第一章 集合與常用邏輯用語

01第一章集合與常用邏輯用語

1.1集合的概念與表示

一、元素與集合的概念及表示

1、元素：一般地，把研究對象統稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a,b,C,…表示.

2、集合：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集），集合通常用大寫的拉丁字母

A,B,C,

3、集合相等：只要構成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合是相等的.

二、元素的特性

1、確定性

給定的集合，它的元素必須是確定的.也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在

這個集合中就確定了.簡記為'確定性”.

【注意】如果元素的界限不明確，即不能構成集合.

例如：著名的科學家、比較高的人、好人、很難的題目等

2、互異性

一個給定集合中的元素是互不相同的.也就是說，集合中的元素是不重復出現的.

簡兄為“互異性”.

利用集合中元素的特異性求參數：

（1）集合問題的核心即研究集合中的元素，在解決這類問題時，要明確集合中的元素是什

么；

（2）構成集合的元素必須是確定的（確定性），且是互不相同的（互異性），書寫時可以不

考慮先后順序（無序性）.

（3）利用集合元素的特性求參數問題時，先利用確定性解出字母所有可能值，再根據互異性

對集合中元素進行檢驗，要注意分類討論思想的應用.

3、無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的.簡記為“無序性”.

三、元素與集合的關系

1、屬于與不屬于概念：

（1）屬于：如果Q是集合4的元素，就說Q屬于集合4,汜作Q￡4

（2）不屬于：如果Q不是集合4的元素，就說a不屬于集合4記作QW4

2、元素與集合關系的判斷方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在己知集合中是否出現即可.

（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的

特征即可，此時應首先明確已知集合中的元素具有什么特征.

四、常用的數集及其記法

名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集

記法NN*或N；ZQR

五、列舉法

把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號線}'括起來表示集合的方法叫做列舉法.

【注意】

（1）元素與元素之間必須用“，”隔開.

（2）集合中的元素必須是明確的.

（3）集合中的元素不能重復.

（4）集合中的元素可以是任何事物.

六.描述法

1、定義：一般地，設/表示一個集合，把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素工所組成的集

合表示為"6A|P（x）},這種表示集合的方法稱為描述法.有時也用冒號或分號代替豎線.

2、用描述法表示集合

（1）首先應弄清楚集合的屬性，是數集、點集還是其他的類型.

一般地，數集用一個字母代表其元素，而點集則用一個有序數對來表示.

（2）若描述部分出現元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍.

（3）多層描述時，應當準確使用“且”和“或”，所有描述的內容都要寫在集合內.

考點一判斷元素能否構成集合

【例1】下面給出的四類對象中，構成集合的是（）

A.某班視力較好的同學B.長壽的人

C.兀的近似值D.倒數等于它本身的數

【變式1］下列各對象可以組成集合的是（）

A.與1非常接近的全體實數

B.某學校2023-2024學年度第一學期全體高一學生

C.高一年級視力比較好的同學

D.高一年級很有才華的老師

【變式2】下面各組對象中不能形成集合的是（）

A.所有的直角三角形B.一次函數y=

C.高一年級中家離學校很遠的學生D.大于2的所有實數

【變式3】給出下列表述：①聯合國常任理事國；②充分接近魚的實數的全體；③方程/

的實數根④全國著名的高等阮校.以上能構成集合的是（）

A.①③B.①②C.①②③>①②③④

【變式4】下面能構成集合的是（

A.中國的小河流B.大于5小于11的偶數

C.高一年級的優秀學生D.某班級跑得快的學生

考點二判斷元素與集合的關系

【例2】下列關系中正確的個數是（）

⑴rZ,⑵&WR,⑶OWN*,(4)兀

A.1B.2C.3D.4

【變式1】給出下列關系：（1）（2）V3GQ；(3)-3WZ；(4)-V3生N,其中

?5

正確的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式2】給出下列四個關系：HER.OCQ,0.7WM060,其中正確的關系個數為

（）

A.4B.3C.2D.1

【變式3］（多選）下列關系中，正確的是（)

4

A.々ZB.7T￡RC.|-V2|GQD.0G/V

考點三利用元素的互異性求參數

【例3】如果有一集合含有兩個元素：%,%2-%,則實數%的取值范圍是________

【變式1】已知集合4中含有兩個元素a和小，若1W4則實數Q=

【變式3]-2]已知集合A由Q-1,2a2+5a+l,小+1組成，且-2￡4求Q=

【變式3】由Q2+L93,Q組成的集合含有元素2,則實數a的可能取值的個數是()

A.1個B.2個C.3個D?4個

考點四用列舉法表示集合

【例4】已知M是由1,2,3三個元素構成的集合，則集合M可表示為()

A.{x|x=l}B.{%|x=2}C.{1,2}D.[1,2,3}

【變式1】設M為我國四大河流長江、黃河、黑龍江、珠江組成的集合，那么集合M等于

()

A.{長江，黃河}B.{長江，黑龍江}

C.{長江，珠江}D.{長江，黃河，黑龍江，珠江}

【變式2】方程/=2%的所有實數根組成的集合為()

A.(0,2)B.{(0,2)}C.{0,2}D.{%2=2%)

【變式3】方程組產中彳°期解集是()

+yz=2

A.[(1,-1),(-1,1)}B.{(1,1),(-1,1))

C?{(1,-1)，(-1，-1)}D?0

【變式4](多選)下列集合中，可以表示為{2,3}的是()

A.方程/+5x+6=0的解集B.最小的兩個質數

*2x+3x+2

C.大于1小于4的整數D.不等式組丁>丁的整數解

2%-7<0

【變式5】已知集合4二核€Z|EEZ},用列舉法表示集合4

若集合4=[^ez\xez｝,用列舉法表示集合A

考點五用描述法表示集合

【例5】用描述法表示下列集合：

（1）比1大又比10小的實數組成的集合;

（2）平囿直角坐標系中第二象限內的點組成的集合;

（3）被3除余數等于1的正整數組成的集合.

【變式1】對集合｛1,5,9,13,17｝用描述法來表示，其中正確的是（）

A.{x|是小于18的正奇數}B.{XIx=4/c+l,上€2且攵＜5}

C.{%|x=4s-3,sEN,且s45}D.{x|%=4s-3,sEN",且s45}

【變式2】集合{1,3,S,7,9,...}用描述法可表示為()

A.{%|%=2n±1,n6Z}B.{%|x=2n+l,n6Z}

C.{%Ix=2n+l,nGN*}D.{xIx=2n+l,neN}

【變式3】用描述法表示被4除余3的自然數全體組成的集合4=

【變式4】用描述法表示下圖中的陰影部分可以是

V

-10

【變式5】下列各組中的M、P表示同一集合的個數是()

(1)M={3,-1],P={(3,-1))；

(2)M={(3,1)},P={(1,3)}；

(3)M-{y|y=x2-l},P={t\t=V%-1]

(4)M-{y\y=x2-l},P={(x,y)Iy=x2-l}.

(5)M-{y\y-Vr-1]，P—[x\y-\Jx-1)

A.0B.1C.2D.3

1.2集合間的基本關系

一.子集與真子集的定義與表示

1、子集：如果集合4中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，記

作AUB（或B3A）,讀作“A包含于夕（或"B包含4”）.

2、真子集：如果集合4是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于4那么集合4叫做

集合B的真子集.記作/￡B或（B2A）

【注意】（1）子集是刻畫兩個集合之間關系的，它反映的是局部與整體之間的關系（而元素

與集合之間的關系是個體與整體之間的關系）.

（2）并不是任意兩個集合之間都具有包含關系.

例如：A=[1,2｝,8二｛1,3｝,因為264,但2C8,所以A不是8的子集；同理，因為3W

B,但3W4,所以。也不是力的子集.

二、空集

1、定義：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為。，并規定：空集是任何集合

的子集.在這個規定的基礎上，結合子集和真子集的有關概念，可以得到：（1）空集只有一

個子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集.

2、0,｛0｝,。，｛0｝的關系

0與0。與｛0｝0與{0}

相同

都表示無意思都是集合都是集合

點

不同。是集合；。是。中不含任何元素；｛0｝含一。不含任何元素；｛0｝含一個元素，

點實數個元素0該元素是0

關系0g00§{0}0s{。}$或0G{0}

三、子集的性質

（1）規定：空集是任意一個集合的子集.也就是說，對任意集合力，都有。￡4

（2）任何一個集合4都是它本身的子集，即4c4

（3）如果力￡B,BEC,則AcC.

（4）如果4窿B,B則4gC.

【注意】空集是任何集合的子集，因此在解AH0）的含參數的問題時，要注意討論

4二。和4工。兩種情況，前者常被忽視1,造成思考問題不全面.

四、子集的個數

如果集合A中含有n個元素，則有

（1）4的子集的個數有2n個.

（2）A的非空子集的個數有型-1個.

（3）4的真子集的個數有2n-1個.

（4）A的非空真子集的個數有2，-2個.

考點一判斷集合間的包含關系

［例1］已知集合4=｛x\x>-2｝,5=<%|-2<x<l｝,則下列關系正確的是（）

A.A=BB.4GBC.BQAD.4nB=0

【變式1】設集合4={0,1},集合B={x|x<2或x>3},則4與B的關系為()

A.AeBB.BEAC.AQBD.BU4

【變式2】設集合M二｛菱形｝,N二｛平行四邊形｝,P=｛四邊形｝,Q=｛正方形｝,則這些集合

之間的關系為（）

A.PQNQMQQB.QGMGNGP

C.PUMUNQQD.QQNUMUP

【變式3】下面五個式子中：(1)Q[{Q}；(2)0Q{a}；(3){a}G{a,b}；(4){a}Q

{吟

(5)aE{bfc,a}；正確的有()

A.(2)(4)(5)B.(2)(3)(4)(5)

C.(2)(4)D.(1)(5)

【變式4】設集合M二{%|x二4九，neZ},/V={%|x=2n,neZ),則()

A.Mc/vB?N￡MC.M€ND.NEM

考點二確定集合的子集和真子集

【例2】集合4二｛0,1,2｝的非空真子集的個數為（）

A.5B.6C.7D.8

【變式1】已知集合4=｛%I-1<%<3,xeN],貝必的子集共有（）

A.3個B.4個C.8個D.16個

【變式2】設集合M二｛%|%（%-2）=0｝,且NCM,則滿足條件的集合N的個數為（）

A.3B.4C.7D.8

【變式3】已知集合4二｛xlxWN*,三WN*｝,則集合4的子集個數為（）

A.8B.16C.32D.64

【變式4】滿足{a}QMQ{a.b,c}的所有集合M共有個.

【變式5】適合條件{1}UA些{1,2,3,4,5}的集合/的個數是()

A.15B.16&31D-32

【變式6]滿足。2,3}的集合M共有()

A.6個B.7個C.8個D.15個

考點三集合相等及其應用

【例3】下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(2,3)},N={(3,2))

B.M=2,3,N={3,2}

C.M={(%,y)|y=x+1},N-{y\y=x+l)

D.M={%|y=x2+l},N={y\y=x2+l]

【變式1】設集合M二{5,%2),/V={5x,5}?若M=N,則實數x的值組成的集合為()

A.{5}B.{1}C.{0,5}D.{0,1}

【變式2】若｛x|=o｝二｛i,3｝,則p*q的值為（)

A.-3B.3C.-1D.7

2

【變式3】集合{1,a,9={0，afa+b},則Q"/的值為()

A.0B.1C.-1D.±1

【變式4]若{M,o,-l}={a,b,0),則(ab)3的值為()

A.0B.1C.-1D.±1

考點四根據集合的包含關系求參數

【例4】己知集合/二{-1,3,m),8={3,4],若BG4則實數m=

【變式1】A={xI/-2%-3=0},B-\x\ax-1},若B￡4則實數a的值構成的集合M二

【變式2](多選)已知集合4二[2,5),B=(a,+8)?若4GB,則實數Q的值可能是()

A.-3B.1C.2D.5

【變式3】已知集合4={》|-54x42},B={X|2Q-3VXVQ_2},且43B,求實數Q的

取值范圍.

【變式4】已知集合4二{x|-14x41},^={x|a-l<x<2a-l],若則實數a的

取值范圍是()

A.a<1B.a<1C.0<a<1D.0<a<1

1.3集合的基本運算

一、交集

1、文字語言：對于兩個給定的集合4,B,由屬于4又屬于B的所有元素構成的集合，叫做

4B的交集，記作408,讀作“力交8”

2、符號語言：A[}B-{X\XEA^XEB}

3、圖形語言：陰影部分為AflB

4、性質：AC\B=BC\At4nA=4,4D。二。fM二。，如果力&B,則408二4

5、解題思路：單個數字交集找相同，不等式的交集函數軸，不同集合高度畫不同.

二、并集

1、文字語言：對于兩個給定的集合4B,由兩個集合的所有的元素組成的集合，叫做力與B

的并集，記作4UB,讀作“4并

2、符號語言：A[JB={x\xEA^xEB)

3、符號語言：陰影部分為AUB

4、性質：AUB=BU4,A{JA=A,AU。=0UA=4,如果4UB,則4UB=B.

5、解題思路：兩個集合所有元素集中在一起，但是重復元素只寫一次，要滿足集合中的互異

性三、補集

1、全集：在研究集合與集合之間的關系時，如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，

那么稱這個給定的集合為全集.記法：全集通常記作U.

2、補集

(1)文字語言：如果給定集合4是全集U的一個子集，由U中不屬于4的所有元素構成的集

合，叫做力在U中的補集，記作Q4

(2)符號語言：QA={xlxWU且xC4}

(3)符號語言：

(4)性質：AUQM=U；/inC(M=。；Cu(CuA)=4

【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R,要看題目的.

四、利用交并補求參數范圍的解題思路

1、根據并集求參數范圍：A{JB=B=>AQB,

若4有參數，則需要討論4是否為空集；

若B有參數，則BA0

2、根據交集求參數范圍：4nB=A=418

若4有參數，則需要討論4是否為空集；

若B有參數，則BW0

五、區間及相關概念

1、一般區間的表示：設Q,b是兩個實數，而且QVb,我們規定：這里的實數Q,b叫做區間

的端點.

在用區間表示連續的數集時，包含端點的那一端用中括號表示，不包含端點的那一端用小括

號表示.

定義名稱符號數軸表示

閉區間[a,

{x\a<x<b]b]?,一“Y>---------?

4J卜

{x\a<x<b}開區間(a，b)-A

C5

{x\a<x<b}半開半閉區間[a,b)一

CJ/b

{x\a<x<b}半開半閉區間(a,b]----------<------------------------------------

￡l/b

2、實數集R

可以用區間表示為(-8,18),“8”讀作“無窮大”，“-8”讀作“負無窮大”，“48”讀作“正無窮

大”.

3、特殊區間的表示

定義符號數軸表示

x>a(a,+oo).▲---

a

x>a[a,+00)

■

a

x<b(-co,b)b-

x<b(-co,b]b_

考點一交集的運算

【例1】己知集告8二{1,2,3},B-{x\(x+l)(x-2)=0,xeZ},則ACI8等丁()

A.{1}B.{2}C.{-1,2}D,[1,2,3)

【變式1】設集合A二{3,5,6,8},集合B二{4,5,7,8},則ACIB二

【變式2】己知集合4={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(%,y)|x+y-l=0,x,ye

Z},則APIB=

【變式3]己知集合M={"-1<%V2},/V={x|1<x<3],則MflN二()

A.{.r|一1V%W3}B.{x|-1VxW2}

C.{%|1<%<2]D.{%|2<%<3]

【變式4】已知力二｛x|xMl｝,B=｛y\y>0｝f則集合4nB等于（）

A.0B.{%|%<1}C.{%|0<%<1]D.{x|0<%<1]

考點二并集的運算

【例2】(全國H)設集合A={1,2,3),8={2,3,4},貝必118等于()

A.{1,2,3,4}B.{1,2;3}C.{2,3,4}D.{1,3,4)

【變式1】A={xl-1vx<2},F={xI1<x<3},求4UB.

【變式2】若集合4={x￡Z|-2V%Vl},F={0,1,2),則AUB=()

A.{xI-2<x<0}

C.{%|-2<%<1}U{2}D.[-1,0,1,2)

【變式3】已知集合力二{x|-2<x<2},若NUB：A,貝IJB可能是()

A.[1,-1}B.{2,3}C.{%|-1<x<3]D.[%|-2<%<-1)

【變式4】滿足條件{1,3}LM={1,3,5}的所有集合A的個數是()

A.1B.2C.3D.4

【變式5】已知集合力二｛三角形｝,8=｛等腰三角形｝,C=｛矩形｝,。=｛菱形｝,則（）

A?AUB二BB.AC\B=0C?CUO=CD.eno={正方形}

考點三補集的運算

【例3】設全集U二{1,2,3,4,5},/4={1,2},Q/二()

A.[1,2,3}B.{2,3,4)C.{3,4,5}D.[4,5}

【變式1】已知集合A二｛2,3,4｝,8二｛1,3,4,5｝,全集U=71UB,則Q力二（）

A.{2}B,{1,5}C.[2,3,4}D,[1,3,4,5)

【變式2】已知全集U=R,A={x\x+1>0},則Cp4=()

A.(-co,-1)B.(-co,-1]C.(-oo,1)D.(-oo,1]

【變式3】已知全集U={x|-3<x<3},集合A二卜1-2VxMl},則C/1二()

A.(-2,1]B.(-3,-2)U[1,3)

C.[-2,1)D.(-3,-2]U(1,3)

【變式4】己知集合4={%IxV0或%>1},則CR力二()

A.{x|0<x<1}B.[%|0<x<1}

C.{%|0<%<1)D.{%|0<%<1]

考點四交并補綜合運算

【例4】已知全集U二{-1,0,1,2,3,4},集合A={xIxWL%e/V],B={1,3},則

QG4UB)=()

A.{4}B.{2,4}C.{-1,2,4}D.{-1,0,2,4)

【變式1]己知全集1={0,1,2,3,4,5,6),集合4={0,1,3,5},B={2,3,6),

貝MU?B)二()

A.{3}B,[0,1,3,4)

C.(0,1,3,4,5}D.{0,1,2,3,5,6}

【變式2】己知集合4={%ER|x<0},B={xeRI-1<%<1],則CRQ4UB)=()

A.(-co,0)B.[-1,0]C.[0,1]D.(1,+00)

【變式3】設全集U=R,集合4={x[%Nl},B-{x\-1<%<2),則(CM)nB二()

A.{xI-l<x<l}B.{x|x>2}

C.{x|%<2}D.{%|1<%<2}

【變式4】已知集合4={x|xZ2},^={x|0<%<5,%GZ},則)

A.[1,2,3,4}B.{1,2,3}

C?{1,2}D?{1}

考點五集合運算中的求參問題

【例5】己知集合/二{"%>2},B={x\x<a},若AUB=R,則實數a的取值范圍為

()

A.(-8,2]B.(1,+00)C.(-8,2)D.(2,+co)

【變式1】已知集合力={%|QX-1=0},F={xeN*|l<x<4],A/1UF=^,則實數Q的所

有值構成的集合是()

A.{1,1B.g,i}C,{1,i,1]D.{0,1,”}

【變式2】已知集合4二{x|-1WxV2},B={XIXVQ}.若AflBH。，則實數a的取值范圍

是()

A.(-1,2)B.(2,+oo)C.[-1,+oo)D.(-1,+co)

【變式3】設集合4二{x|1WxW4},B-{x\m+1<x<2zn+3],若4nB=8,求實數血的

取值范圍.

【變式4】設集合4={x|x+1<0或x-4>0},={x|2a<%<a+2].

(1)若力DB。。，求實數a的取值范圍；

(2)若4nB二B,求實數a的取值范圍.

【變式5]己知集合A二{%|2VxV3},B={x\x>m}f且(CR4)UB=R,則實數m的取值

范圍是()

A.m>2B.m<2C.m<2D.m>2

【變式6】設集合4二{x|%2_3%+2=0},B-{x\x2+2(a+l)x+a2-5=0}.

(1)若ADB={2},求實數Q的值；

(2)若{UB=4求實數a的取值范圍；

(3)若全集U二R,an(QB)=4求實數a的取值范圍.

考點六韋恩圖的應用

【例6】設全集U是自然數集N,集合4={x|/>4,xeN),B={0,2,3},則圖中陰影部

分所表示的集合是()

A.{x|%>2,xeN]B.{%|%<2,%GN}

C.{0,2}D.{1,2}

【變式1】圖中的陰影部分表示的集合是（）

A.An（CuB）B.Bn（Q4）C.Q（AnB）D.G/AUB）

【變式2】已知非空集合M.N是全集U的子集MUQN,則（QM）nN二（）

A.CuMB.CVNC.MD.N

【變式3】某班有36名同學參加數學、物理、化學課外探究小組，每名同學至多參加兩個小

組，已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為26,15,13,同時參加數學和物理小組的

有6人，同時參加物理和化學小組的有4人，則同時參加數學和化學小組的有多少人？

【變式4】某班共30人，其中15人喜愛籃球運動，10人喜愛乒乓球運動，8人對這兩項運

動都不喜愛，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的有人.

集合專題：集合中常見的五種參數問題

一、已知一個元素屬于集合，求集合中所含的參數值.

（1）確定性的運用：利用集合中元素的確定性解出參數的所有可能值；

（2）互異性的運用：根據集合中元素的互異性對集合中元素進行檢驗.

二、利用兩個集合之間的關系確定參數的取值范圍

由集合間關系求解參數的三部曲

第一步：弄清兩個集合之間的關系，誰是誰的子集；

第二步：看集合中是否含有參數，若4G8,且A中含參數應考慮參數使該集合為空集的情

形；

第三步：將集合間的包含關系轉化為方程（組）或不等式（組），求出相關的參數的值或取

值范圍?常采用數形結合的思想，借助數軸解答.

三、根據集合運算的結果確定參數的取值范圍

方法一：根據集合運算結果確定集合對應區間的端點值之間的大小關系，從而確定參數的取

值范圍.

方法二：

（1）化簡所給集合;

（2）用數軸表示所給集合；

（3）根據集合端點間關系列出不等式（組）；

（4）解不等式（組）；

（5）檢驗.

【注意】

（1）確定不等式解集的端點之間的大小關系時，需檢驗能否取"=

（2）千萬不要忘記考慮空集.

考點一根據元素與集合的關系求參數

【例1】已知集合/二{a,1,a2-5a+6],若2€4,則實數a的值構成的集合為

【變式1】已知M-a+ic”，3,a},則實數。二

【變式2】設集合4二{2,3,Q2_3Q,a+^+7],B={|a-2|,0）,已知4W4且4盾B,則實

數a的取值集合為

【變式3】已知集合力二{a,|a|,a-2）,若2€4則實數a的值為（）

A.-2B.2C.4D.2或4

考點二根據元素個數求參數

【例2】已知4={xEZ|-14%Vm},若集合4中恰好有5個元素，則實數?n的取值范圍為

（）

A.4<m<5B.4<m<5C.3<m<4D.3<m<4

【變式1]若A={x|巖=1,xER}為單元素集，則實數。的取值的集合為

【變式2】已知集合4={xIa%z_3x+2=0,xER,aeR].

（1）若“是空集，求a的取值范圍；

（2）若A中只有一個元素，求a的值，并求集合4

（3）若力中至少有一個元素，求a的取值范圍.

【變式3】設數集A由實數構成，且滿足：若x"C且力。），則士一.

（1）若2E4,試證明A中還有另外兩個元素；

（2）集合力是否為雙元素集合，并說明理由；

（3）若A中元素個數不超過8個，所有元素的和為?，且A中有一個元素的平方等于所有

元素的積，求集合A.

【變式4】已知集合A={X|Q/-3X+2=0},其中Q為常數，且a€R.

（1）若A中至少有一個元素，求a的取值范圍；

（2）若A中至多有一個元素，求Q的取值范圍.

【變式5】數集M滿足條件：若QWM,則產WM（aH±l,aHO）.

1-a

（1）若3WM,求集合M中一定存在的元素；

（2）集合M內的元素能否只有一個？請說明理由；

（3）請寫出集合M中的元素個數的所有可能值，并說明理由.

考點三根據集合相等求參數

【例3】已知集合/二{0,1,a2},B={1,0,2a+3},若則a等于（）

A,-l或3B?0或-1C.3D.-1

【變式1】若集合{a,0,1}二{c,1,-1},則“二

【變式2】已知集合{a,5,1}與集合{M,a+b,0}是兩個相等的集合，求。2。2242。22的值.

【變式3】設集合{a,b,Vab]=[1,2,4},則a+b=（）

A.2B.3C.5D.6

考點四根據集合間包含關系求參數

【例4】集合A={-1,2,4）,8={2,m2},BRA,則m=

【變式1】已知集合4={%IxV4},B-{x\x<m）,且mathrm{A}曝B$,則?n的取值

范圍是（）

A.[4,+00）B.（4,+00）C.（-co,4）D.（-oo,4]

【變式2】已知4={久|汽24_4》=0},B_{x\x24-2(a+ljx+a2-1=0}.

(1)若A是B的子集，求實數Q的值；

(2)若8是A的子集，求實數Q的取值范圍.

【變式3]己知集合A={%|-2<x<5],B={x\m+1<x<若B不力，求實數m

的取值范圍.

考點五根據集合的運算求參數

【例5】設集合/二{%|/二1},B={%|。"=1}.若4nB=B,則實數a的值為()

A.1B.-1&1或-1D.0或1或-1

【變式1】已知集合4={%I24％48},B={x\1<%<6],C=[x\x>a],U=R.

(1)求AU8,s)n8；

(2)若/new。，求a的取值范圍.

【變式2]已知集合A={x|義2-3X一10<0},B-{x\m+1<x<2m-l].

(1)當m=3時，求集合(C4)n&

(2)若AfW=B,求實數zn的取值范圍.

【變式3】已知集合4={%|-2<%<4],B-{x\-m+1<x<2m-1].

(1)若m=2,求AUB,4n(CRB)；

(2)若求m的取值范圍.

【變式4】設R為全集，A={x\x<a},B={%I1vx<2},且AU(CRB)=R,求Q的取值范

圍.

【變式5】設全集U=R,集合4={x|-1VxW2},F={x|2m<x<1}.

(1)若m=-1,求BnQ4

(2)若BflQA中只有一個整數，求實數m的取值范圍.

1.4充分條件與必要條件

一、充分條件與必要條件

”若p,則q"為真命題”若P，則q”為假命題

推出關系pnqp#q

條件關系p是q的充分條件p不是q的充分條件

”若P，則q”為真命題”若P，則q”為假命題

q是p的必要條件q不是p的必要條件

判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件

定理關系

性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件

【注意】

（1）前提p=q,有方向，條件在前，結論在后；

（2）p是q的充分條件或q是p的必要條件；

（3）改變說法："p是q的充分條件"還可以換成q的一個充分條件是p；

“q是p的必要條件"還可以換成”p的一個必要條件是q”.

二、充分必要條件與集合的關系

若條件p，q以集合的形式出現,即4={x|p（x）},B-{x\q（x）},

則由AG8可得，p是q的充分條件，

（1）若4星兒則p是q的充分不必要條件；

（2）若A3B,貝Up是q的必要條件；

（3）若4我心則p是q的必要不充分條件；

（4）若4二氏則p是q的充要條件；

（5）若且則p是q的既不充分也不必要條件.

充分必要條件判斷精髓：

小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條

件；若兩個集合范圍一樣，就是充要條件的關系；

解題技巧：

掌握兩句話：判斷誰是P（條件）命題，誰是q（結論）命題

（1）誰是誰的什么什么條件，是的什么條件

（2）誰的什么什么條件是誰，的什么條件是

考點一充分條件、必要條件的判斷

【例1】若A是B的充分條件，D是C的必要條件，C是B的充要條件，則D是A的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要

【變式1】對任意的a,btc,在下列命題中是真命題的為（）

人>兒"是”的必要條件B."ac=bc"是“二b”的必要條件

C."ac>兒”是“a>6”的充分條件D.“ac二兒“是，二b”的充分條件

【變式2】若汽ER,則“產<0”是”％<0”的條件

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式3】不等式）2_%+巾>0在實數集上恒成立”的一個必要不充分條件是（）

A-m>ZB.0<m<lC.m>0D?m>1

【變式4】已知a,b￡R,在下列條件中，使得a>b成立的必要條件是（）

A.a>b-1B.a>b+lC.\a\>\b\D.a2>b2

【變式5】使,比G{xIx>3或％<-3'成立的一個充分不必要條件是（）

A.{%|%>0}B.[%<0或x>2}

C.%6（-1,3,5}口?{工工一：或工工3}

【變式6】"一元二次方程--QX+1=0有兩個正實數根”的一個充分不必要條件可以為

;一個必要不充分條件可以為

考點二利用充分條件、必要條件求參數范圍

[例2]若“x>3”是*>a"的充分不必要條件，則實數Q的取值范圍是________

【變式1】已知p：工>1或％<-2,q：x>a,若q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍

是（）

A.{aIa<-2}B.{aIa>-2}C.{aI-2<a<1}D.{aIa>1）

【變式2】己知集合4={%|-1<%<2],B-{x\1-m<x<l:2m,m>0],若"％64"是

3W8”的必要不充分條件，求實數zn的取值范圍.

【變式3】己知P={x|Q-4<%Va44},Q={%|l<x<3},“x€P”是“％EQ”的必要條

件，求實數a的取值范圍.

【變式4】設p：%>a,q：x>3.

（1）若p是q的必要不充分條件，求a的取值范圍；

（2）若p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍；

（3）若a是方程%2-6%+9=0的根，判斷p是q的什么條件.

考點三充分性與必要性的證明

【例3】已知a匕工0,求證：Q+b=1的充要條件是a?4/）3+08-02一戶二o.

【變式1】求證：關于x的方程Q/+以代二0有一個根為1的充要條件是Q+b+C=0.

【變式2】設a,b,cWR.求證：a>0,b>0,c>0的充要條件是a+b+c>

0,ab+bc4-ca>0,abc>0.

【變式3】已知居y都是非零實數，且x>y,求證：的充要條件是町>0.

1.充分條件、必要條件的判斷方法

（1）利用定義判斷：直接判斷“若p,則q〃若q，則p〃的真假.在判斷時，確定條件是什么、

結論是什么.

（2）從集合的角度判斷：利用集合中包含思想判定.抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得

大范圍是解決充分性問題；大范圍推得小范圍是解決必要性問題.

2.判斷充要條件需注意三點

（1）要分清條件與結論分別是什么.（2）要從充分性、必要性兩個方面進行判斷.（3）直

接判斷比較困難時，可舉出反例說明.

1.5全稱量詞與存在量詞

一、全稱量詞與全稱量詞命題

1、全稱量詞：一般地，“任意”“所有”“每一個”在陳述句中表示所述事物的全體，稱為全稱量

詞，用符號“V”表示.

【注意】（1）全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；

（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”

2、全稱量詞命題：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題.

對集合M中的任意一個，p（x）成立（M表示變量％的取值范圍），

符號表示為：對VEM,p（x）.

【注意】(1)從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命

題；

(2)一個全稱量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來.

如：命題“平行四邊形對角線互相平分”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平分”.

一、存在量詞與存在量詞命題

1、存在量詞：一般地，“存在”“有”“至少有一個"在陳述句中表示所述事物的個體或部分，稱

為全存在量詞，用符號“才'表示.

【注意】常見的存在量詞還有“有些"、”有一個”、“對某些“、“有的”等；

2、存在量詞命題：含有存在量詞的命題，稱為存在量詞命題.

存在集合M中的元素居p(x)成立(M表示變量％的取值范圍)，簡記為：對mEM,p(x).

【注意】(1)從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命

題；

(2)一個存在量詞命題可以包含多個變量；

(3)有些命題雖然沒有寫出存在量詞，

但其意義具備“存在”、“有一個，等特征的命題都是存在量詞命題

三、全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷

1、判斷全稱量詞命題真假：

若為真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素工,驗證p(x)成立；

若為假命題，只要能舉出集合M中的一個％=勺，使p(%)不成立即可；

2、判斷存在量詞命題真假：

只要在限定集合M中，至少能找到一個％使p(x0)成立，

則這個命題為真，否則為假.

四、命題的否定

1、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作Jp”，讀作“非p”或p的否定.

2、全稱量詞命題的否定：

一般地，全稱量詞命題，％EM,q(x)”的否定是存在量詞命題：SxGM,-iq(x).

3、存在量詞命題的否定：

一般地，存在量詞命題q(x)"的否定是全稱量詞命題：VxeM,-nq(x).

4、命題與命題的否定的真假判斷：

一個命題和它的否定不能同時為真命題，也不能同時為假命題，只能一真一假.

即：如果一個命題是真命題，那么這個命題的否定是假命題，反之亦然.

5、常見正面詞語的否定：

正面詞語等于(二)大于(>)小于(<)是都是

否定不等式(工)不大于(M)不小于(N)不是不都是

正面詞語至多有一個至少有一個任意所有至多有71個

否定至少有兩個一個都沒有某個某些至少有n+1個

考點一全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷

【例1】下列命題中為全稱量詞命題的是()

A.有些實數沒有倒數B.矩形都有外接圓

C.存在一個實數與它的相反數的和為0D.過直線外一點有一條直線和已知直線平行

【變式1】下列命題是全稱量詞命題的是()

A.有一個偶數是素數B.一元二次方程不總有實數根

C.每個四邊形的內角和都是360°D.有些三角形是直角三角形

【變式2】下列語句不是全稱量詞命題的是()

A.任何一個實數乘以零都等于零B.自然數都是正整數

C.高二(一)班絕大多數同學是團員D.每一個學生都充滿陽光

【變式3】下列語句是存在量詞命題的是()

A.整數n是2和5的倍數B,存在整數九，使n能被11整除

C.若3%-7=0,則x=ZD.VxGM,p(x)

3

【變式4］判斷下列語句是否為全稱量詞命題或存在量詞命題.

(1)所有不等式的解集人都滿足AGR；

(2)有些實數a,b能使有-力|=

(3)對任意Q,bGR,若a〉b,則工V}

ab

(4)自然數的平方是正數.

【變式5】下列命題與ER,xl>3”的表述方法不同的是()

A.有一個aER,使得/>3B.有些%oGR,使得培>3

C.任選一個沏WR,使得詔〉3D.至少有一個勺WR,使得據>3

考點二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假

【例2】在下列命題中，是真命題的是()

A.3xGR,x2+x+3=0

B.Vx6R,X2+X+2>0

C.VxGR,x2>|x|

D.已知4={a|Q=2九},B=[b]b=3m],則對于任意的九，m6N\都有4(18=。

【變式1]已知命題p：當機€[1,2]時，關于％的方程=0沒有實數解.下列說法正

確的是()

A.p是全稱量詞命題，且是假命題B.p是全稱量詞命題，且是真命題

C.p是存在量詞命題，且是假命題D.p是存在量詞命題，且是真命題

【變式2】下列四個命題：

(1)V%6R,x2-x+->0

4

(2)3%6R,%2+2%+3<0

(3)Vn6R,n2>n

(4)至少有一個實數x,使得/+1=0,

其中真命題的序號是()

A.(1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)