2026年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)綜合題考點(diǎn)（學(xué)案）

二次函數(shù)綜合題

類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問(wèn)題

一階設(shè)問(wèn)突破

方法解讀

1.求線段長(zhǎng)

⑴與X軸垂直的線段的長(zhǎng)：縱坐標(biāo)相減（上減下）；

⑵與y軸垂直的線段的長(zhǎng)：橫坐標(biāo)相減（右減左）.

2.線段數(shù)量關(guān)系問(wèn)題

若兩條線段的長(zhǎng)均可計(jì)算或表示出來(lái)，直接根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程即可求解，

若兩條線段的長(zhǎng)無(wú)法直接計(jì)算或表示出來(lái)，可通過(guò)工軸或y軸的平行線構(gòu)造相似

三角形，將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)線段數(shù)量關(guān)系列方程求解.

3.利用二次函數(shù)性質(zhì)求線段最值

⑴求豎直線段的最值

第一步：設(shè)M（t+初+c）,則N（t,mt+n）；

第二步：表示線段MN的長(zhǎng)，MN=aF+bt+c-mi-n；

第三步：化簡(jiǎn)MN=at2+bt+c-mi-n=at2+（b-+c-n,利用二次函數(shù)性質(zhì)

求最值；

⑵求斜線段的最值

利用銳角三角函數(shù)化斜為直得：MP=MN-s\n4MNP,再根據(jù)⑴的步驟解題即可.

4.利用對(duì)稱性質(zhì)求線段和最值及點(diǎn)坐標(biāo)，即“將軍飲馬”問(wèn)題（求PA+PB的最小

值及點(diǎn)P的坐標(biāo)）；

⑴求點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸/對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵連接AC交直線/于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P滿足要求,從而可求出PA+PB的最小值；

⑶用待定系數(shù)法求直線4c的函數(shù)表達(dá)式；

（4）將I對(duì)應(yīng)的x的值代入AC的函數(shù)表達(dá)式可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

例1如圖①，已知二次函數(shù)），二-/-2x+3的圖象與x軸相交于A,B兩點(diǎn)（A

點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C點(diǎn)P是直線4C上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD±x軸，垂足為點(diǎn)D,交直線AC于點(diǎn)Q.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

一、表示點(diǎn)坐標(biāo)

⑴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

二、表示線段長(zhǎng)

Q)PD的長(zhǎng)為,QD的長(zhǎng)為,PQ的長(zhǎng)為

(3)點(diǎn)P到對(duì)稱軸的距離為,CQ的長(zhǎng)為；

三、與線段數(shù)量關(guān)系有關(guān)的計(jì)算

(4)如圖②，若P0=，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑸如圖③，若AQ=2CQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

四、線段最值

⑹如圖④,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交直線AC于M點(diǎn)，求MQ的最大值；

⑺如圖⑤，點(diǎn)G是拋物線的對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)箋尤的周長(zhǎng)最小時(shí),求

器的值.

例1題圖⑤

二階綜合訓(xùn)練

1.如圖，拋物線)，=/+bx+c與直線廣質(zhì)+用(原0)相交于點(diǎn)A(0,-4),8(5,

6),直線A3與x軸相交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線與直線AB的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)D是拋物線在直線AB下方部分上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作。曰1大軸交AB于

點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作DFWy軸交AB于點(diǎn)尸，求OF?DE的最大值.

類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問(wèn)題

一階設(shè)問(wèn)突破

方法解讀

求幾何圖形面積

方法一：直接公式法

一邊在坐標(biāo)軸上（或平行于坐標(biāo)軸），S4ABC=：ABh

a版

",J3?

方法二：分割法

三邊都不在坐標(biāo)軸上（或都不平行于坐標(biāo)軸）.

S^ABC=S^ABD+S^BCD=：BD（AE+CF）=^BD\yc-師）.

Jx

部"

方法三：補(bǔ)全法

三邊都不在坐標(biāo)軸上（或都不平行于坐標(biāo)軸）.

S^ABC=S^ACD-S&ABD-S~BCC.

注：對(duì)于四邊形面積計(jì)算，可連接一條對(duì)角線將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積之

和求解.

例2如圖,拋物線）=-f+3x+4與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè)），

與），軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是第一象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為/.

一、求三角形、四邊形面積

⑴如圖①，當(dāng)點(diǎn)D位于拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，連接OD,CD,求△OCO的面積；

例2題圖①

⑵如圖②，若/=2,連接AC,C。，8。，求四邊形ABDC的面積；

例2題圖②

二、面積定值及最值

⑶如圖③，連接AD,BD,若AABD的面積為15,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

例2題圖③

方法解讀

利用二次函數(shù)性質(zhì)求面積最值：用同一未知數(shù)表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出所

求圖形的面積，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.

⑷核心設(shè)問(wèn)如圖④,連接BD,過(guò)點(diǎn)C作CPIIBD交x軸于點(diǎn)P,連接PD,求4

BPD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

例2題圖④

三、面積等值、倍分關(guān)系

⑸如圖⑤，連接BD,CD,0D,若S^BOD=S^COD,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

例2題圖⑤

二階綜合訓(xùn)練

1.如圖，已知二次函數(shù)y二（+云+c的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與y軸交

于點(diǎn)C,其中人（-2,0）,C（0,-2）.

⑴求二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，目點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D,

△PDB的面積是△CQ5的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

第1題圖

類型一二次函數(shù)與線段有關(guān)問(wèn)題

一階設(shè)問(wèn)突破

例1角翠：(1)。%,-m2-2m+3),(〃2,0),(m,m+3)；【解法提示】令):0,

得-f-2x+3=0,解得xi=-3,=1,?二點(diǎn)4(-3,0),點(diǎn)B(1,0)；令x=0,

得y=3，，點(diǎn)C(0,3)；設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+優(yōu)原0),將點(diǎn)A(-3,0),

點(diǎn)代入產(chǎn)"+》中，得「,解得水:;

C(0,3)3k+b=°.,?直線AC的表達(dá)式

3=3

為y=x+3「.,點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m，，點(diǎn)P縱坐標(biāo)為?蘇?2加+3,.?.PQ_Lx軸，二

點(diǎn)。橫坐標(biāo)為〃2,則縱坐標(biāo)為〃?+3,?.//)口軸，.?點(diǎn)D橫坐標(biāo)為m,縱坐標(biāo)為

0.

(2)-nr-2/n+3,m+3,-nr-3m；

(3)|??7+1|,-y[2m；

(4)由⑵可知QD的長(zhǎng)為m+3,PQ的長(zhǎng)為-m2-3m,

：PQ=DQ,

-m2-3m=〃2+3,

解得m--1或〃?=-3,

?點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合t

.??用的值為-1,

二.P(T,4)；

(5)???P￡Mly軸,

,AQ_AD

'~AC~~AO1

\'AQ=2CQ,

.AQ_2

..———.

AC3

,AD_2

..----二一,

AO3

.7(-3,0),

.t.AO=3,

.t.AD=2,OD=1,

-,.m=-1,此時(shí)-nr-2m+3=4,

?.P(-1,4),

(ey：OA=oc=3,PMIIX軸,

,^PMQ=^CAO=45°,

?「P￡)_Lx軸,

/.ZADQ=^QPM=90°,

.)PMQ為等腰直角三角形，

：MQ=42PQ,

.PQ=-in2-3m=-(m+1)2+1/-1<0,-3</n<0,

二?PQ的最大值為?

4

,.MQ的最大值為竽

-7

⑺???)，=->??=+3,?,?拋物線對(duì)稱軸為直線A--=-1.

-2

如解圖，連接AC,交拋物線對(duì)稱軸/于點(diǎn)G,由拋物線的對(duì)稱性得GA=GB,I

GB+GC=AG+GC>AC,即當(dāng)A,G,。三點(diǎn)共線時(shí),GB+GC取得最小值，此

時(shí)aGBC周長(zhǎng)最小.

由⑴得直線AC的表達(dá)式為y=x+3,

當(dāng)x二-1時(shí)，y=2,

.,.G(-1,2).

???B(l,0),C(0,3),

,GC_卜+產(chǎn)_i

一逐一聲一3

例1題解圖

二階綜合訓(xùn)練

1.解：(1)由題意,將點(diǎn)A(0,-4),5(5,6)代入y=/+bx+c中,

fc--4(b=-3

得，解得，

(25+5b+c=6(c=-4

「?拋物線的表達(dá)式為y=^-3x-4.

將點(diǎn)40,-4),伏5,6)代入)，二乙+加中,

m=-4(A

，解得*T,

(5/c+m-6(k=2

.,直線AB的表達(dá)式為y=2x-4；

(2)由題意，設(shè)。(〃，標(biāo)-3a-4)(0<a<5),

令2x-4=〃2-3〃-4,得x二|(6?2-3a),

/.￡(|^2-|Q,4_3〃_4).

令x二〃，則y二2〃-4,

...F(a,2a-4).

.,.DF-DE=2a-4-(a1-3a-4)-[a-(|tz2-|Q)]

=--1岸2+J

22-a

22，8

<0,0<。<5,

2''

.?.當(dāng)〃*寸，QF-DE取得最大值，最大值為高

類型二二次函數(shù)與面積有關(guān)問(wèn)題

一階設(shè)問(wèn)突破

例2解：⑴令尸0,得尸4,

..C(0,4),

.'.OC=4,

?.了=-x2+3x+4=-(x-|)2+Y/

，。(|,7),

.SOCD=|oc-\XD\=|x4x1=3；

⑵如解圖①,連接BC,過(guò)點(diǎn)。作DE±x軸交BC于點(diǎn)E,

令-f+3x+4=(),解得x=-1或1二4,

.?.4(-1,。)，3(4,0),

由⑴可知，C(0,4),

.,.AB=5,OB-OC=4,

設(shè)8C所在直線的表達(dá)式為y-kx+仇后0),

將仇4,0),C(0,4)代入)，二依+〃中，

得卜/c+b=0,解得卜二一1,

(匕=4w=4

?.BC所在直線的表達(dá)式為y=-x+4,

.,.當(dāng)，二2時(shí)，-產(chǎn)+3/+4=6,-(+4=2,

.?。(2,6),E(2,2),

..DE=4,

x

--S四邊形ABDC=SAABC+SABCD=15x4+1x4x4=18；

例2題解圖①

(3)由(2)可知，A3=5,

2

??SAABD--2AB-yn--2x5x(-f+3z+4)=15,

解得，=1或/=2.

當(dāng)，=1時(shí)，--+3/+4=-y+3xl+4=6；

當(dāng)f=2時(shí)，-1+3(+4=-22+3x2+4=6,

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,6)或(2,6)；

(4)如解圖②，連接BC,CD,過(guò)點(diǎn)D作。。J_x軸交BC于點(diǎn)Q,

\CPWBD,

=

；SABPD二S^BCD=S^BDQ+S^CDQ--DQOB)

由⑵可知，BC所在直線的解析式為y=-x+4,

???0(乙7+4),

：,DQ=-5+3,+4-(-/+4)=-5+4，，

=2

'''S^BPD1(-/+4/)x4=-2(/-2>+8,

*/-2<0,0<r<4,

.?.當(dāng)1=2時(shí)，Ss尸。有最大值，最大值為8,

此時(shí)-產(chǎn)+3，+4=-22+3x2+4=6,

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,