數字信號處理-使用Python分析與實現 課件 第1章 離散時間信號與系統

1第1章離散時間信號與系統李蓉艷同濟大學電子與信息工程學院2離散時間信號1.離散時間信號的概念2.離散時間信號的表示3.常用的典型序列4.序列的周期性5.序列的運算離散線性移不變系統1.線性移不變系統2.單位采樣響應3.因果性、穩定性4.常系數差分方程5.采樣定理第1章離散時間信號與系統1.1離散時間信號的概念

連續時間信號—自變量連續有定義，幅值可以是連續的也可以是離散（量化）的離散時間信號

—自變量在離散時間點有定義，幅值是連續的，又稱序列或采樣信號。模擬信號—自變量連續有定義，且信號幅值連續有定義數字信號—自變量在離散時間點有定義，信號幅值常用二進制編碼表示。3按照自變量和信號幅值的連續與離散分為四種情況：4連續信號離散信號數字信號量化信號1.1離散時間信號的概念

(a)(b)(c)(d)1.1.1離散時間信號-序列5

圖像表示：頂端帶小黑點的豎線表示一個采樣值1.1.2典型序列1）單位采樣序列6

n=np.arange(-10,11,1)x=(n==0)n=np.arange(-2,7)#定義變量nn0=3x=[1ifi==n0else0foriinn]

2）單位階躍序列7

與單位采樣序列的關系n=np.arange(-5,6,1)#定義序列下標x1=[1ifi>=0else0foriinn]#生成序列1.1.2典型序列

3）矩形序列8

與其他序列的關系importnumpyasnpN=10x1=np.where(np.arange(N)>=0,1,0)1.1.2典型序列9importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,21,dtype=int)y1=np.power(1.5,n)4）實指數序列

1.1.2典型序列5）復指數序列10為數字域頻率

例：1.1.2典型序列importnumpyasnpimportmatplotlib.pyplotaspltn=np.arange(-6,8,1,dtype=32)omega_degree=[0,90,180,270]alpha=0.05*np.pi;omega=np.deg2rad(omega_degree)plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)foriinrange(len(omega)):x=np.exp((alpha+1j*omega[i])*n)print(x)plt.figure(i+1)plt.subplot(2,2,1),plt.stem(n,np.real(x),basefmt='--')plt.xlabel('n')plt.title('$\omega={}^\circ$實部'.format(omega_degree[i]))plt.subplot(2,2,2),plt.stem(n,np.imag(x),basefmt='--')……….11生成復指數序列的Python代碼復數序列的形式12

實部和虛部：極坐標形式：

其中相位：

1.1.2典型序列6）正弦序列13模擬正弦信號：數字域頻率是模擬域頻率對采樣頻率的歸一化頻率1.1.2典型序列importmatplotlib.pyplotaspltimportnumpyasnpn=np.linspace(0,20,40)fs=1x=4*np.sin(0.25*np.pi*n/fs+np.pi/4)plt.figure()plt.stem(n,x,basefmt='black')plt.plot(n/fs,x,'--'),plt.xlabel('t')plt.title(r"4sin(0.25$\pi$n+pi/4)")plt.tight_layout()plt.show()14序號使用的內置函數作用1np.sin()生成一個正弦函數2np.linspace()生成等間隔的數據點3plt.stem()繪制離散數據的莖線圖4plt.plot()繪制連續曲線圖生成正弦序列的Python代碼1.1.2典型序列7）任意序列

15

例：x(n)可以表示成單位取樣序列的移位加權和，也可表示成與單位取樣序列的卷積和。1.1.2典型序列1.1.3序列的周期性

16

17

1.1.3序列的周期性18

設連續正弦信號：采樣序列：

1.1.3序列的周期性令：19例：N，k為互為素數的正整數即N個采樣間隔應等于k個連續正弦信號周期1.1.3序列的周期性1.1.4序列的運算加法乘法累加能量平均功率移位翻褶時間尺度變換差分卷積和20信號處理是通過各種運算來完成的；這些信號處理的運算都是基本運算的組合。（1）加法

同序列號n的序列值逐項對應相加21

1.1.4序列的運算（2）乘法同序號n的序列值逐項對應相乘22

1.1.4序列的運算（3）累加23

1.1.4序列的運算（4）序列的能量24

1.1.4序列的運算（4）序列的平均功率25

1.1.4序列的運算（6）移位

261.1.4序列的運算（7）翻褶

x(-n)是以n=0的縱軸為 對稱軸將序列x(n)

加以翻褶27

（a）原序列

（b）序列翻褶

（c）序列翻褶移位1.1.4序列的運算（8）時間尺度變換抽取

28

插值

1.1.4序列的運算（9）差分前向差分：29

1.1.4序列的運算后向差分：（10）卷積和設兩序列x(n)、h(n)，則其卷積和定義為：301）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：1.1.4序列的運算1.2離散時間系統

311.2.1時域離散的線性移不變系統

32

1.線性系統2.移不變系統

如果系統對輸入信號的運算關系不隨離散時間點的移動變化，也就是說系統的參數不隨時間而變化，則這種系統稱為移不變系統。33

1.2.1時域離散的線性移不變系統

34

35增量線性系統

線性系統x(n)y0(n)y(n)

361.2.2單位采樣響應

T[·]

根據疊加原理

線性移不變系統的輸出等于輸入序列與單位采樣響應的卷積37

1.2.2單位采樣響應卷積分四步：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）累加：圖解法解析法列表法對位相乘相加法向量矩陣乘法381.卷積的計算

39（1）

卷積計算的圖解法

解：40（2）

卷積計算的解析法

41

42

解：

則

兩式相加得

43（3）

卷積計算的列表法

1324

376

673

673

673

673

673

673解：

根據卷積和計算式列表如下：

44（4）

對位相乘法

將兩序列按照右對齊排成兩行，然后作乘法運算，不要進位，最后將同一列的乘積值相加即卷積和結果。

312

8642

4321

12963

1213171152

45（5）向量矩陣乘法

46用矩陣形式表示為

各行為前一行的循環右移1位每行循環右移1位形成的對角線元素相同的矩陣，稱為Toeplitz矩陣（5）向量矩陣乘法47

卷積和與兩序列的前后次序無關481.卷積的計算

系統級聯的單位采樣響應49

1.卷積的計算

系統并聯的單位采樣響應502.相關的計算

互相關運算沒有卷積運算的翻褶這一步

（1）互相關運算性質1）互相關運算不滿足交換律2）51

2）當是絕對可和的能量信號時，則有

52

4）可以用卷積運算來表示相關運算

（1）互相關運算性質（2）自相關函數序列53

自相關函數的性質：

542）當m＝0時自相關序列取最大值（序列與自己本身的相似程度是最大的）

3）若x(n)是絕對可和的能量信號時，有

（2）自相關函數序列55

解：編寫程序計算兩個序列的自相關和互相關。（3）功率信號的相關函數互相關：自相關：56當x(n)、y(n)為周期信號時：57

54321

1248

403224168

20161284

108642

54321

5143164493420858

12345

8421

12345

246810

48121620

816243240

82034496431145

自相關與互相關互相關——兩個信號之間的相似程度，時間軸表示“挪了”多少“距離”，例如一個信號不動，另一個以起點開始“錯動”，“挪”到某點時，兩個信號的相似程度在函數值上體現，而“挪動”的“距離”在時間軸上體現。自相關——對于周期信號，自相關極值點間的距離就是周期；對于隨機信號，自相關表示該信號的變化快慢，如果自相關函數平滑，說明變化慢。59相關的應用（1）在信號測量中，即使預先知道了振蕩干擾，受到噪聲和不確定性影響，常常難以發現信號中的振蕩信息，信號的自相關可以幫助驗證是否有周期振蕩信號存在，并確定信號的周期；（2）時延估計：兩個相似信號之間的互相關會產生振幅最大值。在雷達測量中可以確定距離或飛行時間，或者在同步信號、對齊信號方面有應用價值；（3）信號分析：使用互相關來分析地震信號、雷達、聲吶和其他信號。將輸入信號與已知標準信號對比可以幫助檢測低于噪聲閾值的事件、提取信息或識別特性事件。6061【例10.3.1】編寫Python程序產生隨機信號，用來模擬機器正常運行時的隨機噪聲，通過加入正弦信號模擬機器運行狀態異常時發出的周期性振蕩聲音，觀察異常時自相關函數波形，得到周期性振蕩信號的周期。

1.2.3系統的因果性和穩定性

62

因果系統的單位采樣響應必然是因果序列。63

1.2.3系統的因果性和穩定性穩定性是系統正常工作的前提條件。64

解：

1.2.4常系數線性差分方程一個N階常系數線性差分方程表示為：

描述時域離散系統的輸入輸出關系它們決定系統的特征65

661.線性常系數差分方程的求解經典解法。這種解法類似于模擬系統中求解微分方程的方法，包括齊次解和特解，由邊界條件確定待定系數，這種方法比較繁瑣，實際中很少采用。迭代法。這種方法簡單，適合用計算機求解，但只能得到數值解，不容易得到閉合形式（公式）解答。卷積和計算法。這種方法用于起始狀態為零的情況，得到的是零狀態解。這是在LSI系統中很重要的一種分析方法。如果起始狀態不為零，還需要用求齊次解的辦法得到零輸入響應。變換域方法。如果在z域進行求解，方法簡便有效，用得最多，z變換與分析連續時間系統的拉普拉斯變換類似，后面將會討論。67

解：

68

解：

69

解：由差分方程得到系數矢量：a=[1,-0.5]，b=[1]輸入取6個長度，X

=[1,0,0,0,0,0]輸入序列為6個長度，則輸出也為6個長度fromscipyimportsignalimportnumpyasnpb=np.array([1])a=np.array([1,-0.5])x=np.array([1,0,0,0,0,0])y=signal.lfilter(b,a,x)print(y)運行結果如下：[1.0.50.250.1250.06250.03125]利用Scipy庫中的lfilter計算差分方程的遞推解lfilter(b,a,x)：一維濾波函數70

解：使用沖激響應函數求解importnumpyasnpfromscipyimportsignalimportmatplotlib.pyplotasplts=signal.dlti([1,0],[1,-0.5])

#使用傳輸函數表示法創建LTI系統t,y=signal.dimpulse(s,n=6)#計算LTI系統的單位采樣響應plt.rc("font",family='MicrosoftYaHei',size=12)plt.stem(t,np.squeeze(y),basefmt='--')plt.xlabel('n',fontsize=20)plt.title('沖激響應',fontsize=20)plt.grid(),plt.show(),print(y)差分方程的解(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,-2.05880028]),array([-0.8814429,0.7411681]))運行結果如下：71當差分方程的初始狀態不為零時，這時除了求零狀態響應，還需求零輸入響應，即由初始狀態造成的輸出響應，利用Scipy庫中的lfiltic函數求系統全響應。

importnumpyasnpfromscipyimportsignalb=np.array([1,0.5,0])a=np.array([1,-0.6,0.36])ys=np.array([-1,-2])xs=np.array([1])xic=signal.lfiltic(b,a,ys,xs)n=np.arange(0,11)x=np.sin(np.pi*n/6)y=signal.lfilter(b,a,x,zi=xic)print(y)運行結果如下：(array([0.62,1.232,1.6320254,1.96870794,1.95972102,1.40011046,0.38456671,-0.77329974,-1.71844926,-2.18569435,