人教版八年級數學下冊講義 第23課 數據的分析（學生版）

第23課數據的分析

0目標導航

課程標準

1.了解加權平均數的意義和求法，會求實際問題中一組數據的平均數，體會用樣本平均數估計總體平均數

的思想.

2.了解中位數和眾數的意義，掌握它們的求法.進一步理解平均數、中位數和眾數所代表的不同的數據特

征.

3.了解極差和方差的意義和求法，體會它們刻畫數據波動的不同特征.體會用樣本方差估計總體方差的思

想，掌握分析數據的思想和方法.

4.從事收集、整理、描述和分析數據得出結論的統計活動，經歷數據處理的基本過程，體驗統計與生活的

聯系，感受統計在生活和生產中的作用，養成用數據說話的習慣和實事求是的科學態度.

趣,知識精講

知識點01算術平均數和加權平均數

一般地，對于〃個數百、七、七、…X”，我們把叫做這〃個數的算術平均

數，簡稱平均數，記作.計算公式為.

【注意】

平均數表示一組數據的“平均水平”，反映了一組數據的集中趨勢.

（1）當一組數據較大時，并且這些數據都在某一常數〃附近上、下波動時，一般選用簡化計算公

式.其中r為新數據的平均數，a為取定的接近這組數據的平均數的較“整”的數.

（2）平均數的大小與一組數據里的每個數據均有關系，其中任一數據的變動都會相應引起平均數的變動.

所以平均數容易受到個別特殊值的影響.

若〃個數內、修、…%的權分別是％、卬2、…、叫，則叫做這〃個數的加權

平均數.

【注意】

（1）相同數據七的個數叱叫做權，嗎越大，表示西的個數越多，“權”就越重.數據的權能夠反映數據的

相對“重要程度

（2）加權平均數實際上是算術平均數的另一種表現形式，是平均數的簡便運算.

知識點02中位數和眾數

1.中位數的概念：將一組數據按照的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于—的數稱為

這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間—稱為這組數據的中位數.

【注意】

(1)一組數據的中位數是的；一組數據的中位數出現在這組數據中.

(2)由一組數據的中位數可以知道中位數以上和以下數據各占一半.

2.眾數的概念：一組數據中的數據稱為這組數據的眾數.

【注意】

(1)一組數據的眾數—出現在這組數據中；一組數據的眾數；如果所有數據H現的次數都

一樣，那么這組數據就.

(2)眾數是一組數據中出現次數最多的數據而不是數據出現的.

知識點()3平均數、中位數與眾數的聯系與區別

聯系：平均數、眾數、中位數都是用來描述數據集中趨勢的量，其中以平均數最為重要.

區別：平均數的大小與每一個數據都有關，任何一個數的波動都會引起平均數的波動，當一組數據中有個

別數據太高或太低，用平均數來描述整體趨勢則不合適，用中位數或眾數則較合適.中位數與數據排列位置

有關，個別數據的波動對中位數沒影響；眾數主要研究各數據出現的頻數，當一組數據中不少數據多次重

復出現時，可用眾數來描述.

知識點()4極差、方差和標準差

用一組數據中的所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差

【注意】

極差是最簡單的一種度量數據波動情況的量，它受極端值的影響較大.一組數據極差越小，這組數據就越穩

定.

方差是反映一組數據的—的特征的量.方差/的計算公式是：

【注意】

(1)方差反映的是一組數據偏離平均值的情況.方差越大，數據的波動；方差越小，數據的波

動.

(2)一組數據的每一個數都加上(或減去)同一個常數，所得的一組新數據的.

(3)一組數據的每一個數據都變為原來的左倍，則所得的一組新數據的方差變為原來的倍.

知識點05極差、方差的聯系與區別

聯系：極差與方差都是表示一組數據離散程度的特征數.

區別：極差表示一組數據波動范圍的大小，它受極端數據的影響較大；

方差反映了一組數據與其平均值的離散程度的大小.方差越大，穩定性也越小：反之，則穩定性越好.所

以一般情況下只求一組數據的波動范圍時用極差，在考慮到這組數據的穩定性時用方差.

知識點06用樣本估計總體

在考察總體的平均水平或方差時，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近似估計得到總體的

平均水平或方差.

【注意】

(1)如果總體數量太多，或者從總體中抽取個體的試驗帶有破壞性，都應該抽取樣本.取樣必須具有盡可

能大的代表性.

(2)用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也越精確.樣本容量的確定既要考慮問題本身

的需要，又要考慮實現的可能性所付出的代價.

Q能力拓展

考法01利用概念求平均數、中位數、眾數

【典例1】鞋店在一段時間內銷售了某種女鞋30雙，各種尺碼鞋的銷售量如表所示.你能根據表中的數據

為這家鞋店提供進貨建議嗎？

尺碼/cm2222.52323.52424.525

銷售量/雙12511731

【即學即練】2018年9月某市區一周空氣質量報告中其氣體污染指數的數據分別是37、39、38、37、39、

40、36,這組數據中的中位數是,平均數是,眾數是.

考法02利用三數一一平均數、眾數、中位數解決問題

【典例2】某校欲招聘一名數學教師，學校對甲、乙、內三位候選人進行了三項能力測試，各項測試成績滿

分均為100分，根據結果擇優錄用，三位候選人的各項測試成績如下表所示：

⑴如果根據三項測試的平均成績，誰將被錄用？說明理由；

(2)根據實際需要，學校將教學、科研和組織三項能力測試得分按5：3：2的比例確定每人的成績，誰將被

錄用？說明理由.

測試成績

測試項目甲乙丙

教學能力857373

科研能力707165

組織能力647284

【即學即練】小林在八年級第一學期的數學書面測驗成績分別為：平時考試第一單元得104分，第二單元

得96分,第三單元得112分；期中考試得102分；期末考試得110分.如果按照平時、期中、期末各占10%,

30%,60%計算，那么小林該學期數學書面測驗的總評成績為多少分？

【典例3】下表是七年級（2）班30名學生期中考試數學成績表（已破損）.

成績（分）5060708090100

人數（人）2573

已知該班學生期中考試數學成績平均分是76分.

（1）求該班80分和90分的人數分別是多少？

（2）設此班30名學生成績的眾數為中位數為力，求人的值.

【即學即練】某教師為了對學生零花錢的使用進行教育指導，對全班50名學生每人一周內的零花錢數額進

零花錢數額（元）5101520

學生個數（個）a15205

請根據表中的信息，回答以下問題.

（1）求。的值；

（2）求這50名學生每人一周內的零花錢額的眾數、中位數和平均數.

考法03方差

【典例4】某社區準備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一?人參加集訓，兩人各射了5箭，他們的總成績（單

位：環）相同，小宇根據他們的成績繪制了如下尚不完整的統計圖表，并計算了甲成績的平均數和方差（見

小宇的作業）.

甲、乙兩人射箭成績統計表

第1次第2次第3次第4次第5次

甲成績94746

乙成績757a7

丁小宇的作業

(7-6):+(4-6),*(6-6),|

W(9.4.1+4.0)

=3.6

（I）a=，互=:

（2）請完成圖中表示乙成績變化情況的折線；

（3）①觀察折線圖，可看出的成績比較穩定（填“甲〃或"乙”）.參照小宇的計算方法，計算乙成績

的方差，并驗證你的判斷.

②請你從平均數和方差的角度分析，誰將被選中.

8.某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓.現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取

8次，數據如下（單位：分）.

甲9582888193798478

乙8375808090859295

（1）請你計算這兩組數據的平均數、中位數.

（2）現要從中選派?人參加操作技能比賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪名工人參加合適？請說明

理由.

考法04統計思想

【典例5】9.中考體育測試前，推塔區教育局為了了解選報引體向上的初三男生的成績情況，隨機抽取了

本區部分選報引體向上項目的初三男生，并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統計圖.

請你根據圖中的信息，解答下列問題：

（1）寫出扇形圖中，并補全條形圖；

（2）在這次抽測中，測試成績的眾數和中位數分別是個、個；

（3）該區體育中考選報引體向上的男生共有2400人，如果體育中考引體向上達6個以上（含6個）得滿

分，請你估計該區體育中考中選報引體向上的男生能獲得滿分的有多少名？

【即學即練】某公司對消費者進行了隨機問卷調查，共發放1000份調杳問卷，并全部收回，根據調查問卷,

將消費者年收入情況整理后，制成如下表格（被調查的消費者年收入情況）：

年收入/萬元38102050

被調查的消費者數/人1005003005050

（1）根據表中數據，被調查的消費者平均年收入為多少萬元？

（2）被調查的消費者年收入的中位數和眾數分別是和萬元.

（3）在平均數、中位數這兩個數據中，誰更能反映被調查的消費者的收入水平?請說明理由.

M分層提分

題組A基礎過關練

1.一組數據：1、2、2、3,若添加一個數據2,則發生變化的統計量是（）

A.平均數B.中位數C.眾數D,方差

2.某排球隊6名場上隊員的身高〔單位：cm）是：］80,184,188,190,192,194.現用一名身高為186cm

的隊員換卜場上身高為192cm的隊員，與換人前相比，場上隊員的身高（）

A.平均數變小，方差變小B.平均數變小，方差變大

C.平均數變大，方差變小D.平均數變大，方差變大

3.甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入比賽，參賽學生每分鐘輸入漢字個數的統計結果如下表:

班級參加人數平均數中位數方差

甲55135149191

乙55135151110

某同學分析上表后得出如下結論:

①甲、乙兩班學生的平均成績相同；

②乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數（每分鐘輸入漢字2150個為優秀）；

③甲班成績的波動比乙班大.

上述結論中，正確的是（）A.①②B.②③C.①③

D.①②③

4.王，修，…，蟲的平均數為4,的平均數為6,則演,々，的平均數為（）

A.5B.4C.3D.8

5.某市6月份日平均氣溫統計如圖所示，則在日平均氣溫這組數據中，眾數和中位數分別是（)

天數

A.21,21B.21,21.5C.21,22D.22,22

6.在某校“我的中國夢”演講比賽中，有9名學生參加決賽，他們決賽的最終成績各不相同.其中的一名學生

想要知道自己能否進入前5名，不僅要了解自己的成績，還要了解這9名學生成績的（）

A.眾數B.方差C.平均數D.中位數

7.若一組數據2,3,4,5,x的方差與另一組數據5,6,7,8,9的方差相等，則x的值為（）.

A.1B.6

C.1或6D.5或6

已知一組數據七，々，匕的平均數是方差是:，那么另一組數據內-

8.4，x”2,32,3X2-2,3X3-2,

的平均數和方差分別是（）.

3X4-2,3X5-2,

12

A.2,—B.2,1C.4,—D.4,3

33

題組B能力提升練

9.已知?組數據4,x,5,y,7,9的平均數為6,眾數為5,則這組數據的中位數是.

10.某水果店銷售11元，18元，24元三種價格的水果，根據水果店一個月這三種水果銷售量的統計圖（如

圖），可計算出該店當月銷售出水果的平均價格是元-

11.已知一組從小到大排列的數據：2,5,x,y,2x,11的平均數與中位數都是7,則這組數據的眾數是.

12.已知2,3,5,〃?，〃五個數據的方差是2,那么3,4,6,〃?+1,〃+1五個數據的方差是.

13.已知5個互不相同的正整數的平均數是18,中位數25,那么這5個正整數中最大數的最大值是.

14.兩組數據：3,a,2b,5與a,6,〃的平均數都是6,若將這兩組數據合并為一組數據，則這組新數據

的中位數為.

15.下表為某班學生成績的次數分配表.已知全班共有38人，且眾數為50分，中位數為60分，則x?-y之

值為________

成績

2030405060708090

（分）

次數

235X6y34

（人）

題組C培優拔尖練

16.在一次中學生田徑運動會上，根據參加男子跳高初賽的運動員的成績（單位：m）,繪制出如下的統計

圖①和圖②，請根據相關信息，解答下列問題：

AI2

（I）圖1中a的值為；

（H）求統計的這組初賽成績數據的平均數、眾數和中位數；

（in）根據這組初賽成績，由高到低確定9人進入復賽，請直接寫出初賽成績為1.65m的運動員能否進入

復賽.

17.學校開展“書香校園〃活動以來，受到同學們的廣泛關注，學校為了解全校學生課外閱讀的情況，隨機調

查了部分學生在一周內借閱圖書的次數，并制成如圖不完整的統計表.學生借閱圖書的次數統計表

借閱圖

4次及

書的次0次1次2次3次

以上

數

人數713a103

請你根據統計圖表中的信息，解答下列問題；

（l）a=,b=.

（2）