又因?yàn)樗裕?/p>

因此/。1)一/(%2)>0，/(%1)>汽N)，

所以〃為在(2,+8)是減函數(shù)；

(2)由(1)可知,g(x)是減函數(shù)，

所以。=3時(shí)，g(x)取得最大值為g(3)=7,

X=Q時(shí)，g(x)取得最小值為g(a)=",

因?yàn)樽畲笾蹬c最小值之差為I,

所以7-笞=1,解得Q=f.

a-24

4.(23-24高一上?浙江杭州?期中)己知函數(shù)f(x)=|x-a|-9aGR)

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間(只需判定單調(diào)區(qū)間，不需要證明)：

(2)設(shè)/(%)在區(qū)間(0,2]上最大值為g(a),求y=g(a)的解析式.

【解題思路】(1)當(dāng)Q=1時(shí)，將函數(shù)/(%)寫為分段函數(shù)的形式，結(jié)合y=x：的單調(diào)性，寫出

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)對a分成。工2,。工0,0<。<2三種情況，結(jié)合函數(shù)/'(X)的解析式，討論函數(shù)的最大值，由此求得g(a)

的解析式.

x———1,%>1

【解答過程】(1)當(dāng)Q=1時(shí)，/(X)=|X-1|--=/，

x1—+-J,x<1且4牛0

當(dāng)”>1時(shí)，易得/(%)=%-：一1單調(diào)遞增；

當(dāng)X41時(shí)，/(幻=1一1+3，

因?yàn)閷春瘮?shù)y=%+:在(-8,-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在(一1.0),(0,1)上單調(diào)遞減，

所以外外在(一1,0),(0,1)上單調(diào)遞漕，

又當(dāng)％=1時(shí)，1一:1=1一(1+3,所以/X%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

綜上,f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),(0,+oo).

(2)因?yàn)閤6(0,2],

當(dāng)6工2時(shí)，x<a,則f(x)=-%—[+a=a—(X+：),

根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2]上單調(diào)遞減，

所以g(a)=f(x)max=fW=a-2；

當(dāng)a<0時(shí),x>a,則/(x)=x-3-a,顯然/(x)在(0,2]上單調(diào)遞增，

所以g(a)=/(x)max=/⑵=；a：

x---a,a<x<2

/1、，

Ia―^x--j,0<x<a

當(dāng)a<%W2時(shí)，fix')=x-：-a單調(diào)遞增，故f(x)max=/(2)>f(a)，

當(dāng)0<xWa時(shí)，/(x)=Q—(x+3),

若aMl時(shí)，則/(x)max=/(a)；若時(shí)，則f(%)max=f(D=a-2;

所以當(dāng)QMl時(shí)，g(a)=f(2)=,—a：

若lVaV2時(shí)，g(a)=max{/(l),/(2)),又/'(1)=a-2,f(2)=1-a,

當(dāng)a—22—Q,即:4aV2時(shí)，g(a)=/(l),

/q

當(dāng)a—2vg-a,即IVQV：時(shí)，g(a)=/(2)；

(a-2,a>\

綜上，g(a)=\37.

《一a.”]

題型6

1.(23-24高一上?北京?期中)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)的是()

A.y=|x|B.y=x3C.y=x2D.y=-3x

【解題思路】利用基本初等函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).

【解答過程】對于A選項(xiàng),設(shè)fG)=|M，該函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(-x)=|-x|=/(x),

所以，函數(shù)y=|%|為偶函數(shù)，且當(dāng)4>0時(shí)，y=x,即函數(shù)y=田在(0,+8)上是增函數(shù)，A不滿足要求;

對于B選項(xiàng)，函數(shù)y=/為奇函數(shù)，一且該函數(shù)在(0,十8)上為增函數(shù)，B不滿足要求；

對于C選項(xiàng)，函數(shù)y=/為偶函數(shù)，且該函數(shù)在(0+8)上為增函數(shù)，C不滿足要求；

對于D選項(xiàng)，函數(shù)y=—3%為奇函數(shù)，且該函數(shù)在(0,+8)上為減函數(shù)，D滿足要求.

故選：D.

2.(2024?西藏?模擬預(yù)測)若函數(shù)/(x)=x—W，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(x+1)-2B./(%-1)-2C.f[x-1)+2D./(x+1)+2

【解題思路】變形得到f(x)=x+l+W-2,從而得到/1)+2=x+：為奇函數(shù)，其他選項(xiàng)不合要求.

【解答過程】因?yàn)?(%)=x-^-=x+1-―7-l=x+l+-^--2,

3?JLX?JL人?JL

所以/(%—1)4-2=%+p

由于g(x)="+(定義域?yàn)?-8,0)U(0,4-00),

又g(r)=_%_：=_g(x)，

故g(x)=x+：為奇函數(shù)，故/(%-1)+2為奇函數(shù)，

其他選項(xiàng)均不合要求.

故選:C.

3.(2024高二上?新疆?學(xué)業(yè)考試)設(shè)函數(shù)/(%)=3|%-a|+|QX-l|,其中a￡R.

(1)若a=1,求/'(k)的最小值；

(2)若a=0,判斷/(%)的奇偶性，并說明理由.

【解題思路】(1)代入后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可得到最小值；

(2)計(jì)算出/?(-%)和/'(T)的關(guān)系即可判斷.

【解答過程】(1)當(dāng)Q=1時(shí)，/-(x)=3|x-l|+|x-l|=4|x-l|,

當(dāng)x<1時(shí)，/(X)=4(1-x)=-4x+4,此時(shí)f(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=4(x-1)=4J-4,此時(shí)單調(diào)遞增，

所以/GOmin=fW=0.

(2)當(dāng)Q=o時(shí)，/(X)=3M4-1,其定義域?yàn)镽,

關(guān)于原點(diǎn)對稱,且/(-%)=3\-x\+1=3|x|+1=/(x),

則/(%)為偶函數(shù).

4.(2024高三.全國.專題練習(xí))已知函數(shù)y=f(%)的定義域?yàn)镽,并且滿足+y)=/(外+/(y),

(1)求人0)的值；

(2)判斷函數(shù)的奇偶性并證明.

【解題思路】(1)利用賦值法即可得到函數(shù)的特殊值；

(2)利用奇偶性的定義，結(jié)合賦值思想即可得出判斷.

【解答過程】(I)令％=y=0,則/(0)=/(0)+/(0),.??/(())=0；

(2)/(%)是奇函數(shù),證明如下:

令),=-x,得/(0)=/(%)+/(-r)=0,

???f(-X)=-/(x),

故函數(shù)/?(%)是R上的奇函數(shù).

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性即可求解.

(解答過程】因?yàn)閒(%)=x3—\xG(—co,0)U(0,x)=—x3+：=—fM，

所以/(%)為奇函數(shù)，

當(dāng)《>0時(shí)，］為減函數(shù)，/為增函數(shù)，故/(%)為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.

故選:B.

2.(2024?安徽合肥?三模)函數(shù)/'(公=寧的圖象大致是()

【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性、在(2,+8)上的單調(diào)性、函數(shù)值/(I)的正負(fù)情況依次判斷和排除ABC,即可

得解.

【解答過程】由題/(外定義域?yàn)?-8,0)1^(0,+8)關(guān)于原點(diǎn)對稱，且八一外二112止1二一曰二一/(%),

-XX

故f(x)是奇函數(shù),故A錯(cuò)；

當(dāng)x>2時(shí)，/(x)=:一』=%

7XXX

又y=x是增函數(shù)，y=-;在(2,+8)上是增函數(shù)，

故/(%)=%-:在(2,+8)上是增函數(shù)，故BC錯(cuò)：

故選：D.

3.<23-24高一上?陜西榆林?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)f(*)=2|x|+x-2.

-

4

3

2

1

I

Q234X

T

-T2

⑴將函數(shù)八外寫成分段函數(shù)的形式并回出其圖象；

(2)寫出函數(shù)/(無)的單調(diào)區(qū)間和值域.

【解題思路】(1)去掉絕對值符號將函數(shù)寫成分段函數(shù)，再畫出函數(shù)圖象;

(2)結(jié)合函數(shù)圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最小值，即可求出函數(shù)的值域.

【解答過程】(1)因?yàn)閨幻=(Yv^°n,

I-X,X<U

所以9=2閉+工一2=之二愛空,

所以/co的圖象如下所示：

4

3

2

(2)由(1)中函數(shù)圖象可知，/(均的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0),

又/(0)=-2,所以/(%)的值域?yàn)椋?2,+8).

4.(23-24高一上?湖北武漢?階段練習(xí))已知y=f(x)為二次函數(shù)，且滿足：對稱軸為％=1J(O)=-3J(3)=

(1)求函數(shù)/(%)的解析式，并求y=/(%)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)：

(2)在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出y=|f(%)|的圖象，并直接寫出函數(shù)y=|/(無)|的單調(diào)增區(qū)間.

【解題思路】(1)設(shè)出二次函數(shù)解析式，根據(jù)條件得到方程組：解得解析式，再計(jì)算頂點(diǎn)即可.

(2)確定函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象得到單調(diào)區(qū)間.

b4

X=---=1

2aa=1

【解答過程】(1)設(shè)函數(shù)為/?(%)=。/+加+式。工0),所以/-(0)=C=—3,解得b=-2,

/(3)=9a+3b+c=0c=-3

所以/(無)=%2一2%-3,所以/(1)二一4,所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4).

x2—2x—3,x6(—oo,-l)U(3,4-oo)

(2)y=\fW\=\X2-2X-3\=

—+2x+3,xE[—1,3]

題型8求幕函數(shù)的函數(shù)值、解析式

1.(23-24高二下.重慶.期末)已知幕函數(shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(3,目，則/(2)=()

A.-4B.-3C.-D.3

4

【解題思路】先用待定系數(shù)法求出幕函數(shù)解析式/(均=%-2,然后直接求出f(2)即可.

【解答過程】設(shè)轅函數(shù)/G)="a，代入點(diǎn)(3,。，

得3=3。，解得a=-2,

所以=

則/(2)=2-2=%

故選：C.

2.(23-24高一下?遼寧本溪?開學(xué)考試)已知幕函數(shù)/(%)的圖象過點(diǎn)(43)，則()

A.fM=^xB./(x)=x~2C./(x)=x-1D./(x)=^x2

【解題思路】設(shè)轅函數(shù)/?(%)=產(chǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可.

【解答過程】設(shè)基函數(shù)/'(x)=xa,將點(diǎn)(4,)代入”X。得4。=￡所以Q=W

所以帚函數(shù)的解析式為/(比)=x4.

故選:B.

3.(23-24高一下?遼寧?階段練習(xí))已知尋函數(shù)/(%)=(m2-2m-2)爐-加2的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)

(1)求/(%)的解析式;

⑵解不等式f(x+1)>f(x-2).

【解題思路】(1)利用箱函數(shù)的定義，結(jié)合圖象特征求出m即得.

(2)由塞函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合奇偶性求解不等式.

【解答過程】(1)由/Xx)是幕函數(shù)，得nt?—2m—2=1,解得m=3或m=-1,

由/(幻的圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，得5-血2V0,則m=3,

所以/(幻的解析式是/(幻=%-4.

(2)顯然函數(shù)/(%)二%一4是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，

不等式/(x+1)>f(x-2)<=>f(\x+1|)>f(\x-2|),

因此0<|x+1|V|%—2|,解得％且無工一1,

所以原不等式的解集為{幻％<3且第豐-1}.

4.(23-24高一上?湖北?期末)已知轅函數(shù)/?(%)=(2m2-eR)為偶函數(shù).

⑴求函數(shù)外幻的解析式；

(2)解關(guān)于x的不等式/(%)-(1+a)x+a<0(aeR).

【解題思路】(1)根據(jù)基函數(shù)定義求出m的值，由偶函數(shù)性質(zhì)求出符合題意的得到解析式；

(2)由一元二次不等式的解法對a分a>1,a=1,a<1三種倩況討論得到不等式的解集.

【解答過程】(1)由題意，因?yàn)?'(X)為某函數(shù)，

所以2m2-m=1,解得m=1或m=

當(dāng)m=l時(shí)，/(x)=x2,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱，

顯然/X-切=〃切成立，故人>)為偶函數(shù)，符合題意;

當(dāng)？n=—:時(shí)，/(x)=x2=G，

此時(shí)/(%)的定義域?yàn)椋?,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故/(%)不是偶函數(shù)，不符合題意.

故函數(shù)/'(%)=/.

(2)因?yàn)閒(x)=/,則不等式等價(jià)于一(1+Q)x+Q工0,即(x—l)(x—Q)W0.

當(dāng)a>1時(shí)，<x<a,不等式的解集為｛%I1<X<a｝；

當(dāng)a=l時(shí)，有％=1,不等式的解集為｛xl無=1｝；

當(dāng)aVI時(shí)，有aWxWl,不等式的解集為｛無IQ4X41｝.

綜上，當(dāng)a>l時(shí)，不等式的解集為｛XI1W%Wa｝；當(dāng)a=l時(shí)，不等式的解集為｛%IX=1｝：當(dāng)aVl時(shí),

不等式的解集為｛"aW%W1｝.

題型9尋函數(shù)的定義域、值域問題

1.(23-24高一上.安徽合肥.期末)已知哥函數(shù)/(%)=/的圖象過點(diǎn)(&多，則下列說法中正確的是()

A.定義域?yàn)?|工00｝B.值域?yàn)镽

C.偶函數(shù)D.減函數(shù)

【解題思路】結(jié)合第函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.

【解答過程】因?yàn)閷ず瘮?shù)/"(外二產(chǎn)的圖象過點(diǎn)(&，￥)，所以(魚片=子,

所以。=一1,所以/(%)="T=：

對A、B：因?yàn)?(X)=%T=3定義域?yàn)椋鹸|%H0｝,值域?yàn)椋鹹|y±O),

故A正確、B錯(cuò)誤；

對C：/且定義域?yàn)榭趦?yōu)工0｝,故/(%)為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤;

對D：/'(久)=：在區(qū)間(―8,0),(0,+8)上單調(diào)遞減，

由/(一2)=-1</⑴=1可知/Q)在定義域上不是減函數(shù)，故D錯(cuò)誤.

故選:A.

2.(23-24裔一上?湖北襄陽?期末)下列函數(shù)中，值域?yàn)?0,+8)的是()

A.f(x)=VxB./(x)=x+i(r>0)

C./(X)=D./(x)=l-i(x>l)

【解題思路】根據(jù)函數(shù)的定義域、’曷函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判

斷即可.

【解答過程】由已知f(x)=正值域?yàn)閇0,+8),故A錯(cuò)誤；

vx>0,/(%)=x+^>2=2,無=1時(shí)，等號成立，所以/(%)=%+>0)的值或是[2,+8),

B錯(cuò)誤;

/?(乃=焉因?yàn)槎x域?yàn)椋ァ?-1,+8),VT+l>0,函數(shù)值域?yàn)?0,+8),故C正確；

/(X)=1—：(x>1),€(0,1),—6(―1,0)?所以/(%)E(0,1),故D錯(cuò)誤.

故選：C.

3.(23-24高一下.上海寶山.期末)已知幕函數(shù)y=/(無)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(41).

(1)求此事函數(shù)的表達(dá)式和定義域；

⑵若/(a+1)Wf(4-2a),求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解題思路】(1)根據(jù)塞函數(shù)定義借助待定系數(shù)法計(jì)算即可得其解析式，計(jì)算即可得其定義域；

(2)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與定義域要求計(jì)算即可得.

【解答過程】(I)設(shè)/(無)=》叫則有4爪=也解得根二一點(diǎn)

故/(x)=xT,B|J/(x)=%4=A,則其定義域?yàn)?0,+8);

(2)由/?(%)=》%，則/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

a+1>0a>-1

故有4-2a>0即aV2,即1工aV2.

a+1>4—2aa>1

4.(23-24高一上?陜西商洛?期中)己知幕函數(shù)/(%)=廣而_2m+3(_2<m<2,mEZ)滿足：

①/(x)在(0,十8)上為增函數(shù)，

②對VxGR,都有/'(一無)-/(x)=0,

求同時(shí)滿足①②的第函數(shù)/(%)的解析式，并求出工€[1,4]時(shí)，f(%)的值域.

【解題思路】利用尋函數(shù)的性質(zhì)及題設(shè)條件可確定外幻表達(dá)式，進(jìn)而確定其在指定區(qū)間上的值域.

【解答過程】因?yàn)?(%)在(0,+8)上為增函數(shù)，所以一瓶2一2血+3>0,解得一3VmVl,

又一2VznV2,mEZ,所以，m=-1或m=0.

又因?yàn)?(一%)=/(%)，所以/(x)是偶函數(shù)，所以一小2-2m+3為偶數(shù).

當(dāng)771=-1時(shí),—771—2?九+3=4滿足題意；當(dāng)m=0時(shí)，—m?—27九+3=3不滿足題意,

所以/a)=%3

又因?yàn)?%)=*4在［1,4］上遞增,所以為爪min=f(1)=1，又因max=f(4)=256,

故［1,4］時(shí),f(x)的值域是［1,256］.

題型10k;^函數(shù)模型的應(yīng)用

1.(2024高一.全國.專題練習(xí))某雜志能以每本1.20元的價(jià)格銷售12萬本，假設(shè)定價(jià)每降低().1元，銷售

量就增加4萬本，要使總銷售收入不低于20萬元，則雜志的價(jià)格最低為()

A.0.5元B.0.8元

C.1元D.1.1元

【解題思路】由題意設(shè)雜志的價(jià)格降低了x個(gè)0.1元，即可確定降價(jià)后的價(jià)格以及賣出的數(shù)量，可得總箱售

收入的表達(dá)式，解不等式即可求得x的范圍，由此可得答案.

【解答過程】設(shè)雜志的價(jià)格降低了『個(gè)0.1元，

則此時(shí)價(jià)格為(1.20-XX0.1)元，賣出(12+較)萬本,

設(shè)總銷售收入為)，萬元，

則y=(1.20-0.1x)(12+4%)=-0.4/+3.6%+14.4,(xGN*),

要使y220,即一0.4/+3.6x+14.4N20,即%2一9%+1440,解得24％W7,

當(dāng);t=7時(shí)，價(jià)格最低，為1.20-57=0.5(元).

故選:A.

2.(23-24高一上?湖南益陽?期末)某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品”力件時(shí)的生產(chǎn)成本為CQ)=x2+4%+16(萬

元)，每件商品售價(jià)為28元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.當(dāng)月所獲得的總利潤用w(x)(萬元)表

示，用遜表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是()

X

A.當(dāng)生產(chǎn)12萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤144萬元

B.當(dāng)生產(chǎn)12萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤160萬元

C.當(dāng)生產(chǎn)4萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為24元

D.當(dāng)生產(chǎn)4萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為16元

【解題思路】求出w(x)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得w(x)的最大值及其對應(yīng)的工的值，求出手

的表達(dá)式，利用基本不等式可求得留2的最大侑及其對應(yīng)的工的俏，即可出結(jié)論.

【解答過程】由題意可得w（x）=28x—（?（%）=—x24-24%—16=—（%—12）2+128,

故當(dāng)％=12時(shí)，w（x）取得最大值128,

盤=^^=24-6+竺）工24-2平=16,

XX\X/yJX

當(dāng)且僅當(dāng)％=4時(shí)，等號成立，

因此，當(dāng)生產(chǎn)12萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得最大總利潤128萬元，

當(dāng)生產(chǎn)4萬件時(shí)，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為16元.

故選：D.

3.（23-24高一上.河北石家莊.期末）據(jù)國家氣象局消息，今年各地均出現(xiàn)了極端高溫天氣.漫漫暑期，某

制冷杯成了暢銷商品.某企業(yè)生產(chǎn)制冷杯每月的成本（單位：萬元）由兩部分構(gòu)成：①固定成才（與生產(chǎn)

產(chǎn)品的數(shù)最無關(guān)）：20萬元；②生產(chǎn)所需材料成本：（10%+總）萬元，x（單位：萬套）為每月生產(chǎn)產(chǎn)品的

套數(shù).

（1）該企業(yè)每月產(chǎn)量不為何值時(shí)，平均每萬套的成本最低?一萬套的最低成本為多少？

（2）若每月生產(chǎn)％萬套產(chǎn)品，每萬套售價(jià)為：（30+萬元，假設(shè)每套產(chǎn)品都能夠售出，則該企業(yè)應(yīng)如何制定

計(jì)劃，才能確保該制冷杯每月的利潤不低于625萬元？

【解題思路】（1）根據(jù)題意，可知平均每套所需的成本費(fèi)用為y=§+合+10,再利用基本不等式即可求

出結(jié)果：

（2）由題意可知月利潤P=1+20%-20,解一元二次不等式1+20x—202520即可求出結(jié)果.

20zO

【解答過程】（1）設(shè)平均每套的成本為y元，

由題有'=巴吧蜷=丑+合+1022的+10=12,

'xx20yjx20

當(dāng)且僅當(dāng)空=左，即％=20時(shí)，取等號，

X20

所以企業(yè)每月產(chǎn)量20萬套時(shí)，平均每萬套的成本最低，一萬套的最低成本為12萬元.

（2）設(shè)月利潤為P萬元，

則有p=X（3O+^）-10x--20=^+20x-20,

由題知葛+20%一20N625，整理得到7+400%—430x30之0，解得八30,

所以，該企業(yè)每月生產(chǎn)不小于30萬套，才能確保該制冷杯每月的利潤不低于625萬元.

4.（23-24高一下?湖北?開學(xué)考試）某甜品店今年年初花費(fèi)21萬元購得一臺新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可

為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用％年aeN")所需的總維護(hù)費(fèi)用為/+2%萬元.

⑴該甜品店第幾年開始盈利？

(2)若干年后，該甜品店計(jì)劃以2萬的價(jià)格賣出設(shè)備，有以下兩種方案：

①當(dāng)年平均盈利最大時(shí)賣出；

②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大時(shí)賣出；

試問哪一方案較為劃算？說明理由.

【解題思路】(I)表達(dá)出為年后所得總利潤、=一%2+10工-21,解不等式，求出答案；

(2)設(shè)方案①的年平均利潤為wQ),表達(dá)出w(x)=—(%+§)+10,由對勾函數(shù)單調(diào)性求出最大值，再求

出方案②的總利潤，比較后得到結(jié)論.

【解答過程】(1)設(shè)該甜品店工生后所得總利潤為y萬元，

則)，=12x-(x2+2x)-21=-x2+10x-21,

若開始盈利即y>0,

???一/+10%-21>0,解得3Vx<7,

???第四年開始盈利.

(2)方案①：設(shè)年平均利潤為w(x),

則w(x)=(=一1+§)+10,

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得W(X)在XG(0,⑸)上單調(diào)遞增，XG(同,+m)上為單調(diào)遞減.

又XWN',4<5,

%=4時(shí)，w(4)=4年總利潤為3萬元，

4

%=5時(shí)，w(5)=g,5年總利潤為4萬元，故選擇第5年賣出，

方案②：y=-X2+10x-21=~(x-5)2+4,'max=4,

即x=5時(shí)總利潤最大為4萬元，

故選擇方案一或方案二是一樣的，最終都是在無=5即第5年總利潤達(dá)到最大值4萬元,

加上賣設(shè)備的2萬元，一共6萬元利潤.

題型111分段函數(shù)模型的應(yīng)用

1.(23-24高二下?北京朝陽?期末)某研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，一次性服藥￡(0<t<12)小時(shí)后每亳

升皿液中的含藥量y(亳克)與時(shí)間t(小時(shí))之間近似滿足圖中所示的曲線關(guān)系.據(jù)測定，每毫升血液中含

藥量不少于4亳克時(shí)治療疾病有效，則12小時(shí)內(nèi)藥物在體內(nèi)對治療疾病一直有效所持續(xù)的時(shí)長為（）

八一毫克）

:）

R5i2?小時(shí)）

A.4小時(shí)B.5小時(shí)C.6小時(shí)D.7小時(shí)

【脩題思路】首先求出函數(shù)解析式，再令yz4求出相應(yīng)的￡的取值范圍，即可得解.

【解答過程】當(dāng)0W￡W3時(shí)，則廠界二23

當(dāng)3V￡412時(shí)，設(shè)函數(shù)為、=比+6,

2

將（3,6）,（12,0）代入可得二老甘/解得"二一三，所以y=—“+8,