常用邏輯用語-高考數學復習之重難點題型講義（新高考地區專用）原卷版

專題L3常用邏輯用語.重難點題型精講

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1.命題及相關概念

定義：用語言、符號或式子表達的,可以現蛆假的

陳述句

命八W」真命題:判斷為真的語句

題［假命題:判斷為假的語句

形式:“若八則q\其中/>稱為命題的軌,，/稱為

命題的結論

2.充分條件與必要條件

命題真假“若八則/'是真命題“若八則是假命題

推出關系及由P通過推理可由條件力不能推出

符號表示得出q,記作：力三q結論q,記作：p更q

P是q的充分條件p不是q的充分條件

條件關系

q是p的必是條件q不是p的必要條件

一般地，數學中的每一條判定定理都給出了相應數學結論成立的一個充分條件.

數學中的每一條性質定理都給出了相應數學結論成立的一個必要條件.

3.充要條件

如果“若P，則/'和它的逆命題“若q,則〃”均是真命題，即既有〃=%又有q=p,記作〃.此

時P既是g的充分條件，也是g的必要條件.我們說〃是夕的充分必要條件，簡稱為充要條件.

如果〃是q的充要條件，那么q也是〃的充要條件，即如果〃=夕，那么〃與q互為充要條件.

4.全稱量詞與全稱量詞命題

全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給

符號X

全稱量

含有全稱量詞的命題

詞命題

“對M中任意一個7,有〃(/)成立”，可用符

形式

號簡記為

5.存在量詞與存在量詞命題

存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的

符號表示3_

存在量

含有存在量詞的命題

詞命題

“存在M中的一個z,使成立“可用符

形式

號簡記為TaWMWz)”

6.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題p：V.rEM,p(.r)的否定：」p(x)；全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.

⑵存在展詞命題〃：BxEM,p(x)的否定：▽xCM,v(x)；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

7.命題的否定與原命題的真假

一個命題的否定，仍是一個命題，它和原命題只能是一真一假.

【題型1充分、必要、充要條件的判斷】

【方法點撥】

⑴定義法：首先分清條件和結論，然后判斷p=g、g=p和poq是否成立，最后得出結論.

⑵命題判斷法：

①若p=q,則稱〃是q的充分條件，4是P的必要條件.

②若p=g,則"是g的充要條件.

③若〃且則稱〃是q的充分不必要條件.

④若且qnp,則稱〃是q的必要不充分條件.

⑤若p/q,且q4p,則稱"是q的既不充分也不必要條件.

【例I】(2022春?揚州期末)已知”￡R,則“4>0”是“J>1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1?1】（2022?普陀區二模）是“工—工〉y—工”的（）

xy

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

【變式1-2]（2022春?焦作期末）已知p：）-4x-12V0,qtlog2x<2,則〃是夕的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

U.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1?3】（2022?浦東新區二模）“Iog2a>log28”是“a>b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【題型2根據充分條件、必要條件求參數】

【方法點撥】

根據充分、必要條件求參數的取值范圍時，先將p,q等價轉化，再根據充分、必要條件與集合間的關系，

將問題轉化為相應的兩個集合之間的包含關系，然后建立關于參數的不等式（組）進行求解.

【例2】（2022春?雨花區校級月考）已知p：Vx-1>2?q：m-xVO,若〃是q的充分不必要條件，則〃?

為取值范圍是（）

A.in<3B.m>3C.m<5D.m>5

【變式2-1]（2022春?鄭州期末）若不等式|x-2|V〃成立的一個充分條件為OVxVl,則實數。的取值范

圍是（）

A.（-2,+8）B.[-2,+8）C.（2,+8）D.[2,+°0）

【變式2-2]（2022春?湖北月考）已知集合人={x|〃L3cx〈"汁2）,8={小2-2x-3〈0）,若“尤A”是

“工€8”的必要不充分條件，則川的取值范圍是（）

A.（1,2）B.（-1,0）C.[1,21D.[-1,01

【變式2-3]（2022?5月份模擬）已知p：■如VO”，q："/gxVO"，若〃是q的必要不充分條件，

則實數m的取值范圍是（）

A.[0,+8）B.（0,+8）C.[1,+8）D.（1,+8）

【題型3全稱（存在）量詞命題的否定】

【方法點撥】

改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結合命題的含義加上量，再對量詞進行改寫；

否定結論：對原命題的結論進行否定.

【例3】（2020秋?青島期末）命題“對都有sinxWl”的否定為（）

A.對VxWR,都有sinx>lB.對VxWR,都有siiuW-1

C.BAOER,使得siruo>ID.BxoGR,使得siiuoWl

【變式3-1]（2020秋?江陰市校級期中）命題XO2>2的否定是（）

A.V.vGN,/>2*B.a.rGN,/<2工C.V.rGN,/w2rD.3xGN,.?=2X

【變式3?2】（2021秋?武江區校級期末）全稱命題：V.iWR,?+5￡=4的否定是（）

A.SAGR,f+5x=4B.VxGR,x2+5x:?￡4

C.3AER,入2+5工=4D.以上都不正確

【變式3-3】（2021?惠州模擬）命題“存在實數工，使7+X?1V0”的否定為（）

A.對任意實數x,都有

B.不存在實數不，使f+x-120

C.對任意實數A，都有/+4-1VO

D.存在實數x,使/+x-12（）

【題型4全稱（存在）量詞命題的真假判斷】

[【方法點撥】

判斷全稱量詞命題真假的方法：要判定一個全稱量詞命題為真命題，需要進行推理證明，或用前面已經學

過的定義、定理作證明，而要判斷其為假命題，只需舉出一個反例即可.

判斷存在量詞命題真假的方法：判斷存在量詞命題p（?”的真假性的關鍵是探究集合M中x的存

在性.若找到一個元素x￡M,使p（x）成立，則該命題是真命題；若不存在x￡M,使"（x）成立，則該命題

是假命題.

【例4】（2021春?湖北月考）下列命題中，正確的是（）

A.VAGR,2V>X2

B.3xG（0?%）,sinx+cosx=1

C.BxE（0,1）,Iog2x>x

D.VAGR,x^+x+2>0

【變式4-1]（2021秋?煙臺期末）給出的四個命題，其中正確的是（）

A.2.WGR,XO2+2XO+2=OB.V.rEN,

C.若亡>1,則/>1D.若a>b,則/>廬

【變式4-2]（2021秋?巴宜區校級期末）對于兩個命題：①Wr€R,-WsinxWl,②aER,sin2x+cos2x>

I,下列判斷正確的是（)

A.①假②真B.①真②假C.①②都假D.①②都真

【變式4?3】（2022春?荊州校級月考）下列結論中正確的是（）

A.2j+5〃+2能被2整除是真命題

B.V/?GN*,2〃2+5〃+2不能被2整除是真命題

C.3HGN*,2仆+5〃+2不能被2整除是真命題

D.力氏N*,2層+5〃+2能被2整除是假命題

【題型5與全稱（存在）量詞命題有關的參數問題】

【方法點撥】

此類問題本質是恒成立問題或有解問題，求解時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化得到關于參數

的方程或不等式（組），再通過解方程或不等式（組）求出參數的值或取值范圍.

[例5]（2022?齊齊哈爾二模）若命題“永同-1,3],ar-（2a-1）x+3-a<0”為假命題，則實數x

的取值范圍為（）

A.[-1,4]B.[0,1]

C.[—1，0]U言，4]D.[—1,0）U6,4]

【變式5?1】（2022?青島一模）若命題“DtWR,蘇+120”為真命題，則實數。的取值范圍為（）

A.。>0B.心0C.“WOD.

【變式5-2]（2021秋?安康期末）己知命題“存在疣（3,27）,使得口以工+專一〃-0”是使命題，則〃?

的取值范圍是（）

A.[2,+8）B.（2,+8）C.[12,+8）D.（12,+~）

【變式5-3]（2021秋?撫州期末）若命題“對任意.詫（-oo,0）,使得7-2ai+420成立”是真命題，

則實數〃的取值范圍是（）

A.[-2,+8）B.（2,+8）C.（…，-21D.（…，2]

【題型6雙