北航機械設計講義第2部分 強度和剛度設計

第二部分強度和剛度設計內容介紹：

本部分主要討論以強度剛度作為主要設計準則的機械零部件（軸、齒輪傳動、蝸桿傳動）的應用特點和設計方法。足夠的強度和剛度是保證機械零部件可靠工作的前提，強度剛度設計準則是機械零部件結構設計的基本準則之一，其基本分析思路和分析方法是本課程學習的重點之一。2.1.1概述軸是機械中非常重要的零件，用來支承回轉運動零件，如帶輪、齒輪、蝸輪等，同時實現同一軸上不同零件間的回轉運動和動力的傳遞。1.軸的分類根據工作過程中軸的中心線形狀的不同，軸可以分為：直軸和曲軸。根據工作過程中的承載不同，可以將軸分為：傳動軸：指主要受扭矩作用的軸，如汽車的傳動軸。心軸：指主要受彎矩作用的軸。心軸可以是轉動的，也可以是不轉動的。轉軸：指既受扭矩，又受彎矩作用的軸。轉軸是機器中最常見的軸。根據軸的外形，可以將直軸分為光軸和階梯軸；根據軸內部狀況，又可以將直軸分為實心軸和空。2.軸的設計⑴軸的工作能力設計。主要進行軸的強度設計、剛度設計，對于轉速較高的軸還要進行振動穩定性的計算。⑵軸的結構設計。根據軸的功能，軸必須保證軸上零件的安裝固定和保證軸系在機器中的支撐要求，同時應具有良好的工藝性。一般的設計步驟為：選擇材料，初估軸徑，結構設計，強度校核，必要時要進行剛度校核和穩定性計算。校核結果如不滿足承載要求時，則必須修改原結構設計結果，再重新校核。3.軸的材料軸是主要的支承件，常采用機械性能較好的材料。常用材料包括：碳素鋼：該類材料對應力集中的敏感性較小，價格較低，是軸類零件最常用的材料。常用牌號有：30、35、40、45、50。采用優質碳鋼時，一般應進行熱處理以改善其性能。受力較小或不重要的軸，也可以選用Q235、Q255等普通碳鋼。合金鋼：對于要求重載、高溫、結構尺寸小、重量輕等使用場合的軸，可以選用合金綱。合金鋼具有更好的機械性能和熱處理性能，但對應力集中較敏感，價格也較高。設計中尤其要注意從結構上減小應力集中，并提高其表面質量。鑄鐵：對于形狀比較復雜的軸，可以選用球墨鑄鐵和高強度的鑄鐵。它們具有較好的加工性和吸振性，經濟性好且對應力集中不敏感，但鑄造質量不易保證。2.1.2軸的結構設計根據軸在工作中的作用，軸的結構取決于：軸在機器中的安裝位置和形式，軸上零件的類型和尺寸，載荷的性質、大小、方向和分布狀況，軸的加工工藝等多個因素。合理的結構設計應滿足：軸上零件布置合理，從而軸受力合理有利于提高強度和剛度；軸和軸上零件必須有準確的工作位置；軸上零件裝拆調整方便；軸具有良好的加工工藝性；節省材料等。1.軸的組成軸的毛坯一般采用圓鋼、鍛造或焊接獲得，由于鑄造品質不易保證，較少選用鑄造毛坯。軸主要由三部分組成。軸上被支承，安裝軸承的部分稱為軸頸；支承軸上零件，安裝輪轂的部分稱為軸頭；聯結軸頭和軸頸的部分稱為軸身。軸頸上安裝滾動軸承時，直徑尺寸必須按滾動軸承的國標尺寸選擇，尺寸公差和表面粗糙度須按規定選擇；軸頭的尺寸要參考輪轂的尺寸進行選擇，軸身尺寸確定時應盡量使軸頸與軸頭的過渡合理，避免截面尺寸變化過大，同時具有較好的工藝性。2.結構設計步驟設計中常采用以下的設計步驟：分析所設計軸的工作狀況，擬定軸上零件的裝配方案和軸在機器中的安裝情況。根據已知的軸上近似載荷，初估軸的直徑或根據經驗確定軸的某徑向尺寸。根據軸上零件受力情況、安裝、固定及裝配時對軸的表面要求等確定軸的徑向（直徑）尺寸。根據軸上零件的位置、配合長度、支承結構和形式確定軸的軸向尺寸。考慮加工和裝配的工藝性，使軸的結構更合理。3.零件在軸上的安裝保證軸上零件可靠工作，需要零件在工作過程中有準確的位置，即零件在軸上必須有準確的定位和固定。零件在軸上的準確位置包括軸向和周向兩個方面。⑴零件在軸上的軸向定位和固定常見的軸向定位和固定的方法采用軸肩、各種擋圈、套筒、圓螺母、錐端軸頭等的多種組合結構。

軸肩分為定位軸肩和非定位軸肩兩種。利用軸肩定位結構簡單、可靠，但軸的直徑加大，軸肩處出現應力集中；軸肩過多也不利于加工。因此，定位軸肩多在不致過多地增加軸的階梯數和軸向力較大的情況下使用，定位軸肩的高度一般取3~6mm，滾動軸承定位軸肩的高度需按照滾動軸承的安裝尺寸確定。非定位軸肩多是為了裝配合理方便和徑向尺寸過度時采用，軸肩高度無嚴格限制，一般取為1~2mm。套筒定位可以避免軸肩定位引起的軸徑增大和應力集中，但受到套筒長度和與軸的配合因素的影響，不宜用在使套筒過長和高速旋轉的場合。擋圈的種類較多，且多為標準件，設計中需按照各種擋圈的用途和國標來選用。

⑵零件在軸上的周向定位和固定常見的周向定位和固定的方法采用鍵、花鍵、過盈配合、成形聯結、銷等多種結構。鍵是采用最多的方法。同一軸上的鍵槽設計中應布置在一條直線上，如軸徑尺寸相差不過大時，同一軸上的鍵最好選用相同的鍵寬。4.軸的結構工藝性⑴從裝配來考慮：應合理的設計非定位軸肩，使軸上不同零件在安裝過程中盡量減少不必要的配合面；為了裝配方便，軸端應設計45°的倒角；在裝鍵的軸段，應使鍵槽靠近軸與輪轂先接觸的直徑變化處，便于在安裝時零件上的鍵槽與軸上的鍵容易對準；采用過盈配合時，為了便于裝配，直徑變化可用錐面過渡等。⑵從加工來考慮：當軸的某段須磨削加工或有螺紋時，須設計砂輪越程槽或退刀槽；根據表面安裝零件的配合需要，合理確定表面粗糙度和加工方法；為改善軸的抗疲勞強度，減小軸徑變化處的應力集中，應適當增大其過渡圓角半徑，但同時要保證零件的可靠定位，過渡圓角半徑又必須小于與之相配的零件的圓角半徑或倒角尺寸。2.1.3軸的強度計算進行軸的強度校核計算時，應根據軸的具體受載及應力情況，采取相應的計算方法。對于只傳遞扭矩的軸（傳動軸），按扭轉強度條件計算；對于只承受轉矩的軸（心軸），按彎曲強度條件計算；對于既受到轉矩的作用，又受到彎矩作用的軸（轉軸），應按彎扭合成強度條件計算；重要的軸還需按疲勞強度條件進行精確校核。對于瞬時過載很大或應力循環不對稱性較為嚴重的軸，還應校核靜強度。1.扭轉強度計算根據軸的轉矩的大小，通過計算切應力來建立軸的強度條件。這種方法計算簡便，但計算精度較低，主要用于初步估算軸徑以便進行結構設計和以傳遞轉矩為主的傳動軸。強度條件為：T——軸所傳遞的扭矩，Wr——軸抗扭截面模量，對實心軸軸的直徑：mmP——軸所傳遞的功率（kw）n——軸的轉速（r/min）;[τ]——許用扭轉切應力（Mpa）。C——與材料有關的系數。當軸所受彎矩較大時，C值宜取較大值，反之相反。最小直徑處有鍵槽時，單鍵軸徑需增加3%，雙鍵軸徑需增加7%。2.彎扭合成強度計算根據軸在工作中的受力狀況，常見的軸既要受到扭矩的作用又要受到彎矩的作用。根據強度理論，對軸所受到的彎矩和扭矩進行合成，用合成后的當量彎矩產生的應力作為軸所受到的應力，對影響軸疲勞強度的其它因素，采用降低需用應力的方法來考慮，建立軸的強度分析條件，即為按彎扭合成計算軸的強度。具體計算步驟為：根據結構設計結果，確定外載荷作用點、大小、方向和支點位置，繪制軸的受力計算簡圖；確定坐標系，將外載荷分解為水平面和垂直面內分力，求出水平、垂直兩平面支反力；繪制水平面、垂直平面的彎矩MX、MY圖；計算合成彎矩,繪制合成彎矩圖；繪制轉矩圖；按照強度理論求出當量彎矩Me，繪制當量彎矩圖；式中α是根據轉矩性質而定的應力校正系數。對于不變的轉矩，取；對于脈動的轉矩，取；對于對稱循環的轉矩，取α=1。[σ+1b]、[σ0b]、[σ-1b]分別為材料在靜應力、脈動應力和對稱循環應力狀態下的許用彎曲應力。實際設計中，常按脈動轉矩計算。確定危險截面，校核危險截面軸徑。或W——軸的抗彎截面模量；[σ-1b]——許用彎曲應力3．疲勞強度精確（安全系數強度）校核計算對于使用場合重要，要求計算精度較高的重要軸，按彎扭合成強度計算時，未考慮軸的細部結構，需進行更準確的計算，通常采用安全系數法。具體計算步驟為：同彎扭合成步驟1；繪制彎矩圖和扭矩圖；確定危險截面，求出截面上的彎曲應力σ和切應力τ及應力變化情況；計算疲勞強度的安全系數S：彎矩作用下的安全系數為Sσ：轉矩作用下的安全系數為Sτ：kN——壽命系數；σ-1、τ-1——對稱循環應力時材料的彎曲疲勞限和扭轉疲勞限；kσ、kτ——彎曲和扭轉式的應力集中系數;β——為表面質量系數；εσ、ετ——尺寸系數；σm、τm——平均應力；Ψσ、Ψτ——平均應力折合為應力幅的等效系數，、σ0、τ0——脈動循環應力時材料的彎曲疲勞極限和扭轉疲勞極限。

5.校核疲勞強度：S≥[S]，[S]——許用安全系數。4．靜強度計算對于工作過程中瞬時過載很大或應力循環不對稱性較為嚴重的軸，軸上的尖峰載荷及時作用實踐很短和出現次數很少，不足以引起疲勞破壞，但卻能使軸產生塑性變形。設計時應校核靜強度。（1）按彎扭合成校核：強度條件為：式中：σ0=M/W,τ0=T/Wt;對于實心圓軸，σ0=10M/d3,τ0=5T/d3,代入上式可得或式中：Me0——靜強度當量彎矩；[σ0]——靜強度許用應力計算時M和T應取最大載荷的數值。許用應力取[σ]=σs/S。σs為材料的屈服極限，S為安全系數，其值根據實踐經驗確定。當載荷或應力不能精確計算，材料性能無把握時，上述S值應增大20%~50%。（2）按安全系數法校核：強度條件為：；；σmax、τmax——尖峰載荷所產生的彎曲應力和扭轉應力；σs、τs——材料的抗拉和抗扭屈服極限；[S0]——靜強度安全系數。2.1.4軸的剛度計算軸屬于細長桿件類零件，對于重要的或有剛度要求的軸，要進行剛度計算。軸的剛度有彎曲剛度和扭轉剛度兩種。彎曲剛度用軸的撓度y或偏轉角θ來表征，扭轉剛度用軸的扭轉角φ來表征。軸的剛度計算，就是計算軸在工作載荷下的變形量，并要求其在允許的范圍內，即：y<[y],θ<[θ];φ<[φ]。1.彎曲剛度計算進行軸的彎曲剛度計算時，通常按材料力學的方法計算撓度和偏轉角，常用的有當量軸徑法和能量法。(1)當量軸徑法適用于軸的各段直徑相差較小且只需作近似計算的場合。它是通過將階梯軸轉化為等效光軸后求等效軸的彎曲變形。等效光軸的直徑為：式中：di——階梯軸的第i段直徑(i=1~n,n為段數)；li為階梯軸的第I段長度。若作用于光軸的載荷F位于支承跨矩L的中間位置時，則軸在該處的撓度y和支承處的偏轉角θ分別為：，式中：E——材料的彈性模量(N/mm2)；I——光軸剖面的慣性矩，(mm4)(2)能量法適用于階梯軸的彎曲剛度的較精確計算。它是通過對軸受外力作用后所引起的變形能的分析，應用材料力學的方法分析軸的變形。2.扭轉剛度計算軸受轉矩作用時，對于鋼制實心階梯軸，其扭轉角的計算式為：（rad）式中：G——材料的剪切彈性模量，鋼的G=81000N/mm；Ti、li、di分別為第i段軸所受的轉矩（N.mm）、長度(mm)和直徑(mm)。3.提高軸的疲勞強度和剛度的措施設計過程中，除合理選材外還可從結構安排和工藝等方面采取措施來提高軸的承載能力。(1)分析軸上零件特點，減小軸受載荷根據軸上安裝的傳動零件的狀況，合理布置和合理設計可以減小軸的受載。對于受彎矩和轉矩聯合作用的轉軸，可以改進軸和軸上零件結構，使軸的承載減少。(2)改進軸的結構，減少應力集中避免軸的剖面尺寸發生較大的變化，采用較大的過渡圓角半徑，當裝配零件的倒角很小時，可以采用內凹圓角或加裝隔離環；盡可能不在軸的受載區段切制螺紋；可能時適當放松零件與軸的配合，在輪轂上或與輪轂配合區段兩端的軸上加開卸載槽，以降低過盈配合處的應力集中等。(3)改進軸的表面質量，提高軸的疲勞強度減小表面及圓角處的表面粗糙度；對零件進行表面淬火、滲氮、滲碳、碳氮共滲等處理；對零件表面進行碾壓加工或噴丸硬化處理等可以顯著提高軸的承載能力。(4)采用空心軸，減輕質量，提高強度和剛度（內徑d0/外徑d）為0.6的空心軸與直徑為d的實心軸相比，空心軸的剖面模量減少13%，質量減少36%；d0/d仍為0.6的空心軸與同質量的實心軸相比，剖面模量可增加1.7倍。2.1.5軸的振動計算受變載荷作用的軸，如果載荷的變化頻率與軸的自振頻率相同或接近時，軸會發生共振。共振使軸的運動狀態發生很大變化，嚴重時會使軸或軸上零件甚至整個機器遭受破壞，發生共振現象時的轉速，稱為軸的臨界轉速。

軸的回轉頻率與軸的自振頻率相同或接近時，軸也會發生共振。對于高轉速的軸和受周期性外載荷的軸，必須進行振動計算。

軸的振動計算，主要是計算其臨界轉速，以采取必要的措施，使軸的自振頻率與周期載荷的作用頻率不同，以免發生共振現象。軸的振動有橫向振動（彎曲振動）、縱向振動和扭轉振動等。縱向振動的自振頻率很高，超出一般軸的工作轉速范圍，分析時可不予考慮。橫向振動的臨界轉速可以有多個，最低的一個稱為第一階臨界轉速，其余為二階、三階……。在一階臨界轉速下，振動激烈，最為危險，所以通常主要計算一階臨界轉速。在某些特殊情況下還需計算高階臨界轉速。

分析一根裝有單圓盤的雙鉸支軸如圖。設圓盤的質量m很大，相對而言，軸的質量可以忽略不計，并假定圓盤材料不均勻或制造有誤差，其重心與軸線間的偏心矩為e。當軸以角速度ω轉動時，由于離心力而產生撓度y。單圓盤的雙鉸支軸

旋轉時的離心力為：

彎曲變形后的彈性反力為：k為軸的彎曲剛度

根據平衡條件：

可以求得軸的撓度為：

當軸的角速度ω由零逐漸增大時，y值隨角速度ω的增大而增大。在沒有阻尼的情況下，當趨近于1時，撓度y趨近于無窮大，意味著軸會產生極大的變形而導致破壞。此時所對應的角速度ω稱為臨界角速度，用ωc表示:

上式右邊恰為軸的自振角頻率，即軸的臨界角速度等于其自振角頻率。由上式可見，臨界角速度ωc只與軸的剛度k和圓盤的質量m有關，而與偏心矩e無關。

由于軸的剛度，式中g為重力加速度，y0為軸圓盤處的靜撓度，所以臨界角速度ωc可寫成:

取g=9810mm/s2,y0的單位為mm，由上式可求得裝有單圓盤的雙鉸支軸在不計自重時的一階臨界轉速nc1為：rpm

由于軸的臨界轉速nc1與成反比，故對工作轉速較低的軸，可減小其y0，采用直徑大而跨矩短的軸，使軸的臨界轉速高于工作轉速（此類軸稱為剛性軸）；對工作轉速很高的軸，可增加其y0，采用直徑相對小而跨矩長的軸，使軸的臨界轉速低于工作轉速（此類軸稱為柔性軸）。一般情況下，對于剛性軸，應使工作轉速n<0.85nc1;對于柔性軸，應使工作轉速1.15nc1<n<0.85nc2（此處nc1、nc2分別為軸的一階、二階臨界轉速）。

振動計算如不符合要求，則需要改進設計。可以采用改變工作轉速，改變軸徑尺寸，改變支承跨矩，改變軸上零件的質量和增設減震裝置等措施。2.2.1概述齒輪傳動應用廣泛，主要特點：傳動效率高。使用可靠，工作壽命長。傳動比穩定，結構緊湊。制造和安裝精度要求高時，傳動中心距大時，成本較高；精度不高或在高速下運行時，振動和噪音較大。常見的齒輪傳動形式見圖:

直齒輪

斜齒輪

斜齒圓錐齒輪

交錯軸斜齒輪

內齒輪

齒輪齒

人字形齒輪

直齒錐齒輪齒輪傳動的分類：按齒廓曲線分：漸開線齒廓，擺線齒廓，圓弧齒廓按齒線相對于齒輪母線方向分：直齒，斜齒，人字齒，曲線齒。按兩齒輪軸的相對位置分：平行軸，相交軸，交錯軸。按齒輪工作條件分：閉式傳動，開式傳動。按齒面的硬度分：軟齒面（布氏硬度<350HB）,硬齒面(布氏硬度>350HB)。2.2.2漸開線齒輪傳動參數漸開線齒輪傳動連續傳動條件：兩齒輪模數相等，壓力角相等，重合度大于1。1.傳動比、齒數比

傳動比：主動輪轉速與從動輪轉速之比:2.齒輪傳動的精度等級

國家標準（GB10095-88）和(GB11365-89)規定了漸開線圓柱齒輪和錐齒輪的精度標準。規定齒輪精度由高到低分為12個精度等級。3~5級為高精度等級，6~8級為中等精度等級，9~12級為低精度等級。

根據對運動準確性、傳動平穩性、載荷分布均勻性的影響，每個精度等級相應分為三個公差組：第Ⅰ公差組、第Ⅱ公差組、第Ⅲ公差組。對1、2、12級暫時未規定公差。

各精度等級的最大圓周速度見下表：齒輪種類齒面硬度HB第Ⅱ公差組精度等級5678910圓周速度（m/s）直齒≤350＞12≤18≤12≤6≤4≤1＞350＞10≤15≤10≤5≤5≤1斜齒≤350＞25≤36≤25≤12≤8≤2＞350＞20≤30≤20≤9≤6≤1.5本表不屬于國家標準，僅供參考。

常見機器中使用的精度等級見下表：機器種類齒輪精度等級機器種類齒輪精度等級汽輪機3∽6拖拉機6∽8金屬切削機床3∽8通用減速器6∽8航空發動機4∽8鍛壓機床6∽9輕型汽車5∽8起重機7∽10載重汽車7∽9農用機器8∽11注：主齒輪或重要的齒輪傳動，精度等級偏上限選擇；輔助齒輪一般齒輪居中或偏下選擇。3模數、中心距、變位齒輪傳動

模數——國標規定漸開線圓柱齒輪和錐齒輪的基本齒廓為標準值。設計時模數優先選用第一系列。

中心距——指兩齒輪軸線之間的距離，標準齒輪無齒側間隙安裝時，即一對標準齒輪分度圓相切時的中心距稱為標準中心矩。

變位傳動——由變位齒輪組成的齒輪傳動，包括以下幾種類型：

(1)高度變位齒輪傳動：組成變位傳動兩齒輪的變位系數的絕對值相等，即。中心距仍然為標準中心距

(2)角度變位齒輪傳動：組成變位傳動兩齒輪的變位系數之和不為零，即。分為正傳動和負傳動。在角度變位傳動中，兩輪的分度圓不再相切，分度圓與節圓不重合，中心距不等于標準中心距。變位傳動必須成對設計、制造和使用。2.2.3漸開線齒輪傳動幾何計算1.外嚙合圓柱齒輪傳動幾何計算

漸開線外嚙合圓柱齒輪傳動主要幾何計算：2.錐齒輪傳動錐齒輪傳動的特點

圓錐齒輪傳動用來傳遞兩相交軸之間的運動。錐齒輪輪齒分布在一個截錐體上。一對錐齒輪兩軸之間的交角可根據傳動需要來確定，Σ=90°的傳動最為常見。錐齒輪傳動按兩輪的嚙合形式的不同，可分為外嚙合、內嚙合及平面嚙合三種；按輪齒相對于圓錐母線的方向，可分為直齒、斜齒及曲齒等。直齒圓錐齒輪的設計、制造和安裝均相對簡便，應用最為廣泛。直齒圓錐齒輪的參數

為了保證錐齒輪輪齒的正確嚙合，錐齒輪的輪齒的齒廓，在理論上應是球面漸開線。圓錐齒輪輪齒上各點與錐頂的距離不同，各點的齒廓參數不同。設計中，規定圓錐齒輪大端的參數為其基準參數。當量齒輪

由于直齒錐齒輪的輪齒厚度由大端向小端逐漸收縮，錐齒輪輪齒上各點的載荷和應力狀況比較復雜，在工程設計中，采用適當簡化的方法。設計中，近似地將一對相互嚙合的錐齒輪轉化為一對當量圓柱直齒輪，采用圓柱齒輪的強度設計公式進行錐齒輪的設計。2.2.4齒輪傳動的載荷和應力1.齒輪傳動的載荷計算(1)直齒圓柱齒輪傳動的受力分析

圓周力：徑向力：法向力：d1——小齒輪的分度圓直徑mmα——分度圓壓力角T1——小齒輪傳遞的名義轉矩(N.m)P1為小齒輪所傳遞的功率（KW）n1為小齒輪轉速（rpm）

作用在主動輪和從動輪上的力大小相等，方向相反。主動輪上的圓周力是阻力，其方向與它的回轉方向相反；從動輪上的圓周力是驅動力，其方向與它的回轉方向相同；兩輪所受的徑向力分別指向各自的輪心。齒面上的總法向力方向則為嚙合點的法向方向，對于漸開線齒廓即為通過嚙合點與基圓相切的嚙合線方向。(2)斜齒圓柱齒輪傳動的受力分析圓周力：徑向力：軸向力：法向力：αt——端面分度圓壓力角；αn——法向分度圓壓力角；β——分度圓螺旋角；βt——基圓螺旋角。(3)直齒錐齒輪傳動的受力分析

法向力Fn集中作用在齒寬節線中點處，則Fn可分解為互相垂直的三個分力。圓周力：徑向力：軸向力：dm1——小齒輪齒寬中點分度圓直徑mm；δ1——小錐齒輪分度圓錐角圓周力和徑向力的方向判別與直齒圓柱齒輪判別方法相同，軸向力方向分別指向各自的大端。由于錐齒輪傳動兩軸的空間交角為90°，因此存在以下關系：；。負號表示方向相反。(4)齒輪傳動的計算載荷齒輪承受載荷常表現為其傳遞的力矩或圓周力。由上述力的分析計算所得出的圓周力為齒輪傳動的名義圓周力。實際工作中，由于各種因素的影響，齒輪實際承受的圓周力要大于名義圓周力。考慮各種因素的影響，實際圓周力Ftc為：Ftc也稱為計算載荷。1）KA——使用系數。2）KV——動載系數。3)KHα和KFα——齒間載荷分配系數。4)KHβ和KFβ——齒向載荷分布系數。2.齒輪傳動應力分析齒輪傳動工作過程中，相嚙合的輪齒受到法向力Fn的作用，主要產生兩種應力：齒面接觸應力和齒根彎曲應力。(1)齒面接觸應力σH齒輪傳動工作中，漸開線齒面理論上為線接觸，考慮齒輪的彈性變形，實際上為很小的面接觸。在接觸面上，產生齒面接觸應力。對于相嚙合齒輪上的一對特定輪齒，工作齒廓上的各對應接觸部位僅僅在接觸的瞬間產生接觸應力，過此瞬間脫離接觸之后，該部位的接觸應力隨即消失。因此，不論輪齒承受穩定載荷或不穩定載荷，傳動運動方式如何，齒面接觸應力總是按脈動循環變化的變應力。齒面接觸應力的數值，與載荷大小、接觸點的變形、材料性能等因素有關，可按彈性力學理論和輪齒表面的具體情況予以確定；齒面接觸應力的變化次數，與齒輪的預期工作壽命及轉速等因素有關。(2)齒根彎曲應力σF齒輪傳動工作中，相嚙合的兩齒輪的載荷，主要作用在嚙合的輪齒上。相對于剛度很大的輪緣，輪齒可以看作為寬度是齒寬b的懸臂梁。受法向力Fn后，齒根處所受應力最大。與接觸應力同樣的分析可知，不論齒輪所受的載荷穩定與否，齒根彎曲應力均為變應力；但對單向工作的齒輪傳動，彎曲應力可能是脈動循環變應力，也可能是對稱循環變應力；對于頻繁雙向工作或擺動的齒輪傳動，彎曲應力則按對稱循環變應力來考慮。2.2.5齒輪傳動的失效分析一般來說，齒輪傳動的失效主要發生在輪齒上。輪齒部分的失效形式分為兩大類：輪齒折斷，齒面失效。1.輪齒折斷折斷失效通常有輪齒的彎曲疲勞折斷、過載折斷和隨機折斷。疲勞折斷：工作時輪齒反復受載，使得齒根處產生疲勞裂紋，并逐步擴展以至輪齒折斷的失效。疲勞裂紋多起源于齒根受拉的一側。過載折斷：齒輪受到突然過載，或經嚴重磨損后齒厚減薄時，輪齒會發生過載折斷。隨機折斷：通常是指由于輪齒缺陷、點蝕或其它應力集中源在輪齒某部位形成過高應力集中而引起輪齒折斷。斷裂部位隨缺陷或過高有害殘余應力的位置而定，與齒根圓角半徑無關。輪齒折斷的形式有整體折斷和局部折斷。整體折斷多發生于直齒輪，局部折斷多發生于斜齒和人字齒輪，齒寬較大的直齒輪和由于安裝、制造因素使得局部受載過大的直齒輪，也可能發生局部折斷。疲勞折斷的斷口較光滑，過載折斷的斷口則較粗糙。增大齒根過渡圓角半徑，減小齒面粗糙度，對齒根進行噴丸或碾壓強化處理消除該處的加工刀痕，選用韌性較好的材料，采用合理的變位等，均有助于提高輪齒的抗折斷能力。通常，輪齒疲勞折斷是閉式硬齒面齒輪傳動的主要失效形式。2.齒面失效齒面失效常見的失效形式有：點蝕、膠合、齒面磨損和齒面塑性變形。(1)點蝕

齒輪在嚙合過程中，相互接觸的齒面受到周期性變化的接觸應力的作用。若齒面接觸應力超出材料的接觸疲勞極限時，在載荷的多次重復作用下，齒面會產生細微的疲勞裂紋；封閉在裂紋中的潤滑油的擠壓作用使裂紋擴大，最后導致表層小片狀剝落而形成麻點，這種疲勞磨損現象，齒輪傳動中稱為點蝕（圖9.3-13）。節線靠近齒根的部位最先產生點蝕。潤滑油的粘度對點蝕的擴展影響很大，點蝕將影響傳動的平穩性并產生沖擊、振動和噪音，引起傳動失效。點蝕又分為收斂性點蝕和擴展性點蝕。收斂性點蝕指新齒輪在短期工作后出現點蝕痕跡，繼續工作后不再發展或反而消失的點蝕現象。收斂性點蝕只發生在軟齒面上，一般對齒輪工作影響不大。擴展性點蝕指隨著工作時間的延長而繼續擴展的點蝕現象，常在軟齒面輪齒經跑合后，接觸應力高于接觸疲勞極限時發生。硬齒面齒輪由于材料的脆性，凹坑邊緣不易被碾平，而是繼續碎裂成為大凹坑，所以只發生擴展性點蝕。嚴重的擴展性點蝕能使齒輪在很短的時間內報廢。提高齒面硬度和降低表面粗糙度，在許可的范圍內增大相互嚙合齒輪的綜合曲率半徑，采用粘度較高的潤滑油等，有助于提高齒輪的抗點蝕能力。(2)齒面膠合

齒面膠合是指在重載或高速傳動時，齒面局部金屬焊接繼而又因相對滑動，其齒面的金屬從其表面被撕落，輪齒表面沿滑動方向出現粗糙溝痕的現象。在高速重載情況下工作的齒輪，由于其滑動速度大而導致瞬時溫度過高，使油膜破裂而產生粘焊，從而引起的膠合稱為熱膠合。在低速重載情況下，由于齒面應力過大，相對速度低，油膜不易形成，使接觸處產生了局部高溫而發生的膠合，稱為冷膠合。膠合從程度上可分為輕微膠合、中等膠合和破壞膠合。輕微膠合需要借助于顯微鏡才能見其粘著痕跡；中等膠合的條紋細淺，肉眼可見；破壞膠合沿齒廓相對滑動方向呈明顯的粘撕溝痕，整個齒面明顯發生材料移失現象，振動噪音增大，齒輪迅速失效，嚴重時發產咬死。提高齒面硬度，降低表面粗糙度，采用有抗膠合添加劑的潤滑油，采取有效冷卻，選用合理變位，減小模數和齒高來降低滑動速度，選用抗膠合性能好的材料等，有助于提高齒輪的抗膠合能力。(3)齒面磨損

齒輪傳動在工作時，齒廓表面在嚙合中存在著相對滑動，齒面由此產生摩擦導致齒面磨損。齒面磨損常見的具體形式包括：磨粒磨損、低速磨損和腐蝕磨損。當金屬微粒、灰塵、異物等落入相嚙合的齒面之間，它們將起到磨料的作用從而引起齒面磨粒磨損。磨粒磨損是開式齒輪傳動最常見的失效；閉式傳動新齒輪在磨合后未予清洗或密封不良等導致潤滑油污染時，也會引起磨粒磨損。當齒輪圓周速度過低時（〈0.5m/s〉，相嚙合齒面間的彈性流體動力膜厚很小，會引起齒面材料的連續性磨損，稱為低速磨損，它通常發生在低速傳動中。潤滑油中的一些活性成分會和齒輪材料發生化學與電化學作用引起腐蝕磨損。齒面磨損造成齒厚減薄，齒廓形狀破壞，嚙合側隙增大，導致振動、噪音和沖擊，嚴重時會使得齒輪因強度不足而折斷。齒輪工作過程中，保持清潔，適時更換潤滑油，采用合適的密封和潤滑裝置，改善潤滑方式，選用粘度較高的潤滑劑和合適的極壓添加劑，選用合適的材料等，有助于減輕齒面的磨損。(4)齒面塑性變形

由于載荷和摩擦力過大，齒面材料在嚙合過程中，產生塑性流動從而造成齒面形狀損壞，齒面塑性變形。一般發生在軟齒面齒輪上。由于主動輪齒齒面上所受到的摩擦力背離節線，分別朝向齒頂和齒根作用，因此產生塑性變形后，齒面上節線附近就下凹；從動輪輪齒表面所受到的摩擦力則分別由齒頂及齒根朝向節線作用，產生塑性變形之后，齒面上節線附近就上凸。這種失效常在低速重載、頻繁起動和過載傳動中出現。減小接觸應力，適當提高齒面硬度，提高潤滑油的粘度等，有助于減輕和防止齒面塑性變形。此外，齒輪傳動中，由于安裝及制造誤差過大、材料缺陷、磨削燒傷和裂紋、表面處理不當等原因，也會造成多種失效。加強原材料和成品檢驗、控制加工和安裝質量，改進熱處理工藝，對有效的減少齒輪失效，提高齒輪強度具有重要的意義。3.設計計算準則

目前設計一般使用條件的齒輪傳動時，通常按保證齒面接觸疲勞強度和齒根彎曲疲勞強度兩準則計算。對于高速大功率的齒輪傳動，進行膠合能力的計算。

工程實踐中，一般推薦采用以下的設計計算準則。閉式齒輪傳動：傳動形式主要失效形式設計計算準則中、小功率軟齒面齒面點蝕接觸疲勞強度設計計算齒根疲勞折斷彎曲疲勞強度校核計算硬齒面齒根疲勞折斷彎曲疲勞強度設計計算齒面點蝕接觸疲勞強度校核計算大功率、重載高速齒面點蝕接觸疲勞強度設計計算齒根疲勞折斷彎曲疲勞強度校核計算齒面熱膠合熱膠合強度計算低速齒面點蝕接觸疲勞強度設計計算齒根疲勞折斷彎曲疲勞強度校核計算齒面冷膠合冷膠合強度計算齒面塑性變形輪齒靜強度計算開式齒輪傳動：

主要的失效形式為彎曲疲勞折斷和磨粒磨損。按彎曲疲勞強度進行計算，算得的模數增大10~15%來考慮磨損影響，由于磨損速度大大超過齒面疲勞裂紋擴展速度，故不需進行接觸疲勞強度計算。

齒輪傳動中有短時過載的，均需進行靜強度計算。2.2.6齒輪常用材料和熱處理1.齒輪材料

對齒輪材料的基本要求為：齒面要有足夠的硬度，以使得齒面具有較高的抗磨損、抗點蝕、抗膠合、抗塑性變形的能力；齒芯材料要有較高的機械性能，高強度極限、疲勞極限和足夠的韌性，以使得輪齒具有足夠的抗彎曲疲勞折斷的能力；價格合理、購買方便，具有良好的加工和熱處理工藝性。

齒輪材料中最常用的是各種鋼材，其次是鑄鐵，還有一些非金屬材料。齒輪的毛坯由鍛造、鑄造或焊接而成，也可以直接用棒料加工。(1)鋼鋼材的韌性好，耐沖擊，還可以通過熱處理或化學處理改善材料的機械性能及提高齒面的硬度。常用的鋼材有鍛鋼和鑄鋼兩類。除尺寸過大或形狀復雜只宜鑄造者外，一般都用鍛鋼制造齒輪，常用的是含碳量0.15~0.6%的碳鋼或合金鋼。鑄鋼的耐磨性及強度均較好，但應經退火及常化處理，必要時也可進行調質。鑄鋼常用于尺寸較大的齒輪。(2)鑄鐵灰鑄鐵價廉、易切削，其中石墨能起潤滑作用，能吸收噪音，但抗彎強度低，沖擊韌性差。適用于形狀復雜、尺寸較大，同時工作平穩、速度較低、功率不大的的場合，尤其適用于開式齒輪傳動。球墨鑄鐵的力學性能和抗沖擊性能遠高于灰鑄鐵，可替代某些調質鋼的大齒輪。(3)非金屬材料

對高速、輕載及精度不高的齒輪傳動，為了降低噪音，常采用夾布膠木、塑料、尼龍等非金屬材料。非金屬材料齒輪的優點是質量小、減振性好、噪音低、具有相應的抗腐蝕性；缺點是導熱性差、易變形等。為了有利于散熱，與其配對嚙合的齒輪仍多用鋼或鑄鐵制造。2.齒輪熱處理

鋼制齒輪可以通過不同的熱處理方法獲得不同的表面硬度，工業中以350HB為界將齒輪傳動分為軟齒面（布氏硬度≤350HB）和硬齒面（布氏硬度≥350HB）。(1)軟齒面軟齒面齒輪常用的熱處理方法為調質和正火。齒輪的材料一般選用中碳鋼和中碳合金鋼以及中碳鑄鋼和中碳合金鑄鋼。調質齒輪的強度、韌性和齒面硬度均高于正火齒輪，對于不宜調質、尺寸較大或不太重要的齒輪一般采用正火。軟齒面齒輪適宜于對強度、速度和精度要求不高的齒輪傳動。通常是齒輪毛坯經過熱處理后進行切齒，切制后即為成品。精度一般為8級，精切時可達7級。軟齒面齒輪制造簡便、經濟、生產率高。(2)硬齒面

硬齒面齒輪采用表面硬化處理方法，常用方法包括：表面淬火：常用材料為中碳鋼和中碳合金鋼。表面硬度可達48HRC~54HRC。心部韌性高，能用于承受中等沖擊載荷。中、小尺寸齒輪可采用中頻或高頻感應加熱，大尺寸可采用火焰加熱。感應加熱使輪齒變形較小，對精度要求不很高的齒輪傳動無須進行磨齒。火焰加熱變形大，齒面不易獲得均勻的硬度，質量不易保證。滲碳淬火：常用材料為韌性較好的低碳鋼和低碳合金鋼。表面硬度可達58HRC~63HRC。用于承受較大沖擊載荷的齒輪。氮化：常用材料有40CrMo,38CrMoAl等。滲氮后齒輪硬度高，耐磨性好，變形小，處理后無需磨齒。但因氮化層較薄，其承載能力不及滲碳齒輪高，沖擊載荷下易破碎，故宜用于載荷平穩、潤滑良好的傳動。碳氮共滲：適宜處理各種中碳鋼和中碳合金鋼。表面硬度可達表面硬度可達62HRC~67HRC。齒輪變形小，抗接觸疲勞和抗膠合的性能優于滲碳淬火。表面激光硬化：將激光束掃射齒面，使齒面組織細硬，硬度可達HV950以上。特點是處理后輪齒的變形極小，便于處理大尺寸齒輪。適宜于各類中碳鋼和中碳合金鋼。

硬齒面齒輪表面硬度高，所以承載能力較大，結構緊湊。加工多采用先切齒，再作表面硬化處理，最后進行精加工。精度要求較高的齒輪均需進行磨齒，精度可達4級。這類齒輪承載力高，加工精度高，但制造要求高，價格較貴。

在齒輪工作過程中，小齒輪的輪齒接觸次數比大齒輪多，為了使大小齒輪壽命接近，通常取小齒輪的硬度值比大齒輪的高20~40HB。傳動比越大，硬度差也應越大。對于硬齒面齒輪，硬度差不宜過大。實踐表明，硬度差也有利于提高抗膠合能力。2.2.7齒輪傳動的強度設計計算1.齒面接觸疲勞強度的計算齒面接觸疲勞強度的計算中，由于赫茲應力是齒面間應力的主要指標，故把赫茲應力作為齒面接觸應力的計算基礎，并用來評價接觸強度。齒面接觸疲勞強度核算時，根據設計要求可以選擇不同的計算公式。用于總體設計和非重要齒輪計算時，可采用簡化計算方法；重要齒輪校核時可采用精確計算方法。分析計算表明，大、小齒輪的接觸應力總是相等的。齒面最大接觸應力一般出現在小輪單對齒嚙合區內界點、節點和大輪單對齒嚙合區內界點三個特征點之一。實際使用和實驗也證明了這一規律的正確。因此，在齒面接觸疲勞強度的計算中，常采用節點的接觸應力分析齒輪的接觸強度。強度條件為：大、小齒輪在節點處的計算接觸應力均不大于其相應的許用接觸應力，即：⑴圓柱齒輪的接觸疲勞強度計算1）兩圓柱體接觸時的接觸應力在載荷作用下，兩曲面零件表面理論上為線接觸或點接觸，考慮到彈性變形，實際為很小的面接觸。兩圓柱體接觸時的接觸面尺寸和接觸應力可按赫茲公式計算。兩圓柱體接觸，接觸面為矩形（2axb），最大接觸應力σHmax位于接觸面寬中線處。計算公式為：接觸面半寬:

最大接觸應力:F——接觸面所受到的載荷ρ——綜合曲率半徑，（正號用于外接觸，負號用于內接觸）E1、E2——兩接觸體材料的彈性模量μ1、μ2——兩接觸體材料的泊松比2）齒輪嚙合時的接觸應力兩漸開線圓柱齒輪在任意一處嚙合點時接觸應力狀況，都可以轉化為以嚙合點處的曲率半徑ρ1、ρ2為半徑的兩圓柱體的接觸應力。在整個嚙合過程中的最大接觸應力即為各嚙合點接觸應力的最大值。節點附近處的ρ雖然不是最小值，但節點處一般只有一對輪齒嚙合，點蝕也往往先在節點附近的齒根表面出現，因此，接觸疲勞強度計算通常以節點為最大接觸應力計算點。參數直齒圓柱齒輪斜齒圓柱齒輪節點處的載荷為綜合曲率半徑為接觸線的長度為，3）圓柱齒輪的接觸疲勞強度將節點處的上述參數帶入兩圓柱體接觸應力公式，并考慮各載荷系數的影響，得到：接觸疲勞強度的校核公式為：

接觸疲勞強度的設計公式為：

KA——使用系數KV——動載荷系數KHβ——接觸強度計算的齒向載荷分布系數KHα——接觸強度計算的齒間載荷分配系數Ft——端面內分度圓上的名義切向力，N；T1——端面內分度圓上的名義轉矩，N.mm；d1——小齒輪分度圓直徑，mm；b——工作齒寬，mm，指一對齒輪中的較小齒寬；u——齒數比；ψd——齒寬系數，指齒寬b和小齒輪分度圓直徑的比值（ψd=b/d1）。在一定載荷作用下，齒寬增加可以減小齒輪傳動的結構尺寸，降低圓周速度，但齒寬過大，載荷分布不均勻程度增加，因此必須合理選擇齒寬系數。ZH——節點區域系數，用于考慮節點處齒廓曲率對接觸應力的影響。ZE——彈性系數，用于修正材料的彈性模量和泊松比對接觸應力的影響。Zε——重合度系數，用于考慮重合度對單位齒寬載荷的影響，重合度越大，承載的接觸線總長度越大，單位接觸載荷越小。Zε可按下式計算：直齒輪：斜齒輪：當時當時式中：——端面重合度；——縱向重合度Zβ——螺旋角系數，用于考慮螺旋角造成的接觸線傾斜對接觸應力的影響，其數值可以由計算。σHp——許用接觸應力，N/mm2，取相互嚙合兩齒輪中的較小值。(2)直齒錐齒輪的接觸疲勞強度計算公式將相互嚙合的一對直齒錐齒輪轉化為相應的當量圓柱直齒輪，對圓柱齒輪進行設計，再將圓柱齒輪的設計參數轉化為錐齒輪的大端參數。對于軸交角為90°的直齒錐齒輪傳動，將齒寬中點處的當量圓柱齒輪的參數帶入圓柱齒輪接觸強度公式有：Zk——接觸強度計算的錐齒輪系數，一般情況取1，當齒頂和齒根修形適當時可取0.85；Fmt——齒寬中點分度圓上的名義圓周力，N；dm1——小輪齒寬中點分度圓直徑，mm；beH——接觸強度計算的有效齒寬mm，一般取為0.85b；將當量直齒輪的參數轉化為錐齒輪的大端參數，再進行整理直齒錐齒輪接觸強度校核公式：

Mpa

設計公式：mmd1——小齒輪大端分度圓直徑，mm；KHβ——接觸強度計算的齒向載荷分布系數2.齒根彎曲疲勞強度的計算齒根彎曲疲勞強度的計算中，作為判據的齒根應力，原則上可用任何適宜的方法（如有限元法、積分法等）或實際測量（如光彈測量、應變測量）來確定。國家標準中以載荷作用側的齒廓根部的最大拉應力作為名義彎曲應力，經相應的系數修正后作為計算齒根應力，把此應力作為齒根彎曲應力的計算基礎，并用來評價接觸強度。齒根彎曲疲勞強度核算時，根據設計要求可以選擇不同的計算公式。用于總體設計和非重要齒輪計算時，可采用簡化計算方法；重要齒輪校核時可采用精確計算方法。齒根彎曲疲勞強度條件為：大、小齒輪在齒根處的計算彎曲應力均不大于其相應的許用彎曲應力，即：。(1)圓柱齒輪的齒根彎曲疲勞強度計算公式采用國標（GB/T3480-1997）中載荷作用于齒頂為基礎的計算方法，適用于εa≤2的齒輪傳動。對于斜齒圓柱齒輪，由于輪齒折斷時多為局部折斷，齒根應力較復雜，通常按斜齒輪的法面當量直齒輪進行計算和分析。1）名義齒根應力計算載荷作用在齒頂時，輪齒可看作寬度為b的懸臂梁，齒根處的危險截面可由30°截面法確定：作與輪齒對稱中線成30°角并與齒根過渡曲線相切的切線，通過兩切點且平行于齒輪軸線的截面，即齒根危險截面。沿嚙合線方向作用于齒頂的法向力Fn分解后使齒根危險剖面產生彎曲應力σF、、剪應力τ和壓縮應力σb。剪應力和壓縮應力較小，可通過應力修正系數Ysa轉換為彎曲應力來考慮。理論上載荷由同時嚙合的多對輪齒分擔，為簡化計算，通常按全部載荷作用于一對輪齒嚙合時的齒頂進行分析，再用重合度系數Yz對齒根彎曲應力進行修正。受拉側齒根的最大彎曲應力為：2）圓柱齒輪的彎曲疲勞強度公式考慮應力修正系數、重合度系數、螺旋角系數和各載荷系數的影響，可以得到：彎曲疲勞強度的校核公式為：

彎曲疲勞強度的設計公式為：

KFβ——彎曲強度計算的齒向載荷分布系數；KFα——彎曲強度計算的齒間載荷分配系數；Z1——小齒輪齒數；mn——法向模數，mm；YFa——載荷作用于齒頂時的齒形系數，考慮載荷作用于齒頂時齒形對彎曲應力的影響，它只與齒形有關（隨齒數和變位系數而異），與模數無關。外齒輪齒形系數可按照國標（GB/T3480-1997）計算公式確定。Ysa——應力修正系數，用于綜合考慮齒根過渡曲線處的應力集中效應和彎曲應力以外的其它應力對齒根應力的影響。Yz——重合度系數，可由計算確定：，其中——當量齒輪的端面重合度Yβ——螺旋角系數，考慮螺旋角造成的接觸線傾斜對齒根應力產生的影響。σPF——許用齒根應力，N/mm2。大、小齒輪齒根彎曲應力和許用彎曲應力不同，進行齒輪彎曲強度計算時，應分別對大、小齒輪進行校核。斜齒圓柱齒輪計算中，凡與齒數有關的參數均按當量齒數來確定。(2)直齒錐齒輪的齒根彎曲疲勞強度計算公式直齒錐齒輪的齒根彎曲疲勞強度按其當量圓柱齒輪計算，其彎曲強度公式為：beF——錐齒輪彎曲強度計算的有效齒寬，一般取0.85b；mmn——錐齒輪齒寬中點法向模數YK——彎曲強度計算的錐齒輪系數，正常齒形時取1；將當量齒輪參數轉化為大端參數，整理。錐齒輪彎曲強度校核公式：

Mpa

彎曲強度設計公式：

mm一般計算時參數的確定參考圓柱齒輪，精確校核時按國標（GB10062-88）確定。直齒錐齒輪參數確定中，凡是與齒數有關的參數，均按照當量齒數來查找。3.許用應力⑴許用接觸應力計算大、小齒輪的許用接觸應力分別計算，取其中的小值進行強度計算。σHmin——實驗齒輪的接觸疲勞極限，N/mm2。指某種材料的齒輪經長期持續的重復載荷作用后齒面不出現擴展性點蝕時的極限應力。其主要影響因素有：材料成分，力學性能，熱處理及硬化層深度，毛坯結構，殘余應力，材料純度和缺陷等。SHmin——接觸強度的最小安全系數。ZNT——接觸強度計算的壽命系數。考慮壽命小于或大于持久壽命條件循環次數NC時，其可承受的接觸應力值與其相應的條件循環次數NC時疲勞極限應力的比例的系數。ZL、ZV、ZR——潤滑油膜影響系數，考慮潤滑油膜對齒面承載能力的影響，主要因素有：潤滑區的油粘度——用潤滑劑系數來考慮；相嚙合間齒面的相對速度——用速度系數來考慮；齒面粗糙度——用粗糙度系數來考慮。ZW——齒面工作硬化系數，用于考慮經光整加工的硬齒面小齒輪在運轉過程中對調質鋼大齒輪齒面產生冷作硬化，從而使大齒輪的許用接觸應力得以提高的系數。大齒輪齒面硬度為130~470HB時，；當HB<130時，取ZW=1.2；當HB>470時，取ZW=1。ZX——接觸強度尺寸系數，考慮因尺寸增大使材料強度降低的尺寸效應因素的影響。(2)許用齒根