2026高考數學高頻考點練：二項式定理

二項式定理

一.選擇題（共10小題）

1.若（a+x）4的展開式中X的系數是-玄則〃=（）

11

A.1B.-C.*D.-1

【答案】C

【解析】???（4+X）4的展開式中X的系數是以?〃=一｝

._1

,,”一下

故選：C.

2.在。-依）4的展開式中，一的系數為（）

A.6B.-6C.12D.-12

【答案】A

【解析】（》—04的通項公式為：（?I）,禽.工—.34-r+^=3.可得尸=2.

二項展開式中x3的系數：心?（?1）2=6.

故選：A.

3.（益一65的展開式中，x的系數是（）

A.-40B.40C.-80D.80

【答窠】。

【解析】由二項式定理可知（2x-f5展開式的第什1項

7k】=cg⑵）5'（T'=（-|）磔丁磋/⑵，go,1,...?5）

令5?2廠=1,可得廠=2.即含x的項為第3項，

??,乃=80%,故x的系數為80.

故選：D.

4.若（2r-1）4=a4X4+?3X3+cr2￥2+auv+ao>則00+02+44=（）

A.40B.41C.-40D.-41

【答案】B

【解析】法一：*.*(2.V-1)4=f74.V4+6f3,X3+?2X2+6Z|X+iZO?

可得的=以=1,t/2=C4X22=24,04=C4X24=16?

???。0+口2+。4=41,

故答案為：41.

法二：(2x-1)4=a4X4+ayc3+a2X2+aix+ao,

令X=1,可得40+。1+。2+。3+。4=1，

再令A=-1>可得。0-￡71+6,2_〃3+。4=（-3）4=81,

工兩式相加除以2可得，40+。2+。4=上^"=41,

故選：B.

5.（々-2）2025的展開式中的常數項是（）

人

A.第673項B.第674項C.第675項D.第676項

【答案】D

72025

【解析】由題意可得（收一（嚴5展開式的通項公式為m.Cas（用2025“（一9夕〃=（一）鍍025廠一7

令202：-3k=0,解得*=675,故常數項為第676項.

故選：O.

6.二項式。一女）4。-1）的展開式中，常數項為（）

人

A.24B.6C.-6D.-24

【答案】D

【解析】展開式的通項公式為77+1=《%4-（一（尸=（一2>04-2/，廠€八,廠工4,

顯然4?2r=-1無解，由4-2廠=0，得尸=2,

所以所求常數項為73-（-1）=-（-2）2第=-24.

故選：D.

7.若。-登1展開式的常數項為60,則常數。的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【解析】"一登）6展開式的通項公式為心尸《?（一何”令6-3廠=0,求得廠=2,

可得它的常數項為索?。=60,??“=%

故選：B.

8.若（1?X）,;的+⑶工+^^+…+//,貝I］。2+。4+〃6=（）

A.31B.32C.63D.64

【答案】C

【解析】（1-X）7=即+。L+。>2+一葉。7d中，

令X=0,解得即=1,

令x=l,可得ao+ai+…+以7—0?

令x=-1,可得如-a\+...-47=27,兩式相加得：。0+42+。4+〃6==64,

故。2+。4+。6=63.

故選：C.

9.己知(l+2x)"(，怎N*)的展開式中第2項、第3項、第4項的二項式系數成等差數列，則〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】已知(l+2x)〃(?GN*)的展開式中第2項，第3項，第4項的二項式系數為C1%第，

可得：2髭=己+門，即2x當鎮=九+"啜毅1—2),

化筒得6(〃-1)=6+(〃-1)(〃-2),即：/-9〃+14=0,

解得：〃=7或〃=2(舍去).

即〃=7.

故選：C.

10.在(f+x+y)6的展開式中，/y的系數為()

A.3B.6C.60D.30

【答案】C

【解析】(f+x+y)6表示6個因式f+x+y的乘積，

在6個因式中，1個因式選y,2個因式選x2,3個因式選x,

故“y的系數為c1c：或=60.

故選：C.

二.多選題(共4小題)

8239

(多選)II.若(x+2)(x-1)=ao+?i(x+1)+a2(x+1)+a3(x+1)+-+a9(x+l),則下列結論正確的是()

A.11+02+43+…+。9=2

B.a7=96

C.的+2。［+2%2+2%3+…+2%9=4

D.ai+2a2+3內+…+9〃9=~15

【答案】BD

【解析】A：令.丫=-1,則ao=(-1+2)X(-I-1)8=256,

令x=0,則ao+ai+...+ag=2,所以ai+...+ag=2-256=-254,故A錯誤；

B:令f=x+l,則X=L1,則原多項式化為：(什1)(L2)8,

二項式(L2)8的通項公式為「班［=禺代-「(一2)「，令8r=7,則廠=1：令8-尸=6,貝b=2,

則日即(x+1)7的系數為lxCj-(-2)+田?(-2尸=96,故B正確；

C：令x=l,則的+2。1+…+29。9=0,故C錯誤；

88

D：對已知等式兩邊同時求導可得：(x-1)+S(x+2)(x-1)7=%+2a2(x+1)+…+9a9(x+1)?

令x=0,則4|+2。2+...+9〃9=(-1)8+16X(-1)7=-15,故。正確.

故選：BD.

（多選）12.已知二項式（?的展開式中各項系數之和為上，則（）

乙x64

A.展開式中共有6項

B.展開式中二項式系數的和為64

C.展開式中常數項為普

16

D.展開式中系數最大的項是笫2項

【答案】BC

【解析】令入=1,則（-4尸=表=71=6,則展開式共有7項，4錯誤；

二項式系數和為￥=oCZ=（1+1）6=64,8正確；

1n—r1n-3r

展開式通項為T「+1=gG）nT（EP-（-l）r（x）-r=C^y-r（-1）"H，其中〃=6,

115

622

6-3r--=--

0——=0=r=2,則常數項為73216。正確:

乙

11311515

6c1\6-c2z十c3?5-3z13

各項系數依次為:（1）-°（6-J6(-6-6-6f-(-

2x2)-1'k2x2

6416

心（/I（一1）4=字，C"）6-5（_I）5=_3,點（鼻6-6（_i）6=i,則系數最大項為第5項，O錯誤.

故選：BC.

（多選）13.數學家波利亞說過：為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量

算兩次，從而建立相等關系.根據波利亞的思想，由恒等式（l+x1”?（1+x）〃=（1+x）*〃（"〃￡N*）左右兩邊

展開式./（其中/WN*,rW〃，/系數相同，可得恒等式武C；?+以％■〔+…+最%=可+而我們稱之為范德

蒙德恒等式，下列關于范德蒙德恒等式說法正確的是（）

A.—=C篇

B.CiCt+C1Cl+-+Clcl=

C.Uolo+%臉+…+Mig=制

D??>+（鬣）2+…+（⑵2=%-1

【答案】BD

s5

【解析】對于4由范德蒙德恒等式，C^n=C^++...+C^C^n,故力錯誤；

對于8,在范德蒙德恒等式中,令〃=5,〃?=6,1=6,有比琮+7琮+???+?<?』=C$i，故8正確;

對于C,在范德蒙德恒等式中，令〃-〃=10,〃=9,有竦040+10蛻）+-+裾0竦0=廢0,故。錯誤；

對于。，在范德蒙德恒等式中，令陽=〃，「=〃,有中G；+:印-1+…+C"?g=C?n,

由組合數性質，七=GL，所以武二品，底=6-1,…，弓=武，

故?）2+?）2+?）2+...+@）2=C卻

所以（或）2+（C幻2+…+（印>=。%-1，故。正確.

故選：BD.

（多選）14.已知（血好+白）"（常數桁>（））的展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，則（）

A.n=10

B.展開式中奇數項的二項式系數的和為256

C.展開式中的系數為45〃，

D.若展開式中各項系數的和為1024,則第6項的系數最大

【答案】ACD

【解析】由題可得展開式的通項為7葉1=的（77比2尸一（專）r=mn-Xrx-^~t

對于從由展開式中第5項與第7項的二項式系數相等，

可得第=底，由組合數的性質可知〃=10,故4正確：

對于從由（md+白）10,則展開式中奇數項的二項式系數之和為2.1=512,故4錯誤：

4x10—5r

對于。，由一--二15解得/=2,則展開式中i15的系數為小。-2*0=45巾8,故C正確；

對于。，令x=l,則展開式中各項系數之和（w+l）l0=1024=2,c,解得〃?=1,

可得展開式的通項為77+1=Go無呼，即每項系數均為該項的二項式系數，

易知展開式中第6項為二項式（X2+%）1。的中間項，則其系數最大，故。正確.

故選：ACD.

三.填空題（共10小題）

15.在（x+1）"的二項展開式中，若各項系數和為32,則小項的系數為io.

【答案】見試踵解答內容

【解析】由題意，展開式中各項系數的和是（1+1）〃=32,所以〃=5,

則該二項式的通項公式是0+1=星?爐-r,Vt

令5-r=2,解得/?=3,故x2項的系數為或=10.

故答案為：10.

16.設（1-2x）4=ao+a\x+ayc2+ay（3+a4X4,則>0+44=17.

【答案】見試題解答內容

【解析】根據題意及二項式定理可得：

的+。4=C$+（?t-（-2）4=17.

故答案為：17.

17.（1-5（x+y）的展開式中x2/的系數為（用數字作答）.

【答案】-28.

【解析】（巾）8的通項公式為小產金、8-y,

2635

當廠=6時，T7=CgXy,當/=5時，T6=C|xy,

???（l-少（x+y）8的展開式中小心的系數為eg一琮=曷一焉=28—56=-28.

故答案為：-28.

18.在。2一點）7的二項展開式中，含/的項的系數是84.（用數字作答）

【答案】84.

【解析】二項式的展開式的通項公式為7-1=僅%2尸（_今「=（_2尸取14-5—,…，7,

令14-5r=4,可得〃=2,則/的系數為（-2）2.方=84.

故答案為：84.

19.在（好-9）7的展開式中，常數項為1.

【答案】7.

【解析】二項式展開式的通項公式為了田=。沁3尸（一白尸二（一1）「取213（0.W7且代N）,

令21-與=0,則r=6,所以常數項為77=（-1）6G=7.

故答案為；7.

20.若二項式（立+備＞展開式中的常數項為160,則。=.

【答案】2.

【解析】若二項式（。好+2）5展開式中的常數項為160,

V人

25r10

由題二項式展開式的通項公式為：T升I=噩?（ax）-,弓"2r?.eg?x4,

所以當r=4時的項為常數項2"?a?eg=160,解得a=2.

故答案為：2.

21.（2%-1+Il的展開式中的常數項為-11（用數字作答）.

【答案】-11.

【解析】因為（2x-g+1）3=（2%-1皆為+1）3,

只需求（2r-1）3（r+l）3展開式中的爐的系數.

即政2x）3XC打3+fl（2x）2X（-I）1xcjx+cj（2x）x（-l）2xc我2+白X（-1）3XC/3

=（8-3X4X3+3X2X3-1）/=-llx3.

故答案為：-11.

22.（x+1）（2x-1）5的展開式中f的系數為-3o.（用數字