2025-2026學年江蘇省揚州市高二（下）期末數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年江蘇省揚州市高二（下）期末數學試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，共40分。1.的值是（）A.11 B.17 C.126 D.1322.下列函數中存在極值點的是（）A.y=x3 B.y=ex-1 C.y=2lnx D.y=sinx3.若水池的排水量V（單位：m3）與時間t（單位：s）滿足函數關系式V=f（t），則f′（4）的實際意義是（）A.4秒時水池的排水量 B.4秒內水池的排水總量

C.4秒時水池排水量的瞬時變化率 D.4秒內水池排水量的平均變化率4.在空間直角坐標系O-xyz中，點P（3，2，1）關于平面yOz對稱的點的坐標為（）A.（-3，2，1） B.（-3，-2，1） C.（3，-2，-1） D.（-3，2，-1）5.如圖，從甲地到乙地有3條路，從乙地到丁地有2條路；從甲地到丙地有2條路，從丙地到丁地有4條路.則從甲地到丁地不同的路線有（）A.11條

B.12條

C.13條

D.14條6.在空間直角坐標系中，已知點A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），D（3，1，0），則點D到平面ABC的距離為（）A. B. C. D.7.甲乙兩個學習小組，甲小組中有3名男生和4名女生，乙小組中有3名男生和2名女生.先從甲小組中隨機抽出1名學生轉入乙小組，然后再從乙小組中隨機抽出1名學生，則從乙小組中抽出的學生是女生的概率為（）A. B. C. D.8.已知函數f（x）=lnx-kx,若存在唯一整數t,使得f（t）＞0，則實數k的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，共18分。9.下列選項中正確的有（）A.若隨機變量ξ～N（5，σ2），P（ξ＜1）=0.1，則P（ξ＞9）=0.1

B.若隨機變量ξ的數學期望E（ξ）=4，則E（2ξ-1）=8

C.研究兩個變量的相關性時，相關系數r的絕對值越接近1，兩個變量的相關性越強

D.進行獨立性檢驗時，統計量χ2的值越大，判斷“兩個分類變量相關”犯錯誤的概率越小10.某班級數學課外活動小組中有男生5人，女生3人，則下列選項中正確的有（）A.從中選出2人分別擔任組長和副組長，共有28種不同的安排方案

B.從中選4人參加語文、數學、英語知識競賽，其中語文需要2人，數學和英語各需要1人，共有840種不同的安排方案

C.8人排成一排，甲乙兩人之間恰好間隔2人，共有7200種不同的安排方案

D.8人排成一排，女生兩兩不相鄰，且女生甲在排頭或排尾，共有4800種不同的安排方案11.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，點P，Q，R分別是棱DD1，AD，C1D1的中點，點M在四邊形BCC1B1及其內部運動，則下列選項中正確的有（）A.存在點M，使得AR⊥MR

B.存在點M，使得AM+MR=8

C.若A1M∥平面CPQ，則直線A1M與AB所成的角可能為15°

D.三棱錐M-DPQ的外接球半徑的最小值為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在空間四邊形OABC中，，，，若，，則=

（用向量表示）.13.已知函數在（1，3）上單調遞增，則實數a的最大值為

.14.從所有的四位正整數中隨機取一個，記所取正整數的千位數字為a,百位數字為b,十位數字為c,個位數字為d,則：

（1）P（a＜b＜c＜d）=

；

（2）P（a＜b＜c＜d|a≤b≤c≤d）=

.（結果用最簡分數表示）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知.

（1）求f（x）展開式中含x5項的系數；

（2）求證：f（4）+1能被10整除.16.(本小題15分)

為科學評估施肥對某品種農作物發育情況和產量的影響，某研學小組對勞動實踐基地中隨機抽取的200株該品種農作物進行了觀察，并進行數據分析.

（1）將所抽取的農作物按是否施肥分為兩類，并將其分為“發育正常”和“發育不正常”兩類，整理得到下表：施肥不施肥合計發育正常7030發育不正常40合計200請補全以上表格，判斷能否有99.9%的把握認為“是否施肥”與“該品種農作物是否發育正常”有關，并說明理由.

（2）對施肥的農作物進行觀察，發現施肥超過某標準量后，產量反而會迅速下降.從施肥的該品種農作物中隨機抽取10株，記錄它們的過量施肥量x（g）與產量y（g），數據如表：農作物編號12345678910過量施肥量x（g）00.5111.52222.52.5產量y（g）100858585807575707075經計算，=15，=800，=29，=1135，求y關于x的線性回歸方程.

附：χ2=P（χ2≥x0）0.0500.0100.001x03.8416.63510.828對于一組數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸直線x的斜率和截距的最小二乘估計分別為：.17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐M-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，底面ABCD⊥側面MCD，△MCD是正三角形，E是MC的中點.

（1）求證：DE⊥平面MBC；

（2）若，且直線AF與平面MCD所成角的正弦值為.

（i）求λ的值；

（ii）求平面ADF與平面MBC所成的銳二面角的余弦值.18.(本小題17分)

袋中共裝有大小相同的20個紅球和10個黑球，現連續從袋中隨機取出小球，每次取1個.

（1）若每次取出小球后放回，連取3次，記取出黑球的次數為X，求X的概率分布和方差；

（2）若每次取出的小球不放回，

（i）記前n次取球中（2≤n≤22），取出黑球次數為2的概率是f（n），求f（n）取最大值時n的值；

（ii）當取出所有黑球時，記取出的小球總個數是ξ，求ξ的數學期望.19.(本小題17分)

已知函數f（x）=x2+4x-aln（x+1），a∈R.

（1）若a=4，求f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；

（2）若f（x）在（0，+∞）上存在唯一零點b,

（i）求a的取值范圍；

（ii）求證：ea-4-1＞b.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

11.【答案】AD

12.【答案】-

13.【答案】2

14.【答案】

15.【答案】由二項式定理可知，在的展開式中，，

令14-3r=5，解得r=3，因此，二項展開式中含x5的項系數為

證明：

=，

因為上式的每一項都能被10整除，所以f（4）+1能夠被10整除

16.【答案】根據題意，列聯表為：施肥不施肥合計發育正常7030100發育不正常4060100合計11090200零假設為H0=“是否施肥與該品種農作物是否發育正常無關”，

又χ2=≈18.182＞10.828，

則H0不成立，即有99.9%的把握認為“是否施肥”與“該品種農作物是否發育正常”有關

已知=15，=800，則，，

又==-10，

又=80-（-10）×1.5=95，

則y關于x的線性回歸方程為

17.【答案】證明：∵ABCD為正方形，∴BC⊥CD，

又∵平面MCD⊥平面ABCD，平面MCD∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，

∴BC⊥平面MCD，又∵DE?平面MCD，∴BC⊥DE，

又在正△MCD中，E為MC的中點，故DE⊥MC，

又∵BC，MC?平面MBC，BC∩MC=C，

∴DE⊥平面MBC

（i）取CD的中點O，AB的中點N，連接OM，ON，

由平面MCD⊥平面ABCD，平面MCD∩平面ABCD=CD，

MO⊥CD，MO?平面MCD，可得MO⊥平面ABCD，

又由ABCD為正方形，O，N分別為CD，AB的中點，可得ON⊥CD，

分別以OD，ON，OM所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的坐標系，

則A（1，2，0），B（-1，2，0），D（1，0，0），，

由，（0＜λ＜1），

得，

∴，

又平面MCD的一個法向量為=（0，1，0），

由．

解得（舍去），

即有，

（ii）由，則，，

設面ADF的法向量為，

則，

可取，y=0，z=5，則，

由（1）知，平面MBC的一個法向量為，

設平面ADF與平面MBC所成銳二面角的大小為θ，

則，

∴平面ADF與平面MBC所成銳二面角大小的余弦值為

18.【答案】每次取出黑球的概率，所以，

則，，

，，

則X的分布列如下：X0123P所以

（i），

所以

=，

令，解得n＞5.2，

所以當6≤n≤21時，f（n+1）＜f（n）?f（6）＞f（7）＞f（8）＞…＞f（22），

當2≤n≤5時，f（2）＜f（3）＜…＜f（6），

所以f（n）取最大值時n=6；

（ii）ξ的所有可能取值為：10，11，…，30，

因為，所以，而，

所以

=

19.【答案】f（x）=x2+4x-aln（x+1），定義域為（-1，+∞），

，

a=4時，f（0）=0，f′（0）=0，故切線方程為y=0

，x＞-1，

（i）當a≤4時，f'（x）≥0函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（x）＞f（0）=0，

所以f（x）在（0，+∞）上不存在零點，

當a＞4時，令m（x）=2x2+6x+4-a,m（x）在（0，+∞）上單調遞增，

m（0）=4-a＜0，?x0∈（0，+∞），使得m（x0）=0，即f'（x0）=0，

所以x∈（0，x0）時，f'（x）＜0，x∈（x0，+∞）時，f'（x）＞0，

所以f（x）在（0，x0）上單調遞減，（x0，+∞）上單調遞增，

f（0）=0，f（x0）＜f（0）=0，f（a）=a2+4a-aln（a+1）=a（a+4-l（a+1））＞0，

（其中m（a）=2a2+5a+4＞0，所以a＞x0），

所以當a＞4時，函數f（x）在（0，+∞）上存在唯一零點b,其中b∈（x0，a）．

（ii）證明：b為f（x）唯一零點，所以f（b）=b2+4b-aln（b+1）=0，

所以