人教版八年級上冊數學 講義 第05講 角平分線的性質 講義+練習（教師版）

角平分線的性質適用學科適用年級適用區域人教版課時時長（分鐘）120知識點角平分線的性質教學目標通過作圖直觀地理解角平分線的兩個互逆定理．經歷探究角的平分線的性質的過程，領會其應用方法．激發學生的幾何思維，啟迪他們的靈感，使學生體會到幾何的真正魅力．教學重點應用角的平分線性質定理．教學難點應用“綜合法”進行表達【知識導圖】一、導入一、導入復習預習1、利用練習題的形式復習全等三角形的五個判定2、復習三角形的邊、角的性質，以及與三角形有關的線，其中挑出角平分線進行重點復習。二、知識講解二、知識講解角平分線上的點到角兩邊的距離相等。角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。操作觀察：已知：∠AOB．求法：∠AOB的平分線．作法：（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于M，交OB于N．（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點C．（3）作射線OC，射線OC即為所求已知：OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E求證：PD=PE．【答案】證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°在△PDO和△PEO中，∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE【解析】角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．如圖，要在S區建一個集貿市場，使它到公路、鐵路的距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個集貿市場應建于何處（在圖上標出它的位置，比例尺為1：20000）？【答案】已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE．求證：點P在∠AOB的平分線上．證明：經過點P作射線OC．∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=90°在Rt△PDO和Rt△PEO中，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的平分線．【解析】到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DC=2，則D到AB邊的距離是______【答案】2【解析】過D作DE⊥AB于E，得出DE的長度是D到AB邊的距離，根據角平分線性質求出CD=ED，代入求出即可．解：過D作DE⊥AB于E，則DE的長度就是D到AB邊的距離．∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=2（角平分線性質），故答案為：2．如圖，△ABC中，∠ABC、∠ACB外角的平分線相交于點F，連接AF，則下列結論正確的有（）AF平分BCB．AF平分∠BACC．AF⊥BCD．以上結論都正確【答案】B【解析】解：過F點分別作AB、BC、AC的垂線，垂足分別為E、G、D，∵∠ABC、∠ACB外角的平分線相交于點F，∴EF=GF，GF=DF，∴EF=DF，∴AF平分∠BAC．故選B．如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=【答案】2【解析】作EG⊥OA于F，根據角平分線的性質得到EG的長度，再根據平行線的性質得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和內角的關系求出∠EFG=30°，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半解題△ABC中，點O是△ABC內一點，且點O到△ABC三邊的距離相等；∠A=40°，則∠BOC=————【答案】由已知，O到三角形三邊距離相等，所以O是內心，

即三條角平分線交點，AO，BO，CO都是角平分線，

所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，

∠ABC+∠ACB=180-40=140°

∠OBC+∠OCB=70°

∠BOC=180-70=110°【解析】由已知，O到三角形三邊距離相等，得O是內心，再利用三角形內角和定理即可求出∠BOC的度數如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB于點E，若△DEB的周長為10cm，求斜邊AB的長【答案】∵AD平分∠BAC∴DE=CD∴△ACD≌△AED∴AC=CB=AE∴AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE=10cm【解析】由AD平分∠BAC交BC于點D，可以知道本題滿足角平分線的性質定理得到：DE=CD,△ACD≌△AED，則AC=CB=AE，則AB=AE+BE=BC+BE=BD+CD+BE=DB+DE+BE即可求出在△ABC中，∠ABC=100，∠ACB=20，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°。求∠CED的度數。【答案】10°【解析】此題是考查利用角平分線的性質求角的度數。解：作EF⊥AC，延長CB，作EG⊥CB，EH⊥BD∵CE平分∠ACB，∠ACB=200，∴∠BCE=∠DCE=100，∵∠CBD=200，∴∠BDA=400∵∠ABC=1000，∠CBD=200∴∠ABG=800，∠ABD=800∴∠ABG=∠ABD，∴EH=EG可證△BEH≌△BEG（AAS）∵CE平分∠ACB，∴EF=EG（角平分線性質定理），∴EF=EH∴DE平分∠BDA（角平分線的判定定理），∴∠EDA=200∵∠EDA=∠ECA+∠CED，∴∠CED=200-100=100四、課堂運用四、課堂運用1、的角平分線AD交BC于點D，，則點D到AB的距離是（）A．1B．2C．3D．42、如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，則點P到AB的距離是（）A．3B．4C．5D．6答案與解析BA1、到三角形三條邊的距離都相等的點是這個三角形的（）Ａ．三條中線的交點 Ｂ．三條高的交點Ｃ．三條邊的垂直平分線的交點 Ｄ．三條角平分線的交點2、如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，且DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DAB答案與解析D略1.AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下面三個結論:圖1-4-15①OA=OD;②AD⊥EF;③AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是()A.①②B.①③C.②D.②③2.觀察猜想探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.(1)如圖1-4-19①,當∠C=90°,AD為∠BAC的平分線時,求證:AB=AC+CD;(2)如圖1-4-19②,當∠C≠90°,AD為∠BAC的平分線時,線段AB,AC,CD有怎樣的數量關系?不需要證明,直接寫出你的猜想;(3)如圖1-4-19③,當AD為△ABC的外角平分線時,線段AB,AC,CD有怎樣的數量關系?寫出你的猜想,并給予證明.答案與解析1[答案]D[解析]∵AD平分∠EAF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,又AD為公共邊,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴AE=AF,∴AD垂直平分EF,AE2+DF2=AF2+DE2,②③正確.2[答案]答案見解析[解析](1)證明:過D作DE⊥AB,交AB于點E,如圖①.∵AD為∠BAC的平分線,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°,在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE=DC.∴AB=BE+AE=CD+AC.(2)AB=CD+AC.(3)AB=CD-AC.在AF上截取AG=AC,連接GD,如圖②,∵AD為∠FAC的平分線,∴∠GAD=∠CAD.在△ADG和△ADC中,∵∴△ADG≌△ADC(SAS).∴CD=GD,∠AGD=∠ACD.∴∠ACB=∠FGD.∵∠ACB=2∠B,∴∠FGD=2∠B.又∵∠FGD=∠B+∠GDB,∴∠B=∠GDB.∴BG=DG=DC.∴AB=BG-AG=CD-AC.五、課堂小結五、課堂小結角平分線的性質六、課后作業六、課后作業1.如圖1-4-1,已知OP是∠AOB的平分線,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,則下列結論錯誤的是()A.PE=PDB.OE=ODC.∠DPO=∠EPOD.OD=PE2.如圖1-4-3,CD⊥AB于點D,BE⊥AC于點E,BE,CD交于點O,且AO平分∠BAC,求證:OB=OC.3.如圖1-4-5,∠AOB=60°,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,且CD=CE,則∠DOC=________.1[答案]D[解析]由題意可得PD=PE,△ODP與△OEP均為直角三角形,又OP=OP,∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL),故OE=OD,∠DPO=∠EPO.故選D.2[答案]答案見解析[解析]證明∵AO平分∠BAC,CD⊥AB,BE⊥AC,∴OD=OE.在△BOD和△COE中,∠BDO=∠CEO=90°,OD=OE,∠DOB=∠EOC,∴△BOD≌△COE(ASA),∴OB=OC(全等三角形的對應邊相等).3[答案]30°[解析]∵CD⊥OA,CE⊥OB,CD=CE,∴點C在∠AOB的平分線上,∴OC平分∠AOB,∴∠DOC=12∠AOB=11.如圖1-4-12,在△ABC中,BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE相交于點O,過O點作OP⊥BC于點P,OM⊥AB于點M,ON⊥AC于點N,則OP,OM,ON的大小關系是______________.2.如圖,AD是△ABC的角平分線,DE,DF分別是△ABD和△ACD的高,得到下面三個結論:圖1-4-15①OA=OD;②AD⊥EF;③AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是()A.①②B.①③C.②D.②③3.如圖，△ABC中,BD平分∠ABC,BC的中垂線交BC于點E,交BD于點F,連接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,則∠ACF的度數為()A.48°B.36°C.30°D.24°答案與解析1[答案]OP=OM=ON[解析]因為BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB,并且BD,CE相交于點O,OP⊥BC,OM⊥AB,ON⊥AC,所以OM=OP,ON=OP,所以OP=OM=ON.2[答案]D[解析]∵AD平分∠EAF,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,又AD為公共邊,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴AE=AF,∴AD垂直平分EF,AE2+DF2=AF2+DE2,②③正確.3[答案]A[解析]∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC,∵EF是BC的垂直平分線,∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC,∵∠ABD=24°,∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°,又∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°,∴∠ACF=120°-24°-24°-24°=48°.1.如圖,在△ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線BE、CD相交于點F,∠ABC=42°,∠A=60°,則∠BFC=()圖1-4-17A.118°B.119°C.120°D.121°2.觀察猜想探究:在△ABC中,∠ACB=2∠B.(1)如圖1-4-19①,當∠C=90°,AD為∠BAC的平分線時,求證:AB=AC+CD;(2)如圖1-4-19②,當∠C≠90°,AD為∠BAC的平分線時,線段AB,AC,CD有怎樣的數量關系?不需要證明,直接寫出你的猜想;(3)如圖1-4-19③,當AD為△ABC的外角平分線時,線段AB,AC,CD有怎樣的數量關系?寫出你的猜想,并給予證明.3如圖1-4-9所示,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為12、10、6,其三條角平分線的交點為O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=________.答案與解析1[答案]C[解析]∵∠A=60°,∠ABC=42°,∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=78°.∵BE、CD為∠ABC、∠ACB的平分線,∴∠FBC=12∠ABC=21°,∠FCB=1∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=120°,故選C.2[解析](1)證明:過D作DE⊥AB,交AB于點E,如圖①.∵AD為∠BAC的平分線,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DE=DC,∠AED=∠ACD=90°,在Rt△ACD和Rt△AED中,∵AD=AD,DC=DE,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC=AE.∵∠ACB=2∠B,∴∠AED=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠EDB,∴∠B=∠EDB.∴BE=DE=DC.∴AB