高三數學數列通項與數列中的不等式

屆高考數學二輪復習系列課件

第1頁18《數列數列通項與

數列中不等式》

第2頁一、基礎知識1.不完全歸納法歸納通項.2.數學歸納法證實與自然數n有相關命題:

第一步:驗證初始狀態,即“n=n0時命題成立”;

第二步:假設推理,即“假設n=k(k≥n0)時命題成立，由此出發，推得n=k+1時命題也成立”.3.均值不等式：4.放縮法：注意放縮度，不能太小或太大，實當即可.5.函數單調性.第3頁二、例析第4頁解:(1)由a1=2,an+1=an2-nan+1得:a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,由此猜測an=n+1(n≥1).(2)①用數學歸納法證實:Ⅰ)當n=1時,a1≥3=1+2,不等式成立.Ⅱ)假設當n=k時,不等式成立,即ak≥k+2,那么ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-K)+1≥k+3,也就是說,當n=k+1時,ak+1≥(k+1)+2.由Ⅰ)和Ⅱ)得,對于全部n≥1,有an≥n+2.第5頁第6頁說明:

在證實(2)中②時,注意到分母特點,利用(2)中①結果“對于全部n≥1,有an≥n+2”,就能得到an-1≥n+1;第7頁解：第8頁第9頁說明:1.數列{an}中第n項an,前n項和Sn,前n-1項和Sn-1之間關系an=Sn-Sn-1在求通項公式中經慣用到.2.含有遞推公式an=man-1+krn形式數列通項公解法是要化成一個等比數列來求解(見第二輪復習數列-)第10頁解：第11頁(Ⅱ)分析1:“作差法”是比較大小基本方法，從已知條件看到，bn由an平方根給出，故可用bn與

bn+1平方差正負來比較bn與bn+1大小.證實1:第12頁分析2:均值不等式是證實不等式基本工具.由第13頁證實1:第14頁(Ⅰ)證實:第15頁(Ⅱ)證實:（用數學歸納法證實）（i）當n=1時,0<a1<1,a1lna1<0,

a2=f(a1)=a1-a1lna1>a1,

由函數f(x)在區間(0,1)上是增函數,且f(x)在x=1處連續,則函數f(x)在區間(0,1]上是增函數,a2=f(a1)=a1-a1lna1<a1(1-lna1),即a1<a2<1.（ⅱ）假設當

x=k,(k∈N*)時,ak<ak+1成立,即0<a1≤ak<ak+1<1那么當n=k+1時，由f(x)在區間(0,1]是增函數,0<a1≤ak<ak+1<1得ak+1<ak+2<1,也就是說當n=k+1時,an<an+1<1也成立.依據（ⅰ）、（ⅱ）可得對任意正整數n,an<an+1<1恒成立.第16頁(Ⅲ)證實:第17頁評析:1.在(Ⅱ)證實中,要注意當0<a1<a2<1時,-lna1>-lna2>0.2.在(Ⅱ)證實中,要注意第二步由ak到ak+1遞推推理特點.3.在(Ⅲ)證實中,要注意“循環疊代方法”利用,也就是:4.在(Ⅲ)證實中,要注意“放縮變換”靈活利用.如由第18頁三、小結1.證實與自然數n相關命題時常選取“數學歸納法”；２.“作差法”是證實不等式首選方法；３.“放縮法”是證實不等式一個主要方法；４.含有遞推關系數列不等式，“循環疊代法”能使問題逐步到達明朗；５.研究透已知條件和待證目標，進行有目標變形，是證題關鍵中關鍵；６.函數單調性和相關性質是進行放縮變形一大工具；７.不等式性質在證題中要靈活利用。有時絕對值性質在證題時也會起到主要作用（如例４第（Ⅲ）問）。第19頁四