平面與平面垂直（第1課時）教案

第八章立體幾何初步

8.6.3平面與平面垂直（第1課時）

一、教學(xué)目標(biāo)

1.直觀感知二面角的有關(guān)概念，會作二面角的平面角，會求簡單二面角平面角的大小；

2.理解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，學(xué)會運(yùn)用定理證明垂直關(guān)系；

3.通過對平面與平面垂直判定定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)

素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)

1.掌握面面垂直的判定定理；

2.會求簡單二面角平面角的大小，會運(yùn)用定理證明垂直關(guān)系。

三、教學(xué)過程：

（1）創(chuàng)設(shè)情景

情景1、已知PA_L平面AEC,AB_LBC,試問可以找到多少對互相垂直的平面？

情景2、觀察下列實(shí)物圖，想想如何刻畫兩個平面所成的“角”？

（2）新知探究

問題1：大家思考一下如何判斷兩個平面垂直？

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥

問題2:試將上面的三個實(shí)物模型，抽象為兒何直觀圖形，能否找到兩個平面垂直的定義.

學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥（提出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容）

（3）新知建構(gòu)

半平面的定義：

平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩部分，其中的每一個部分都叫做半平面.

二面角的定義：

由--條直線和由這條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二

面角的棱，每個半平面叫做二面角的面.

二面角的畫法與記法：棱為AB,而為夕的二面角，記為二面角夕一48一6

二面角的平面角的定義：

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線

所成的角叫做二面角的平面角.如右圖：NAOB是二面角0一/一分的平面角.

二面角的大小范圍是0°?a<180。.

二面角的平面角必須滿足：

①角的頂點(diǎn)在棱上

②角的兩邊分別在兩個面內(nèi)

③角的邊都要垂直于二面角的棱

直二面角的定義：

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

練習(xí)：請大家觀察教室相鄰的兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角？分別指出構(gòu)這些二面角

的面、棱、平面角及其度數(shù)。

平面與平面垂直的定義：

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

記作:aLp

圖形表示：

平面與平面垂直的判定定理：

如果一個平面過另一個平面的的垂線，那么這兩個平面垂直。

圖形：

符號語言：aupnalp

簡記：線面垂直，則面面垂直。

(4)數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1.如圖,棱柱ABC-ABiG的側(cè)面8CC以是菱形,ByCLAxB.

證明：平面平面48G.

證明：因?yàn)?CG%是菱形，

所以辦CLBG,又SULA由，且AGCM由=8,

所以8＜，平面AiBQ,

又BiCu平面AB\Ct

所以平面A8C_L平面AIBCI.

變式訓(xùn)練1:如圖,在三棱柱ABC-ABG中,側(cè)棱垂直于底面,AB±BC,E、F分別是AC、BC的

中點(diǎn).

求證:平面ABE±平面B.BCC,;

證明:在三棱柱ABC-ABG中,

?；BB」底面ABC,ABBilAB,又ABXBC,BBEBC=B,?,.AB_平面BBC3,又ABc平面ABE,.??平

面ABEJ_平面B.BCCu

例2.如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面ABCO為正方形，241.底面

A3C=4,E為依的中點(diǎn)，產(chǎn)為線段點(diǎn)上的點(diǎn)，且防小，

p

求證：平面平面PBC；

證明：???24，平面48。。，.,.附_18。.

又底面A8CD為正方形，.?.3C_LA8.

??PAu平面2人8,/Wu平面0人及ABr\PA=A,

BC_L平面P45.

???AEu平面PAB，BC±AE.

???PA=AB,E為總中點(diǎn)/.AELPB.

?.?依u平面P8C,BCu平面PBC,PBcBC=B,

.,.AE_L平面P8C.又4Eu平面八七尸，

平面AEV，平面P8C.

變式訓(xùn)練:如圖，四面體A8CO中，3c是正三角形，A4CD是直角三角形,

ZABD=/CBD,AB=BD

求證：平面ACD_L平面ABC

證明：取AC的中點(diǎn)0,連接80,0。.

D

?.?△ABC是等邊三角形，...04_LAC,

AABD與ACB。中，AB=BD=BC,/ABD=Z.CBD,

MLBD=&CBD、：.AD=CD

?.?△46是直角三角形，是斜邊，

.?.NAQC=90。,DO=-AC

2

DO2+BO2=AB2=心，..NBOD=90°,

:.OB1OD

又DOcAC=O,

.?.03，平面ACO.

又O8u平面A3C,

???平面ACD_L平面ABC.

例3:在等腰直角E3C中，A8=8C=1,M為AC的中點(diǎn)，沿8M把AA3C折成二面角,

V6

折后A與C的距離為2,則求二面角c—BM—A的大小.

【解析】因?yàn)锳48C為等腰直角三角形，且A8=8C=1,M為AC的中點(diǎn)，

所以折之前，AC=6,BMtAC、

折之后，AM=CM=皂,AM1BM,CMIBM,

2

所以ZAMC是二面角C-BM-A的平面角,

在A4MC中，由余弦定理得，

!1_2

c"AMC=AW+CM-c?22_2

2AMCM2x互也一5

22

因ZAMCG(0°,l80°),所以ZAMC=120°,故二面角C-BM-A的大小為120°

變式訓(xùn)練:在邊長為1的菱形A8CO中，NA3C=60。，把菱形沿對角線AC折起，使折

起后5。-立，則二面角。一八C—D的余弦值為()

2

A.-B.—C.亞^D.立

3232

【答案】B

【解析】取AC的中點(diǎn)為。，連接。0,80,如下圖所示

在等腰AACD和等腰AABC中，DOLACyBOIAC

由二面角的定義可知，NDO8為二面角3-AC-。的平面角

???DO=y/AD2-AO2=—,BO=^AB2-AO2=—

22

.?.ADOB為等邊三角形,UPZDOB=60°

則二面角8—AC—。的余弦值為:，故選：B

四、小結(jié)：

二面角的定義：

二面角的畫法與記法：

二面角的平面角的定義：

二面角的大小范圍：0°＜。＜18()。.

直二面角的定義：

平面與平面垂直的定義：

平面與平面垂直的判定定理:

A級必備知識基礎(chǔ)練

1」探究點(diǎn)一］如圖所示，在三棱錐P-ABC中,/MJL平面ABQZ

&4L90。,則二面角B-PA-C的大小為（）

火、

A.90°B.60°

C.45°D.30°

2」探究點(diǎn)三］在長方體ABCD-AxBxCxD\的棱AB上任取一點(diǎn)

區(qū)作EFLA\B\于點(diǎn)￡則后/與平面A山Ci。的關(guān)系是（）

A.平行

B.EFu平面出

C.相交但不垂直

D.垂直

3」探究點(diǎn)三］設(shè)a*為不重合的平面，丸〃為不重合的直線，則

下列命題正確的是（）

A.若■，則m//a

B.若mU%〃UK〃2_L〃4IJ〃_La

C.若Q_L/?，陽_LQ/〃小則m.Ln

D.若n±a.n±±m(xù)A.a

4.［探究點(diǎn)三］如圖所示ASCQ為空間四點(diǎn)，在△ABC

中,A8=2,AC=8C=e,等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動，當(dāng)平

面平面ABC時，CD=.

D

a

5」探究點(diǎn)三］如圖,在空間四邊形ABCD中，平面平面

8c。,/區(qū)4。=90。,且AB=AD^\AD與平面BCD所成的角

是.

A

△

C

6.［探究點(diǎn)三］如圖，在三棱錐P-ABC中，平面%平面ABC.

且Nfi4C=90。,必=1,AB=2,則PB=.

7.［探究點(diǎn)三］三棱錐V/8C中，平面013_1_平面為

等邊三角形,ACLBC且AC=BcW,O,M分別為AB,VA的中

點(diǎn).

V

⑴求證:V5〃平面MOC;

(2)求證:平面平面VAB;

(3)求點(diǎn)B到平面MOC的距離.

8」探究點(diǎn)一、二］如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是

邊長為1的菱形,/3。。=60。石是CD的中點(diǎn),底面

ABCD,PA=6.

⑴求證:平面平面PAB\

(2)求二面角A-BE-P的大小.

B級關(guān)鍵能力提升練

9.如圖所示,三棱錐P-ABC的底面在平面。內(nèi)，且ACJLPC,平

面以C_L平面PBC點(diǎn)尸A3是定點(diǎn)，貝J動點(diǎn)C的軌跡是（）

A.一條線段

B.一條直線

C.一個圓

D.一個圓，但要去掉兩個點(diǎn)

10.（多選題）設(shè)m,n是兩條不同的直線,a/是兩個不同的平面,

給出如下命題，其中正確的是（）

A.若1_1_夕,0口夕=見力（=%〃_1_〃2,則〃_L4

B.若aJL夕，且〃3_夕,〃_1_九則m±?

C.若a_1_4勿泣出貝!Jm//a

D.若a-\-/3,m//a,則

H.如圖，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中,/BAC=90o,5C」AC,則

過點(diǎn)G作G”J_平面A3C,垂足為"，則H必在（）

A.直線AB上

B.直線BC±

C.直線AC上

D.ZkABC的內(nèi)部

12.（多選題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形,N

0AB=60。,側(cè)面PAD為正三角形,且平面雨。_1_平面ABCD則

下列說法正確的是（）

A.在棱AD上存在點(diǎn)M使AZ）J_平面PMB

B.異面直線AD與PB所成的角為90°

C.二面角P-BC-A的大小為45°

D.8。，平面PAC

13.如圖ABC。為空間四點(diǎn)，在△A3C中4?=24C=8C二衣,

等邊三角形ADB以AB為軸運(yùn)動,當(dāng)平面平面ABC

時,8=.

D

A

B

14.如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且

AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=120°,E.F,G分別為

AC.DQAD的中點(diǎn).

(1)求證:￡/_1平面BCG\

(2)求三棱錐D-BCG的體積.

15.圖1是由矩形ADEB,Rt/\ABC和菱形BFGC組成的一個

平面圖形，其中AB=11￡=5尸=2,/尸3。=60。.)將其沿AB.BC折

起使得B石與8尸重合，連接0G如圖2.

⑴證明:圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面,且平面平面

BCGE;

(2)求圖2中的四邊形ACG。的面積.

16.如圖，在三棱錐P-ABC中,平面ABCABC是直角三

角形，NABC=90\AB=BC=2,ZPAB=45\D^F分別為

ACA8IC的中點(diǎn).

(1)求證:￡/口_。。

(2)求直線PF與平面PBD所成的角的正弦值;

(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.

C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面，平面且PA

±AC,FA=AD=2,四邊形ABCD滿足3C〃AD,AB±

AQ<3=8C=1/為側(cè)棱PC上的任意一點(diǎn).

⑴求證:平面AFD,平面PAB.

⑵是否存在點(diǎn)F,使得直線AF與平面PCD垂直?若存在，寫出

證明過程并求出線段PF的長;若不存在,請說明理由.

參考答案

1.A丁布，平面ABC￡A,C4u平面ABC.

：.BA±PA,CA±PA,

因此N8AC即為二面甭B-必-C的平面角.

又NBAC=90°,古攵選A.

2.D在長方體ABCD-AB\CiD\中，平面A]488|J_平面ABC。且平面A|A881n平面

即又ERz平面4488i,M_LA由、???￡：產(chǎn)"L平面AHC/D正確.

3.D當(dāng)mc.a時，/〃_L夕,。_1_夕也可以成立，所以A選項(xiàng)錯誤;若aC\°二〃,顯然〃ua,這時

mua,nup,m工n也可以成立，所以B選項(xiàng)錯誤;當(dāng)/〃〃〃過，顯然a邛,m1a,n〃口成立，所以

C選項(xiàng)錯誤;因?yàn)椤╛1_“,”2_1_夕,所以in//n.又因?yàn)椤↗_a,所以〃?_La,所以D選項(xiàng)正確.故選D.

4.2取AB的中點(diǎn)E,連城DE,CE.因?yàn)锳ADB是等邊三角形，所以QEJ_AB.當(dāng)平面ADB

平面ABC時，因?yàn)槠矫鍭O8C平面ABC=AB,￡.。氏LA8,所以。七_(dá)1_平面ABC,故DEA-

CE.

由已知可得DE=6,EC=\、在RtADEC中,

yjDE2+CE2

CD==2.

5.45°

過A作AO_LBD于點(diǎn)O,

「平面ABO_L平面BCD.

???4OJ_平面BCD則ZADO即為AO與平面BCD所成的角.

???ZBAD=90\AB=AD,

：.4。。=45。.

6.6???平面網(wǎng)CJ_平面A8C,平面以C與平面A8C的交線為AC,N%C=90°,以u平面

B4C,

???%_L平面A8C,

又A8u平面A8C,???%_LA8,

JPA2+482=J/+22

:?PB=

7.(1)證明:0M分別為AB.VA的中點(diǎn),???OM//VB.

又V8Q平面MOC0MU平面MOC、

???V8〃平面MOC.

(2)證明：AC=4C0為A8的中點(diǎn),，OC_LA8.

又平面必8J_平面A8C,平面E48n平面A8C=A氏且OCu平面ABC,

???OC_L平面以8,又OCu平面MOC,

???平面”。。，平面VAB.

⑶解連接MB、VO,過M作MQ_L/W,垂足為。，圖略，設(shè)/?為點(diǎn)B到平面MOC的距離，/?為

點(diǎn)M到平面BOC的距離.

11

VwBOC=VBMOC,:-3s&BocXh年S^MocXh'.

???平面%8_1_平面A8C*0_LA8,，VO_L平面ABC.

又△E48為等邊三角形/C_L8c且AC=8C=a,。為AB中點(diǎn),.?.丫。二行.

1V3

又MO_LA8,M為E4中點(diǎn),，^。二3地二/尸2.

1111

*.*SdBOC^X1X1=2,SAA/OC=^X1X1=2,

???力'=2,即點(diǎn)B到平面MOC的距離為2.

8.(1)證明如圖所示，連接8D,由底面ABC。是菱形且/BCO=60。知,△AC。是等邊三角形.

因?yàn)镋是CO的中點(diǎn)，所以BELCD.

又因?yàn)锳B〃CD,所以BELAB.

又因?yàn)橐訽L平面AACDBEu平面ABCD,

所以以_L8E而PAQAB=A,

因此8E_L平面PAB.

又因?yàn)?Eu平面P8E,所以平面P8E_L平面PAB.

(2)解由(1)知,BEJ_平面陰B,PAu平面PAI3.

所以PB工BE.又因?yàn)锳BLBE,

所以NP8A是二面角A-BE-P的平面角.

巴=正

在RtABAB中,tanNP8A=.，/尸84=6()。,故二面角A-BE-P的大小是60°.

9.D???平面以C_L平面P/?C,4C_LPC,平面以CC1平面PBC=PCACu平面PACS.ACL

平面PBC.

又BCu平面PBC,：.AC1BC..\ZACB=90°.

???動點(diǎn)C的軌跡是以A8為直徑的圓，除去A和8兩點(diǎn).

10.AC根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知A正確;B中,/刀還可能在a內(nèi)或〃?〃a或m與a

斜交,B不正確;C中,時，只可能有m//a,C正確;D中川與p的住置關(guān)系可

能是m//p或mu°或〃？與夕相交,D不正確.故選AC.

11.A因?yàn)锽C\LACABLAC.BC\QAB=B,

所以AC_L平面ABCx.

因?yàn)锳Cu平面A8C,所以平面4BC_L平面ABCi.

又因?yàn)槠矫鍭BCC\平面ABCi=AB,

所以過點(diǎn)Cl再作G，_L平面A8C,則HRAB,

即”在直線AB上.

12.ABC如圖，對于A,取AD的中點(diǎn)M,連接「：側(cè)面PAD為正三角形,

???PMJ_4D又底面ABCD是菱形,ND48=60°,???ZU8。是等邊三角形，,AOJ_3”,又

平面PMB,

???AD_L平面PMB,故A正確；

對于B「??AO_L平面。8根??.4。_1_。8,即異面直線4。與PB所成的角為90。,故B正確；

對于C「??平面P8CCI平面ABCD=BC^C//AD,

???BC1平面PBM,???BC1PB,BCLBM,

???NP5M是二面角P-DC-A的平面角，設(shè)二6=1,則BM-,PM=2,

PM

在RtAPBM中,tanN尸即NP8M=45°,故二面角P-BC-A的大小為45°,故C正

確；

對于D,因?yàn)?。與南不垂直，所以BD與平面%C不垂直，故D錯誤.

13.2取AB的中點(diǎn)E,連接DE,CE,

因?yàn)椤鰽OB是等邊三角形，所以DE1AB.

當(dāng)平面AO8，平面ABC時，

因?yàn)槠矫鍭DBD平面ABC=AB,

所以DE工平面ABC.

可女口DF.LCF：

由已知可得DE=^,EC=\，在RtADEC中,C。=“不+^=2.

14.(1)證明?；AB=BC=BO=2,N48c=NO8C=120°,

???AABCW4DBC,：.AC=DC.

VG為4。的中點(diǎn),??.CG_LA。.

同理灰；_LAO.

???CGn8G=G,CG.8Gu平面BCG.

???AOJ_平面BCG

又E,F分別是AC,CD的中點(diǎn)，

???￡萬〃4。,???￡萬_1_平面BCG.

(2)解在平面ABC內(nèi)，作AO_LCB,交CB的延長線于點(diǎn)0.

「△ABC和△BCD所在平面互相垂直，平面A8Cn平面BCD=BC,且AOu平面ABC,

；?AOJ_平面BCD.

VG為4Q的中點(diǎn),

???點(diǎn)G到平面BCD的距離h是AO長度的一半.

/3

在aAOB中/O=A8sin60°=>^,/.//=2.

△BCD的面積S^CD=2BCBDs\nZDBC=2x2x2xsin120°=V^.

ILxHx在“

VD-BCG=VG-BCD=S4BCD：2

15.⑴證明由已知得ND〃BE,CG〃BE的丫入AQ〃CG,故AD,CG確定一個平面，從而

4CGQ四點(diǎn)共而.

由已知得A8_LBE.48_LBC故ABJ_平面BCGE.

又因?yàn)?8u平面A8C,所以平面A8C_L平面BCGE.

(2)解取CG的中點(diǎn)M連接EM,DM.因?yàn)锳8〃QE/8_L平面8CGE,所以力E_L平面BCGE,

故DE上CG.

由已知,四邊形8CGE是菱形，且N￡8C=60°得￡M_LCG,故CG_L平面DEM.

因此DMLCG.在RtADEM中,。E=1,EM=W，故OM=2.所以四邊形ACG。的面積為4.

16.(1)證明連接BD,桂叢ABC中,N8=90。.

,:AB=BC點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),???8DJ_AC

又???/>8_1_平面ABC/Cu平面ABCS.ACA.PB.

???BOnP3=8,???ACJ_平面PHD,

丁瓦尸分別為A8.8C的中點(diǎn)，

???EF//AC,???EF1.平面PBD、

?：PDu平面PBD,:.EF^PD.

(2)解連接BD交EF于點(diǎn)O,由⑴知EF工平面PBD,

：.ZFPO為直