高中數(shù)學(xué) 加練 專題2　第7練　函數(shù)的奇偶性

第7練函數(shù)的奇偶性(分值：52分)一、單項選擇題(每小題5分，共30分)1.已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=2x+x-1，則當x<0時，f(x)等于()A.2-x-x-1 B.2-x+x+1C.-2-x-x-1 D.-2-x+x+1答案D解析當x<0時，-x>0，f(-x)=2-x-x-1，因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)=-2-x+x+1.2.設(shè)函數(shù)f(x)=x5+2x3+3x+1在區(qū)間[-2025，2025]上的最大值是M，最小值為m，則M+m等于()A.0 B.2 C.1 D.3答案B解析由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x，則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，∴g(x)在區(qū)間[-2025，2025]上的最大值與最小值之和為0，即M-1+m-1=0，∴M+m=2.3.函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，f(-3)=0，則不等式f(x-1)>0的解集為()A.(-3，3)B.(-∞，-2)∪(1，4)C.(-∞，-4)∪(-1，2)D.(-∞，-3)∪(0，3)答案B解析根據(jù)題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞減，則f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，又由f(-3)=0，則f(3)=0，則函數(shù)f(x)的草圖如圖所示，若f(x-1)>0，則有x-1<-3或0<x-1<3，解得x<-2或1<x<4，即不等式f(x-1)>0的解集為(-∞，-2)∪(1，4).4.若f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=2x，則f(0)+g(1)等于()A.1 B.2 C.34 D.答案D解析f(x)+g(x)=2x， ①則f(-x)+g(-x)=2-x，又f(x)，g(x)分別為定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴-f(x)+g(x)=2-x， ②①②兩式相加除以2得g(x)=2相減除以2得f(x)=2∴f(0)=0，g(1)=2+12∴f(0)+g(1)=545.已知函數(shù)f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x，則使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范圍是()A.(-∞，-1)∪(1，+∞)B.(-2，-1)C.(-∞，-3)∪(1，+∞)D.(-∞，-2)∪(1，+∞)答案D解析由|x|-1>0得f(x)的定義域為(-∞，-1)∪(1，+∞)，f(-x)=lg(|x|-1)+2-x+2x=f(x)，故f(x)為偶函數(shù)，而y=lg(|x|-1)，y=2x+12x在(1，+∞)故f(x)在(1，+∞)上單調(diào)遞增，則f(x+1)<f(2x)可化為x解得x>1或x<-2.6.已知函數(shù)f(x)=21+x-21-x，x≥0，m·A.2 B.0 C.-2 D.-4答案D解析當x>0時，-x<0，因為f(x)是偶函數(shù)，所以有f(x)=f(-x)?21+x-21-x=m·2-x+n·2x?22x(2-n)=m+2，要想x>0上式恒成立，只需2-n=0，m+2=0?當x<0時，-x>0，因為f(x)是偶函數(shù)，所以有f(x)=f(-x)?21-x-21+x=m·2x+n·2-x?2-2x(2-n)=m+2，要想x<0上式恒成立，只需2-n=0，m+2=0?綜上所述，m-n=-4.二、多項選擇題(每小題6分，共12分)7.下列函數(shù)中，為奇函數(shù)的是()A.y=2x-2-xB.y=ln(x+1)+ln(x-1)C.y=xD.y=lnx答案ACD解析對于A，設(shè)f(x)=2x-2-x，定義域為R，f(-x)=-f(x)，為奇函數(shù)；對于B，y=ln(x+1)+ln(x-1)，定義域為(1，+∞)，所以為非奇非偶函數(shù)；對于C，作出函數(shù)的圖象，如圖實線部分所示，根據(jù)圖象可知，為奇函數(shù)；對于D，設(shè)f(x)=lnx2+1+x，定義域為R，f(x)+f(-x即f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(1)=4，且對任意實數(shù)m，n，有f(m+n)=f(m)+f(n)-2，當x>0時，f(x)>2.則下列結(jié)論正確的是()A.f(-1)=0B.f(x)是R上的增函數(shù)C.f(x)為偶函數(shù)D.f(x)-2為奇函數(shù)答案ABD解析函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)m，n滿足f(m+n)=f(m)+f(n)-2，令m=n=0，得f(0)=2f(0)-2，有f(0)=2，又f(1)=4，令m=1，n=-1，得f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)-2，解得f(-1)=0，故A正確；當x>0時，f(x)>2，設(shè)x1<x2，則x2-x1>0，f(x2-x1)>2，由x2=x2-x1+x1，得f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)-2，即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-2>0，所以f(x1)<f(x2)，則f(x)是R上的增函數(shù)，故B正確；若f(x)為偶函數(shù)，則f(1)=f(-1)，與f(1)=4，f(-1)=0矛盾，故C錯誤；令n=-m，則f(0)-2=f(m-m)-2，即0=f(m)-2+f(-m)-2，所以函數(shù)f(x)-2為奇函數(shù)，故D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2023·全國甲卷)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數(shù)，則a答案2解析∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx=(x-1)2+ax+cosx=x2+(a-2)x+1+cosx，且函數(shù)為偶函數(shù)，∴a-2=0，解得a=2.經(jīng)驗證，當a=2時滿足題意.10.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x1，x2∈(0，+∞)且x1≠x2時，有x2f(x1)-x1f(x2)x1x2(x1答案(-2026，0)∪(2026，+∞)解析由x2f(x1)-x1f(x2)x1x2(x1-可得f(x設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)x，x∈(-∞，0)∪(0則g(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，又因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，即f(-x)=-f(x