高二年級上冊第一次月考數學試卷（提高篇）（解析版）

2024?2025學年高二上學期第一次月考數學試卷（提高篇）

參考答案與試題解析

第I卷（選擇題）

一.選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

1.（5分）（23-24高二下?江蘇泰州?階段練習）。為空間任意一點，若麗=一：65+：麗+t歷，若A,B,

C,P四點共面，則亡=（）

A.1B.-C.-D.-

884

（解題思路】將m=-^OA+^OB+t無化簡為：OP=^OA+^OB+tOC,利用四點共面定理可得:+^+

￡=1,即可求解.

【解答過程】因為萬=而-初，所以而=-：函+：而+t而，可化簡為：OP-OA=-^OA+^OB+

tOC,即方=海+河+配，

由于4B,C,P四點共面，則升：+￡=1,解得：t=3

488

故選：C.

2.（5分）（2024高三?全國?專題練習）已知點4（0,3）,8（3,2）,直線/過點P（l,l）且與線段A8有公共

點，則直線/的斜率的取值范圍是（）

A.[-2,0）U（0,-]B.（-00,--JU[2,4-oo）

22

c.[-2,D.（-00,-2]U[1,+oo）

【解題思路】求出/QM和kps，數形結合觀察滿足直線/過點P（l,l）且與線段AB有公共點下斜率的變化情況

即可求出結果.

【解答過程】根據題意，作出圖形如下圖：

直線PA的斜率為心4=.=一2,直線PB的斜率為凝8=W=

所以由圖可知過點P（l,l）且與線段4B有公共點時，直線/的斜率取值范圍是（-8,-2]ut，+8）.

故選：D.

3.（5分）（23-24高二上.貴州畢節.期末）如圖1,在四面體04BC中，點M,N分別為線段048c的中點,

若而=xOA+yOB+zOC,則x+y—z的值為（）

A.--B.-C.-D.1

242

【解題思路】根據給定的幾何體，利用空間向量的基底表示麗，再借助空間向量基本定理求解即得.

【解答過程】在四面體。4BC中，由M,N分別為線段04BC的中點，

得標=麗-而=*麗+近）—那=-海+癖+輝,

而而=+y而+z0?,由空間向量基本定理得：x=-1,y=pz=1,

所以x+y_z=-g.

故選:A.

4.（5分）（23-24高二上?吉林長春?階段練習）己知直線/的傾斜角等于120。，且/經過點（-1,2）,則下列

結論中不正確的是（）

A./的一個方向向量為正=（一/，5

B./在x軸上的截距等于苧

C./與直線75%-3〉+2=0垂直

D.點到直線/上的點的最短距離是I

【解題思路】根據傾斜角求出直線/的斜率，再判斷其方向向最即可判斷A；求出直線/的方程，再求出/

在工軸上的截距即可判斷B：由兩直線的斜率關系可判斷C：求出點（-1,0）到直線/的距離即可判斷D.

【解答過程】對于A,因為直線/的傾斜角等于120。，所以直線/的斜率k=tanl2（T=-百，

所以直線/的一個方向向量為范=（i,-V3）,又a=（-^^）==_=丸

所以正=（一23）是直線/的一個方向向量，故A正確；

對于B,由選項A可知直線/的斜率k=—V5,又/過點（一1,2）,

所以直線/的方程為y-2=-V3（x+1）,即+y+V3-2=0,

令y=0,得％=卓一1,

所以/在x軸上的截距等于當-1,故B錯誤；

對IC,直線V5x—3y+2=0的斜率為弓，因為—V^xJ=—1,

*5*5

所以/與直線83-3y+2=0垂直，故C正確；

對于D,點（—1,0）到直線/：百x+y+遍一2=0的距離為d=制?-2|=1,

所以點（-1,0）到直線/上的點的最短距離是1，故D正確.

故選：B.

5.（5分）（23-24高二下.江蘇徐州?階段練習）已知空間向量d=（-2,-l,l）,b=（3,4,5）,則下列結論正

確的是（）

A.（a+b）IIaB.d與5夾角的余弦值為當

C.2a1（5a+6b）D.4|d|=V3\b\

【解題思路】根據空間向量的坐標運算，即可判斷選項.

【解答過程】對于A：G+3=（1,3,6）,因為?看三,g所以a+族與a不平行，故A錯誤；

136

對干B：d與碰角的余弦值為磊=若淺=一日，故B錯誤；

|a|-|b|v^xVSO6

對于C：2a=（-4,-2,2）,5a+6b=（8,19,35）,則2G（5a+6h）=-32-38+70=0,即2d1（5a+6b）,

故C正確；

對于D：4\a\=4>/6,V3\b\=V5xV50=5>/6,故D錯誤；

故選：C.

6.（5分）（23-24高二上.浙江?期末）已知圓C:/一2%+y2=o與直線/：y=巾》+27n（巾>0）,過［上任

意一點P向圓C引切線，切點為A和8,若線段長度的最小值為魚，則實數771的值為（）

A.迫B.Cc.包D.四

7727

【解題思路】推導出PC垂直平分A8,分析可知，當|PC|取最小值時，/8|取最小值，此時，PCII,利用

點到直線的距離公式可得出關于m的等式，解之即可.

【解答過程】圓C的標準方程為（％-1）2+丫2=1,圓心為C（LO）,半徑為1,如下圖所示:

由圓的幾何性質可知4c_LP4BC1PB,

因為|P*=|PB|,|AC|=|8C|,\PC\=\PC\,所以,△PAC三SBC,

所以，乙APC=cBPC,則PC147,

設ABClPC=E,則E為48的中點，

由勾股定理可得上川二J|PC|2—|4Q2=7lPC|2-l,

由等面積法可得伊用=2\AE\=衛零=紀需=25一系,

I尸5I尸5YIre|

所以，當儼C|取最小值時，|48|取最小值，由2J1-總=&,可得|PC|二&,

所以，|PC|的最小值為位,當PC與直線2垂直時,IPCI取最小值,

則粵^=或，因為m>0,解得血=”.

Vm2+17

故選:D.

7.（5分）（23-24高一下.重慶沙坪壩.期末）已知點P為直線!：彳+y-2=0上的動點，過點P作圓C：x2+

2%+y2=。的切線p4PB,切點為A,B,當|PC|?=B|最小時,直線4B的方程為（）

A.3%+3y+1=0B.3%4-3y-1=0

C.2x+2y+l=0D.2x4-2y-1=0

【解題思路】先利用圓切線的性質推得4P,8,。四點共圓，AB1CP,從而將|PC|“4B|轉化為21P川，進而

確定PC1/時|PC|?|4B|取得最小值，再求得以PC為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可

得解.

【解答過程】因為圓C：」+2%-耳2=0可化為（%+1）2+*=1,

所以圓心。（一1,0）,半徑為r=l,

因為巴4,"8是圓C的兩條切線，1AC,PB1BC,

由圓的知識可知，AP,8（四點共圓，且48_LCP,PA=PB,

2

所以|PC|?|48|=4sNAC=4x^x\PA\x\AC\=2\PA\,又|PA|=V|PC|-1,

所以當|PC|最小，即尸C_L1時，仍C|“481取得最小值，此時PC的方程為y=x+1,

聯立ma0，解得即尸（腦,

故以PC為直徑的圓的方程為（無一3a+l）+y（y-]=0,即，x2+1x+y2-|y-1=0,

又圓C:/+2x+y2=。，

兩圓的方程相減即為直線A8的方程：3x+3y+1=0.

故選：A.

8.（5分）（23-24高三下?北京?階段練習）如圖，從長、寬、高分別為。，6c的長方體力EBF—GCHO中

截去部分幾何體后，所得幾何體為三棱錐A-BCD.下列四個結論中，所有正確結論的個數是（）.

①三極錐4-的體枳為：。兒；

?5

②三棱錐A-BCD的每個面都是銳角三角形；

③三棱錐A—BCD中，二面角力-CD-B不會是直二面角：

④三棱錐A-BCD中，三個側面與底面所成的二面角分別記為a,P，y,則cosa+cos￡+cosy=1.

【解題思路】三棱錐4-8C0的體積為長方體體枳減去4個三棱錐體枳；利用余弦定理判斷每個面是否為銳

角三角形；建立空間直角坐標系判斷平面的法向量是否垂直；結合線面夾角的定義求解即可.

【解答過程】對于①，三棱錐A-BCD的體積為V=abc-4x；x；abc=；abc,故①正確：

對于②，三棱錐A-88的每個面的邊長分別為迎斗史,Vo阡諄

設a>b>c,則5/1+62是三邊中最大邊,設其對應角為。

則_（二返+⑻1介2+。2）2。2曲）2=2c20

7―2^/^*?信/_2Ga庇/

所以。為銳角，故每個面為銳角三角形，故②正確；

對于③，以產為原點建立空間直角坐標系如圖所示:

不妨設尸B=a,AF=b,4D=c,則4(40,0),C(瓦a,c),D(0,0,c),B(0,a,0),

AC=(0,a,c),AD=(-b,0,c),DC=(b,a,0),DB=(0,a,—c),

設平面ACD的一個法向量為方=(MJ"),則［W,工=a%+”=0

{AD?%=-bxr+czi=0

取%i=c,則％=一.,Zi=b,則五=卜,一手,力)，

bX2

設平面BCO的一個法向量為底=(不必多),則".E=+物=0,

(DB-n2=ay2-cz2=0

取電=a,則為=-b,z2=-y?則荻=(a,一4一日)，

所以濕.濃=（c,一梟b）?（Q,-瓦一日）=ac十?一（=日由廣―,

MXG=b=y/2,C=1,有ac+>“；-ab==0,則Ef?=0,

所以二面角4-CD-B可以是直二面角，故③錯誤；

對于④，不妨設4B與底面所成角為a,4c與底面所成角為￡,AD與底面所成角為y,

由③可知，平面4CD的一個法向量為沆=（ac,-bc,ab'）,

平面BC。的一個法向量為話={ac,-bc,-ab）,

|示市|_a2c2+b2c2一02b2

則平面AC。與底面BCD的夾角余弦值為|cos〈沅，元）|=

|m||n|a2c2+a2b2+b2c2

同理，另兩個側面與底面"D的夾角余弦值分別為焉裝^-a2c2+b2c2+a2b2

a2c2+a2b2+b2c2

z2z222一。2。2+方2。2+。2b2

所以cosa+cos?+cosyac+bc-ab故④正確.

a2c2+a2b2+b2c2a2c2+a2b2+b2c2+a2c2+a2b2+b2c2

故選:c.

二.多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9.(5分)(23-24高二上?廣東深圳?期末)已知向量,二(2,—1,2)，5=(2,2,1),c=(4,1,3),PW()

A.\a\=\b\B.日在6上的投影向量為gA，g)

C.albD.向量d,3,2共面

【解題思路】根據向量模長、投影向量求法、向量垂宜的坐標表示、向量共面的判斷方法依次判斷各個選

項即可.

【解答過程】對于A,0=心+(-1￥+22=3,|b|=VFT2rTl7=3,A|a|=|5|,A止確；

對于B,,??|日|cos(五㈤=普=匕詈=%

???d在方上的投影向量為為|cos值方?者=/=信黑)，B正確；

對于C?va-b=2x2+(―1)x2+2X1=4H0,二方與石不垂直，C錯誤；

對于D,1=(4,1,3)=乙日,石,5共面,D正確.

故選：ADD.

10.(5分)(23-24高二上?四川眉山?階段練習)直線，1：mx-y-2=0和直線%：(2m+l)x-y+3=0,

下列說法正確的是()

A.當'I。時，血=-3或租=0；

B.當匕〃。時，m=-li

C.當m=1時，過直線h與％的交點且平行于y=X的直線方程為：x-y+2=0

D.當m=l時，直線。關于&對稱的直線方程為：7x+y+22=0

【解題思路】

對于A、B選項，根據兩條直線互相平行和垂直的充要條件即可判斷；對于C選項，求出直線的點斜式方

程即可判斷；對于D選項，先求巴兩條直線的交點，再求出直線。關于，2的對稱點，根據直線上的兩點即可

求出直線方程，進一步判斷即可.

【解答過程】對于A：當4_L。時，有m(2m+l)+l=0,此方程無解，故A錯誤；

：—x—

對于B：令—m=—(2m+1),解得m=-1,此時匕:一%—y—2=0,Z27+3=0>Z1//Z2?故B正

確；

：

對于C：當m=1時，L：x-y-2=0,/23x-y+3=0,聯立鼠得直線。與，2的交點為

(一|,一①平行于y=x的直線斜率為I,

故過直線。與，2的交點且平行于y=%的直線方程為：%-y-2=o,故C錯誤;

對于D：當m=l時，直線，i與。的交點為—易知點(0,-2)在直線x—y—2=0上，

設該點關于直線。的對稱點為QOm)，

n+2x3——1

F_2+："，解得｛加=_?，

3x---+3=05=-1

22

所以1Q(—3,—1),因為P(—3，—所以kpQ=-7,

所以所求直線方程為丁+日=一71+習，即7x+y+22=0,故D正確.

故選:BD.

11.(5分)(23-24高三下?安徽?階段練習)己知直線，:(a+2)%-(a+l)y-1=0與圓A:/+=4交

于點4B,點P(L1),/B中點為Q,則()

A.|4B|的最小值為2位

B.|40|的最大值為4

C.囪麗為定值

D.存在定點M,使得|MQ|為定值

【解題思路】利用直線過定點P(l,l)進行逐項分析，對于A,根據CP和直線!垂直時，|48|取最小值求解即

可；對于B，驗證直線!能否過圓心即可；對于C,聯立直線和圓的方程，將萬?麗表示出來求解即可；

對于D,利用CQJ.PQ,結合直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可.

【解答過程】直線Z:(a+2)x-(a+l)y-1=0,即a(x-y)+2%-y-1=0,

故直線過定點P(L1),且圓C:/+嚴=4的圓心為(0,0),半徑為2,

vI24-l2<4,故P(l,l)在圓C內，

對于A,當CP和直線I垂直時，圓心到直線的距離最大，距離d=|CP|=&,

此時|4B|最小，\AB\=2yj4-d2=2y/2,故A正確；

對于B,當|力8|=4時，48為圓的直徑,此時直線過圓心,

???(Q+2)x0-(Q+1)x0-1=。方程無解，故直線不可能過圓心，故B錯誤；

對干C,設4(3力),8(%2，、2)，則園?麗=(□-l)(x2-1)+(%-1)(72-1)=》1必一(%1+%2)+力力一

(71+、2)+2，

當直線/斜率不存在時，l:x=1,聯立圓C:/+y2=4得，y=±>/3,

此時同?麗=1-3-2+2=-2

當直線，斜率存在時，設直線y-1=-1),聯立圓C:/+y2=4,

得/+\k(x-1)+I]2=4,即(〃2+i)x2+(2k-2k2)x+k2-2/c-3=0,

2k-2k2

勺+上=一不丁

k2-2k-3'

(、途2=工]

22

yr+丫2=。(%1+%2)+2-2k,yty2=[k(xt-1)+1]x[k(x2-1)+l]=kx1x2+(k-k)(xt+x2)+

(1-

222

:.PA?PB=X1X2—Qi+%2)+當兔一(yi+y?)+2=(k+1)X1A2—(Zc+1)CQ+x2)+k+1.

帶入得：PA-~PB=k2-2/c-3+2/c-2/c24-/c2+1=-2,

故萬5?而為定值-2,故C正確；

對于D,48中點為Q,故CQJ.4①且P(l,l)在48上,

所以CQ1。(2.故4PQC是直角三角形，

當M為PC中點時，|MQ|=：|PC|二苧為定值，故D正確.

故選：ACD.

12.(5分)(23-24高一下?吉林延邊?階段練習)如圖，在棱長為6的正方體4BCD—&BiGDi上，點M為

體對角線8劣靠近5點的三等分點，點E,F為棱48、CG的中點，點P在平面ME"上，且在該平面與正方體

表面的交線所組成的封閉圖形中(含邊界)，則下列說法正確的是()

A.平面MEF與底面/18CD的夾角余弦值為等；

B.點。到平面MEF的距離為空；

C.點。到點P的距離最大值為第：

D

D.設平面MEF與正方體楂的交點為A、…、%，則九邊形A…〃最長的對角線的長度大于厚.

【解題思路】建立空間直角坐標系，即可利用法向量的夾角求解A,根據點面距離的向量法即可求解B,根

據面面平行的性質可得截面為六邊形EQFNKT,即可根據點點距離公式求解CD.

【解答過程】建立如圖所示的空間直角坐標系，則M(2,2,4),E(6,3,0))(0,6,3),

z

(-2,4,-1),

設平面ME尸法向量為沆=(x,y,z),

(ME-m=4X+y-4z=0,取”％貝標=(5,4,6),

[MF?m=-2x4-4y-z=0

而平面ABC。的一個法向量為標=(0,0,6),

歷

所以平面與底面/BCD的夾角余弦值為|cos(沆而工=6x66.故錯誤,

6X^77—77A

TTM=(2,2,4),所以點。到平面M”的距離為叵磊1==察,故R正確.

由于四邊形4BGD]為平行四邊形：故延長EM交DiG于點N,

連接NF交DC延長線于點H,連接E77交BC于Q,

由于點M為體對角線5。1靠近劣點的三等分點，所以瞿=誓=[=DiN=：,

MDCD22

翳告1=*，

CH=CQ^1=6-BQ^12

EBBQ3BQ"5'

在棱45上取K,使得D〔K=a

6

K-4BQ1TZ

由

于S

----=

NT5EB32詈=假，故KN"EQ,

2-3nti

設截面與44i交于點T,連接7T,TK,FQ,

故六邊形EQ尸NK7即為平面ME"上與正方體所截得的截面,

由于FC=AE=3,CQ=6——=—,DK=

5515

???林〃2，??荒咤程若=9=2,

由干CQ比4E、AT.D]K、D1N、C/都大，

故DQ為最大值Z）Q=J6?+（6-J）=~~~>

故當P在Q處時，DP最大為蜉，C正確，

由于Q（藍,6,0）,E（6,3,0）,F（0,6,3）,7（6,0,2）,K（*0,6）,N（0弓，6）,

.#+3+62=杵呼,

KQ=]目2+62+62=等=誓,等呼,

因此六邊形EQFNKT的最長對角線的長度大于等，故D正確.

故選:BCD.

第II卷（非選擇題）

三.填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

13.（5分）（23-24高二下?江蘇連云港?階段練習）如圖，在三棱錐P-4BC中，PAL^ABC.CB1.AB.AB=

B

【解題思路】由空間向量的線性運算以及數量積的定義計算》?亞=（PA+AB+BCy通的值即可求解.

【解答過程】因為P4_L平面力BC,ABu面力BC,

所以P4_L4B,所以m?而=0,

乂CB上AB,所以近?而=0,

:.PC-AB=（PA+AB+BQ-AB=PA-AB+AB?AB+BC-AB=0+a2+0=a2.

故答案為:a2.

14.（5分）（23-24高二上?福建莆田?期末）己知直線3%—y+1=0,l2,.x+y—5=0J3:x—ay—3=0,

若直線Z]/2/3不能圍成三角形，寫出一個符合要求的實數a的值-1，一二」.

【解題思路】聯立方程組解得A，12交點坐標，列出直線不能圍成三角形的條件，分別解出即可.

【解答過程】由｛FT/JV二:解得:，所以的交點坐標為(1,4),

l3:(%-3)-ay=0過定點(3,0),

若直線，1/2/3不能圍成三角形，只需，3經過點(1,4)，或。與G平,亍，或L與，3平行，

當4經過點(1,4)時，1-4。-3=0,解得。=一去

當4與b平行時，-3。二一1,解得Q=/

當k與b平行時，-Q=l，解得Q=-l.

故G的值為——1.

故答案為：一1(只需寫出其中一個即可).

15.(5分)(23-24高二下?河南?階段練習)過點P(l,2)的直線，與曲線y=VT中有且僅有兩個不同的交

點，則/斜率的取值范圍為[―2,—3u(()3].

【解題思路】根據題意，將曲線y="^,變形為y>0,分析可得其為圓的上部分，

結合直線與圓的位置關系即可.

【解答過程】由題意可設直線上y=k(x—l)+2,又曲線y=可化為/+y2=*y>0,

作出直線/與曲線y=的圖象如圖所示：

設圖中直線小5%，〃的斜率分別為八，&，的，七，

則〃1=1^=|，卜2=0,&二言二一2

又直線〃的方程為y-2=k4a-1),

|2-k|

圓心(0,0)到直線，4的距離為4=2,

解得3=0(舍去)或七=—

2

要使兩圖象有兩個不同的交點，piiRG[-2,-|)u(o,

故答案為：卜2,—g）u（o,g].

16.（5分）（23-24高二下?江蘇淮安?階段練習）正四面體P-4BC的棱長為2V5,點M為平面A8C內的動

點，且滿足PM=3,則直線月”與直線A8的所成角的余弦值的取值范圍為[。,可.

【解題思路】

結合正四面體的結構特征求出相關線段長，確定A/軌跡，建立空間直角坐標系，設M（cosa,sina,0）,a6[0,2TT],

從而表示出麗，布的坐標，利用向量的夾角公式，即可求得答案.

【解答過程】由題意知正四面體尸-力BC的楂長為26，

設P在底面48c上的射影為O,則。為正三角形43C的中心，

設D為48的中點,連接則。在C。上,CDLABf

且04=Of=x2V3xsin=2.0D=1x2V3xsin^=1,

則P。=y/PA2-AO2=V12-4=2&,而PM=3,

故0M='PM?一OP?=回e=1,故點M軌跡為平面力BC內以。為圓心半徑為1的圓，

以。為坐標原點，以。4為x軸，過點。作。。的垂線為y軸，0P為z軸，建立平面直角坐標系，

設M(cosa,sina,0),aE[0,2n),4(1,一V5,0),/?(l,g,0),P(0,024),

PA?=(cosa,sina,-272),AB=(0,273,0),

故cos兩確=需緇=寰^=23,ae[0,2n),

設直線PM與直線A8的所成角為a6G(0片],

則cos。=|cos(PM,AB)\=|sina|6[o,,

故答案為:[0,i].

四.解答題（共6小題，滿分70分）

17.（10分）（23-24高二下.江蘇常州.階段練習）如圖所示，平行六面體力8CD-48￡Di中，48=力。=

1,AA=2/BAD=-,Z.BAA,=L

X23DAAX=

AC

(i)用向量而，而，麗表示向量西，并求|西|；

⑵求cos(西，祠.

【解題思路】(1)借助空間向量的線性運算與模長與數量積的關系計算即可得；

(2)結合題意，借助空間向量的線性運算與夾角公式計算即可得.

【解答過程】(1)西二而一通=而+耐一荏，

22

則|西|=(AD+AA^-AB)2=AD2+~AA[+AB2+2AD?AA^-2AD-AB-2AB-AA^

=l+4+l+2xlx2xi-0-2x2xlxi=6,

22

所以I西I二歷.

（2）由空間向量的運算法則，可得而=而+而，

因為48=AD=l,AAi=2且NB/0==%

所以|前^二J|而+可,二J|祠2+2府|?|阿cos^+|而廣

=,1+0+1=\[2,

西?前=（而+麗-布?（而+硒

2

=AD-AB+AD+~AA[?而+而?而一而2一而?麗

=1x1xcos-+l2+2xlxcoS7+2xlxCOS?—I2-1x1xcos？=2,

2332

則c網西北)=禺禽二晟=當

18.(12分)(2024高三?全國?專題練習)已知四邊形ABC。的四個頂點坐標分別為A(5,-l),8(1,1),C(2,3),

。(4,2).

試判斷四邊形ABC。的形狀，并給出證明.

【解題思路】由各點坐標可求得四邊的斜率，再由平行和垂直的斜率表示即可得出結論.

【解答過程】由已知可判斷四邊形/BCD是直角梯形，

證明如下:因為4(5,-1),8(1,1),C(2,3),D(4,2).

12

由斜率公式得Ac。=W=-g,kAB=-kBC=|-1=2,kAD==-3>

所以上CD=k/B，^BC工WD，即4yIIC〃且8c不平彳丁A”,

所以四邊形4BCO是梯形，

又因為Lc?k=T，所以BC1CD,

綜上，四邊形48。。是直角梯形.

19.(12分)(23-24高二上?廣西河池?階段練習)已知2=(%,1,0),族=(-14,2),1=(2,-2,1),忻|=向，

ale,

(1)若G+無、2G+B共線，求實數k：

(2)若向量方+小與2五+方所成角為銳角，求實數k的范圍.

【解題思路】(1)根據空間向量的模長公式以及1=0可求出戊、y的值，可得出向量蘇B的坐標，根據

己十瓜2d+?共線，可得出關于實數k的不等式，解之即可；

(2)分析可知(6+kb)-(2a+S)>0以及G+瓜2a+3不共線，結合空間向量的坐標運算可求得實數A的

取值范圍.

【解答過程】(1)解：因為蒼=(%,1,0),b=(―l,y,2),c=(2,—2,1),\b\=V5,ale,

則同=Jl+y2+4=遍,可得y=o,ac=2x-2=0,解得3=1,

所以d=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以2+〃族=(1-k,l,2k),2a+S=(1,2,2),

因為(G+㈤〃(2d+?,所以甘=：=《,解得土乏.

(2)解：由(1)知，a+kb=(l-k,1,2/c),2a+b=(1,2,2),

因為向量d+無與2d+B所成角為銳角，

所以(G+席)?(2G+B)=(1-k)x1+1x2+2x2k=3k+3>0,解得k>-1,

又當々=:時，(d+kB)〃(2G+H，

所以實數上的范圍為(一1；)uQ,-oo).

20.(12分X24-25高二上?上海?隨堂練習)如圖,已知4(6,6⑹,B(0,0),C(12,0),直線I：(k+V3)x-y-2k=

0.

⑴求直線2經過的定點坐標；

（2）若P（2,2g）,李老師站在點P用激光筆照出一束光線，依次由8C（反射點為K）、AC（反射點為/）反射

后，光斑落在P點，求入射光線PK的直線方程.

【解題思路】（1）分離參數，列方程可得直線過定點;

（2）分別求點P關于直線BC與4c的對稱點匕與P2,進而可得船衛，再根據對稱性可得OK，即可得直線方

程.

【解答過程】（1）由直線/：（/c+V3）x-y-2k=0,即k（x-2）+百萬-y=0,

令心，解得仁盛,

故直線1恒過定點（2,2K）：

（2）設P關于BC的對稱點Pi，則肯（2,-26），

P關于4C的對稱點。2（皿九），

由直線NC的方程為鎧=三，即丫=一怖。一12）,

6V3一。6—12

害3）=T

所以《解得｛二6為

娛一同*12）'

所以&(14,6⑹,

由題意得Pi、K、/、P2四點共線，kpm罟,

由對稱性得kpK=—當，

所以入射光線PK的直線方程為y-26=一乎(％-2),

即2x+V5y-10=0.

21.(12分)(23-24高二上?海西?期中)已知圓C：x2+y2—tx—2y=0(t>0)分別與x軸、y軸交于

點P，Q(均異于坐標原點。)，過點E(L0)作兩條直線5％，斜率分別為八，k2,且的=一《，直線。與y軸

交干點F,直線，2與圓c交于力，B兩點.

(1)若尸(6,0),\AB\=6f求直線%的方程;

(2)若原點。到直線PQ的距離為管，求a4BF面積的最小值.

【解題思路】(1)由點在圓上，代入求參數得到圓。為(無一3)2+(y-=10,設直線。的方程為y=

心(尤-1)，利用點線距離公式、圓中弦長的幾何求法列方程求參數七，即可得直線方程；

(2)首先有P(t,0),Q(0,2),結合已知點線距離求得t=4,進而確定圓的方程，設。的方程為1=七(X-1)

“2H0)，則，1的方程為、=一《。-1)，結合兩點及點線距離、圓的弦長公式求成"I、\AB\，寫出△48”

面積關于心的表達式，即可求最低.

【解答過程】(1)將P(6,0)代人圓C的方程，解得t=6,

所以圓C的方程為產+y2-6x-2y=0,即(x-3)2+(y-I)2=10,

所以圓心坐標為(3,1),半徑

根據題意得，直線。的方程為>=為(%-1)，即心"-'一左2=0，

因為|力8|=6,所以6=2行二"碎=210-華型，解得心=0(舍)或七二：，

故直線辦的方程為4%-3y-4=0.

(2)令％=0,y=0,得P(t,0),Q(0,2),

所以直線尸Q方程為聲”1,g|J2x+ty-2t=0.

由原點。到直線PQ的距離為管，得黑=?，結合t>0,解得￡=4,

故圓C的方程為(x-2尸+(y-1)2=5,圓心坐標為(2,1),半徑上=遍.

根據題意得，％的方程為y=七(％-1)(&工0)，則匕的方程為y=-*(無一1)，

K2

則點9(0,專)，所以|"|=J1+看

'4kl+2k+4

又圓心C到右的距離為d2=l"i|所以|力8|=2d畛—6=22

而1+kl

所以方.=41砌?IM=N2憎薩X

=用+94=/(?了+善竽當且僅當心=一4時等號成立'

所以△AB尸面枳的最小值為手.

22.(12分)(23-24高一下?吉林?期末)在RtAABC中,“=90°,BC=3,AC=6,D,E分別是AC,28上的

點，滿足DEII8C且DE經過△