陜西省2025-2026學年七年級下學期期末模擬自測數學試卷（三）北師大版（含答案）

陜西省2025-2026學年七年級下學期期末模擬自測數學試卷

一.選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2025?廣陽區二模）若2。+2a+2。+2a=4詠4詠4詠心,則2a-16什9的值為（）

A.2B.3C.4D.5

2.（3分）（2025春?葉縣期末）2024年1月7日，中國第三代自主超導量子芯片“悟空芯”正式發布，標

志著我國在量子計算領域突破國外技術封鎖，掌握尖端核心科技.“悟空芯”實際運行狀態下的比特弛

豫時間（達長到熱動平衡所需時間）八20.0000153秒.其中0.0000153用科學記數法表示為（）

A.15.3X1O'5B.1.53X105C.I.53XIO'6D.-153X1（）6

3.（3分）事件4今天星期日，明天星期一；事件5：連續擲兩次硬幣，有一次正面朝上，則（）

A.事件力和事件8都是必然事件

B.事件4是隨機事件，事件8是不可能事件

C.事件4是必然事件，事件8是隨機事件

D.事件A和事件B都是隨機事件

4.（3分）（2023秋?沙坪壩區校級月考）計算：入6?%3的值是（）

A.-2A2B.2x2C.-2x3D.2x3

5.（3分）（2024春?江西校級月考）如圖，AB//EF,ZC=90°,若Na=30°,Zy=40°,則N0=

（）

6.（3分）（2024春?館陶縣期中）中國象棋文化歷史久遠，在如圖所示的部分棋盒中，“焉”的位置在

--"（圖中虛線）的下方，“焉”移動一次能夠到達的所有位置已用標記，則“焉”隨機移動一

次，到達的位置在“——”上方的概率是（）

1123

A.B.-D.

34c/4

7.（3分）（2024春?溫江區校級月考）若x=2.好2,則x2-4沙+4/的值是（)

A.1B.2C.3D.4

8.（3分）如圖是某交叉路口的示意圖，若Nl+N2=180°,Zl+Z3=180°,則N2=N3,理由是（）

Jb

口廠

A.同角的余角相等B.同角的補角相等

C.等角的余角相等D.等角的補角相等

二,填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

9.（3分）（2025秋?天河區校級期中）計算：Q-ab）4=.

10.（3分）（2025秋?臨泉縣期末）從單詞^mathematicsn中隨機抽取一個字母，字母%”出現的概率

是.

11.（3分）（2025春?平城區校級月考）如圖，從斑馬線上的點P處過馬路，沿線路P8行走距離最短，科

12.（3分）（2025秋?宜春校級月考）要使（F+G+3）（X-2）的結果中不含，項，則。為.

13.（3分）（2023春?未央區期中）下列正確說法中；

①同位角相等；②等角的補用相等；③兩直線平行同旁內角相等；④過一點有且只有一條直線與已

知直線垂直；⑤直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這一點到直線的距離：⑥對頂角的平分線在同

一條直線上，其中正確的有.（填序號）

三.解答題（共13小題，滿分81分）

14.（5分）（2023秋?婁底期中）計算：（-1）2。23+（一打1一|一2|+（2021-幾）°.

15.（5分）（2025春?深圳校級期中）某奶茶店舉辦“盲盒抽獎”活動，在一個不透明的盒子里裝有紅、

黑兩種顏色的球共40個，這些球除顏色外其余完全相同，每次摸獎，店員將球攪勻后，顧客從盒子里

隨機摸出一個球記下顏色，再把球放回盒子中，店員記錄了抽獎數據如下：

摸球的次5010030050080010002000

數n

摸到紅球143395155241298602

的次數W

摸到紅球0.280.330.3170.310.3010.2980.301

的頻率%

n

（I）通過以上摸獎數據，摸到紅球的概率估計為.（結果精確到0.01）

（2）若先從袋子中取出x（x>l）個紅球，不放回，再從袋子中隨機摸出1個球，此時“摸出黑球”

為必然事件，則工=.

（3）若先從袋子中取出x個紅球，再放入x個一樣的黑球并搖勻，隨機摸出1個紅球的概率為"求x

4

的值.

16.（5分）（2024春?岳池縣校級月考）如圖，直線48、CQ相交于點O,。必_1_44于點O,/4OD=4N

COM,求//OC的度數.

17.（5分）（2025春?長安區校級期中）如圖，已知三角形力5C,請用尺規作圖法過點力作直線使

得MN〃8C.（保留作圖痕跡，不寫作法）

Bc

18.（5分）（2025春?蕭山區期中）小曉在化簡整式（x+2y）2+（2.x-y）（2x+y）+x（Ox-3y）-2y時，

得到的結果是、2+產+個，則表示的數為.

【發現】小曉觀察計算結果f+V+xy,發現這個多項式是兩數的平方和加上兩數的積，她把具有這種結

構特征的多項式稱為“對稱多項式"，例如:a2+b2+ab,4擠9房+6人…，請你再寫出一個“對稱多項

式”（用含。，力的代數式表示）：

【探究】規定x※尸F+/+孫，若工和^，是兩個連續的奇數時，稱為這個對稱多項式的“對稱奇值。

小曉進一步研究，對稱奇值減去1,結果都是12的倍數，伊J如32+52+3X5-1=48,52+72+5X7-1=

108,試說明原因.

【應用】已知〃？-〃=2,〃〃?=3,求(m+1)X(w-1)的值.

19.（5分）（2025春?蒙陰縣期末）已知，直線48〃。。，點七為直線48上一定點，直線EK交CD于點、

F,FG平分NDFK,ZAEF=a.

（1）如圖1,當a=70"時，/GFK=°:

（2）點夕為射線FE上一點，點"為直線力8上的一動點，連接PM,過點尸作尸N_LPM交直線CO

于點N.

①如圖2,點尸在線段E尸上，若點”在點E左側，求尸與NPNC的數量關系；

②點P在線段正的延長線上，當點必在直線48上運動時，NMPN的一邊恰好與射線尺7平行，直

接寫出此時/PN/的度數（用含a的式子表示）.

備用圖

20.(5分)(2024秋?吉林月考)用簡便算法計算.

(1)20242-2025X2023：

(2)4+4X196+982.

21.（6分）（2024秋?蓮湖區校級期中）某商場進行抽獎活動，抽獎箱中只有“中獎”和“謝謝惠顧”兩

種卡片（兩種卡片形狀、大小相同，質地均勻），卜.表是活南進行中的一組統計數據.

抽獎總次數〃1001502008001000

抽到“中獎”334863b299

卡片的次數〃?

中獎的頻率”0.33a0.3150.30.299

n

（1）填空：a=,b=.

（2）根據“頻率的穩定性”估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率為.（精確到0.1）

22.（7分）（2023春?宿城區校級期中）已知〃”=3,an=2.

（1）求：①W的值：②產廠2〃的值；

（2）已知2X8*X32=227,求x的值.

23.（7分）（2025春?南海區校級月考）在一個不透明的盒子里裝有紅、黑兩種顏色的球共20個，這些球

除顏色外其余完全相同.為了估計紅球和黑球的個數，我們將球攪勻后，從盒子里隨機摸出一個球記下

顏色，再把球放回盒子中，多次重且上述過程，得到如表中為i組統計數據:

摸球的次數〃5010030050080010002000

摸到紅球的次數〃？143395155241298602

m

摸到紅球的頻率一0.280.330.3170.310.3010.2980.301

n

(1)通過以上實驗，盒子里紅球的數量為個.

(2)若先從袋子中取出X(A->1)個紅球,再從袋子中隨機摸出1個球，若“摸出黑球”為必然事件.

則工=.

(3)若先從袋子中取出x個紅球，再放入工個一樣的黑球并搖勻，隨機摸出1個紅球的概率為:，求x

4

的值.

24.(8分)(2025春?萊西市期中)如圖，N/1DE+N8b=180°,BE平分NABC,/ABC=2/E.

(1)48與EE的位置關系如何？為什么？

(2)若X廠平分NB4D,試證明：

①NBAD=2NF；

②NE+N產=90°.

25.(8分)計算.

(1)5氏?(3ab-2b3).

(2)(4x2-3x+6)?聶.

⑶(-jxy)-(1%/-2xy4-iy).

26.(10分)(2025春?昌圖縣期末)綜合與實踐：數學社團的同學以“兩條平行線"B、CD)和一塊含

45°角的直角三角板QEFG=90°)”為主題開展數學活動，已知點E、尸不能同時落在直線48和

8之間.

圖1圖2備用圖

(1)【探究】如圖1,把三角板的45°角的頂點￡、G分別放在48、C。上，若N4EG=140°,求/

/GC的度數；

(2)【遷移】如圖2,把三角板的銳角頂點G放在8上，且保持不動，繞點G轉動三角板，若點E

恰好落在力8和CQ之間，且,48與痔所夾銳角為25°,求/尸GC的度數：

(3)【拓展】把三角板的銳角頂點G放在CO上，在繞點G旋轉三角板的過程中，若乙DGE=^FGC

(NDGEV45。),請直接寫出射線G/與48相交所夾銳舛的度數.

參考答案與試題解析

選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）

1.（3分）（2025?廣陽區二模）若2。+2。+2。+2。=4詠4詠4詠型，則2。?166+9的值為（）

A.2B.3C.4D.5

【考點】事的乘方與積的乘方.

【專題】整式；運算能力.

【答案】D

【分析】根據同底數暴相乘，底數不變，指數相加的知識，先分別對等號左右兩邊進行化簡，然后得到

。=8/）?2,然后即可求解

【解答】解：由條件可知2。+2"+2。+2"=4乂2"=22乂2。=22+。，4詠4詠4詠40=4皿=（22）4Z>=28/）,

?22+a—2汕,

???2+a=8b,即a=8b?2；

，2a-168+9=2（86-2）-166+9=168-4-168+9=5,

故選：D.

【點評】本題考查了同底數鼎相乘，底數不變，指數相加的知識，掌握以上知識是解答本題的關鍵.

2.（3分）（2025春?葉縣期末）2024年1月7R,中國第三代自主超導量子芯片“悟空芯”正式發布，標

志著我國在量子計算領域突破國外技術封鎖，掌握尖端核心科技.“悟空芯”實際運行狀態卜?的比特弛

豫時間（達長到熱動平衡所需時間）7120.0000153秒.其中0.0000153用科學記數法表示為（）

A.15.3X1O-5B.1.53X10'5C.1.53X10-6D.-1.53X106

【考點】科學記數法一表示較小的數.

【專題】實數；符號意識.

【答案】B.

【分析】科學記數法的表示形式為“XI陰的形式，其中IW.IVIO,〃為整數.確定〃的值時，要看把

原數變成〃時，小數點移動了多少位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值210時，〃

是正數；當原數的絕對值VI時，〃是負數.

【解答】解：0.0000153=053X10r

故選：B.

【點評】此題考查科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為“義10〃的形式，其中lW|a|V10,

〃為整數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.（3分）事件4：今天星期日，明天星期一；事件比連續擲兩次硬幣，有一次正面朝上，則（）

A.事件A和事件B都是必然事件

B.事件X是隨機事件，事件〃是不可能事件

C.事件力是必然事件，事件6是隨機事件

D.事件A和事件B都是隨機事件

【考點】隨機事件.

【專題】概率及其應用；數據分析觀念.

【答案】C

【分析】根據隨機事件的定義進行解答即可.

【解答】解：???事件出事件兒今天星期FI,明天星期一，是必然事件；

事件8：連續擲兩次硬幣，有一次正面朝上，是隨機事件，

故選：C.

【點評】本題考查的是隨機事件，熟知在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件是

解答此題的關鍵.

4.（3分）（2023秋?沙坪壩區校級月考）計算：2^?/的值是（）

A.-2x2B.2x2C.-2x3D.2r3

【考點】整式的除法.

【專題】整式：運算能力.

【答案】D

【分析】利用單項式除以單項式的法則進行計算，即可解答.

【解答】解:2X64-?=2X3,

故選：。.

【點評】本題考查了整式的除法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

5.（3分）（2024春?江西校級月考）如圖，AB//EF.ZC=90°,若Na=30°,Zy=40°,則N0=

（）

A.90°B.100,C.110°D.120°

【考點】平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【答案】B

【分析】首先構造輔助線，再利用三角形的外角的性質以及平行線的性質建立角之間的關系即可得解,

解題的關鍵是通過作輔助線，構造了三角形以及由平行線構成的內錯角.

【解答】解：如圖，延長OC交力4于點G,延長C。交E尸于點〃，

在△M/O中，/2=0-丫，

'：ABI/EF,

AZ1=Z2,

.*.90°-cr=B-Y-

VZa=30°,Zy=40"

???90°-30°=0-40",

.*.Zp=100o.

故選：B.

【點評】本題主要考查了平行線的性質，關鍵是平行線性質定理的應用.

6.（3分）（2024春?館陶縣期中）中國象棋文化歷史久遠，在如圖所示的部分棋盒中，“焉”的位置在“一

??"（圖中虛線）的下方，'‘焉"移動一次能夠到達的所有位置已用標記，則“焉”隨機移動一

【考點】概率公式.

【專題】概率及其應用：數據分析觀念；應用意識.

【答案】B

【分析1根據概率公式直接計算即可.

【解答】解：???“焉”移動一次能夠到達的所有位置共有8個，位于在“——”上方的芍2個,

?,?“禹”隨機移動一次，到達的位置在“——”上方的概率是9

84

故選：B.

【點評】本題考查概率公式，理解題意，掌握概率公式是解題的關鍵.

7.（3分）（2024春?溫江區校級月考）若x=2尸2則x2-4A產4爐的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點】完全平方公式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】D

【分析】先對條件進行變形，再利用完全平方公式對原式進行因式分解，最后代入即可.

【解答】解：??5=2尸?2,

'?X-2y=2,

工原式=（x-2y）2

=22

=4.

故選：D.

【點評】本題主要考查完全平方公式，對條件進行變形是解題的關鍵.

8.（3分）如圖是某交叉路口的示意圖，若Nl+N2=180°,Zl+Z3=180°,則N2=N3,理由是（）

J4

A.同角的余角相等B.同角的補角相等

C.等角的余角相等D.等角的補隹相等

【考點】余角和補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線：運算能力.

【答案】B

【分析】根據同角的補角相等，即可解答.

【解答】解：若Nl+N2=180°,Nl+N3=180°,則N2=N3,理由是同角的補角相等，

故選：B.

【點評】本題考查了余角和補角，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵.

二,填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

9.（3分）（2025秋?天河區校級期中）計算：（-"）4=。％4.

【考點】轅的乘方與枳的乘方.

【專題】計算題：運算能力.

【答案】。％4.

【分析】根據哥的乘方與積的乘方進行計算即可.

【解答】解：原式=//.

故答案為：a4b\

【點評】本題主要考查幕的乘方與積的乘方，熟練掌握其運算法則是解題的關鍵.

10.（3分）（2025秋?臨泉縣期末）從單詞“mathematics”中隨機抽取一個字母，字母出現的概率是

2

11—,

【考點】概率公式.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】高

【分析】如心”中共11個字母，字母。有2個，根據概率公式可得答案.

【解答】解：???單詞"〃山兒"Mies”，共11個字母，字母a有2個，

???抽中字母。的概率為高.

故答案為：—.

【點評】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

11.（3分）（2025春?平城區校級月考）如圖，從斑馬線上的點P處過馬路，沿線路28行走距離最短，科

【專題】線段、角、相交線與平行線：應用意識.

【答案】垂線段最短.

【分析】根據垂線段最短，即可解答.

【解答】解：如圖，從斑馬線上的點尸處過馬路，沿線路PB行走距離最短，科學依據是垂線段最短,

故答案為：垂線段最短.

t點評】本題考查了垂線段最短，熟練掌握這些數學知識是部題的關鍵.

12.（3分）（2025秋?宜春校級月考）要使（W+or+3）（x-2）的結果中不含x2項，則a為2.

【考點】多項式乘多項式；合并同類項.

【專題】計算題：方程思想；整式；運算能力.

【答案】2.

【分析】先把多項式合并，然后令，項系數等于0,再解方程即可.

【解答】解：:多項式（.F+a什3）（x-2）=7+十（3-2a）x-6不含一項，

，a-2=0,

解得a=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查了合并同類項法則及對多項式“項”的概念的理解，要知道多項式中的每個單項式叫

做多項式的項，題目設計精巧，有利于培養學生靈活運用知識的能力.

13.（3分）（2023春?未央區期中）下列正確說法中：

①同位角相等；②等角的補角相等；③兩直線平行同旁內角相等；④過一點有且只有一條直線與已

知直線垂直：⑤直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這一點到直線的距高；⑥對頂角的平分線在同

一條直線上，其中正確的有⑵⑥.（填序號）

【考點】平行線的判定與性質：余角和補角；點到直線的距離；同位角、內錯角、同旁內角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；應用意識.

【答案】②⑥.

【分析】根據平行線的性質；補角的性質；垂線的基本事實；點到直線的距離；對頂角的性質，逐項判

斷即可求解.

【解答】解：①兩直線平行，同位角相等，不是所有的同位角都相等，所以本選項錯誤，不符合題意:

②等角的補角相等，本選項正確，符合題意；

③兩直線平行，同旁內角互補，所以本選項錯誤，不符合題意：

④在同一平面內，過一點有巨只有一條直線與已知直線垂直，所以本選項錯誤，不符合題意：

⑤直線外一點到這條直線的全線段的長度，叫做這一點到直線的距離，所以本選項錯誤，不符合題意;

⑥對頂角的平分線在同一條直線上，本選項正確，符合題意；

綜上，正確的是②⑥.

故答案為：②⑥.

【點評】本題主要考查了平行線的性質：補角的性質；垂線的基本事實；點到直線的距離：對頂角的性

質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵，是基礎題.

三,解答題（共13小題，滿分81分）

14.（5分）（2023秋?婁底期中）計算：（一1嚴3+（一打1_|一2|+（2021-啖

【考點】負整數指數耗；絕對值；有理數的加減混合運算；有理數的除法；有理數的乘方；零指數箱.

【專題】實數；運算能力.

【答案】7.

【分析】先根據乘方、負整數指數幕、絕對值、零指數幕的運算法則計算，再合并即可.

【解答】解：原式=-1-2-24-1

=-3-2

=-5.

【點評】此題考查的是乘方、負整數指數暴、絕對值、零指數'幕的運算，掌握其運算法則是解決此題的

關鍵.

15.（5分）（2025春?深圳校級期中）某奶茶店舉辦“盲盒抽獎”活動，在一個不透明的盒子里裝有紅、

黑兩種顏色的球共40個，這些球除顏色外其余完全相同，每次摸獎，店員將球攪勻后，顧客從盒子里

隨機摸出一個球記下顏色，再把球放回盒子中，店員記錄了抽獎數據如下：

摸球的次5()10030()50080010002000

數〃

摸到紅球14339515525298602

的次數m

摸到紅球0.280.330.3170.310.3010.2980.301

的頻率”

n

（1）通過以上摸獎數據，摸到紅球的概率估計為0.30.（結果精確到0.01）

（2）若先從袋子中取出x（x>l）個紅球，不放回，再從袋子中隨機摸出1個球，此時“摸出黑球”

為必然事件，則尸12.

（3）若先從袋子中取出x個紅球，再放入x個一樣的黑球并搖勻，隨機摸出1個紅球的概率為求x

4

的值.

【考點】利用頻率估計概率；隨機事件.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】（1）0.30；

(2)12；

（3）2.

【分析】（1）由表中摸球次數逐漸增大后，摸到紅球的頻率逐漸靠近于0.3,從而得出摸到紅球的概率:

（2）根據盒子里有12個紅球，再根據“摸出黑球”為必然事件，從而得出x=12；

（3）根據概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案.

【解答】解：（1）通過以上實驗，摸到紅球的概率估計為0.30,

故答案為：0.30；

（2）;摸到紅球的概率估計為0.3,

???盒子里紅球的數量為40X0.3=12（個）

???“摸出黑球”為必然事件，

/.x=12.

故答案為：12；

（3）由（1）知紅球12個，黑球28個，根據題意得：

12r_1

12-%+28+x-4’

解得：x=2,

因此，取出2個紅球并放入2個黑球后，隨機摸出紅球的概率為:

4

【點評】此題考查利用頻率估計概率.大展反復試驗下頻率穩定值即概率.用到的知識點為：部分的具

體數目=總體數目X相應頻率.

16.（5分）（2024春?岳池縣校級月考）如圖，直線/4、CD相交于點O,OMLAB于點、O,//OO-4N

COM,求N/OC的度數.

C

A\B

【考點】垂線；對頂角、鄰補角.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力；推理能力.

【答案】60°.

【分析】由垂直的定義得到N8OM=90°,由對頂角的性質得到N8OC=N4OO=4NCOM,求出N

COM=30",得到NSOC=120。，由鄰補角的性質即可求出N4OC的度數.

【解答】解：???。”_1_力4于點。，

??.N8OW=9（r，

2BOC=ZAOD=4ZCOM,

：,ZBOM=3ZCOM,

???NCOM=30°,

，N4OC=4NCOM=120°,

AZJOC=1800-ZBOC=60°.

【點評】本題考查垂線，對頂角、鄰補角，關鍵是掌握垂直的定義，鄰補角互補.

17.（5分）（2025春?長安區校級期中）如圖，已知三角形月8C,請用尺規作圖法過點4作直線使

得MN〃8C（保留作圖痕跡，不寫作法）

B。

【考點】作圖一復雜作圖；平行線的判定.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】見解析.

【分析】作NN4C=NC,直線MN即為所求.

【解答】解：如圖，直線即為所求.

【點評】本題考杳作圖-復雜作圖，平行線的判定，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題.

18.（5分）（2025春?蕭山區期中）小曉在化簡整式（x+2y）2+C2x-y）（2x+y）+x（Ox?3y）?2f時，

得到的結果是』+0+中，則“O”表示的數為7.

【發現】小曉觀察計算結果x2+f+xy,發現這個多項式是兩數的平方和加上兩數的積，她把具有這種結

構特征的多項式稱為“對稱多項式”，例如：“2+^2+",4/+9/+6"，…，請你再寫出一個“對稱多項

式”（用含a,6的代數式表示）〃2+4川+2ab（答案不唯一）：

【探究】規定x※片f+J+w若％和y是兩個連續的奇數時，、※?稱為這個對稱多項式的“對稱奇值。

小曉進一步研究，對稱奇值減去1,結果都是12的倍數，例如32+52+3X5?1=48,52+72+5X7-1=

108,試說明原因.

【應用】已知，〃-〃=2,〃〃?=3,求(m+1)X(〃-1)的值.

【考點】整式的混合運算一化簡求值；列代數式；完全平方公式；平方差公式.

【專題】整式：運算能力.

【答案】-4；

【發現】a2+4b2+2ab(答案不唯一);

【探究】對稱奇值減去1,結果都是12的倍數，原因見解析部分；

【應用】16.

【分析】根據整式的運算法則把原式展開后，再合并同類項，與原結果對比，即可得到結果；

【發現】仿照示例，先表示出這兩個數(式)，再按照示例的形式表示出來即可；

【探究】先表示出對稱多項式的“對稱奇值”，再減去1,進行化簡結果為12M,從而得到結論:

【應用】對(m+1)※(//-I)按示例展開，即可得到結果.

【解答】解：(x+2y)2+(2x-y)(2x+y)+x(Ox-3y)-2)r

=x2+4xy^-4/+4x2-jr+Ox2-3。-2y2

=(5+0)x^y^+xy,

???化簡的結果是F+f+xy,

???“。”表示的數為-4,

故答案為：?4；

【發現】設這兩個數為。，2b,

對稱多項式為a2+4b2+2ab,

故答案為：/+4力2+2(必(答案不唯一)：

【探究】對稱奇值減去1,結果都是12的倍數，原因如下：

設這兩個連續的奇數為2//-1和2〃+1(〃為整數)，

:.(2〃-1)X(2〃+1)-1=(2/?-1)2+(2〃+1)2+(2/j-1)(2〃+1)-1=12〃2,

???〃為正整數,

???12"為12的倍數,

，對稱奇值減去1，結果都是12的倍數：

【應用】(w+l)X(”用

=(陽+1)2+(Z7-1)2+(/M+1)(//-1)

=ni2+2m+\+n2-2n+\+mn-〃汁〃-1

=m2+n2+mn+m-〃+1

=(〃？-〃)2+3mn+(m-n)+1,

Vm-n=2,mn=3,

?，原式=22i3X3i2i1=16.

【點評】本題考查了整式的混合運算，涉及到完全平方公式的應用，熟練掌握整式的運算法則是解題的

關鍵.

19.（5分）（2025春?蒙陰縣期末）已知，直線4點E為直線力8上一定點，直線￡K交。。于點

F,FG平分4DFK,ZAEF=a.

（1）如圖1,當a=70°時，/GFK=55°；

（2）點尸為射線尸上一點，點M為直線力6上的一動點，連接AW,過點尸作尸NJ_PM交直線C。

于點N.

①如圖2,點P在線段EE上，若點M在點E左側，求N8MP與NPNC的數量關系；

②點夕在線段收的延長線上，當點心在直線力4上運動時，NMPN的一邊恰好與射線FG平行，直

接寫出此時NPN/的度數（用含。的式子表示）.

備用圖

【考點】平行線的性質；垂線.

【專題】線段、角、相交線與平行線：運算能力.

【答案】（1）55；

（2）①NPNC-NH"P=90°；②NPNF=90。-^ZPNF=^.

【分析】（1）由平行線的性質得NKR7=/尸以=a,由平角的定義得N/產K=ll（）。再由角平分線的定

義求解即可；

（2）①過點尸作P。〃/8,則尸0〃/8〃CQ,根據平行線的性質和等量代換即可求解；

②分當PN//FG時和當PM//FG時兩種情況討論即可.

【解答】解：??18〃C。，

:?/KFC=/FEA=a,

Va=70°,

???NKR7=7(r,

.,.ZZ)FAr=18O0-700=110

?：FG斗分/DFK,

：?/GFK=g/DFK=55。,

故答案為：55：

①過點夕作夕0〃力8,如圖,

則P0〃48〃CO,

，/4%產+/〃。0=180°,NQPM=/BMP,

?；PN工PM,

AZMPN=90o,

即NMP0+N0PN=9()°,

；?NQPN=900-ZQPM=90°-/BMP,

?；NPNC+NNPQ=180°,

AZPNC+(90°-/BMP)=180°,

:?NPNC-NBMP=90°,

②當PN〃/G時，如圖,

.：AB〃CD,

：,ZCFK=ZAEF=a,

.,.ZDFK=180°-a,

，：FG平分/DFK,

Ia

:./DFG=》DFK=90"

■:PN//FG,

:./PNF=/GFD=90"一,

2

：./CFK=/AEF=a,

:./NFP=/DFK=1800-a,

?：FG平分NDFK,

：?NKFG=3/DFK=9O。卞

，：PM〃FG,

a

；?/KPM=/KFG=9C-p

■:PN1PM,

:?/NPF=90"-ZKPM=p

/PNF=1800-4NPF-/NFP

=180°-y-(180°-a)

a

=2-

故NPNr的度數為90°V或*

【點評】本題主要考查平行線的性質、角平分線的性質，熟凍掌握各知識點是解題的關鍵.

20.(5分)(2024秋?吉林月考?)用簡便算法計算.

(1)20242-2025X2023：

(?)4+4X196+9".

【考點】完全平方公式：平方差公式.

【專題】實數；運算能力.

【答案】＜1)1;

(2)10392.

【分析】(1)先把原式變形，再根據平方差公式進行計算即可；

(2)先把原式變形，再根據完仝平方公式進行計算即可.

【解答】解：⑴原式=20242-(2024+1)X(2024-1)

=20242-(20242-I2)

=20242-20242+1

=1;

(2)原式=22+2X2X2。98+982

=2?+2X2X98+982+2X2X98

=(2+98)2+2X2X98

=1002+4X(100-2)

=10000+400-8

=10392.

【點評】本題考查了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握平方差公式，完全平方公式是解題的關鍵.

21.(6分)(2024秋?蓮湖區校級期中)果商場進行抽獎活動，抽獎箱中只有“中獎"和’,謝謝患顧”兩

種卡片（兩種卡片形狀、大小相同，質地均勻），下表是活動進行中的一組統計數據.

抽獎總次數〃1001502008001000

抽至1」“中獎”334863h299

卡片的次數〃7

中獎的頻率巴0.33a0.3150.30.299

n

（1）填審：a=0.32,h=240.

（2）根據“頻率的穩定性”估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率為0.3.（精確到0.1）

【考點】利用頻率估計概率.

【專題】概率及其應用；應用意識.

【答案】（1）0.32,240；

（2）估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率是S3.

【分析】（1）根據頻率和總數求出々的值即可；根據頻數和總數求出頻率人即可；

（2）根據頻率的穩定性，估計抽獎一次就中獎的概率即可.

【解答】解：（1）a=484-150X=0.32,

6=800X0.3=240；

故答案為：0.32,240：

（2）根據“頻率的穩定性”估計抽獎一次就抽到“中獎”的概率約是0.3,

故答案為：0.3.

【點評】本題考查了利用頻率估計概率，頻率的計算，利用須率估計概率求解即可.

22,（7分）（2023春?宿城區校級期中）已知V=3,an=2.

（1）求：①/■〃的值；②/⑵的值；

（2）已知2X8*X32=227,求一的值.

【考點】同底數轅的除法；同底數箱的乘法：哥的乘方與積的乘方.

【專題】整式：運算能力.

27

【答案】（1）①6;②了；

（2）7.

【分析】（1）根據同底數哥的乘法法則和除法法則求解即可；

（2）把各個數字化為以2為底數的形式，按照同底數靠的乘法法則，求解即可.

【解答】解：（1）?am+n=am-白”

=2X3

=6；

②小-2〃=戶

=("D3。(〃“)2

=334-22

27

=T;

（2）V2X8rX32=227

???2X（23）-rX25=227,

.\2X23XX25=227,

，l+3x+5=27,

解得：x=7.

【點評】本題考查了同底數昂的乘法和除法、暴的乘方與積的乘方，解答本題的關鍵是掌握運算法則.

23.（7分）（2025春?南海區校級月考）在一個不透明的盒子里裝有紅、黑兩種顏色的球共20個，這些球

除顏色外其余完全相同.為了估計紅球和黑球的個數，我們將球攪勻后，從盒子里隨機摸出一個球記下

顏色，再把球放回盒子中，多次重復上述過程，得到如表中的一組統計數據：

摸球的次數〃5010030050080010002000

摸到紅球的次數〃1143395155241298602

摸到紅球的頻率”0.280.330.3170.310.3010.2980.301

n

（1）通過以上實驗，盒子里紅球的數量為6個.

（2）若先從袋子中取出x（x>1）個紅球，再從袋子中隨機摸出1個球，若“摸出黑球”為必然事件，

則工=6.

（3）若先從袋子中取出x個紅球，再放入x個一樣的黑球并搖勻，隨機摸出1個紅球的概率為:，求x

4

的值.

【考點】概率公式：統計表：隨機事件.

【專題】概率及其應用；運算能力.

【答案】（1）6；

(2)6；

(3)1.

【分析】（1）由表中摸球次數逐漸增大后，摸到紅球的頻率逐漸靠近于0.3,從而得出摸到紅球的概率,

再用總球的個數乘以紅球的概率即可得出盒子里紅球的數量；

（2）根據盒子里有6個紅球，再根據“摸出黑球”為必然事件，從而得出x=6；

（3）根據概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案.

【解答】解：（1）通過以上實驗，摸到紅球的概率估計為0.3,

盒子里紅球的數量為：20X0.3=6（個）.

故答案為：6；

（2）???盒子里有6個紅球，“摸出黑球”為必然事件，

??%—6.

故答案為：6；

（3）由（1）知紅球6個，黑球14個，根據題意得：

6—x1

6-x+14+x4’

解得：x=l,

則x的值為1.

【點評】此題考查利用頻率估計概率.大量反復試驗下頻率穩定值即概率.用到的知識點為：部分的具

體數目=總體數目X相應頻率.

24.（8分）（2025春?萊西市期中）如圖，N4DE+NBCF=180°,BE平分N4BC,NABC=2NE.

（1）48與￡尸的位置關系如何？為什么？

（2）若4萬平分NB4O,試證明：

①NBAD=2NF；

②/E+N產=90°.

【考點】平行線的判定與性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】（1）結合角平分線定義求出根據“內錯角相等，兩直線平行”即可得解;

（2）①根據平行線的性質及?侑平分線定義求解即可；

②根據平行線的判定與性質及角平分線定義求解即可.

【解答】解：Q）AB〃EF,理由如下：

,?射平分NWC,

J/ABC=2/ABE,

'：NABC=2NE,

:,NE=NABE,

：,AB//EFx

(2)①?：AB//EF,

；?/BAF=",

?Z產平分/比1。，

:.NBAD=2NBAF,

:?NBAD=2/F；

(2)VZADE+ZADF=180°,N力。E+N4C尸=180°,

NADF=NBCF,

：,AD//BC,

：,ZBAD+ZABC=\S00,

?:/ABC=2/E,/BAD=2NF,

i

AZ￡+ZF=x(NBAD+/ABC)=90°.

【點評】本題考查平行線的判定和性質、角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬

于中考常考題型.

25.(8分)計算.

(1)5方2。?(3ab-2b3).

(2)(4x2-3x4-6)-^x.

(3)(-1xy)-(|xy2-2xy4-^y).

【考點】單項式乘多項式.

【專題】整式；運算能力.

【答案】(1)15"3c?10%；

(2)2/一#+3x；

(3)―費2)'3+5『爐―挈爐

【分析】（1）利用單項式乘多項式的計算法則解答;

（2）利用單項式乘多項式的計算法則解答；

（3）利用單項式乘多項式的計算法則解答.

【解答】解：（1）原式=15a%-10戶c；

（2）原式=2》3-#+3X；

（3）原式=-^x2y3+5x2yr-^xy2.

【點評】考查了單項式乘多項式，單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單項

式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

26.（10分）（2025春?昌圖縣期末）綜合與實踐：數學社團的同學以“兩條平行線（AB、CD）和一塊含

45°角的直角三角板（NEFG=9U°）”為主題開展數學活動，已知點E、廠不能同時落在直線/也和

圖1圖2備用圖

（1）【探究】如圖1,把三角板的45°角的頂