2026年新高一數(shù)學(xué)暑假銜接專(zhuān)題《函數(shù)的表示法》

預(yù)備新高一預(yù)備新高一數(shù)學(xué)專(zhuān)題12函數(shù)的表示法一．選擇題（共10小題）1．（2025秋?常州期末）函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．2．（2025秋?松山區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，設(shè)是邊的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)沿著運(yùn)動(dòng)時(shí)，以點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為自變量，三角形的面積函數(shù)的圖象形狀大致是（）A． B． C． D．3．（2025秋?永州期中）函數(shù)的圖象是（）A． B． C． D．4．（2025秋?喀什地區(qū)期末）設(shè)為函數(shù)，，圖象上的動(dòng)點(diǎn)，若此函數(shù)圖象與軸，直線及圍成圖形（如圖陰影部分）的面積為，則的圖象可表示為（）A． B． C． D．5．（2025?河南開(kāi)學(xué)）將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的拋物線為（）A． B． C． D．6．（2026?玉溪二模）向如圖放置的空容器中勻速注水，直至注滿為止．下列圖象中可以大致刻畫(huà)容器中水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．7．（2026春?越秀區(qū)月考）函數(shù)的圖象為（）A． B． C． D．8．（2025秋?安順期末）函數(shù)的大致圖象為（）A． B． C． D．9．（2025秋?信陽(yáng)期中）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度10．（2025秋?朝陽(yáng)期末）在合唱美育成果展演中，黃老師的舞姿讓同學(xué)們驚嘆不已．其中手帕舞動(dòng)的軌跡有一段如圖所示，其函數(shù)表達(dá)式可能是（）A． B． C． D．二．多選題（共4小題）（多選）11．（2025秋?咸陽(yáng)月考）函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．（多選）12．（2025秋?福建期中）同一條公路連接，，三地，地在、兩地之間．甲、乙兩車(chē)分別從地、地同時(shí)出發(fā)前往目的地地．甲車(chē)速度始終保持不變，乙車(chē)中途停車(chē)休息一次，隨后繼續(xù)勻速行駛．下圖表示甲乙兩車(chē)從出發(fā)到目的地過(guò)程中兩車(chē)之間的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系．下列結(jié)論正確的是（）A．后兩車(chē)同時(shí)到達(dá)地 B．乙車(chē)中途休息40分鐘 C．甲車(chē)的速度是 D．甲車(chē)行駛與乙車(chē)相遇（多選）13．（2025秋?深圳月考）某打車(chē)平臺(tái)欲對(duì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制定了甲、乙兩種方案供乘客選擇，其支付費(fèi)用與打車(chē)?yán)锍虜?shù)的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)打車(chē)距離為時(shí)，乘客選擇乙方案省錢(qián) B．當(dāng)打車(chē)距離為時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可 C．打車(chē)以上時(shí)，每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多 D．甲方案內(nèi)（含付費(fèi)5元，行程大于每增加1公里費(fèi)用增加0.7元（多選）14．（2025秋?羅湖區(qū)月考）已知函數(shù)為常數(shù)），則的大致圖象可能是（）A． B． C． D．三．填空題（共4小題）15．（2025秋?南海區(qū)月考）某工廠8年來(lái)某產(chǎn)品的總產(chǎn)量（噸與時(shí)間（年的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則①前3年總產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；②前3年總產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；③第3年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第3年后，這種產(chǎn)品年產(chǎn)量持續(xù)增長(zhǎng)．上述說(shuō)法中正確的是．（填序號(hào)）16．（2025秋?龍華區(qū)期中）已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象如圖所示，則（2）的值為．1234317．（2025秋?宜春月考）若函數(shù)的對(duì)稱中心是，則．18．（2024秋?天津期中）在函數(shù)中，若，則的值是．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?雞西期中）已知函數(shù)．（1）求，的值；（2）作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖；（3）由簡(jiǎn)圖指出函數(shù)的值域．20．（2025秋?喀什市期末）已知函數(shù)．（1）在下面的平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出單調(diào)增區(qū)間；（2）方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（2025秋?扶風(fēng)縣月考）已知函數(shù)．（1）求；（2）若（a），求實(shí)數(shù)的值；（3）作出函數(shù)在，區(qū)間內(nèi)的圖象．22．（2025秋?黃梅縣月考）已知函數(shù)．（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；（2）在平面直角坐標(biāo)系中直接畫(huà)出函數(shù)的圖象．23．（2025秋?畢節(jié)市月考）已知函數(shù)．（1）畫(huà)出的圖象；（2）若，求的取值范圍；（3）求的值域．24．（2025秋?西安期中）已知函數(shù)（1）求（2）若（a），求的值；（3）畫(huà)出的圖象．

一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案BABBACCCBC二．多選題（共4小題）題號(hào)11121314答案ACDACDBCBCD一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】把函數(shù)先向右平移一個(gè)單位，再關(guān)于軸對(duì)稱，再向上平移一個(gè)單位．【解答】解：把的圖象向右平移一個(gè)單位得到的圖象，把的圖象關(guān)于軸對(duì)稱得到的圖象，把的圖象向上平移一個(gè)單位得到的圖象．故選：．2．【答案】【分析】隨著點(diǎn)的位置的不同，討論三種情形即在上，在上，以及在上分別建立面積的函數(shù)，分段畫(huà)出圖象即可．【解答】解：根據(jù)題意得，分段函數(shù)圖象分段畫(huà)即可，故選：．3．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接可以得到答案．【解答】解：由絕對(duì)值函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，且在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，結(jié)合選項(xiàng)可知，選項(xiàng)符合題意．故選：．4．【答案】【分析】根據(jù)題意求出，再根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象．【解答】解：由題意可知，當(dāng)時(shí)，，且過(guò)程中增速變慢，當(dāng)時(shí)，，且過(guò)程中增速變快，所以的圖象可表示為選項(xiàng)．故選：．5．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移法則：左加右減，上加下減即可得出答案．【解答】解：將拋物線向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，可得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的方程為．故選：．6．【答案】【分析】結(jié)合圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，分析各選項(xiàng)即可判斷．【解答】解：由圖可知，該容器為倒立的圓臺(tái)，可將圓臺(tái)看成一個(gè)一個(gè)的圓組合而成，從下到上圓的直徑逐漸增加，故上升高度的速度減慢，結(jié)合選項(xiàng)可知，符合題意．故選：．7．【答案】【分析】取特殊點(diǎn)，結(jié)合排除法即可得出答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，時(shí)，排除選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)．故選：．8．【答案】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，且（1），可得出答案．【解答】解：由已知，定義域?yàn)椋瑒t是偶函數(shù)，故排除，；又（1），故不符合，符合．故選：．9．【答案】【分析】直接根據(jù)函數(shù)的平移法則得到答案．【解答】解：函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，再將得圖象向上平移1個(gè)單位得到．故選：．10．【答案】【分析】運(yùn)用特殊值法可以快速解決．【解答】解：由題意可知，函數(shù)在處有定義，且（1），故，，錯(cuò)；對(duì)于，故是偶函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，圖象符合題意，故對(duì)．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】通過(guò)的取值，判斷函數(shù)的圖像即可．【解答】解：函數(shù)，時(shí)，函數(shù)的圖象是選項(xiàng)的圖象；時(shí)，函數(shù)的圖像是選項(xiàng)的圖象；時(shí)，函數(shù)的圖像是選項(xiàng)的圖象．故選：．12．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：標(biāo)出字母，如圖所示：根據(jù)函數(shù)圖象可得兩地之間的距離為，兩車(chē)行駛了4小時(shí)，同時(shí)到達(dá)地，故正確；段：甲乙同向行駛，甲在后追趕乙；段：乙休息，其中在段，甲在后追趕乙，在點(diǎn)時(shí)甲乙相遇，在段，甲超過(guò)乙的休息地繼續(xù)行駛；乙車(chē)中途休息，故錯(cuò)誤；段：乙在后追趕甲，在點(diǎn)時(shí)，甲乙同時(shí)到達(dá)地，在段，乙休息，，故正確；在段，，解得，因?yàn)樵邳c(diǎn)時(shí)乙開(kāi)始休息，當(dāng)甲乙相遇時(shí)，甲所需行駛里程為，則甲乙相遇時(shí)所用的時(shí)間，故正確．故選：．13．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)打車(chē)距離為時(shí)，乘客選擇甲方案省錢(qián)；打車(chē)距離為時(shí)，甲、乙方案費(fèi)用相等；由圖象可知打車(chē)以上時(shí)，每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多，且甲方案行程大于每增加1公里費(fèi)用增加1元．【解答】解：對(duì)于，當(dāng)打車(chē)距離為時(shí)，甲對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象在乙圖象的下方，即甲對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于乙對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故當(dāng)打車(chē)距離為時(shí)，乘客選擇甲方案省錢(qián)，即錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)打車(chē)距離為時(shí)，由圖可知，甲、乙均為12元，因此乘客選擇甲、乙方案均可，即正確；對(duì)于，打車(chē)以上時(shí)，甲方案每公里增加的費(fèi)用為（元，乙方案每公里增加的費(fèi)用為（元，故每公里增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多，即正確；對(duì)于，由圖可知，甲方案內(nèi)（含付費(fèi)5元，行程大于每增加1公里費(fèi)用增加1元，故錯(cuò)誤．故選：．14．【答案】【分析】根據(jù)題意，分、和三種情況討論函數(shù)的圖象，分析選項(xiàng)可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，在上遞增，在上遞增，與軸只有1個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，與軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別為和，在上遞增，在上先遞減再遞增，故選項(xiàng)符合；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，與軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別為和，在上先遞增再遞減，在上遞增，與軸有2個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)符合．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】①③【分析】分別根據(jù)圖像的遞增速度的變化，判斷總產(chǎn)量的增長(zhǎng)速度，利用總產(chǎn)量的數(shù)值變化判斷生產(chǎn)狀況．【解答】解：由圖可知前3年的總產(chǎn)量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，而在區(qū)間上總產(chǎn)量沒(méi)有變化，所以第3年后，該產(chǎn)品停止生產(chǎn)．因此說(shuō)法①③正確．故答案為①③．16．【分析】首先由圖讀出（2），再結(jié)合函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系表，即可得解．【解答】解：根據(jù)題意，由圖可知（2），則（2）（1）．故答案為：4．17．【答案】．【分析】根據(jù)分式函數(shù)的對(duì)稱中心進(jìn)行求解即可．【解答】解：，則該函數(shù)的對(duì)稱中心為，由已知可知，則．故答案為：．18．【分析】直接利用分段函數(shù)，通過(guò)，求出的值即可．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，，解得．（舍去）．綜上．故答案為：．四．解答題（共6小題）19．【答案】（1），；（2）簡(jiǎn)圖見(jiàn)解析；（3），．【分析】（1）直接利用分段函數(shù)解析式求解函數(shù)值．（2）根據(jù)函數(shù)類(lèi)型及性質(zhì)作函數(shù)簡(jiǎn)圖．（3）由簡(jiǎn)圖直接看出函數(shù)的值域．【解答】解：（1）根據(jù)題意，，則，．（2）簡(jiǎn)圖如圖所示：（3）簡(jiǎn)圖可知函數(shù)的值域?yàn)椋?0．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）．【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以所以，，作出函數(shù)的圖象如下圖：由圖像可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）如圖2，作出函數(shù)與直線的圖象，由圖2知，當(dāng)時(shí)，直線與有4個(gè)交點(diǎn)，即方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，．21．【答案】（1）；（2）或0；（3）【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)計(jì)算函數(shù)值；（2）分段應(yīng)用函數(shù)值得出自變量；（3）根據(jù)解析式作出函數(shù)圖象．【解答】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，解得，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，解得或（舍，綜上可得或0；（3）由分段函數(shù)解析式分別由一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象性質(zhì)作出函數(shù)圖象如下所示：22．【答案】（1）．（2）如圖所示：【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值定義將函數(shù)分成三段，即可求得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)分段函數(shù)解析式直接畫(huà)出圖象即可．【解答】解：（1）函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)為：．（2）由（1）知的圖象如圖所示：23．【答案】（1）圖象如下：（2）；（3），，，．【分析】（1）由解析式即可畫(huà)圖；（2）分和或求解即可；（3）由函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意可畫(huà)出的圖象如下：（2）若，當(dāng)，可得，解得或，當(dāng)或時(shí)，恒成立，綜上的范圍為．（3）由函數(shù)的圖象可知：的值域?yàn)椋?4．【分析】（1）利用分段函數(shù)直接有里及外求出函數(shù)的值，得到的值即可．（2）通過(guò)（a），分別求出的值即可求；（3）利用分段函數(shù)直接畫(huà)出的圖象．【解答】解：（1）函數(shù)．，．（2）（a），當(dāng)時(shí)，，（舍去），（5分）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，（9分）綜上知，當(dāng)（a）時(shí)，或（10分）（3）函數(shù)函數(shù)的圖象如圖．（14分）．預(yù)備新高一數(shù)學(xué)預(yù)備新高一數(shù)學(xué)專(zhuān)題12函數(shù)的表示法1．掌握解析法、列表法、圖象法三種函數(shù)表示方法，熟知各類(lèi)方法的特點(diǎn)與適用場(chǎng)景．2．熟練掌握各類(lèi)求函數(shù)解析式的核心方法，能獨(dú)立求解常規(guī)與復(fù)合型函數(shù)解析式．3．掌握函數(shù)解析式求值、間接嵌套求值、逆向求值的解題思路與規(guī)范步驟．4．熟練掌握函數(shù)圖象的讀圖技巧與綜合應(yīng)用，理解分段函數(shù)核心性質(zhì)，解決分段函數(shù)求值、圖象、實(shí)際應(yīng)用等重難點(diǎn)題型．一、函數(shù)的三種表示方法1．解析法：用精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)代數(shù)式刻畫(huà)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，標(biāo)準(zhǔn)形式為，是高中函數(shù)最常用的表示方法．優(yōu)勢(shì)是式子簡(jiǎn)潔嚴(yán)謹(jǐn)，便于開(kāi)展運(yùn)算、求解值域、研究單調(diào)性與最值；劣勢(shì)是部分離散型、實(shí)際統(tǒng)計(jì)型函數(shù)無(wú)法寫(xiě)出解析式．2．列表法：以表格形式羅列自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值，僅呈現(xiàn)有限組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)．優(yōu)勢(shì)是可直接讀取數(shù)值，無(wú)需復(fù)雜計(jì)算，適用于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)場(chǎng)景；劣勢(shì)是只能體現(xiàn)有限點(diǎn)的函數(shù)值，無(wú)法完整反映函數(shù)整體變化規(guī)律與趨勢(shì)．3．圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)、折線、曲線等圖形表示函數(shù)關(guān)系，圖象上任意一點(diǎn)均滿足函數(shù)對(duì)應(yīng)規(guī)則．優(yōu)勢(shì)是直觀展現(xiàn)函數(shù)增減性、零點(diǎn)、最值、對(duì)稱性等幾何特征；劣勢(shì)是無(wú)法精準(zhǔn)讀取精確函數(shù)值，僅適用于定性分析．二、函數(shù)解析式的常用求解方法1．待定系數(shù)法：適用于已知函數(shù)類(lèi)型（一次、二次、反比例等）的題型，先設(shè)出對(duì)應(yīng)函數(shù)通用解析式，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造方程或方程組求解系數(shù)，最終確定完整解析式．2．換元法與配湊法：適用于已知復(fù)合函數(shù)解析式，求的題型．配湊法通過(guò)變形整理式子，配出內(nèi)層整體結(jié)構(gòu)；換元法通過(guò)整體代換求解，兩種方法均需同步確定新自變量的取值范圍，保證定義域完整．3．方程組消元法：適用于含與、對(duì)稱結(jié)構(gòu)的題型，通過(guò)替換自變量構(gòu)造二元方程組，加減消元消去多余式子，解出解析式．4．建模法：針對(duì)幾何、利潤(rùn)、行程、收費(fèi)等實(shí)際問(wèn)題，根據(jù)題目等量關(guān)系建立變量等式，整理為標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)解析式，同時(shí)結(jié)合實(shí)際場(chǎng)景補(bǔ)充自變量約束范圍．三、分段函數(shù)核心知識(shí)點(diǎn)1．定義：若函數(shù)的定義域被劃分為若干個(gè)互不重疊的區(qū)間，每個(gè)區(qū)間內(nèi)對(duì)應(yīng)獨(dú)立的解析式，則該函數(shù)為分段函數(shù)．分段函數(shù)本質(zhì)是一個(gè)完整函數(shù)，并非多個(gè)函數(shù)拼接．2．書(shū)寫(xiě)規(guī)范：采用大括號(hào)分段書(shū)寫(xiě)，每一段解析式必須標(biāo)注對(duì)應(yīng)的自變量取值區(qū)間，區(qū)間端點(diǎn)唯一歸屬一段，杜絕重復(fù)、空缺．3．核心性質(zhì)：分段函數(shù)的定義域?yàn)楦鞣侄螀^(qū)間的并集，值域?yàn)楦鞣侄魏瘮?shù)取值范圍的并集，單調(diào)性、最值、圖象等性質(zhì)均需分段分析、整體匯總．四、函數(shù)圖象核心基礎(chǔ)性質(zhì)1．圖象與三要素對(duì)應(yīng)：圖象橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)函數(shù)定義域，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)函數(shù)值域，圖象上每一個(gè)點(diǎn)都唯一對(duì)應(yīng)一組自變量與函數(shù)值．2．圖象基礎(chǔ)功能：可直觀判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)、最值、函數(shù)值大小關(guān)系，快速求解簡(jiǎn)單函數(shù)不等式，是數(shù)形結(jié)合解題的核心載體．題型01函數(shù)的三種表示法辨析選用1．方法辨析核心：解析法主打代數(shù)運(yùn)算與定量計(jì)算，適用于連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)研究、求值、求值域；列表法主打有限離散數(shù)據(jù)讀取，僅用于統(tǒng)計(jì)、實(shí)測(cè)類(lèi)有限變量場(chǎng)景；圖象法主打直觀定性分析，適用于判斷增減、比較大小、觀察函數(shù)整體趨勢(shì)．2．選用原則：需要精準(zhǔn)運(yùn)算、推導(dǎo)解析式優(yōu)先解析法；需要快速讀取有限數(shù)據(jù)優(yōu)先列表法；需要分析函數(shù)幾何特征、變化規(guī)律優(yōu)先圖象法．3．解題作用：基礎(chǔ)概念辨析題型，解決選擇填空的概念判斷題，明確三種表示方法的適用邊界，規(guī)避解題方法誤用．學(xué)以致用學(xué)以致用【例1】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期中）已知二次函數(shù)滿足．（1）求的解析式；（2）作出函數(shù)的圖像，并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間；（3）設(shè)在區(qū)間，上的最小值為，求的解析式．【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，，，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）．【分析】（1）由可求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可求作的圖象，結(jié)合圖象可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合函數(shù)的圖象及二次函數(shù)的性質(zhì)可求．【解答】解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，所以；（2）函數(shù)的圖像如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（3）當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，．【例2】（2023秋?寧鄉(xiāng)市期末）已知函數(shù)，分別由表給出：則（2）的值是（）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和2【答案】【分析】根據(jù)表中函數(shù)值，即可求解．【解答】解：由表中函數(shù)可知，（2）（2）．故選：．【例3】（2025秋?煙臺(tái)期中）如圖，某容器由兩個(gè)高為的相同圓錐（去掉底面）構(gòu)成，現(xiàn)將該容器豎直放置，且裝滿水，當(dāng)容器底部的排水孔打開(kāi)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，假設(shè)水從孔中勻速流出，記時(shí)刻時(shí)水面的高度為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)水面高度下降的速度的快慢判斷．【解答】解：由題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)水從孔中勻速流出時(shí)，水面高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖象應(yīng)該是先以越來(lái)越快的速度下降，然后以越來(lái)越慢的速度下降，最后又以越來(lái)越快的速度下降，觀察四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)符合．故選：．題型02求函數(shù)的解析式1．題型適配思路：已知函數(shù)固定類(lèi)型，優(yōu)先使用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)解析式，選用配湊法或換元法；含對(duì)稱自變量結(jié)構(gòu)的抽象函數(shù)，使用方程組消元法；實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景，使用建模法列寫(xiě)解析式．2．通用解題規(guī)范：所有解析式求解完成后，必須配套完整定義域，無(wú)定義域的函數(shù)解析式不完整，不符合高中函數(shù)定義要求．3．高頻易錯(cuò)點(diǎn)：換元法易遺漏新元取值范圍，導(dǎo)致定義域出錯(cuò)；待定系數(shù)法未結(jié)合函數(shù)特征選式，增加計(jì)算量；實(shí)際建模忽略自變量現(xiàn)實(shí)約束．學(xué)以致用學(xué)以致用【例4】（2025秋?滎陽(yáng)市期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)，，則（2）（）A．3 B．2 C． D．【答案】【分析】在已知等式中分別取和，列方程組即可求解．【解答】解：由，分別取和，得，解得（2）．故選：．【例5】（2025秋?臨河區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】【分析】直接利用換元法求解即可，注意定義域的限制．【解答】解：函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則，又，可得，，函數(shù)．故選：．【例6】（2025秋?蚌埠期末）已知函數(shù)，則的解析式為（）A． B． C． D．【答案】【分析】由已知利用換元法，即可求解函數(shù)解析式．【解答】解：令，則，，因?yàn)楹瘮?shù)，所以，則，．故選：．題型03由函數(shù)解析式間接求值1．基礎(chǔ)直接求值：將已知數(shù)值、代數(shù)式代入解析式，依據(jù)四則運(yùn)算、乘方開(kāi)方規(guī)則計(jì)算函數(shù)值，嚴(yán)格遵循運(yùn)算順序．2．復(fù)合間接求值：針對(duì)多層嵌套函數(shù)、，遵循由內(nèi)向外的計(jì)算原則，逐層求解函數(shù)值，再代入外層解析式計(jì)算最終結(jié)果．3．逆向求值：已知函數(shù)值，令解析式等于對(duì)應(yīng)數(shù)值構(gòu)造方程，求解自變量，最終檢驗(yàn)解是否在函數(shù)定義域內(nèi)，舍去無(wú)效解．4．核心準(zhǔn)則：所有求值操作必須在定義域范圍內(nèi)進(jìn)行，超出定義域的自變量無(wú)對(duì)應(yīng)函數(shù)值．學(xué)以致用學(xué)以致用【例7】（2025秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)，滿足，且，則（2）（）A． B．6 C．7 D．【答案】【分析】通過(guò)變量替換構(gòu)造方程組求解，再結(jié)合與的關(guān)系求，進(jìn)而計(jì)算函數(shù)值求和．【解答】解：在中，令，得，聯(lián)立，解得，由，得，，，故（2）．故選：．【例8】（2025春?青白江區(qū)校級(jí)期末）已知函數(shù)，則（5）（）A．1 B．2 C． D．0【答案】【分析】令，求出，然后直接代入函數(shù)解析式即可求出函數(shù)值．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，令，則有（5）．故選：．【例9】（2024秋?陽(yáng)江期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)，，則（3）（）A． B． C． D．2【答案】【分析】通過(guò)賦值，構(gòu)造方程即可求解．【解答】解：已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)，，分別令和得到：，解得：．故選：．題型04函數(shù)圖象及應(yīng)用1．基礎(chǔ)讀圖技巧：根據(jù)圖象橫坐標(biāo)范圍確定定義域，縱坐標(biāo)范圍確定值域；圖象上升區(qū)間對(duì)應(yīng)單調(diào)遞增，下降區(qū)間對(duì)應(yīng)單調(diào)遞減；圖象與軸交點(diǎn)為函數(shù)零點(diǎn)．2．核心應(yīng)用場(chǎng)景：利用圖象比較函數(shù)值大小、求解函數(shù)不等式、讀取函數(shù)最值、判斷函數(shù)單調(diào)性與零點(diǎn)個(gè)數(shù)、辨析函數(shù)相關(guān)命題真假．3．解題思想：以形助數(shù)，將抽象的代數(shù)運(yùn)算、范圍求解轉(zhuǎn)化為直觀的圖象觀察，簡(jiǎn)化復(fù)雜計(jì)算，是高中函數(shù)核心解題思維．學(xué)以致用學(xué)以致用【例10】（2025秋?滄州月考）已知函數(shù)（1）若（a），求實(shí)數(shù)的值；（2）在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，并根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的值域（不用寫(xiě)解答過(guò)程）．【答案】（1）或；（2）的圖象如圖所示：的值域?yàn)椋痉治觥浚?）由題意，討論，，時(shí)，令（a），求解即可；（2）由的解析式，畫(huà)出的圖象，結(jié)合圖象寫(xiě)出的值域．【解答】解：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，（a），解得；當(dāng)時(shí)，（a），解得或（舍去）；當(dāng)時(shí)，（a），解得（舍去）；綜上，或；（2）由，畫(huà)出的圖象，如圖所示：由函數(shù)的圖象知，的值域?yàn)椋纠?1】（2024秋?廣陵區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)和，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖像大致是（）A． B． C． D．【答案】【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合反比例函數(shù)及一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于二、四象限，的圖象從左至右上升，與軸交于正半軸，故正確，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限，的圖象從左至右下降，與軸交于正半軸，故、均錯(cuò)誤．故選：．【例12】（2026?安徽質(zhì)檢）函數(shù)的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B．， C．， D．，【答案】【分析】根據(jù)圖像關(guān)于對(duì)稱，可得，結(jié)合圖像即可求解．【解答】解：由題可得，由于圖像關(guān)于對(duì)稱，則，，，得，故不等式，即的解集為，．故選：．題型05函數(shù)表示的綜合應(yīng)用1．常見(jiàn)綜合考法：三種函數(shù)表示方法相互轉(zhuǎn)化、解析式求解結(jié)合圖象分析、解析式求值結(jié)合函數(shù)性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)解析式與值域綜合求解．2．通用解題流程：先根據(jù)題干條件求解完整函數(shù)解析式與定義域，再按需轉(zhuǎn)化為圖象、表格輔助分析，最后結(jié)合題意完成求值、范圍求解、性質(zhì)判斷．3．解題核心：靈活切換三種表示方法，根據(jù)題型特點(diǎn)選擇最優(yōu)解題形式，降低題目難度，提升解題效率．學(xué)以致用學(xué)以致用【例13】（2025秋?常德校級(jí)月考）已知函數(shù)，其中是的正比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)，且，（1），則的表達(dá)式為，．【分析】可以根據(jù)題中是的正比例函數(shù)，是的反比例函數(shù)的條件設(shè)出函數(shù)的表達(dá)式，再由待定系數(shù)法求出．【解答】解：設(shè)是非零常數(shù)），是非零常數(shù)），，由，（1）得，解得．故．．【例14】（2025秋?鄆城縣校級(jí)月考）某工廠12年來(lái)某產(chǎn)品總產(chǎn)量與時(shí)間（年的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A．前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越快 B．前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢 C．第3年后至第8年這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)了 D．第8年后至第12年間總產(chǎn)量勻速增加【答案】【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于，，根據(jù)圖象可知前三年總產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度是先快后慢，即增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，故錯(cuò)誤，正確；對(duì)于，第年總產(chǎn)量未發(fā)生變化，可見(jiàn)產(chǎn)品停止生產(chǎn)了，故正確；對(duì)于，第年，總產(chǎn)量模型為直線模型，體現(xiàn)為勻速增長(zhǎng)，故正確．故選：．【例15】（2025秋?貴池區(qū)期中）一水池有兩個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，每個(gè)水口的進(jìn)、出水量與時(shí)間的關(guān)系如圖①②．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖③．則下列說(shuō)法中一定正確的有（）A．0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水 B．3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水 C．3點(diǎn)到4點(diǎn)總蓄水量降低 D．4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)圖象分析得進(jìn)水速度是出水速度的，從而分段分析第3個(gè)圖形的進(jìn)水與出水情況，從而得解．【解答】解：由①②兩圖知，進(jìn)水速度是出水速度的，由圖③可知，0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水，正確；3點(diǎn)到4點(diǎn)一個(gè)出水口出水，一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，總蓄水量降低，錯(cuò)誤，正確；4點(diǎn)到6點(diǎn)也可能一個(gè)出水口出水，兩個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，錯(cuò)誤．故正確的只有，而錯(cuò)誤．故選：．題型06分段函數(shù)求值1．正向求值步驟：第一步判定自變量所屬的分段區(qū)間，第二步選取對(duì)應(yīng)區(qū)間的解析式代入計(jì)算；多層嵌套分段求值，由內(nèi)向外逐層判斷區(qū)間、逐層計(jì)算．2．逆向求值步驟：已知函數(shù)值，對(duì)每一段解析式分別列方程求解，逐一驗(yàn)證解是否落在對(duì)應(yīng)分段區(qū)間內(nèi)，保留有效解，舍去區(qū)間外無(wú)解．3．易錯(cuò)重點(diǎn)：嚴(yán)格區(qū)分分段端點(diǎn)歸屬，避免出現(xiàn)自變量無(wú)對(duì)應(yīng)解析式、重復(fù)代入兩段解析式的錯(cuò)誤．學(xué)以致用學(xué)以致用【例16】（2025秋?敖漢旗校級(jí)期中）已知函數(shù)，且（2）．（1）寫(xiě)出函數(shù)的解析式；（2）求（1）的值；（3）若，求實(shí)數(shù)的值．【分析】（1）根據(jù)已知的函數(shù)值求待定系數(shù)的值．（2）根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)值．（3）分情況討論求實(shí)數(shù)的值．【解答】解：（1）由于（2），故，解得，所以；（2）由（1）可知，所以，；（3）當(dāng)時(shí)，，解得，舍去，當(dāng)時(shí)，，解得或，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的值為．【例17】（2025秋?銀川校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）求，（2），（2）的值；（2）若，求的值；（3）作出函數(shù)的大致圖象，并求時(shí)，的值域．【答案】（1），（2），；（2）或1或；（3）作圖見(jiàn)解析，．【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得；（2）根據(jù)分段函數(shù)解析式，分類(lèi)討論，分別計(jì)算可得；（3）根據(jù)函數(shù)解析式，可作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)解析式易求時(shí)，的值域．【解答】解：（1）因?yàn)椋裕?）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，或（舍，綜上所述，的值為或1或．（3）函數(shù)的圖象，如圖所示：當(dāng)，，，當(dāng)，，，綜上所述：結(jié)合圖象可得的值域?yàn)椋纠?8】（2025秋?蘭州期中）已知函數(shù)的解析式為．（1）求（1），的值；（2）畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出的最大值；（3）解不等式．【答案】（1）（1），；（2）圖象見(jiàn)解析，最大值為4；（3）或．【分析】（1）根據(jù)自變量的取值，代入分段函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)圖象最高點(diǎn)即可寫(xiě)出最大值；（3）對(duì)范圍討論，解出之后求并集即可．【解答】解：（1）因?yàn)椋裕?），，則；（2）由圖象可知，最大值為4；（3）當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以，綜上所述，或．不等式的解集為或．題型07分段函數(shù)的圖象及應(yīng)用1．圖象繪制規(guī)范：按自變量區(qū)間分段繪制圖象，區(qū)間不含端點(diǎn)畫(huà)空心圓點(diǎn)，包含端點(diǎn)畫(huà)實(shí)心圓點(diǎn)；保證各段圖象互不交叉、區(qū)間銜接準(zhǔn)確，精準(zhǔn)還原分段函數(shù)特征．2．圖象核心應(yīng)用：通過(guò)分段圖象讀取各段單調(diào)區(qū)間、最值、零點(diǎn)；求解分段函數(shù)不等式、比較分段函數(shù)值大小；根據(jù)圖象特征逆向求解解析式中的參數(shù)范圍．3．參數(shù)求解思路：結(jié)合圖象端點(diǎn)、最值點(diǎn)、零點(diǎn)的位置約束，列出對(duì)應(yīng)不等式組，鎖定參數(shù)取值范圍．學(xué)以致用學(xué)以致用【例19】（2025?雙灤區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求的值；（2）在所給直角坐標(biāo)系中畫(huà)出此函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象回答：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）將代入直接求解即可；（2）求出一次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)和，連線即可畫(huà)出圖象；（3）觀察一次函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得；（2）由（1）可知，一次函數(shù)的表達(dá)式為，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)和，畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示：（3）由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象在軸上方，即．故答案為：．【例20】（2025秋?自流井區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）求；（2）若（a），求實(shí)數(shù)的值；（3）作出函數(shù)在，區(qū)間內(nèi)的圖像．【答案】（1）；（2）2或0；（3）圖象見(jiàn)解析．【分析】（1）代入求值即可；（2）分與兩種情況，列出方程，求出實(shí)數(shù)的值，去掉不合要求的解．（3）根據(jù)分段函數(shù)解析式即可作出函數(shù)圖象．【解答】解：（1）易知；（2）當(dāng)時(shí)，，解得或（舍，當(dāng)時(shí)，，解得，滿足要求，綜上可得或0；（3）由分段函數(shù)解析式分別由一次函數(shù)和二次函數(shù)圖象性質(zhì)作出函數(shù)圖象如下所示：【例21】（2025秋?仁壽縣期中）已知函數(shù)．（1）用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù)；（2）畫(huà)出該函數(shù)的圖象（不寫(xiě)畫(huà)法），寫(xiě)出該函數(shù)的定義域、值域．【答案】（1）；（2）圖象：定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋痉治觥浚?）通過(guò)討論去掉絕對(duì)值可得答案；（2）由（1）中分析可得大致圖像，據(jù)此可得定義域與值域．【解答】解：（1）當(dāng)，；當(dāng)，．故；（2）的圖象如下：由圖象可得函數(shù)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋}型08分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1．建模解題步驟：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題設(shè)定自變量，區(qū)分常量與變量；依據(jù)階梯收費(fèi)、分段計(jì)價(jià)、幾何尺寸、產(chǎn)量利潤(rùn)等實(shí)際規(guī)則，劃分自變量區(qū)間；分段列寫(xiě)各區(qū)間對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；結(jié)合實(shí)際意義限定自變量取值范圍．2．高頻應(yīng)用模型：水電費(fèi)階梯收費(fèi)、打車(chē)分段計(jì)費(fèi)、商品分段定價(jià)銷(xiāo)售、幾何圖形分段面積、產(chǎn)量分段利潤(rùn)問(wèn)題．3．解題收尾要點(diǎn)：計(jì)算結(jié)果必須貼合實(shí)際場(chǎng)景，舍去負(fù)數(shù)、小數(shù)、無(wú)實(shí)際意義的無(wú)效解，保證答案合理合規(guī)．學(xué)以致用學(xué)以致用【例22】（2025春?鄭州校級(jí)月考）依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)按照《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》向國(guó)家繳納個(gè)人所得稅（簡(jiǎn)稱個(gè)稅）．2019年1月1日起，個(gè)稅稅額根據(jù)