高三數(shù)學一輪學案-第八章 第4節(jié) 直線與圓圓與圓的位置關系

§8.4直線與圓、圓與圓的位置關系

【課標要求】1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一

些簡單的數(shù)學問題與實際問題.

1.直線與圓的位置關系（圓心到直線的距離為d,圓的半徑為r）

相離相切相交

a

圖形必

量方程觀點A______0A______0A______0

化幾何觀點drdrdr

2.圓與圓的位置關系（OO],O0?的半徑分別為小，心，仁IO1O2I）

3.直線被圓截得的弦長

（1）幾何法：弦心距4半徑，?和弦長依8|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長H8|=.

（2）代數(shù)法：設直線尸匕+,〃與圓/+產(chǎn)田氏+a+4。相交于點M,M代入，消去戶得關于、的一元二

次方程，則.

a自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請在括號中打“Y”或“x”）

(1)若兩圓沒有公共點，則兩圓一定外離.()

(2)若兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.()

(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數(shù)解，則直線與圓相切.()

(4)在圓中最長的弦是直徑.()

2.直線31+4)=5與圓f+y2=16的位置關系是()

A.相交旦直線經(jīng)過圓心B.相切

C.相離D.相交且直線不經(jīng)過圓心

3.直線2沖+1=0與圓/+丁=2交于A,B兩點,則弦48的長度為()

A鯉B.迪C%D.迪

5555

4.圓G：jr+y2=4與圓C?：x2+y28,v6y+16=0的位置關系是()

A.外切B.相交C.外離D.內(nèi)切

國微點提醒

1.牢記三個相關結(jié)論

(1)過圓jr+y2=P上一點P(xo，.⑹的圓的切線方程為w+沖尸土

⑵過圓(xa)2+(yrb)2=r上一點P(xo,加)的圓的切線方程為辦)=產(chǎn).

(3)過圓外一點M(xo,刃)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x()x+yoy=P.

注意：求該類直線的方程亦可以用“留一代一”的方式進行，即將』用.替換，尸用”，。替換，x用詈

替換，y用華替換.

2.靈活應用兩圓相交時公共弦的性質(zhì)

圓G：f+V+Qix+Eiy+FinO與。2：f+)耳。21+&"/72=0相交時：

(1)將兩圓方程直接作差，得到兩圓公共弦所在直線方程；

(2)兩圓圓心的連線垂直平分公共弦；

(3)*+)?+。/+E)，+~+“/+)2+04+后2)葉尸2)=0(2W1)表示過兩圓交點的圓系方程(不包括C2).

題型一直線與圓的位置關系

命題息1位置關系的判斷

例1(多選)己知圓C：(x2)2+y2=]6,直線/：〃7K+y3"71=O,貝!下列結(jié)論中正確的是()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.直線/與圓C相切

C.直線/與圓C相交

D.直線/與圓C相離

思維升華判斷直線與圓的位置關系的常見方法

⑴幾何法：利用d與〃的關系判斷.

(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用/判斷.

(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.

命題點2弦長問題

例2已知直線/：產(chǎn)履+3與圓C：(#)2+()1尸=4交于A,B兩點，若|4昨2百，則攵等于()

A.-B.-C.-D.D-

4422

思維升華弦長的兩種求法

(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長公式求弦長.

(2)幾何法：若弦心距為d,圓的半徑K為廣，則弦K/-2〃2一盧.

命題點3切線問題

例3(多選)過點4(4,3)作圓(⑼2+()，1尸=1的切線，所得切線方程為()

A.x=4B.15x+8)，36=0

C.y=3D.8xl5y3=0

思維升華當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法

(1)幾何法：設切線方程為》0=?口0),利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,

進而求出々.

(2)代數(shù)法：設切線方程為》0=攵(必))，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判

別式1=0進而求得k

注意驗證斜率不存在的情況.

命題點4直線與圓位置關系中的最值問題

例4已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA,P8是圓C：/+,22犬2)，+1=()的兩條切線，A,B是切點,

則四邊形24cB面積的最小值為.

思維升華涉及與圓的切線有關的線段長度范圍（最值）問題，解題關鍵是能夠把所求線段長表示為關于圓

心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.

跟蹤訓練1（1）（多選）已知圓C：（幻）2+（），2）2=25,直線/：（2〃汁1）4+。〃+1）/7/〃4=0.則下列命題正確的有

（）

A.直線/恒過定點（3,1）

B.y軸被圓C截得的弦長為2n

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/被圓C截得弦長最短時，直線/的方程為2ry5=0

⑵（多選）（2024?南京模擬）已知點尸在圓O：f+），2=4上，直線/：4"3），12=0分另IJ與x軸、y軸交于A,B

兩點，則（）

A.過點〃作圓O的切線，則點8到切點的距離為2國

B.滿足囪.而=0的點P僅有1個

C.點P到直線/距離的最大值為彳

D.|遍+而|的最小值是I

題型二圓與圓的位置關系

例5（多選）已知圓G：（xl）2+（）2z）2=9,圓G：x2+y2Sx+2ay+a2+12=0,a￡R.則下列選項正確的是

（）

A.直線CC2恒過定點（3,0）

B.當圓Ci和圓C2外切時，若尸，。分別是圓G，C2上的動點，貝U|FQ|max=10

C.若圓G和圓C2共有2條公切線，則

?3

D.當時，圓G與圓C2相交弦的弦長為呼

思維升華（1）判斷兩圓的位置關系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關系，一

般不采用代數(shù)法.

（2）若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2,V項得到.

跟蹤訓練2（多選）（2024.長沙模擬）若圓。1：/+）12丫3=0與圓。2：/十丁⑵氏。交于4,區(qū)兩點，則下

列選項中正確的是（）

A.點（1,1）在圓。2內(nèi)

B.直線AB的方程為x+yl=0

C.圓5上的點到直線AB的距離的最大值為2+V2

D.圓。2上存在兩點P,Q,使得|PQ|>|AB|

答案精析

落實主干知識

!.<=>>=<

2.d>ri+r2d=r\+n\r\r^<d<r\+n4=|小川d<\r\r^\

2222

3.(1)2Vr-d(2)V1+k-yj(xM4-xN)-4xMxN

自主診斷

I.⑴X(2)X(3)4(4)4

2.D3,B4.A

探究核心題型

例1ACI圓C：(.r2)2+y2=]6的圓心C(2,0),半徑r=4,直線/：川(大3)+)，1=0恒過定點(3,1),顯然

7(3-2)2+12=V2<4=r,因此點(3,1)在圓C內(nèi)，直線/與圓。相交，B,D錯誤，A,C正確.]

例2A[圓C：(xl)2+(yD2=4的圓心c(1,1),尸2,

所以圓心C(1,1)到直線/:產(chǎn)去+3的距離心揣，

而4J?2-(第J=V4-3=1,

所以上黑人，解得

例3AB[由圓心為(3,1),半徑為1,當過點4(4,3)的切線斜率存在時，設切線方程為尸〃(")3,

則圓心到切線的距離4=牛等=1,

V1+/C2

可得中,

O

所以尸骨網(wǎng))3,

8

即15"8y36=0;

當切線斜率不存在時，切線方程為下4,顯然與圓相切，

綜上，切線方程為15x+8)，36=0或尸4］

例42V2

解析圓C：_?+92⑵，+1=0,

即圓C：(xl)2+(vl)2=l,

所以圓心C(1,1),半徑-1,

如圖，連接PC,

因為S四邊形力c產(chǎn)2S“AL2X3><|AP|MC|=|AP|二J|PC|2-1,

所以求S四邊形格8的最小值就是求IPC1的最小值，而|PC|的最小值就是圓心C到直線31+4)，+8=0的距離d,

即仁苧要3,

V32+42

所以四邊形PACB面積的最小值為我=I=2&.

跟蹤訓練1(l)ACD［由已知可得，圓心C(1,2),半徑r=5,

直線方程可化為/：〃?(2計/7)+工+)4=(),

由可得d

所以直線/恒過定點(3,1),A正確；

將40代入圓的方程有1+()，2)2=25,解得產(chǎn)2±2份，

所以y軸被圓。截得的弦長為4聲，B錯誤；

因為點(3,1)到圓心C(1,2)的距離為］(1一3尸+(2—1)2=盯<5=r,

所以點(3,1)在圓內(nèi)，直線/與圓C恒相交，C正確；

當圓心C(1,2)與定點(3,1)的連線恰好與/垂直時，圓心到直線的距離最大，

直線1被圓。截得的弦長最短，貝I"的斜率k應滿足工?：1,所以七2,

代入點斜式方程有yl=2(x3),即2,vy5=0,D正確」

(2)ACD[點A(3,0),點B(0,4),設圓。的半徑為r,過點8作圓O的切線，所以點B到切點的距離為

y/\0B\2-r2=V16-4=25/3,故A正確；

由中點坐標公式得線段AB的中點為M(|,2)，由兩點間距離公式得|A8|=5,則以線段AB為直徑的圓M

的方程為(X—|)+()2)2二字,

因為IOM=R,

742

而河，>2=.

滿足利<；所以圓M與圓。相交，所以滿足同.兩=0的點0有2個，故B錯誤；

圓心。到直線/的距離為占鼻;”，半徑L2,所以點P到直線/距離的最大值為各，故C正確；

\4￡+3￡55

線段的中點為例(|,2),

貝IJ麗苫(可+而)，

所以|西+而|=2|麗|,

因為|PMmin=|OM管耳,

所以|互5+方|的最小值是I,故D正確.]

例5ABD[由圓G：(A-1)2+CV2?)2=9，圓C2：x2+y28x+2?}H-a2+12=0,,

可知C,(l,2a),C2(4,a),故直線CG的方程為y+a=a(x4),即y=a{x3)，則直線GC2恒過定點(3,0),A

正確；

圓G的半徑n二3,又圓C2：丁+燒/2紗+/+]2=0,a￡R即(x4尸+(y+a)2=4,a€R,

圓C?的半徑r2=2,當圓G和圓C?外切時，|。心|二門+卞3+2=5,

|PGInux=|CiC2|+n+r2=10,B正確；

若圓G和圓。2共有2條公切線，則兩圓相交，又|。心|*(1一4/