八年級數學下學期期中學情自測-拔尖卷（北師大版第1章-第4章）

八年級數學下學期期中學情自測?拔尖卷

【新教材北師大版】

時間：120分鐘滿分：120分測試范圍：第1章三角形的證明及其應用~第4章因式分解

姓名：班級：考號：

考卷信息：

本卷試題共24題，單選10題，填空6題，解答8題，滿分120分，限時120分鐘.本卷題型針對性較高，根蓋

面廣，選題有深度，可量化學生的掌握程度！

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分）

1.（24-25八年級下?陜西西安?期中）如圖，在△ABC中，乙B=乙（：,AB=25,BC=14,4D平分NB4C交

BC于點D,。七14。于點￡則DE的長為（）

A.6B.—C.7D.8

25

2.若關于x的不等式組｛右二/；，的所有整數解的和是18,則m的取值范圍是（）

A.2<m<3B.2<m<3

C.2<m<3或一3<m<-2D.2<m<3

3.（25-26八年級上?河北石家莊?期中）若a是整數，則-a一定能被整數「（k是一位整數）整除,整數k的

最大值為（）

A.2B.3C.4D.6

4.（25-26八年級上?浙江紹興?期末）如圖，在△A8C中，AB=10,AC=6,BC=8；。為8c上一點，連

接/D,把△4BC沿力0折疊，使4B落在直線4C上，則重疊部分（羽影部分）的面積為（）

A.8B.9C.10D.12

5.已知關于x、y的方程組卜：；；；二解都為正數，且滿足Q+b=5,b>0,z=2a-3b,fflz

的取值范圍是（）

A.-5<z<10B.5<z<10C.-5<z<8D.-5<z<5

6.（25-26八年級上?山東泰安?期末）如圖所示,在一ABC中,AB=4,BC=6,Z-B=60°,將△48C沿射

線BC的方向平移，得到△4夕廠，再將△4夕C'繞點4逆時針旋轉一定角度，點夕恰好與點C重合，則平移

A.2,30°B.1,30°C,2,60°D.1,60°

7.小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息a-兒x-3,%+3,a+b,x2-9,

Q2-〃分別對應下列六個字：州，愛，我，德，游，美，現將（/—^^—（/一叼/因式分解，結果呈現

的密碼信息可能是（）

A.我愛美B.德州游C.我愛德州D.美我德州

8.（25-26八年級上?江西贛州?期末）如圖，在四邊形48co中，AB=AD=12,BC=DC,LA=60°,點

E在力D上，連接8D,CE相交于點八CEWAB.若CE=7,則CF的長為（）

A.4B,3.5C.2D.1

9.（25-26八年級上?河南南陽?期末）如圖，長方體的長為10cm、寬為4cm、高為9cm,。是BC邊的中點,

在長方體下底面的點4處有一只螞蟻，它想吃到上底面點。處的面包屑，沿著該長方體的表面需要爬行的最

A.12cmB.V365cmC.V221cmD.15cm

10.（25-26八年級上?湖南長沙?期末）如圖，在△力8c中（4C＞乙4BC）,4和471BC的平分線力E,8r相

交于點。，AE交BC于E,BF交AC于F,過點。作0。18c于。，下列結論：①若A8=BC,^\LAFB=90°：

?LAOB=90°+^C；③若OD=a,AB+BC+CA=b,則SABC=：Q從其中正確的結論是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

"?計算：（10）（1-）（1_3（1-同…（1_專）（1-壺”--------

12.如圖，已知△48C為等邊三角形，BD為中線,延長BC至點E,使CE=6/）=1,連接DE,則8E=

13.（25-26九年級下.河南商丘?月考）如圖，矩形48CD的邊力8在工軸上，且過原點，連接。C.將△。"沿

15.（25-26八年級上?廣東江門?月考）如圖，點。在直線［上，點八在直線矽卜.若直線I上有一點P使得△APO

為等腰三角形，則滿足條件的點P位置有一個.

.A

OP

16.（25-26八年級上?山東濟寧?月考）如圖,點。是等邊△48C內一點,DA=8,B5=10,CD=6,則乙4。。

的度數是.

BAC

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分）

17.（6分）（24-25八年級下?四川達州?期中）如圖，在RS4BC中,ZC=90°,將繞著點5逆時針

旋轉得到△F8E,點C,A的對應點分別為七，F.點七落在84上，連接4戶.

（1）若/B4c=40。,求心B4F的度數;

（2）若AC=8,BC=6,求的長.

18.（6分）（25-26八年級上?重慶?開學考試）某學校為改善辦學條件，計劃采購八、8兩種型號的空調，

已知采購3臺A型空調和2臺B型空調，共需費用21000元：4臺A型空調和5臺3型空調，共需費用35000

元.

（1）求A型空調和3型空調每臺各需多少元；

（2）若學校計劃采購A、8型號空調共40臺，且A型空調的臺數不少于8型空調的一半，兩種型號空調的采

購總費用不超過152000元，該校共有哪幾種采購方案？

19.（8分）如圖，△力BC是等邊三角形，。為BC邊延長線上一點，CE平分乙4CD,CE=BD.

（1）求證：Z-BAD=￡.CAEx

⑵判別△力。E是什么特殊三角形？并說明理由.

20.(8分)(25-26八年級上?山西晉中?期末)某社區計劃在健身活動區安裝照明設施.社區內有兩個健身

活動區A和8,它們之間的距離AB為250米.社區小路AC緊鄰活動區，計劃在小路AC上選一點E安裝總電

箱，并由此分別鋪設地下電纜到A和&勘測人員測得點E到直線/W的垂線段E尸的長度為⑵米，且線段

BE的長度為150米.規劃示意圖如下.

(I)請計算從電箱安裝點￡到健身區A需要鋪設的電纜￡4的長度.

(2)判斷線段8E的長度是否是健身區8到小路AC的最短距離？并說明你的理由.

21.(10分)我們定義：如果兩人一元?次不等式有公共整數解，那么稱這兩個不等式互為“同根不等式”,

其中一個不等式是另一個不等式的“同根不等式，，.

(1)不等式x-5>0x-5<0的“同根不等式“(填“是”或“不是”)

不等式x-1>01-x<。的“同根不等式“(填“是”或“不是”).

(2)若關于x的不等式％+2m>0不是弱-l<x+5的“同根不等式”，求根的取值范圍；

(3)若QH0,關于％的不等式:％+。>3與不等式QX—QW0互為“同根不等式”.直接寫出Q的取值范圍.

22.(10分)(25-26八年級上?四川瀘州?期末)已知是等邊三角形，點。是AC的中點，點E在射線

8c上，點廠在線段48上，LFDE=120°.

(1)如圖I，若點尸與點8重合，

①求證：CD=CE：

②當△力8。的面積為S時，用含S的代數式表示△OCE的面積.

(2)如圖2,若點E在線段8C上，當48=8時，求AF+CE的值.

23.(12分)25-26八年級上?黑龍江齊齊哈爾?期末)“配方法”是指將一個式子或一個式子的某一部分通過

恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的形式，巧妙地運用“配方法”能對一些多項式進行因式分

解.

例如：x2+4%-5=x2+4x+22-22-5=(x+2)2-9=(^+2)2-32=(x+2+3)(%+2-3)=

(%+5)(x-1).

(I)運用配方法將多項式進行因式分解：X2-6X-7；

(2)試說明多項式/一8x+17的值總是一個正數；

(3)當％=,多項式/+6x-2有最小值，且最小值為.

24.(12分)(25-26八年級上.百林長春.期末)在6x6的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1,請

在給定網格中按下列要求畫圖并回答問題：

示例：比較/+3與的大小

如圖①，在正方形網格中作△(?尸。，使0P=&，PQ=3,0Q=",

???在AOPQ中，OP+PQ>0Q,

:啦+3><17.

圖①圖②圖③

(1)參考示例的方法，在圖②中構造圖形，比較&+m與VTU,并說明理由；

(2)如圖③，點A、B、C、。均在格點上，點M是AB上任意一點，若滿足MC+MC取最小值，在圖③中畫

出點M(保留作圖痕跡)，直接寫出MC+MD的值為:若連接AC、AD,直接寫出乙。/8+乙C4B的

度數為.

八年級數學下學期期中學情自測?拔尖卷

【新教材北師大版】

參考答案與試題解析

一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，滿分30分)

I.(24-25八年級下?陜西西安?期中)如圖，在△48C中，ZF=zC,AB=25,BC=14,40平分交

BC于點D,DEIAC于點E,則DE的長為（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.由等腰三角形

的性質可得力。_L8C,由勾股定理即可求出力。的長度，最后用面積法求得DE的長.

【詳解】解：???乙8=乙。，力5=25,BC=14,4。平分4821c交8C于點。，

-AD18c且點。是BC的中點，

：zADB=90°,BD=CD=\BC=7,

MD=7AB2-BD?=V252-72=24,

:SADC=-CD=1x24x7=84,

?:DE1AC,

0ADC=14c.0E=3x25.OE=84,

2.若關于x的不等式組「弓二器的所有整數解的和是18,則m的取值范圍是（）

A.2<m<3B.2<m<3

C.2<m<3或—3<m<-2D.2<m<3

【答案】C

【分析】本題主要考查了一元一次不等式組的整數解，首先確定不等式組的解集，利用含m的式子表示出來,

根據整數解的和就可以確定有哪些整數解，根據解的情況可以得到關的不等式，從而求出m的范圍.

【詳解】解：解不等式組偌二卷“得7n<%W6,

???不等式組的所有整數解的和是18,

???不等式組的整數解為6、5、4、3或6、5、4、3、2、1、0、-1、-2,

???2<m<3或一3Wm<-2,

故選：c.

3.（25?26八年級上.河北石家莊?期中）若a是整數,則M一。一定能被整數上（々是一位整數）整除,整數k的

最大值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】D

【分析】本題考查因式分解的應用，先將a?-。因式分解為三個連續整數的乘積，利用連續整數的性質可得

結論.掌握因式分解的方法及三個連續整數的積必能被6整除是偶數是解題的關鍵.

【詳解】解：；a3-a=a（a2-1）=a（a-l）（a+1）,a是整數，

??.a,a-1,Q+1為三個連續整數，其中必有2的倍數和3的倍數，

???a（a-l）（a+1）能被乘積一定能被2x3=6整除，

??.整數k的最大值為6.

故選：D.

4.（25-26八年級上?浙江紹興?期末）如圖，在A/IBC中，AB=10,AC=6,BC=8；D為BC上一點,連

接把△ABC沿折疊，使48落在直線4c上，則重疊部分（羽影部分）的面枳為（）

8'

A.8B.9C.10D.12

【答案】B

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理、折疊的性質，熟練掌握折疊前后對應邊相等、對應角相等,

并利用勾股定理列方程求解是解題的關鍵.

先利用勾股定理逆定理判斷△48c為直角三角形，再根據折疊性質得到對應邊相等，設未知數表示線段長度,

在Rta80。中用勾股定理列方程求解，最后計算重疊部分（△/1OC）的面積.

【詳解】解：?MB=10,AC=6,BC=8,

--.AC2+BC2=62+82=100=AB2,

./C=90°.

由折疊性質可知：AB'=AB=10,B'D=BD,

：.BlC=ABf-AC=10-6=4,

設。D=x,則BD=8-x,B'D=8-x.

在RS8DC中，B'D2=B'C2+CD2,

.??(8-x)2=42+x2,

??.64-16x+x2=16+/,

???16x=48,

.-.x=3,即CO=3,

??,S&ADC=gxACxCD=1x6x3=9.

故選:B.

5.已知關于x、'的方程組二:;fi解都為正數，且滿足Q+b=5,b>0,z=2Q-3b,則z

的取值范圍是()

A.-5<z<10B.5<z<10C.-5<z<8D.—5<z<5

【答案】A

【分析】先把不等式組解出，再根據解為正數列關于〃的不等式紅解出即可得到。的范圍；根據題意得出b=

5-a>0,即可得到2VQV5,代入z=2a-3b得到z=5Q-15,根據a的取值可得結論.

【詳解】解：解這個方程組的解為：^=a-2f

由題意，得儼+

(Q-2>0

則原不等式組的解集為a>2：

,??a+b=5,b>0,

=5-Q>0,

,?,Q>2，

二2<a<5,

:.z=2a-3b=2a—3(5—a)=5a—15

/.-5<z<10

故選:A.

【點睛】本題考查了含有字母系數的二元一次方程組和不等式組的應用，解答關鍵是用字母參數表示未知

量，構造不等式組解答問題.

6.(25-26八年級上?山東泰安?期末)如圖所示，在△ABC中，AB=4,BC=6,4B=60。，將△力3。沿射

線EC的方向平移，得到△小"再將△4夕。繞點4逆時針旋轉一定角度，點夕恰好與點C重合，則平移

的距離和旋轉角的度數分別為()

A.2,30。B.1,30"C.Z,60uD.1,6UU

【答案】C

【分析】此題主要考查了平移和旋轉的性質以及等邊三角膨的判定與性質等知識，得出△4夕C是等邊三角

形是解題關鍵.

利用旋轉和平移的性質得出‘^A'B'C=60°,AB=A,B,=A,C=4,進而得出△A'B'C是等邊三角形,即可

得出88'以及乙BWC的度數.

【詳解】解：必8=60。,將△ABC沿射線8C的方向平移,得到△AB'C',再將△A8'C'繞點上逆時針旋轉

一定角度后，點夕恰好與點。重合，

"EC=60°,AB=A'B'=A'C=4,

??.△AB'C是等邊三角形，

:.B'C=4/夕力'。=60°,

=6—4=2,

.??平移的距離和旋轉角的度數分別為：2,60。.

故選：C.

7.小明是一名密碼翻譯愛好者，在他的密碼手冊中有這樣一條信息a-七x-3,%+3,a+b,x2-9,

分別對應下列六個字：州，愛，我，德，游，美,現將(無2一9加2一(》2一9沖2因式分解，結果呈現

的密碼信息可能是()

A.我愛美B.德州游C.我愛德州D.美我德州

【答案】C

【分析】本題考查因式分解的應用，先對給定多項式因式分解，再根據密碼時應關系得到結果即可.

【詳解】解：(x2-9)a2-(x2-9)b2

=(x2—9)(a2—b2)

=(x+3)(x—3)(a+b)(a—b)

vx+3對應我，x-3對應受,a+6對應德,a-b對應州，

???因式分解結果對應的密碼信息是我愛德州.

8.（25?26八年級上.江西贛州.期末）如圖，在四邊形48CD中,AB=AD=12,BC=DC,乙4=60。，點

E在40上，連接BD,CE相交于點心CEWAB.若CE=7,則仃的長為（）

A.4B.3.5C.2D.1

【答案】C

【分析】連接4。交8D于點。，由題意可證4c垂直平分8D,△力80、是等邊三角形，△4EC是等腰

三角形可得AE=CE=7,易得EF=DE=5,再根據線段的和差計算即可.

【詳解】解：如圖：連接力C交3。于點O,

???48=40=12,BC=DC,/.BAD=60°,

?.?4C垂直平分BD,△48。是等邊三角，稱，Z.CAB=Z.CAD=^Z-BAD=30°,

.-^ADB=60°,

???CEII4B,

.-./-BAD=乙DEF=60°,乙CAB=^-CAE=/.CAD=30°,

.?.△DE/是等邊三角形，△AEC是等腰三角形，

ME=CE=7,

:.EF=DE=AD-AE=12-7=S,

:.CF=CE-EF=7-5=2.

9.（25-26八年級上.河南南陽?期末）如圖，長方體的長為10cm、寬為4cm、高為9cm,。是BC邊的中點，

在長方體下底面的點A處有一只螞蚊，它想吃到上底面點。處的面包屑，沿著該長方體的表面需要爬行的最

短路程為（）

A.12cmB.V365cinC.V221cmD.15cm

【答案】C

【分析】本題考查平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是把立體圖形轉化為平面圖形解決，將棱柱展開,

根據兩點之間線段最短即可得到最短路徑，利用勾股定理解答即可.

【詳解】解：當螞蟻沿著該長方體的表面（前面和右面）爬行的展開如圖所示：

BDC

,長方體的長為10cm、寬為4cm、高為9cm,。是8c邊的中點,

?■.BD=2-BC=2cm,

"D=J92+（10+2/=15cm,

???沿著表面需要爬行的最短路程為15cm,

當螞蟻沿著該長方體的表面（左而和上面）爬行的展開如圖所示:

???長方體的長為10cm、寬為4cm、高為9cm,。是BC邊的中點,

--BD==2cm,48=10+9=19（cm）

：.AD=V192+22=V365cm,

???沿著表面需要爬行的最短路程為盡cm,

當螞蟻沿著該長方體的表面（前面和上面）爬行的展開如圖所示:

A

MBDC

,?,長方體的長為10cm、寬為4cm、高為9cm,。是BC邊的中點，

'-AM=10cm,DM=2+9=11(cm)

MD=V102+ll2=V22lcm,

???沿著表面需要爬行的最短路程為短Tcm,

,.7221cm是最小的數，

即沿著該長方體的表面需要爬行的最短路程為團cm,

故選:C.

10.(25-26八年級上?湖南長沙?期末)如圖，在△力BC中(ZC>LABC),284c和乙ABC的平分線AE,8尸相

交于點0,AE交BC于E,BF交AC于F,過點。作0D1BC于。，下歹U結論：①若48=BC,則工力FB=90。；

②乙4。8=90°+：NC；③若。D=Q,AB+BC+CA=b,則&BC=：Q氏其中正確的結論是()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的性質及定義，三角形的內角和定理，掌握等腰三角形

的性質，角平分線的性質及定義是解題的關鍵.

利用等腰三角形的三線合一可判斷①正確；根據三角形的內角和定理及角平分線的性質可知②正確；根據

三角形的內角和定理及角平分線可知②正確；根據角平分線的性質及三角形的面積公式可知③正確.

【詳解】解：?.?在△/18C中，AB=BC,B尸平分乙48C,

:.BF171C,

:&FB=90。，

故①正確；

???在△48C中，^.ABC+LBAC=180°-zf,

A-LABC+-Z-BAC=90°--ZC,

222'

???4E和BF是/8AC和乙ABC的平分線，

???△OBA=-/-ABC,乙OAB=-Z-BAC,

22

?zOBA+WAB+Z.AOB=180°

山OB=180°-（/.OBA+zOAB）

=180°-（90。-

=90°+-zC,

2

故②正確；

作OM1A8于M,ON14c于N,

???zBAC和/ABC的平分線AE,Br用交于點。，OD=a,

.?.OM=ON=OD=a,

,:AB+BC+CA=b,

:.S&ABC=S^AOB+S^BOC+^bAOC

111

=-AB-OM+-BCOD+-AC-ON

222

=l（AB+BC+AC）OD

乙

1

=-ba

L

故③正確.

故選:D.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.計算：（1—分（1-翥）（1一W）（1-劫…。一專）（1一七卜

【答案】景）.55

【分析】接利用平方差公式把每一個算式因式分解，再進一步發現規律計算即可.

【詳解】解：原式=(1項)(1/)(1/)(1一品...(1盜)(1_圭)

=(1+3(1-9(1+9(1->…+(1+》(1-3(1+冷(1々)

81

31425312x9

=-X—X-X—X—X—X9-O-

2233449To

111

=2X10

11

-20,

故答案為:蘇

【點睛】此題考查因式分解的應用，解題關鍵在于利用公式進行計算.

12.如圖，已知△ABC為等邊三角形，BD為中線,延長8c至點E,使CE=CD=1,連接Z)E,則8E=

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質，根據等邊三角形的性質求出71C=2CD,再根據等邊三角形的性

質得出風?=力。，從而求出8E即可.

【詳解】解：???△力8。為等邊三角形，8。為中線，

'.AC=2CD,BC=AC,

:.BC=2CD,

?:CE=CD=1,

'.BE=BC+CE=2CD+CE=2CE+CE=3CE=3.

故答案為：3.

13.(25-26九年級下?河南商丘?月考)如圖，矩形/18C0的邊/1B在工軸上，且過原點，連接0C.將△08C沿

0c翻折，點8的對應點夕恰好落在邊40上.若點方的坐標為(34),則點。的坐標為.

【答案】(-5JU)

【分析】由點夕的坐標得到4夕和/.0的長，根據勾股定理求出。夕=5,由折置得到08=。夕=5,CB=CB，,

設C8=CB'=x,根據勾股定理計算即可.

【詳解】解：???點"的坐標為(3,4),

"夕=4,A0=3,

在Rt△40B'中，OB'=，4夕2+。/=5,

0BC沿0C翻折，點8的對應點B'恰好落在邊AD上，

.-.03=OB'=5,CB=CB',

--AB=。8+。力=5+3=8,

.??在矩形力BC。中，ZD=90°,CD=AB=8,,

設C8=CB'=x,貝IjD"=AD-AB1=x-4,

?.?在Rta20C中，CD2+DB,2=CB,2,

.-.82+(x-4)2=x2,

解得％=10,

:=10,

.??點C的坐標為(一5,10).

14.如果關于l的方程：一手=＞一手的解不大于I,且m是一個正整數，則X的值為__________.

63N

【答案】：或1

【分析】利用解一元一次方程的步驟表示出％=手，然后根據題意列出不等式，求出?n的取值，最后代數

求值即可.

【詳解】解：：一手=%-手

632

x-12m+2=6x-15m+3

x-6x=12m—15m+3—2

-5x=-3m+1

—3m+1

X=-5

3m—1

x=~r~

解得m<2,

?即是一個正整數，

??.m的值為1或2,

當加=1時，x=

當m=2時，、=經二=1；

S

故答案為：（或1.

15.（25-26八年級上?廣東江門?月考）如圖，點。在直線I上，點4在直線矽卜.若直線［上有一點P使得A/IP。

為等腰三角形，則滿足條件的點P位置有一個.

.A

OP1

【答案】4

【分析】本題考查等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質，直線上與已知兩點組成等腰三角形的點.

根據等腰三角形的定義，結合線段垂直平分線的性質，分三種情況進行討論，即可求解.

【詳解】解：A4P。為等腰三角形,

①以。為圓心，04氏為半徑畫弧，與直線/交于點R、P）,

此時。力=OPi=OP2,△4「10和4力2。為等腰三角形，

②以力為圓心，。力長為半徑畫弧，與直線!交于點P3，

此時。力=。。3，△力。3。為等腰三角形，

③年04的垂直平分線，與直線，交于點。4，

此時。「4=力24，△A&。為等腰三角形，

即滿足條件的點P位置有4個，

故答案為:4.

16.（25-26八年級上?山東濟寧?月考）如圖，點。是等邊△ABC內一點，DA=8,BD=10,CD=6,則44DC

的度數是.

【答案】150。/150度

【分析】本題考查等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解題的關鍵是作出輔助線構造等邊三角形、直

角三角形.

將4DBC繞點C順時針旋轉60。得4PAC,根據旋轉的性質可證ACDP為等邊三角形、△ADP是直角三角形,

即可求出N4OC的度數.

【詳解】解：如圖,將AOBC繞點。順時針旋轉60。得△7MC,

:.PC=CD/DCP=60。,4P=BD=10.

??.△CDP為等邊三角形，

"PDC=乙PCD=60。，P0=CD=6,

?MD=8,AP=10,PD=6,

：.AD2+DP2=PA2,

.?.△力00是直角三角形，Z.ADP=90°,

?"DC=^.ADP+乙PDC=150°.

故答案為：150°

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分）

17.（6分）（24-25八年級下?四"I達州?期中）如圖，在Rt△助。中，ZC=90°,將△4BC繞著點8逆時針

旋轉得到AFBE,點C,A的對應點分別為E,立點￡落在84上，連接AF.

C1-----------0A

（I）若N84C=40。，求乙B力尸的度數；

（2）若AC=8,BC=6,求Ar的長.

【答案】（1）65。：

（2）475.

【分析】（1）根據三角形的內角和定理得到乙4BC=50。，根據旋轉的性質得到"8F=41BC=50。，AB=

3P,根據二角形的內角和定理即可得到結論；

（2）根據勾股定理得到力8=10,根據旋轉的性質得到BE=BC=6,EF=AC=8,根據勾股定理即可得

到結論.

【詳解】（1）解：在Rta/IBC中，zC=90°,ABAC=40°,

“ABC=50°,

?.?將△ABC繞著點、4逆時針旋轉得到^FBE,

:/EBF=Z.ABC=50°,AB=BF,

：.LBAF=Z.BFA=1(180°-50°)=65°；

(2)解：vzC=90°,AC=8,BC=6,

■,-A3=10,

???將△ABC繞著點、3逆時針旋轉得到&FBE,

:.BE=BC=6,EF=AC=8,

：.AE=AB-BE=10-6=4,

MF=JAE?+"2=716+64=4V5.

18.（6分）（25-26八年級上?重慶?開學考試）某學校為改善辦學條件，計劃采購A、B兩種型號的空調，

已知采購3臺A型空調和2臺3型空調，共需費用21000元；4臺A型空調和5臺B型空調，共需費用35000

元.

（1）求A型空調和8型空調每臺各需多少元;

（2）若學校計劃采購A、6型號空調共40臺，且A型空調的臺數不少于3型空調的一半，兩種型號空調的采

購總費用不超過152000元，該校共有哪幾種采購方案？

【答案】（1）A型空調每臺需5000元，8型空調每臺需3000元

⑵見解析

【分析】本題考查了銷售、利潤問題（二元一次方程組的應用），不等式組的方案選擇問題，解題關鍵是掌握

上述知識點并能運用求解.

（1）設力型空調單價為X元，8型空調單價為y元，根據題意，列出方程組求解；

（2）設小型空調購Q臺，則8型空調購40-a臺，根據題意，列出不等式組求解，再求出正整數解即可得方

案.

【詳解】（1）解?：設A型空調單價為4元，B型空調單價為y元,

+2y=21000

+5y=35000

%=5000

解<得:

y=3000

答：A型空調每臺需5000元，8型空調每臺需3000元;

（2）解:設4型空調購Q臺，則B型空調購40—Q臺，

、40-a

則a~~,

（5000a+3000（40-a）<152000

解得：三工QW16,

對應方案為：

①a=14,b=26,費用：5000x14+3000x26=70000+78000=148000（元）；

@a=15,b=25,費用：5000x15+3000x25=75000+75000=150000（元）；

@a=16,b=24,費用：5000x16+3000x24=80000+72000=152000（元），

因此共有三種采購方案.

19.（8分）如圖，Zi/BC是等邊三角形，。為BC邊延長線上一點，CE平分NACD,CE=BD.

（1）求證：乙840=4CAE；

（2）判別△40E是什么特殊三角形？并說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）等邊三角形，理由見解析

【分析】（1）通過等邊三角形性質、角平分線性質得到相等的邊和角，證明△力8。毛AACE,從而得對應

角相等；

（2）利用全等三角形性質得到AD=4E及角關系，計算w/X4E=60。，判定△4DE為等邊三角形.

【詳解】（1）證明：???△4BC為等邊三角形，

:=乙ACB=Z.CAB=60°,48=AC=BC,

心CD=120°,

???CE平分41m

心CE=LDCE=60°,

:?乙3=Z.ACE,

在△43。和中，

AB=AC

4B=Z.ACE>

BD=CE

.?.△4BO三△4CE（SAS）,

.,./.BAD=Z.CAE.

（2）解：△4DE為等邊三角形，

???△48。ACE,

''-AD=AE,/.BAD=/.CAE,

+乙CAD=LDAE+Z-CAD,

???/D4E=Z-BAC=60°,

△力DE為等邊三角形.

20.（8分）（25-26八年級上?山西晉中?期末）某社區計劃在健身活動區安裝照明設施.社區內有兩個健身

活動區A和B,它們之間的距離45為250米.社區小路4c緊鄰活動區，計劃在小路4c上選一點七安裝總電

箱，并由此分別鋪設地下電纜到人和8,勘測人員測得點E到直線48的垂線段EF的長度為120米，且線段

BE的長度為150米.規劃示意圖如卜二

(1)請計算從電箱安裝點E到健身區A需要鋪設的電纜EA的長度.

(2)判斷線段BE的長度是否是健身區B到小路4c的最短距離？并說明你的理由.

【答案】(l)200m

(2)BE的長度是健身區4到小路4c的最短距離，理由見解析

【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理.

(1)根據勾股定理求出命二90m,得到4尸=160?1,進而根據勾股定理即可求出電纜的長度;

(2)根據勾股定理逆定理得出AAEB是直角三角形，得到BE1AC,根據垂線段最短作答即可.

【詳解】(1)-EF1AD,

.-./.AFE=乙BFE=90°,

在Rt△EFB中，BF=>JBE2-EF2=V1502-1202=90(m),

.?/F=AB-BF=250-90=160(m),

.?.在Rl△力EF中，EA=y/EF2+AF2=V1202+1602=200(m).

答：電箱安裝點E到健身區A需要鋪設的電纜￡71的長度200m：

(2)解：8E的長度是健身區4到小路4C的最短距離，理由如下：

'：AB=250m,EA=200m,BE=150m,

.'.BE2+EA2=2002+1502=62500,AB2=2502=62500,

.'.BE2+EA2=AB2,

是直角三角形，

:?乙AEB=90°,

???BE1AC,

???BE的長度是健身區B到小路AC的最短距離.

21.(10分)我們定義：如果兩人一元一次不等式有公共整數解，那么稱這兩個不等式互為“同根不等式”,

其中一個不等式是另一個不等式的，，同根不等式，，.

(1)不等式％-5>0x-5<0的“同根不等式”(填“是”或“不是”)

不等式％-1>01-x<0的“同根不等式“(填“是”或“不是“).

(2)若關于"勺不等式x+2m>0不是勿-l<x+5的“同根不等式“，求m的取值范圍；

(3)若a*0,關于x的不等式+a>3與不等式ax-a<0互為“同根不等式”.直接寫出a的取值范圍.

【答案】(1)不是，是

(2)m<-3

(3)a<0或Q>|

【分析】本題根據新定義“同根不等式“，即兩個一元一次不等式有公共整數解?，分別解不等式，再結合定義

判斷是否滿足條件，求解參數范圍.

(1)直接解不等式判斷是否有公共整數解即可；

(2)根據沒有公共整數解列不等式求m范圍；

(3)分a大于0和小于。兩種情況討論，得到Q的取值范圍.

【詳解】(I)解：解不等式X—5Z0得XZ5

解不等式％-5<0得x<5

兩個不等式沒有公共解,因此沒有公共整數解，

故。一5N0不是x-5<0的“同根不等式”

解不等式％—120得%之1

解不等式1一%V0得%>1

兩個不等式的公共解為x>l,存在無數個公共整數解，

故《-1N0是1-xV0的“同根不等式“

(2)解不等式無+2m>0得x>-2m

解不等式2%-1<x+5得x<6

vx+2m>。不是2%-1<x+5的“同根不等式“

.??兩個不等式沒有公共整數解，

二-2m>6

解得m<-3

（3）解不等式J%+Q>3,整理得%>6-2a

解不等式QX-aWO,整理得以"-1）工0

①當Q>0時，不等式化簡為％W1

要使兩個不等式有公共整數解，需滿足6-2a<l

解得a冷，符合條件；

②當Q<0時，不等式化簡為XN1

va<0,

6—2a=6—2xa>6>l

兩個不等式的公共解為％>6-2G,

因此所有a<0都符合條件

綜匕a的取俏范闈是aVO或a

22.（10分）（25-26八年級上?四川瀘州?期末）已知△48C是等邊三角形，點。是AC的中點，點E在射線

上，點尸在線段4B上，ZFDE=120°.

圖1圖2

（1）如圖I,若點F與點B重合,

①求證：CD=CEx

②當△ABC的面積為S時，，用含S的代數式表示△"CE的面積.

（2）如圖2,若點E在線段BC上，當/8=8時，求/尸+CE的值.

【答案】（1）①見解析；②ADCE的面積為:S（2）4

【分析】（1）①利用等邊三角形的性質和三角形的內角和定理求出相關角的度數，即可得證；

②艱據等邊三角形的性質得出80J.4C,^DBC=^ABC=30°,S"CD=8c=白，根據含30度角的

直角三角形的性質得出CD從而得出=即可得出答案；

（2）過點。作OGIIBC,構造全等三角形，將AF和CE轉化到同一直線上即可解答.

【詳解】⑴①證明：是等邊三角形，點。是47的中點,

???BD1AC,乙ACB=60°,

?心DC=90°,

?.?”7)E=120。，點尸與點B重合，

：ZBDE=120°,

?kCDE=120°-90°=30%

:2DEC=乙ACB-Z-CDE=60°-30°=30°,

:.乙CDE=乙DEC,

，CD=CE；

②解：???△ABC是等邊三角形，點。是AC的中點，

乙

:*BD1ACyDBC=-Z-ABC=30°,ShBCD=-S^ABC=-S>

：/3DC=90°,

??.CD=-BC,

2

-CD=CE,

?.?以=2

:SacDE=3s△88=1S.

（2）解：過點。作OG|山C交AB于點G,

二Z.A=乙B=Z.C=60°>

vDG\\BC,

二Z.AGD=乙B=60°,Z.ADG=ZC=60°?

???△4DG是等邊三角形,

AD=DG=AGf

?.?點。是4c的中點,

二AD=-AC=-AB=4,

22

???DG=4,

?:乙FDE=120°,乙GDC=180°-60°=120°,

???Z.FDE=