離散型隨機(jī)變量【11大題型】（原卷版）-2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版選擇性必修第三冊(cè)）

離散型隨機(jī)變量【11大題型】

------------------目錄

A題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)..................................................

題型二、隨機(jī)變量分布列與概率綜合..............................................2

題型三、重復(fù)隨機(jī)事件...........................................................4

題型四、分配問(wèn)題...............................................................5

題型五、競(jìng)賽問(wèn)題...............................................................6

題型六、摸球問(wèn)題..............................................................10

題型七、兩點(diǎn)分布..............................................................11

題型八、圖表型................................................................11

題型九、函數(shù)型................................................................13

題型十、數(shù)列型................................................................15

題型十一、離散型隨機(jī)變量數(shù)字特征及其應(yīng)用.....................................16

B綜合攻堅(jiān)?能力躍升

題型建模?專項(xiàng)突破

題型一、隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P（＞=i）=h（，=123,4）,則。=（）

A.—B.—C.—D.-7

241064

2.已知隨機(jī)變量X的取值為1,2,3,若尸（X=1）=P（X=3）=；,則P（X=2）=（）

A.；B.-C.YD.—

4324

3.（多選）若離散型隨機(jī)變量X的分布列如卜表所示，則卜.列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

X01

P9c2-c3-8。

A.常數(shù)c的值為彳2或;1B.常數(shù)。的值為:

?J2

1/27

i2

c.p(y=o)=-D.p(x=o)=§

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，若隨機(jī)變量y二|x-2|,則P(y=2)=.

X01234

P0.10.20.103m

5.己知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：若離散型隨機(jī)變量y=2X+l,則P(Y25)=

X0123

\_

pa5a

36

6.已知隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為尸(X=")=湍D(〃=l，2,3,4),其中。為常數(shù)，則

題型一?、隨機(jī)變量分布列與概率綜合

7.一批產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為〃.如果

〃=3,再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)：如果〃=4,再?gòu)倪@批產(chǎn)品

中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn).假設(shè)這批

產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為0.5,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.

⑴求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率：

(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用

記為X(單位：元)，分別求P(T=400)和P(￥=500).

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8.某種量子加密技術(shù)所用光子有兩種指向："0指向”和"1指向〃，光子的發(fā)送和接收都有48兩種模式.當(dāng)

發(fā)送和接收模式相同時(shí)，檢測(cè)器檢測(cè)到的光子指向信息與發(fā)送信息一致，否則檢測(cè)出相異的指向信息.現(xiàn)發(fā)

射器以A模式，從兩個(gè)“1指向”、兩個(gè)"0指向〃的光子中隨機(jī)選擇兩個(gè)依次發(fā)送，接收器每次以力或者B模

式接收，其概率分別為:和|?每次發(fā)送和接收相互獨(dú)立.

⑴求發(fā)射器第1次發(fā)送“0指向”光子的條件下，第二次發(fā)送“1指向”光子的概率；

⑵記發(fā)射器共發(fā)射“0指向”光子個(gè)數(shù)為X,求X的分布列.

9.小華忘記了自家的智能門(mén)鎖的數(shù)字密碼，但記得大致范圍，他決定嘗試輸入密碼解鎖.該門(mén)鎖允許最多嘗

試3次，一旦輸入正確，門(mén)立即打開(kāi)：若連續(xù)3次都錯(cuò)誤，門(mén)鎖將自動(dòng)鎖定一段時(shí)間，不再接受愉入.根據(jù)

小華的記憶，他每次猜對(duì)密碼的概率依次為0.5,0.6,0.7,且每次嘗試是否成功相互獨(dú)立.

⑴設(shè)隨機(jī)變量X表示小華實(shí)際嘗試輸入密碼的次數(shù)，求X的分布列：

⑵求小華在門(mén)鎖被鎖定前成功打開(kāi)門(mén)的概率；

⑶若已知小華在門(mén)鎖被鎖定前成功打開(kāi)門(mén)，求他第3次嘗試才猜對(duì)密碼的概率.

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題型三、重復(fù)隨機(jī)事件

10.甲、乙兩人玩擲骰子游戲，每局兩人各隨機(jī)擲一次骰子，當(dāng)兩人的點(diǎn)數(shù)之差為偶數(shù)時(shí).視為平局，當(dāng)

兩人的點(diǎn)數(shù)之差為奇數(shù)時(shí)，誰(shuí)的骰子點(diǎn)數(shù)大該局誰(shuí)勝.重復(fù)上面的步驟，游戲進(jìn)行到一方比另一方多勝2

局或平局4次時(shí)停止，記游戲停止時(shí)局?jǐn)?shù)為X次，則尸(X=4)=()

A.±B.Ac.AD.獸

16326464

11.小明設(shè)計(jì)了一款虛擬甩子射擊游戲，游戲規(guī)則如下：參與者手持一把彈槽數(shù)為5的左輪手槍來(lái)射擊目

標(biāo)，在任意一個(gè)彈槽內(nèi)裝填一顆子彈，然后隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)左輪使其中一個(gè)彈槽對(duì)準(zhǔn)槍口開(kāi)槍射擊，規(guī)定：若該

彈槽有子彈則一定能擊中目標(biāo)，若該彈槽為空槽則子彈射擊不出去，從而無(wú)法擊中目標(biāo).一次射擊結(jié)束后，

若未能擊中目標(biāo)，則隨機(jī)在剩余的任意一個(gè)空彈槽內(nèi)裝填一顆子彈，并隨機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)左輪使其中一個(gè)彈槽對(duì)準(zhǔn)

槍口重復(fù)射擊，直至擊中FI標(biāo)為止.已知轉(zhuǎn)動(dòng)到任意槽位的概率均相等，且在所有彈槽內(nèi)填滿子彈就一定能

擊中目標(biāo)，記參與者擊中目標(biāo)共需要射擊X次.

⑴求P(X=1)和P(X=2)的值；

。)求”的所有可能取值：

⑶求X的分布列.

12.為進(jìn)一步加強(qiáng)未成年人心理健康教育，如皋市教育局決定在全市深入開(kāi)展“東皋大講堂〃進(jìn)校園心理健康

教育宣講活動(dòng)，為了緩解高三學(xué)生壓力，高三年級(jí)某班級(jí)學(xué)生在開(kāi)展“東皋大講堂”過(guò)程中，同座兩個(gè)學(xué)生之

間進(jìn)行了一個(gè)游戲，甲盒子中裝有2個(gè)黑球1個(gè)白球，乙盒子中裝有3個(gè)白球，現(xiàn)同座的兩個(gè)學(xué)生相互配

合，從甲、乙兩個(gè)盒子中各取一個(gè)球，交換后放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)進(jìn)行〃次這樣的操作，記甲盒子中

黑球的個(gè)數(shù)為X”，恰好有2個(gè)黑球的概率為％,恰好有1個(gè)黑球的概率為2.

⑴求第二次操作后，甲盒子中沒(méi)有黑球的概率；

⑵求X3的概率分布和數(shù)學(xué)期望刈七).

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題型四、分配問(wèn)題

13.今年雷鋒日，某中學(xué)從高中三個(gè)年級(jí)中選派4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)雷鋒志愿者，學(xué)生的名額分配如

下：

高一年級(jí)高二年級(jí)高三年級(jí)

10人6人4人

⑴若從20名學(xué)生中選出3人參加文明交通宣傳，記X為抽取的3人中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X

的分布列；

⑵若將4名教師安排到三個(gè)年級(jí)（假設(shè)每名教師加入各年級(jí)是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立

的），記安排到高一年級(jí)的教師人數(shù)為求隨機(jī)變量g的分布列.

14.2022年12月初某省青少年乒乓球培訓(xùn)基地舉行了混雙選拔賽，其決賽在韓菲/陳宇和黃政/孫藝兩對(duì)組

合間進(jìn)行，每場(chǎng)比賽均能分出勝負(fù).已知本次比賽的贊助商提供了10000元獎(jiǎng)金，并規(guī)定：①若其中一?對(duì)

贏的場(chǎng)數(shù)先達(dá)到4場(chǎng)，則比賽終止，同時(shí)這對(duì)組合獲得全部獎(jiǎng)金；②若比賽意外終止時(shí)無(wú)組合先贏4場(chǎng)，

則按照比賽繼續(xù)進(jìn)行各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比給兩對(duì)組合分配獎(jiǎng)金.已知每場(chǎng)比賽韓菲/陳宇組合贏的

概率為黃政/孫藝贏的概率為1-p,且每場(chǎng)比賽相互獨(dú)立.

⑴若在已進(jìn)行的5場(chǎng)比賽中韓菲/陳宇組合贏3場(chǎng)、黃政/孫藝組合贏2場(chǎng)，求比賽繼續(xù)進(jìn)行且韓菲/陳宇組

合贏得全部獎(jiǎng)金的概率/（P）;

⑵若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)時(shí)終止（含自然終止與意外終止），則這5場(chǎng)比賽中兩對(duì)組合之間的比賽結(jié)果共有多少

不同的情況？

⑶若比賽進(jìn)行了5場(chǎng)時(shí)終止（含自然終止與意外終止），設(shè)夕二若贊助商按規(guī)定頒發(fā)獎(jiǎng)金，求韓菲/陳宇

組合獲得獎(jiǎng)金數(shù)X的分布列.

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15.已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定感染者.

血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為感染者，呈陰性即為健康.

（1）若從這6名密切接觸者中隨機(jī)抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化驗(yàn)確定感染者的方法有：①逐一化驗(yàn)：②分組混合化驗(yàn)：先將血液分成若干組，對(duì)組內(nèi)血液

混合化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，則對(duì)該組的備份血液逐一化驗(yàn),

直至確定感染者.

（/）采取逐一化驗(yàn)，求所需檢驗(yàn)次數(shù)4的數(shù)學(xué)期望；

（//）采取平均分組混合化驗(yàn)（每組血液份數(shù)相同），依據(jù)所需化驗(yàn)總次數(shù)的期望，選擇合理的平均分組方

案.

題型五、競(jìng)賽問(wèn)題

16.甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽中甲勝乙的概率為

⑴采取五局三勝制（在不超過(guò)5局比賽中先累計(jì)勝3局者贏得比賽，比賽結(jié)束）

（I）求一場(chǎng)比賽中，甲以3:2的比分贏得比賽的概率；

（ii）求一場(chǎng)比賽中（不一定打滿5局），甲最終贏得比賽的概率；

⑵判斷“五局三勝制〃和“三局兩勝制J〃哪一種賽制對(duì)乙贏得比賽更有利？說(shuō)明理由.

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17.DccpScck是由中國(guó)杭州的DccpScck公司開(kāi)發(fā)的人工智能模型，其技術(shù)在多領(lǐng)域有著普惠應(yīng)用.為提高

De叩Seek的應(yīng)用能力，某公司組織全體員工參加DeepSeek培訓(xùn).培訓(xùn)結(jié)束之后，公司舉行了一次DeepSeek

專業(yè)知識(shí)比賽，比賽分為預(yù)賽與決賽，預(yù)賽通過(guò)后才能參加決賽預(yù)賽從8道題中隨機(jī)抽取4道作答，答對(duì)3

道及以上則進(jìn)入決賽，否則被淘汰.

⑴若這8道題中甲能答對(duì)其中5道，計(jì)算甲進(jìn)入決賽的概率；

(2)已知甲進(jìn)入了決賽，決賽需要回答3道題目，若全部答對(duì)則獲得一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)300元；若答對(duì)2道題目

則獲得二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)150元；若答對(duì)1道題目則獲得三等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)勵(lì)50元；若全部答錯(cuò)則沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì).若甲答

2

對(duì)每道題目的概率均為且每次答題相互獨(dú)立，設(shè)甲獲得獎(jiǎng)金為4,求4的分布列及數(shù)學(xué)期望.

18.甲、乙兩名選手進(jìn)行象棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一

直到一方比另一方多2分為止，多得2分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為。，乙獲勝的

概率為〃，雙方平局的概率為C(Q+/)+C=1M>02>0,c>0),且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

(1)若。=力=。,求甲選手恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率.

⑵若c=0,且比賽最多進(jìn)行5局.比賽結(jié)束時(shí)的比賽局?jǐn)?shù)為X，

(i)求X的分布列(用字母表示)；

(ii)求￡￥的最大值.

2

19.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行乒乓球匕賽，已知每局比賽相互獨(dú)立，且每局比賽甲獲勝的概率均為。，乙獲勝

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的概率均為§.

⑴若比賽為三局兩勝制，設(shè)比賽結(jié)束時(shí)比賽場(chǎng)次為x.求x的分布列;

⑵若比賽為五局三勝制，已知甲最終獲勝了,求在此條件下進(jìn)行了5局比賽的概率.

20.如圖，甲、乙準(zhǔn)備玩跳格子游戲，規(guī)則如下：每一輪游戲先進(jìn)行成語(yǔ)接龍，獲勝的人等可能地前進(jìn)1

格或2格，失敗的人原地不動(dòng)，一輪游戲結(jié)束.在成語(yǔ)接龍中，甲獲勝的概率為沒(méi)有平局，且每輪比

賽的結(jié)果都相互獨(dú)立.

第6格

>5^

第4格

第3格

甲乙

⑴求第1輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)2格的概率;

(2)求第2輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)的樣數(shù)比乙前進(jìn)的格數(shù)大的概率;

⑶若第3輪游戲結(jié)束，甲前進(jìn)的格數(shù)與乙前進(jìn)的格數(shù)之和為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

21.2025年9月20日川超聯(lián)賽正式開(kāi)幕，現(xiàn)在涼山好醫(yī)生隊(duì)主教練已經(jīng)圈定50人大名單，在進(jìn)一步選拔

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隊(duì)員時(shí)就規(guī)定：每位隊(duì)員有3次發(fā)直接任意球機(jī)會(huì)，若發(fā)中2次或3次，則測(cè)試通過(guò)，若沒(méi)有通過(guò)測(cè)試，

則需進(jìn)行加發(fā)任意球訓(xùn)練，每人發(fā)10次.已知甲隊(duì)員每次發(fā)中的概率為g且每次是否發(fā)中相互獨(dú)立.

⑴求甲隊(duì)員通過(guò)測(cè)試的概率；

2

⑵芳乙隊(duì)員每次發(fā)中的概率為§且每次是否發(fā)中相互獨(dú)立.設(shè)經(jīng)過(guò)測(cè)試后，甲、乙兩位隊(duì)員需要進(jìn)行任意

球訓(xùn)練的次數(shù)之和為％,求x的所有情況及對(duì)應(yīng)的概率.

22.第33屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行.為舉行這場(chǎng)體育盛會(huì)，

某社區(qū)決定舉辦一次奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，要求每組參賽隊(duì)伍由兩人組成，競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽，其

中預(yù)賽規(guī)則如下：

①每組隊(duì)伍先從48兩類問(wèn)題中選擇一類，并由兩位選手從各隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，答錯(cuò)的選手本輪競(jìng)

賽結(jié)束；答對(duì)的選手再?gòu)牧硪活悊?wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行回答，無(wú)論答對(duì)與否，該選手本輪競(jìng)賽結(jié)束;

②若在本輪競(jìng)賽中每組隊(duì)伍的兩名選手合計(jì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)不少于3個(gè)，則可進(jìn)入決賽.

市民甲與乙組成“夢(mèng)幻”隊(duì)參加了這次競(jìng)賽，已知甲答對(duì)/類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.7,答對(duì)B類中每個(gè)問(wèn)

題的概率均為0.5,乙答對(duì)4類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.4,答對(duì)8類中每個(gè)問(wèn)題的概率均為0.8.

⑴芳“夢(mèng)幻〃隊(duì)先回答/類問(wèn)題，記X為"夢(mèng)幻〃隊(duì)答對(duì)問(wèn)題的個(gè)數(shù)，求X的分布列；

⑵為使“夢(mèng)幻〃隊(duì)進(jìn)入決賽的概率最大，"夢(mèng)幻”隊(duì)?wèi)?yīng)選擇先I可答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

23.如果隨機(jī)變量（XJ）全部可能取到的值是有限的或者可列無(wú)限多對(duì)的，那么我們就稱（XJ）是二維離散

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型的隨機(jī)變量.甲、乙兩人參加一次知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽過(guò)程有一輪撿答環(huán)節(jié)，共有三題供甲、乙二人搶答.已知

2

甲、乙搶到每題的概率相等，且搶到每題與否相互獨(dú)立.在搶到任意一題后，甲、乙答對(duì)的概率分別為5和

［對(duì)于每一個(gè)題，搶到題并回答正確的得1分，沒(méi)搶到題的得。分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分(即得T

分)，三題搶答結(jié)束后，得分高者獲勝(每題都有人搶答).記這次比賽中，甲、乙得分?jǐn)?shù)分別為x,y,(X,y)

是二維離散型隨機(jī)變量.把(x,y)所有可能的取值，和取這些值的概率畫(huà)在一張表中，這張表為二維離散型

隨機(jī)變量(工丫)的分布列.

Y-3-2-10123

X

-3P(-3,-3)P(-3,-2)2-3陽(yáng)A-3.1)WP(T3)

P(-2.-3)P(-2,-2)P(-2.O)P⑷)

-2々-21)々々J)p四

-1%7)P(-"2)%。)%」)%3)

0P(0.-3)P(o，F(xiàn)P(o.o)P(OJ)Pg)*

｛】「P(I.O)P(I3)

1P3)巴「1)Pg

2P(2T)gP(2.0)弧%2)生.3)

3P(3TPUT43T心)Pg)Pg)

其中P(fj)=P(X-

(1)求P(2.0)，P(2,f；

⑵求P(1—1|X=2)；

⑶已知隨機(jī)事件X=0發(fā)生了，求隨機(jī)變量Y的分布歹U.

題型六、摸球問(wèn)題

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24.一個(gè)不透明的口袋中裝有3個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)白球，這些球除顏色外其他完全相同，現(xiàn)從這個(gè)口

袋中一次性地摸出3個(gè)球.

⑴求摸出的白球個(gè)數(shù)比黃球個(gè)數(shù)多的概率；

⑵記摸出的球的顏色種類為X,求X的分布列.

25.已知一個(gè)大盒子內(nèi)裝有6個(gè)黃乒乓球，x（2WxW8）個(gè)白乒乓球.

⑴甲乙兩人從盒中進(jìn)行隨機(jī)摸球游戲：甲，乙兩人輪流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到兩人中

有一人摸到白乒乓球時(shí)游戲結(jié)束，每次摸出的小球均不再放回.當(dāng)x=2時(shí)，

（i）求乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率；

（ii）記€表示游戲結(jié)束時(shí)甲摸球的次數(shù)，求彳的分布列.

⑵整理盒中小球時(shí)，需將所有乒乓球排成一排，要求每個(gè)黃乒乓球至少與另一個(gè)黃乒乓球相鄰.記不超過(guò)3

個(gè)黃乒乓球排在一起的概率為P，若吟,求x的最小值.

26.一個(gè)抽獎(jiǎng)箱中有10個(gè)球，其中3個(gè)紅球，4個(gè)黃球，3個(gè)藍(lán)球.從箱中隨機(jī)摸出一個(gè)球，根據(jù)顏色獲

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得相應(yīng)獎(jiǎng)金：紅球10元，黃球5元，藍(lán)球1元.定義隨機(jī)變量郎為獲得的獎(jiǎng)金數(shù)額.

⑴求隨機(jī)變量力的概率分布列.

⑵求w的累積分布函數(shù)廠（M,并畫(huà)出其圖象.

⑶計(jì)算P（沙<6）和尸（2<%410）.

27.一口袋中裝有10個(gè)小球，其中標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各兩個(gè)，這些小球除數(shù)字外其余均相同.

⑴某人從中一次性摸出4個(gè)球，設(shè)事件月"摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)數(shù)字是5〃，事件4“摸出的4個(gè)球中

恰有兩個(gè)數(shù)字相同”；分別求事件力和事件8的概率；

⑵現(xiàn)有一游戲，游戲規(guī)則是：游戲玩家每次有放回地從袋中隨機(jī)摸出一球，若摸到5號(hào)球，則游戲結(jié)束；

否則繼續(xù)摸球，當(dāng)摸到第〃（〃之2）個(gè)球時(shí)，無(wú)論摸出的是幾號(hào)球游戲都結(jié)束.設(shè)X表示摸球的次數(shù)

（i<y<?,yey*）,求隨機(jī)變量x的期望，并比較期望與i的大小.

題型七、兩點(diǎn)分布

12/27

28.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且尸仔=1)=0.28,設(shè)〃=1-3久則P("=1)=()

A.0.72B.0.28C.0.16D.0.84

29.若X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=l)=7P(X=0),則P(X=0)=()

A.--B.—C.-D.—

81284

I70

30.已知隨機(jī)變量x,y均服從兩點(diǎn)分布，且P(X=I)=E，p(r=i)=-,若夕(x=i,y=i)=w，則

P(K=I|%=O)=()

238

A.—B.—C.—D.—

551515

31.已知隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)=0.4,若y=3X-2,則P(y=l)=.

32.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列服從兩點(diǎn)分布，且P(X=0)+4P(X=l)=3,則P(X=0)=.

33.已知一批200件的待出廠產(chǎn)品中，有1件不合格品，現(xiàn)從中任意抽取2件進(jìn)行檢查，若用隨機(jī)變最X

表示抽取的2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求X的分布列.

題型八、圖表型

13/27

34.某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)試，分別得到如圖1所

示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖.

八頻率/組距八頻率/組距

0.030-------------0.032--------------

O2—0.028-------------

O.O20

O.O190.020----------T-

.O0.016------1—

0.006

0.0040.004—1-

寂Him成績(jī)分O05060708090成績(jī)辦

圖1圖2

⑴根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，能否判斷強(qiáng)化訓(xùn)練后跳水隊(duì)成績(jī)有提高？試選用兩種數(shù)字特征加以比較并說(shuō)明理由.

(2)規(guī)定學(xué)員得分80分以上(含80分)的為“優(yōu)秀學(xué)員〃，低于80分的為“非優(yōu)秀學(xué)員〃，現(xiàn)采取分層隨機(jī)抽

樣的方式，從強(qiáng)化訓(xùn)練后的跳水隊(duì)中優(yōu)秀與非優(yōu)秀學(xué)員中共抽取5名，從這5名學(xué)員中隨機(jī)選出3人，求

選出這3名隊(duì)員中優(yōu)秀人數(shù)X的分布列.

35.某品牌汽車計(jì)劃推出兩款新型車，純電動(dòng)(EV｝和插混電動(dòng)版(PHEV),為了解某市將來(lái)市場(chǎng)情況，在該

14/27

市潛在消費(fèi)群體中抽取200人進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)意愿調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)按收入水平分組如下表（單位：人）

低收入群體（收入＜20中收入群體（收入20萬(wàn)元高收入群體（收

車型

萬(wàn)元/年）-50萬(wàn)元/年）入＞50萬(wàn)元/年）

愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意

EV502040403020

PHEV254540403515

假設(shè)所有潛在消費(fèi)者的購(gòu)買(mǎi)意愿都是相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.

⑴在該市汽車潛在消費(fèi)者中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其愿意購(gòu)買(mǎi)純電動(dòng)（EV）的概率p；

⑵從該市潛在消費(fèi)者的中收入群體中隨機(jī)抽取2人，在高收入群體中隨機(jī)抽取1人，記X為3人中愿意購(gòu)

買(mǎi)純電動(dòng)（EV）汽車的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑶若該市。社區(qū)中汽車潛在消費(fèi)者低收入群體、中收入群體、高收入群體的人數(shù)之比為1：4：2,從該社

區(qū)隨機(jī)抽取1人，其愿意購(gòu)買(mǎi)純電動(dòng)（EV）汽車的概率設(shè)為幺，試比較〃和P”的大小.

36.在統(tǒng)計(jì)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用中，除了中位數(shù)外，常用的分位數(shù)還有笫25百分位數(shù)（即下四分位數(shù)）與笫75

15/27

百分位數(shù)（即上四分位數(shù)）.四分位數(shù)常應(yīng)用于繪制統(tǒng)計(jì)學(xué)中的箱型圖，即把所有數(shù)值由小到大排列，并分

成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)的數(shù)值就是四分位數(shù)；箱型圖中“箱體”的下底邊對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為下四分位數(shù)，上底

邊對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為上四分位數(shù)，中間的線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)為中位數(shù)，如圖1所示.已知48兩個(gè)班級(jí)人數(shù)相同,

在一次測(cè)試中兩個(gè)班級(jí)的成績(jī)箱型圖如圖2所示.

分?jǐn)?shù)，

1AAJ「上邊緣

一上四分位數(shù)150

80-一中位數(shù)120

—工90

卜四分位數(shù)

60-60

下邊緣30

40-一

力班B班班級(jí)

圖1圖2

⑴求A班成績(jī)的上四分位數(shù)和B班成績(jī)的中位數(shù);

⑵據(jù)統(tǒng)計(jì)，兩個(gè)班級(jí)中高于140分的共8人，其中4班3人，/?班5人，從中抽取3人作學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享,

設(shè)這3人中來(lái)自8班的人數(shù)為X,求X的分布列.

⑶在兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，若該生的分?jǐn)?shù)大于120分，求該生來(lái)自4班和8班的概率分別是多

少？

16/27

題型九、函數(shù)型

2

37.一個(gè)盒子中裝有六張卡片，上面分別寫(xiě)著如下六個(gè)定義域?yàn)椤ǖ暮瘮?shù)：1(x)=x,f2(x)=x,

=,/；(x)=sinx,4x)=cosx,f6(x)=2\x\+\.現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡片并判函數(shù)的奇偶性，每

次抽出后均不放回，若取到一張寫(xiě)有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，設(shè)抽取次數(shù)為X,則X<3

的概率為.

38.某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門(mén)選修課，學(xué)生選修哪門(mén)課互不影響.已知學(xué)生小張只選甲的概率為0.08,只選

甲和乙的概率為0.12,至少選一門(mén)課的概率為0.88,用彳表示小張選修的課程數(shù)量和沒(méi)有選修的課程數(shù)量的

乘積.

⑴求學(xué)生小張選修甲的概率.

⑵記“函數(shù)/'(力=/+欠為R上的偶函數(shù)”為事件人求事件彳的概率.

⑶求4的分布列.

17/27

39.已知某地居民某種疾病的發(fā)病率為0.02,現(xiàn)想通過(guò)對(duì)血清甲胎蛋白進(jìn)行檢驗(yàn)，篩查出該種疾病攜帶者.

⑴若該檢測(cè)方法可能出錯(cuò)，具體是：患病但檢測(cè)顯示正常的概率為0.01,未患病但檢測(cè)顯示患病的概率為

0.05.

①求檢測(cè)結(jié)果顯示患有該疾病的概率；

②求檢測(cè)顯示患有該疾病的居民確實(shí)患病的概率.（保留四位有效數(shù)字）

⑵若該檢測(cè)方法不可能出錯(cuò)?，采用混合化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按攵人一組分組，然后將々個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn),

如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這4人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次（每一

小組都要按要求獨(dú)立完成），左取何值時(shí)，總化驗(yàn)次數(shù)最少？

說(shuō)明：函數(shù)/（》）=’-0.98?>0）先減后增.

X

0.9860.9870.98K0.989

0.88580.86810.85080.8337

17

40.一個(gè)盒子裝有10張卡牌，卡牌背面分別寫(xiě)著10個(gè)函數(shù)：J.=x12+-,乃=工+—,%=sin2x,

2x

1-1,、111

y=cos-x,必二tan2x,^=-—,y=logx,y=2x+-y=~,J=--.

4261+272s2t9x2lo

⑴現(xiàn)從盒子中逐一抽取卡牌，且每次抽出后均不放回，若取到一張記有奇函數(shù)的卡牌則停止抽取，否則繼

續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)X的分布列：

⑵現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個(gè)新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；

⑶甲乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：甲先抽1張，接著乙和甲輪流每次抽兩張，抽完為卡（最后一次乙只能抽1

張）.過(guò)程中誰(shuí)先抽到常數(shù)函數(shù)卡牌誰(shuí)就贏（同時(shí)游戲結(jié)束）.問(wèn)：這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)乙而言公平嗎？若公平,

請(qǐng)說(shuō)明理由：若不公平，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一款對(duì)甲乙均公平的比賽規(guī)則.

18/27

41.某醫(yī)藥開(kāi)發(fā)公司實(shí)驗(yàn)室有n(neN.)瓶溶液，其中M〃?wN)瓶中有細(xì)菌R,現(xiàn)需要把含有細(xì)菌R的溶液

檢驗(yàn)出來(lái)，有如下兩種方案：

方案一：逐瓶檢驗(yàn)，則需檢驗(yàn)〃次；

方案二：混合檢驗(yàn)，將〃瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果不含有細(xì)菌R,則〃瓶溶液全部不

含有細(xì)菌R：若檢驗(yàn)結(jié)果含有細(xì)菌R,就要對(duì)這〃瓶溶液再逐瓶檢驗(yàn)，此時(shí)檢驗(yàn)次數(shù)總共為“+L

(1)假設(shè)〃=5,〃?=2,采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定哪兩瓶溶液含有細(xì)菌R的概率；

⑵現(xiàn)對(duì)〃瓶溶液進(jìn)行檢驗(yàn)，己知每瓶溶液含有細(xì)菌氏的概率均為「(0WF41).

若采用方案一.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為殳若采用方案二.需檢驗(yàn)的總次數(shù)為〃.

⑺若27的期望相等.試求產(chǎn)關(guān)于〃的函數(shù)解析式P=/(〃)；

㈤若p=]_e±且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望?求〃的最大值.

參考數(shù)據(jù)：In2?0.69,In3?1.10,In5?1.61,In7?1.95

題型十、數(shù)列型

42.設(shè)離散型隨機(jī)變量J的取值為1,2,3,99,且』(設(shè)=&)=。痣=1,2,3,.?,99),則()

A.當(dāng)數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列時(shí),牝。$

1

B.數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式可能為%=9(?+g)

C.當(dāng)數(shù)列｛4｝滿足4=L…,98)時(shí)，。「生…須二白？

D.當(dāng)數(shù)列｛4｝滿足尸(/小血(〃=1,2,…,99)時(shí)，叫=稱

19/27

43.某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)特舉辦了一次籃球投籃比賽活動(dòng)，現(xiàn)已知?jiǎng)⑾柰瑢W(xué)每次投籃投中的概率為1,

投不中的概率為］為激勵(lì)學(xué)生運(yùn)動(dòng)的枳極性，規(guī)定：投中一次得2分，投不中得1分.劉翔同學(xué)投籃若干次,

4

每次投中與否互不影響，各次得分之和作為最終得分.

⑴若投籃2次，最終得分為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望；

(2)設(shè)最終得分為〃的概率為匕，證明：數(shù)列｛勺.「勺｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式.

44.2025年12月1日全面實(shí)施電動(dòng)車新國(guó)標(biāo)的相關(guān)規(guī)定，全面禁售舊國(guó)標(biāo)車，聚焦車輛安全性能升級(jí).據(jù)

23

調(diào)查擁有電動(dòng)車的家庭中，石的家庭只擁有電動(dòng)車，W的家庭既有電動(dòng)車也有其他交通工具.對(duì)于每個(gè)家庭,

JJ

若只擁有電動(dòng)車則記1分，若同時(shí)擁有其他交通工具則記2分.假設(shè)各家庭是否擁有其他交通工具相互獨(dú)立,

且視調(diào)查頻率為概率.

⑴從被調(diào)查家庭中隨機(jī)抽取3戶，記這3戶的合計(jì)得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵從被調(diào)查家庭中隨機(jī)抽取〃(“END戶，記這〃戶的合計(jì)得分恰為〃+1的概率為P.，求

P^P2+-+P?.

20/27

45.投擲一枚均勻的股子，每次擲得的點(diǎn)數(shù)為5或6時(shí)得2分，擲得的點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4時(shí)得1分，獨(dú)立

地重復(fù)擲一枚骰子，將每次得分相加的結(jié)果作為最終得分.

⑴設(shè)投擲2次骰子，最終得分為X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望；

⑵記〃次拋擲得分恰為〃+1分的概率為%,求｛%｝的前〃項(xiàng)和S,:

題型十一、離散型隨機(jī)變量:數(shù)字特征及其應(yīng)用

46.已知隨機(jī)變量X的方差為。（X）=2,則。（3X-1）=（）

A.18B.17C.6D.5

47.己知隨機(jī)變量X的分布列如表所示（其中qrR）：

X012

2

P1-317q

5

則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）等于（）

I334

A.—B.—C.-D.—

4455

48.一個(gè)將輸入計(jì)算機(jī)的正整數(shù)〃“歸零〃的程序執(zhí)行規(guī)則如下：按回車鍵，計(jì)算機(jī)等可能地用曲〃）中的任

意?個(gè)整數(shù)替換〃的值并輸出替換后的〃值，重復(fù)以上操作，直到輸出0后終止操作.若輸入的初始值〃為

3,終止操作時(shí)按回車鍵的次數(shù)為X,則X的數(shù)學(xué)期望為（）

II「13…7c5

A.—B.—C.-D.—

6632

49.在一個(gè)盒子中裝有4張卡片，卡片.上的編號(hào)依次為1,2,3,4,現(xiàn)從中有放回地抽取〃［次卡片，每次

21/27

僅抽取1張，記這用次抽取的卡片的最大編號(hào)為X,則使得萬(wàn)(X)N孩成立的最小的〃?的值為.

50.在臨床上，￡4病毒的感染十分常見(jiàn).假設(shè)某人感染病毒的概率為:.若感染￡4病毒，檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)

919

性的概率為正；若未感染破病毒，檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率為5.檢測(cè)結(jié)果相互獨(dú)打

⑴求某人￡8病毒檢測(cè)結(jié)果呈陰性的概率；

(2)現(xiàn)有4人參加此項(xiàng)所病毒檢測(cè)，用X,丫分別表示這4個(gè)人中E6病毒檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性和陰性的人數(shù),

記z=|x-y|，求隨機(jī)變量Z的分布列及均值.

51.甲、乙兩人進(jìn)行排球發(fā)球練習(xí)，總共發(fā)3個(gè)球(分3次發(fā)，每次發(fā)1個(gè)一球)，若某次發(fā)球成功，則該

次發(fā)球者得2分，對(duì)方得T分，發(fā)球者繼續(xù)發(fā)下一次球；若某次發(fā)球不成功，則該次發(fā)球者得7分，對(duì)方

得2分，對(duì)方發(fā)下一次球.已知甲每次發(fā)球成功的概率為|,乙每次發(fā)球成功的概率為且第一次發(fā)球

者為乙，每次發(fā)球是否成功相互獨(dú)立.

⑴在前兩個(gè)球發(fā)完后，求甲共得1分的概率；

(2)設(shè)甲這次發(fā)球練習(xí)的總得分為K求X的分布列與期望.

22/27

52.某企業(yè)招聘方式分筆試、面試兩個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行，先進(jìn)行筆試，筆試合格后才能參加面試，面試合格后便

正式錄取，且這兩個(gè)環(huán)節(jié)能否通過(guò)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名大學(xué)生參加了該企業(yè)的招聘，假設(shè)甲通

過(guò)筆試、面試的概率分別為9乙、丙通過(guò)筆試的概率均為:，通過(guò)面試的概率均為9

⑴求甲、乙、丙三人中至少有一人被該企業(yè)正式錄取的概率；

⑵為鼓勵(lì)優(yōu)秀大學(xué)生積極參與企業(yè)的招聘工作，該企業(yè)決定給報(bào)名參加應(yīng)聘的大學(xué)生一定的補(bǔ)貼，補(bǔ)貼標(biāo)

準(zhǔn)如下表：

參與環(huán)節(jié)筆試面試

補(bǔ)貼（元）100150

記甲、乙、丙三人獲得的所有補(bǔ)貼之和為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

綜合攻堅(jiān)?能力躍升

1.己知隨機(jī)變量X的分布列為P（X=i）=；,（i=l,2,3,4,5）,則P（XN3）=（）

1234

A.-B.-C.-D.-

5555

2.已知一組數(shù)據(jù)Xj々，…%的平均數(shù)為亍，方差為一,則數(shù)據(jù)4占-3,4吃-3,…，4工-3的平均數(shù)和

方差分別為（）

A.4x-3,4?-3B.4x,16r-9C.4x-3,16?-9D.4J-3,16?

3.已知隨機(jī)變量X滿足兩點(diǎn)分布，且P（X=l）=a,則“E（X）=2〃是9（X）="的（）

37

23/27

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.現(xiàn)有編號(hào)1,2,3，…，〃的〃個(gè)學(xué)生，入座編號(hào)1,23…，〃的〃個(gè)座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號(hào)與該生的編號(hào)不

同的學(xué)生數(shù)為X,己知X=3時(shí)共8種坐法，則()

A.〃=6B.P(X