18.5 分式方程知識(shí)點(diǎn)梳理講義（暑假預(yù)習(xí)）-2026-2027學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

18.5分式方程知識(shí)點(diǎn)梳理講義（暑假預(yù)習(xí)）2026-2027學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

暑期自主預(yù)習(xí)專用·適用對(duì)象：八年級(jí)學(xué)生·預(yù)計(jì)學(xué)習(xí)時(shí)間：60分鐘一、本節(jié)預(yù)習(xí)導(dǎo)航【與已學(xué)知識(shí)的聯(lián)系】七年級(jí)我們學(xué)過一元一次方程，掌握了“去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”這一整套解法；本章前幾節(jié)又學(xué)習(xí)了分式的概念、基本性質(zhì)、約分通分以及分式的乘除與加減。現(xiàn)在把這兩條線索合到一起：當(dāng)方程的分母里出現(xiàn)了未知數(shù)，它就不再是整式方程，而是全新的“分式方程”。解它的核心辦法，仍然是回到我們熟悉的整式方程上去——這就是初中數(shù)學(xué)最重要的轉(zhuǎn)化思想。可以說，本節(jié)是“分式運(yùn)算”與“一元一次方程”兩大板塊的交匯點(diǎn)，也是九年級(jí)學(xué)習(xí)分式方程與一元二次方程綜合應(yīng)用的直接基礎(chǔ)。【本節(jié)核心內(nèi)容】①分式方程的概念（分母中含有未知數(shù)的方程），會(huì)把它與整式方程區(qū)分開；②解分式方程的基本思路與五個(gè)步驟，特別是最簡公分母的確定與去分母的規(guī)范書寫；③增根的概念、產(chǎn)生原因與檢驗(yàn)方法，理解“為什么解分式方程必須驗(yàn)根”；④分式方程無解的兩種不同情形；⑤列分式方程解決工程、行程、銷售、效率等實(shí)際問題，掌握“審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答”六步法與“雙檢驗(yàn)”要求；⑥含參數(shù)的分式方程（已知有增根求參數(shù)、已知無解求參數(shù)、已知解的符號(hào)求參數(shù)范圍），這是本節(jié)最能拉開差距的拓展內(nèi)容。【所需圖形類型】解分式方程的五步流程圖1幅（把“去分母、求解、檢驗(yàn)”三個(gè)關(guān)鍵動(dòng)作串成一條鏈）；一道產(chǎn)生增根的例題的完整求解與檢驗(yàn)示意圖1幅（直觀看到增根是怎樣冒出來又怎樣被舍去的）；分式方程結(jié)構(gòu)標(biāo)注圖1幅（用箭頭指出“分母含未知數(shù)”和“最簡公分母”）；本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)樹1幅。【術(shù)語銜接提示】“方程”指含未知數(shù)的等式；“整式方程”指方程兩邊都是整式（分母中不含未知數(shù)）的方程，如(x?1)/2?(x+1)/3=1雖然帶分?jǐn)?shù)線，但分母是數(shù)字2和3，仍然是整式方程；“分式方程”的判別標(biāo)準(zhǔn)只有一條——分母中是否含有未知數(shù)。另外要分清“最簡公分母”與“公分母”：最簡公分母是各分母因式分解后，把所有出現(xiàn)過的因式取最高次冪再相乘所得的式子，它是去分母時(shí)兩邊要乘的那個(gè)式子，也是驗(yàn)根時(shí)代入的對(duì)象。“增根”是一個(gè)專有名詞，它不是算錯(cuò)的結(jié)果，而是變形過程中必然可能出現(xiàn)的“多余的根”。【數(shù)學(xué)思想滲透】轉(zhuǎn)化思想（把不會(huì)解的分式方程轉(zhuǎn)化成會(huì)解的整式方程，這是本節(jié)的靈魂）；方程思想（把實(shí)際問題中的等量關(guān)系翻譯成方程）；分類討論思想（分式方程無解要分“整式方程無解”和“解是增根”兩類，含參問題更要分類）；檢驗(yàn)意識(shí)與嚴(yán)謹(jǐn)精神（變形不等價(jià)就必須回頭檢驗(yàn)，這是數(shù)學(xué)區(qū)別于“憑感覺”的關(guān)鍵品質(zhì)）。理解了“同乘一個(gè)可能為零的式子會(huì)擴(kuò)大解的范圍”，你就真正理解了整章的邏輯。二、各小節(jié)知識(shí)清單（一）分式方程的概念與識(shí)別??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?能準(zhǔn)確說出分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程。?會(huì)從一組方程中快速挑出分式方程，不被“帶分?jǐn)?shù)線但分母是數(shù)”的整式方程迷惑。?明白分式方程中未知數(shù)的取值必須使各個(gè)分母都不為零。?理解“分式方程的解”與“整式方程的解”在要求上的差別。?能舉出生活中會(huì)列出分式方程的實(shí)例（如工程、行程、單價(jià)問題）。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)1：分式方程的定義。分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。判別時(shí)抓住兩個(gè)要點(diǎn)：第一，它必須是方程（含未知數(shù)的等式），不是式子；第二，未知數(shù)必須出現(xiàn)在分母的位置上。例如2/(x?3)=3/x、1/x+2=0、(x+1)/(x?1)=5都是分式方程；而(x?1)/2=3、x/π+1=0都不是——前者分母是數(shù)字2，后者分母π是一個(gè)確定的常數(shù)，它們分母中都沒有未知數(shù)，本質(zhì)上仍是一元一次方程。??知識(shí)點(diǎn)2：分式方程與整式方程的區(qū)別與聯(lián)系。整式方程的兩邊都是整式，分母中不含未知數(shù)；分式方程至少有一個(gè)分母含未知數(shù)。二者的聯(lián)系在于：分式方程通過去分母可以化為整式方程，因此整式方程是解分式方程的“中轉(zhuǎn)站”。但要特別注意，這個(gè)轉(zhuǎn)化不一定是等價(jià)變形，因?yàn)閮蛇呁说淖詈喒帜赣锌赡苋〉搅阒担@正是后面要講的增根的來源。判別時(shí)不要看有沒有分?jǐn)?shù)線，也不要看分子里有沒有未知數(shù)，只看分母。??知識(shí)點(diǎn)3：分式方程有意義的條件。分式方程中的未知數(shù)取值必須使每一個(gè)分母都不為零，否則方程本身失去意義。因此在解題之前就可以先寫出隱含條件，例如解2/(x?3)=3/x時(shí)，隱含條件是x≠3且x≠0。養(yǎng)成“先寫隱含條件”的習(xí)慣，最后驗(yàn)根時(shí)就有了明確的比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，不容易漏檢。??知識(shí)點(diǎn)4：分式方程的解（根）。使分式方程左右兩邊的值相等，并且使各個(gè)分母都不為零的未知數(shù)的值，叫做這個(gè)分式方程的解。后半句是分式方程特有的要求：一個(gè)數(shù)即使代進(jìn)去“看起來兩邊相等”，只要它讓某個(gè)分母為零，方程在這個(gè)點(diǎn)上根本沒有定義，也就談不上是解。??知識(shí)點(diǎn)5：分式方程從哪里來。現(xiàn)實(shí)中凡是涉及“單位量”的問題都容易產(chǎn)生分式方程：工作效率等于工作總量除以時(shí)間，速度等于路程除以時(shí)間，單價(jià)等于總價(jià)除以數(shù)量，濃度等于溶質(zhì)除以溶液。當(dāng)這些“單位量”里的時(shí)間、數(shù)量、速度是未知數(shù)時(shí)，未知數(shù)就跑到了分母上，于是列出的就是分式方程。這說明分式方程不是人為編出來的，而是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中比率關(guān)系的自然工具。??方法點(diǎn)撥識(shí)別分式方程的“一看二問”：一看有沒有等號(hào)（是方程不是式子），二問分母里有沒有字母未知數(shù)。遇到π、a、m這類字母時(shí)要讀清題目——如果題目說“a是非零常數(shù)”，那它就不是未知數(shù)，方程仍是整式方程；如果題目說“關(guān)于a的方程”，那a才是未知數(shù)。把隱含條件寫在草稿紙最上方，能省掉后面一半的粗心失分。圖1分式方程結(jié)構(gòu)標(biāo)注：方程2/(x?3)=3/x的兩個(gè)分母都含未知數(shù)x，最簡公分母是x(x?3)，驗(yàn)根時(shí)就把解代入它。?第三步：特別提醒?判別分式方程只看分母，不看分子。像(x2+1)/3=x這種分子很復(fù)雜但分母是數(shù)字的方程，仍然是整式方程。?分式與分式方程不是一回事：分式是式子（沒有等號(hào)），分式方程是方程（有等號(hào)）。“化簡分式”和“解分式方程”的處理辦法完全不同，前者不能去分母，后者必須去分母。?常數(shù)字母（如π、e，或題目聲明的非零常數(shù)a）出現(xiàn)在分母中不算“含未知數(shù)”，不要誤判成分式方程。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：認(rèn)為(x?1)/2?(x+1)/3=1是分式方程。錯(cuò)因：看到分?jǐn)?shù)線就下結(jié)論。這里的分母是2和3，都是數(shù)字，不含未知數(shù)，所以它是一元一次方程，直接去分母求解即可，不需要驗(yàn)根。?規(guī)避：把每個(gè)分母單獨(dú)圈出來看一眼，只要分母里出現(xiàn)了未知數(shù)字母，才是分式方程。?錯(cuò)例：把分式的加減運(yùn)算當(dāng)成方程去分母，例如把1/x+1/(x+1)直接“兩邊同乘x(x+1)”。錯(cuò)因：這是一個(gè)式子而不是方程，沒有“兩邊”可言。式子只能通分化簡，不能去分母，否則結(jié)果會(huì)變成原式的x(x+1)倍。?規(guī)避：先找等號(hào)，有等號(hào)才是方程，才可以去分母。??第五步：典型例題【例題1】（基礎(chǔ)·★☆☆）下列方程中，是分式方程的有哪些？①1/x=2；②(x+1)/3=5；③2/(x?1)+3=x；④x/π?1=0；⑤3/(x+y)=1；⑥(x2?1)/5=x。【解】逐個(gè)看分母：①分母x含未知數(shù)，是；②分母3是數(shù)字，不是；③分母x?1含未知數(shù)，是；④分母π是常數(shù)，不是；⑤分母x+y含未知數(shù)，是；⑥分母5是數(shù)字，不是。【答案】①③⑤。旁批：④最容易看錯(cuò)，π只是一個(gè)約等于3.14的確定的數(shù)。【例題2】（基礎(chǔ)·★☆☆）若分式方程5/(x?2)+3/(x+1)=1有意義，求x應(yīng)滿足的條件；并判斷x=2能否成為它的解。【解】要使各分母都不為零，需x?2≠0且x+1≠0，即x≠2且x≠?1。當(dāng)x=2時(shí)分母x?2=0，原方程失去意義，所以x=2無論如何都不能成為這個(gè)方程的解。【答案】x≠2且x≠?1；x=2不能成為解。旁批：這兩個(gè)數(shù)就是本題的“禁區(qū)”，也是將來驗(yàn)根時(shí)要盯住的目標(biāo)。??第六步：隨堂小測(cè)1.分母中含有________的方程叫做分式方程。2.下列方程中是分式方程的是（）。A.x/2?1=0B.2/x?1=0C.(x+1)/3=xD.(2x?1)/5=13.要使分式方程3/(x?2)=1有意義，x應(yīng)滿足________。4.關(guān)于x的方程x/a=2（a為非零常數(shù)）________（填“是”或“不是”）分式方程。5.分式方程5/(x+3)=2的解必須滿足x+3________0。（二）解分式方程的一般步驟??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?說出解分式方程的基本思路：去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。?會(huì)準(zhǔn)確確定最簡公分母（先因式分解，再取所有因式的最高次冪之積）。?規(guī)范完成去分母的書寫：不漏乘、分子是多項(xiàng)式要加括號(hào)。?能獨(dú)立解出常見的分式方程，并寫出完整的檢驗(yàn)過程與結(jié)論。?會(huì)處理形如x?2與2?x這樣互為相反數(shù)的分母。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)6：解分式方程的基本思路。分式方程我們不會(huì)直接解，但一元一次方程我們很熟悉，于是想辦法把前者變成后者——在方程兩邊同乘各分式的最簡公分母，約去分母，方程就變成了整式方程。這一步叫“去分母”，是整節(jié)課的核心動(dòng)作。用一句話概括：分式方程的解法=去分母+解整式方程+驗(yàn)根。??知識(shí)點(diǎn)7：最簡公分母的確定方法。第一步，把每個(gè)分母都分解因式；第二步，把所有出現(xiàn)過的不同因式都取出來；第三步，每個(gè)因式取它在各分母中出現(xiàn)的最高次冪；第四步，把這些因式（連同各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)）相乘。例如分母為x?1與x2?1時(shí)，因?yàn)閤2?1=(x+1)(x?1)，所以最簡公分母是(x+1)(x?1)；分母為2x與3x2時(shí)，最簡公分母是6x2。找準(zhǔn)最簡公分母能讓計(jì)算量降到最低，也讓驗(yàn)根變得簡單。??知識(shí)點(diǎn)8：去分母的規(guī)范書寫。方程兩邊的每一項(xiàng)都要乘最簡公分母，特別是那些不含分母的整數(shù)項(xiàng)、整式項(xiàng)，最容易被漏乘；分子如果是多項(xiàng)式，約分后必須整體加上括號(hào)，因?yàn)樵瓉淼姆謹(jǐn)?shù)線本身就起著括號(hào)的作用，去掉分?jǐn)?shù)線后如果不補(bǔ)括號(hào)，后面的減號(hào)就會(huì)只作用于第一項(xiàng)，導(dǎo)致符號(hào)出錯(cuò)。??知識(shí)點(diǎn)9：互為相反數(shù)的分母的處理。x?2與2?x互為相反數(shù)，即2?x=?(x?2)；同理a?b與b?a互為相反數(shù)。遇到這類分母，先利用分式的符號(hào)法則把它們統(tǒng)一成同一個(gè)形式，再確定最簡公分母，可以避免多算一個(gè)因式。例如3/(x?2)+1=(x?1)/(2?x)，先把右邊寫成?(x?1)/(x?2)，最簡公分母就只是x?2。??知識(shí)點(diǎn)10：解整式方程與結(jié)論書寫。去分母后得到的通常是一元一次方程，按“去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1”的老辦法解即可。求出解以后，必須寫出檢驗(yàn)過程，然后才能下結(jié)論。規(guī)范的結(jié)論寫法是“經(jīng)檢驗(yàn)，x=…是原方程的解”或“經(jīng)檢驗(yàn)，x=…是增根，原方程無解”。缺少檢驗(yàn)的解題過程即使答案對(duì)了也要扣分。??方法點(diǎn)撥記住口訣：“一分解、二找母、三同乘、四求解、五驗(yàn)根、六作答”。去分母時(shí)可以在草稿上把最簡公分母寫在方程上方，然后逐項(xiàng)對(duì)照著乘一遍，乘完打一個(gè)勾，這樣絕不會(huì)漏項(xiàng)。分子是多項(xiàng)式時(shí)，先寫括號(hào)再填內(nèi)容，把括號(hào)當(dāng)成“出廠標(biāo)配”，符號(hào)錯(cuò)誤就會(huì)大幅減少。圖2解分式方程的五步流程：找最簡公分母→去分母化為整式方程→求解→檢驗(yàn)（代入最簡公分母，為零則舍去增根）→下結(jié)論。?第三步：特別提醒?去分母時(shí)不含分母的項(xiàng)千萬不能漏乘最簡公分母，這是本節(jié)最高頻的失分點(diǎn)。?分子是多項(xiàng)式時(shí)，約分后一定要加括號(hào)，例如(x?1)/(x?2)乘(x?2)得到的是(x?1)，而不是x?1后面直接接減號(hào)。?分母能因式分解的一定要先分解，否則找出的公分母往往不是最簡的，會(huì)白白增加運(yùn)算量，還容易在驗(yàn)根時(shí)算錯(cuò)。?解完整式方程只是走完一半路程，沒有檢驗(yàn)的答案是不完整的答案。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：解2/(x?3)=3/x時(shí)寫成2x=3x?3。錯(cuò)因：右邊3/x乘以最簡公分母x(x?3)應(yīng)得3(x?3)=3x?9，寫成3x?3是漏乘括號(hào)里的第二項(xiàng)。?規(guī)避：約分后先寫括號(hào)，把整個(gè)因式裝進(jìn)括號(hào)再展開。?錯(cuò)例：解1/x+2=3/(x+1)時(shí)，把常數(shù)項(xiàng)2忘了乘最簡公分母x(x+1)。錯(cuò)因：只盯著有分母的項(xiàng)去約分，忽略了“兩邊每一項(xiàng)都要乘”這條規(guī)則。正確結(jié)果應(yīng)是(x+1)+2x(x+1)=3x。?規(guī)避：逐項(xiàng)打勾法，乘一項(xiàng)勾一項(xiàng)，全部打勾才繼續(xù)往下寫。??第五步：典型例題【例題3】（基礎(chǔ)·★☆☆）解方程：2/(x?3)=3/x。【解】最簡公分母是x(x?3)。方程兩邊同乘x(x?3)，得2x=3(x?3)。去括號(hào)得2x=3x?9，移項(xiàng)得2x?3x=?9，即?x=?9，所以x=9。檢驗(yàn)：當(dāng)x=9時(shí)，x(x?3)=9×6=54≠0。【答案】經(jīng)檢驗(yàn)，x=9是原方程的解。旁批：驗(yàn)根只需代最簡公分母，不必代回原方程逐項(xiàng)計(jì)算。【例題4】（中檔·★★☆）解方程：(x+1)/(x?1)+4/(x2?1)=1。【解】先因式分解：x2?1=(x+1)(x?1)，故最簡公分母為(x+1)(x?1)。兩邊同乘(x+1)(x?1)，得(x+1)2+4=(x+1)(x?1)。展開得x2+2x+1+4=x2?1，移項(xiàng)合并得2x+5=?1，所以2x=?6，x=?3。檢驗(yàn)：當(dāng)x=?3時(shí)，(x+1)(x?1)=(?2)×(?4)=8≠0。【答案】經(jīng)檢驗(yàn)，x=?3是原方程的解。旁批：右邊的1也要乘最簡公分母，得到(x+1)(x?1)，不要漏。【例題5】（中檔·★★☆）解方程：3/(x?2)+1=(x?1)/(2?x)。【解】因?yàn)??x=?(x?2)，所以右邊可化為?(x?1)/(x?2)，最簡公分母是x?2。兩邊同乘x?2，得3+(x?2)=?(x?1)。去括號(hào)得3+x?2=?x+1，即x+1=?x+1，移項(xiàng)得2x=0，所以x=0。檢驗(yàn)：當(dāng)x=0時(shí)，x?2=?2≠0。【答案】經(jīng)檢驗(yàn)，x=0是原方程的解。旁批：先統(tǒng)一相反數(shù)分母，公分母就從(x?2)(2?x)簡化成了x?2。??第六步：隨堂小測(cè)1.解分式方程的基本思路是________，即把分式方程轉(zhuǎn)化為________方程。2.方程1/x+1/(x?1)=0的最簡公分母是________。3.解方程：2/x=3/(x+1)。4.解方程：3/(x?1)=5/(x+1)。5.去分母時(shí)，不含分母的項(xiàng)________（填“要”或“不要”）乘最簡公分母。（三）增根與驗(yàn)根：為什么必須檢驗(yàn)??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?說出增根的定義：使原分式方程的最簡公分母為零的整式方程的根。?解釋增根產(chǎn)生的原因：兩邊同乘的最簡公分母可能為零，變形不等價(jià)。?掌握兩種驗(yàn)根方法，并優(yōu)先選擇“代入最簡公分母”這種簡便方法。?區(qū)分“分式方程無解”的兩種情形，能各舉一例。?明確增根不是計(jì)算錯(cuò)誤，而是變形過程帶來的必然現(xiàn)象。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)11：增根的定義。在去分母之后得到的整式方程的根中，如果某個(gè)根使原分式方程的最簡公分母的值為零，那么這個(gè)根就叫做原分式方程的增根，它不是原方程的解，必須舍去。“增”字的含義是“增加出來的、多余的”，它是在變形過程中被人為“制造”出來的。??知識(shí)點(diǎn)12：增根產(chǎn)生的原因。等式性質(zhì)告訴我們，等式兩邊同乘同一個(gè)不為零的數(shù)（式），所得結(jié)果仍是等式。可是去分母時(shí)，我們乘的最簡公分母中含有未知數(shù)，它的值隨未知數(shù)變化，完全可能等于零。當(dāng)它為零時(shí)，這一步就不是同解變形了：原方程無意義的那些數(shù)，反而可能滿足去分母后的整式方程。于是整式方程的解集就比原方程的解集“大”了一圈，多出來的部分就是增根。理解了這一點(diǎn)，你就明白檢驗(yàn)不是老師額外加的要求，而是數(shù)學(xué)邏輯上必需的一步。??知識(shí)點(diǎn)13：驗(yàn)根的兩種方法。方法一（推薦）：把整式方程的解代入最簡公分母，若結(jié)果不為零，則它是原方程的解；若結(jié)果為零，則它是增根，舍去。方法二：把解代入原方程的每一個(gè)分母（或直接代回原方程），逐一檢查是否為零、兩邊是否相等。方法一運(yùn)算量小、不易出錯(cuò)，是考試中的標(biāo)準(zhǔn)寫法；方法二更本質(zhì)，適合在檢查時(shí)使用。??知識(shí)點(diǎn)14：分式方程無解的兩種情形。第一種：去分母后得到的整式方程本身無解，例如化簡后出現(xiàn)0·x=5這樣的矛盾式；第二種：整式方程有解，但求出的解全都是增根，被舍去后一個(gè)也不剩。做含參數(shù)的題目時(shí)，這兩種情形都要考慮，漏掉任何一種都會(huì)丟分。反過來說，“分式方程無解”并不等于“整式方程無解”，兩者是包含關(guān)系。??知識(shí)點(diǎn)15：增根的“預(yù)判”技巧。在動(dòng)筆解方程之前，就可以先把最簡公分母寫出來，令它等于零，解出“可能的增根”。例如最簡公分母是(x?1)(x+2)時(shí)，可能的增根只有x=1和x=?2兩個(gè)。這樣一來，等整式方程解出來以后，只要看它是不是落在這兩個(gè)數(shù)上就行，幾乎不用計(jì)算。這個(gè)技巧在處理含參數(shù)的題目時(shí)尤其好用。??方法點(diǎn)撥把驗(yàn)根想象成“安檢”：整式方程放行的旅客里，可能混進(jìn)了原方程不允許的人。安檢的標(biāo)準(zhǔn)只有一條——會(huì)不會(huì)讓最簡公分母變成零。會(huì)，就請(qǐng)出去（舍去增根）；不會(huì)，就是合法的解。養(yǎng)成寫“檢驗(yàn)：當(dāng)x=…時(shí)，最簡公分母=…≠0”這一行的習(xí)慣，一行字就能拿到完整的過程分。圖3一道產(chǎn)生增根的分式方程的完整求解與檢驗(yàn)示意：整式方程解出x=1，但它使最簡公分母為零，是增根，原方程無解。?第三步：特別提醒?增根不是算錯(cuò)的結(jié)果。它是去分母這一變形本身帶來的，即使每一步計(jì)算都正確，也可能出現(xiàn)增根。?增根必須是整式方程的根，同時(shí)又使最簡公分母為零，兩個(gè)條件缺一不可。僅僅使分母為零但不是整式方程的根的數(shù)，不叫增根。?“原方程無解”和“x=增根”是兩種不同的答案寫法，結(jié)論欄要寫“原方程無解”，不能寫“x=1”。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：解出x=5后發(fā)現(xiàn)它使分母為零，于是回頭把計(jì)算重做一遍，認(rèn)定自己算錯(cuò)了。錯(cuò)因：不理解增根的來源，誤以為“出現(xiàn)增根=算錯(cuò)了”。事實(shí)上出現(xiàn)增根恰恰說明變形正確而原方程無解。?規(guī)避：先復(fù)核一遍去分母是否漏乘，若無誤則大膽寫“是增根，原方程無解”。?錯(cuò)例：求出解后直接寫答案，完全不寫檢驗(yàn)。錯(cuò)因：把分式方程當(dāng)成一元一次方程處理。分式方程的解題過程中，檢驗(yàn)是不可省略的必要環(huán)節(jié)，缺失就要扣過程分。?規(guī)避：把“檢驗(yàn)”寫進(jìn)解題模板，做到解一題寫一行檢驗(yàn)。??第五步：典型例題【例題6】（中檔·★★☆）解方程：x/(x?1)?1=3/。【解】最簡公分母為(x?1)(x+2)，可能的增根是x=1或x=?2。兩邊同乘(x?1)(x+2)，得x(x+2)?(x?1)(x+2)=3。展開得x2+2x?(x2+x?2)=3，即x2+2x?x2?x+2=3，化簡得x+2=3，所以x=1。檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，(x?1)(x+2)=0×3=0，故x=1是增根，必須舍去。【答案】原方程無解。旁批：整式方程有解，但唯一的解被判為增根，所以原方程一個(gè)解也沒有。【例題7】（中檔·★★☆）解方程：1/(x?5)=10/(x2?25)。【解】因?yàn)閤2?25=(x+5)(x?5)，最簡公分母為(x+5)(x?5)，可能的增根為x=5或x=?5。兩邊同乘(x+5)(x?5)，得x+5=10，所以x=5。檢驗(yàn)：當(dāng)x=5時(shí)，(x+5)(x?5)=10×0=0，故x=5是增根，舍去。【答案】原方程無解。旁批：這是教材上的經(jīng)典例題，務(wù)必記住這種“先分解、后判增根”的處理順序。??第六步：隨堂小測(cè)1.使最簡公分母為________的根叫做增根，必須________。2.方程1/(x?5)=10/(x2?25)的解是________。3.分式方程無解有________種情形。4.驗(yàn)根時(shí)最簡便的做法是把根代入________。5.判斷：分式方程產(chǎn)生增根是因?yàn)橛?jì)算出錯(cuò)。（）（四）分式方程的應(yīng)用：列方程解實(shí)際問題??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?熟記列分式方程解應(yīng)用題的六個(gè)步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。?掌握工程問題、行程問題、銷售問題的基本數(shù)量關(guān)系。?理解“雙檢驗(yàn)”：既檢驗(yàn)是否為增根，又檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義。?會(huì)用列表法或線段圖梳理題目中的等量關(guān)系。?能用完整規(guī)范的語言寫出應(yīng)用題的解答過程。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)16：列分式方程解應(yīng)用題的六個(gè)步驟。①審：讀懂題意，弄清已知量、未知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系；②設(shè)：設(shè)出未知數(shù)（可以直接設(shè)也可以間接設(shè)），并注明單位；③列：根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程；④解：按去分母、解整式方程的辦法求解；⑤驗(yàn)：雙檢驗(yàn)，先檢驗(yàn)是否為增根，再檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義（如速度、人數(shù)、天數(shù)必須為正數(shù)，人數(shù)還要是整數(shù)）；⑥答：寫出完整的答語，回答題目所問。??知識(shí)點(diǎn)17：工程問題的數(shù)量關(guān)系。工作總量=工作效率×工作時(shí)間。當(dāng)題目沒有給出具體工作量時(shí)，通常把總工作量看作單位1，那么“單獨(dú)完成需要x天”就意味著“每天完成總量的1/x”。合作時(shí)效率相加，這就是列方程的依據(jù)。例如甲、乙合作t天完成全部工作，可列t(1/a+1/b)=1。??知識(shí)點(diǎn)18：行程問題的數(shù)量關(guān)系。路程=速度×?xí)r間，因此時(shí)間=路程÷速度。當(dāng)速度是未知數(shù)時(shí)，時(shí)間就成了分式，等量關(guān)系往往體現(xiàn)在“時(shí)間差”上，例如“甲比乙早到30分鐘”“騎車比步行少用20分鐘”。列方程前一定要統(tǒng)一單位：小時(shí)與分鐘、千米與米不能混用。??知識(shí)點(diǎn)19：銷售與效率問題的數(shù)量關(guān)系。數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量。當(dāng)單價(jià)未知時(shí)，數(shù)量就是分式，等量關(guān)系常常體現(xiàn)在“數(shù)量相同”“數(shù)量差為若干”上。類似地，人均量、單位面積產(chǎn)量等問題也都會(huì)產(chǎn)生分式方程。這類問題的關(guān)鍵是分清哪個(gè)量是“總量”，哪個(gè)量是“單位量”。??知識(shí)點(diǎn)20：梳理關(guān)系的兩個(gè)工具。表格法：把“總量、單位量、份數(shù)”三行或“路程、速度、時(shí)間”三列填成表，未知數(shù)填x，其余用含x的式子表示，等量關(guān)系一目了然。線段圖法：用線段的長短表示路程或工作量，用括號(hào)標(biāo)出“差”與“和”，特別適合行程問題。兩種工具都能把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為可見的結(jié)構(gòu)，是應(yīng)用題得分的關(guān)鍵。??方法點(diǎn)撥列方程時(shí)先找“等量關(guān)系句”，那句話通常帶有“相同、相等、一共、比……多、比……少、提前、推遲”等字眼。找到它，把左邊和右邊分別翻譯成含x的式子，中間畫等號(hào)，方程就列好了。解完以后，不要忘記回頭讀一遍題目問的是什么——很多同學(xué)求出了速度卻忘了題目問的是時(shí)間。?第三步：特別提醒?應(yīng)用題的檢驗(yàn)是“雙檢驗(yàn)”，只寫“不是增根”還不夠，還要說明結(jié)果符合實(shí)際意義。?單位必須統(tǒng)一：題目中出現(xiàn)“分鐘”與“小時(shí)”混用時(shí)，先換算再列式。?設(shè)未知數(shù)時(shí)要寫清含義和單位，例如“設(shè)步行速度為x米/分”，不能只寫“設(shè)為x”。?答語要完整回答題目所問，若題目問“哪個(gè)隊(duì)快”，就要比較后給出結(jié)論，而不是只報(bào)出數(shù)字。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：行程問題中把“少用20分鐘”直接寫成時(shí)間差等于20，而路程用米、速度用米/分。錯(cuò)因：這次其實(shí)是對(duì)的，但若速度單位是米/秒，時(shí)間差就應(yīng)寫成1200秒。單位不統(tǒng)一是行程問題最大的坑。?規(guī)避：列式前先在題目旁標(biāo)注統(tǒng)一單位，全程只用這一套單位。?錯(cuò)例：解出x=?3后直接作答“速度為?3千米/時(shí)”。錯(cuò)因：忽略了實(shí)際意義檢驗(yàn)。速度、時(shí)間、人數(shù)、單價(jià)都必須為正數(shù)，負(fù)數(shù)解應(yīng)當(dāng)舍去；若兩個(gè)解都不符合實(shí)際，則說明題目條件矛盾。?規(guī)避：寫檢驗(yàn)時(shí)分兩句：第一句判增根，第二句判實(shí)際意義。??第五步：典型例題【例題8】（中檔·★★☆·工程問題）兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成。哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？【解】設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x個(gè)月完成全部工程，則乙隊(duì)每月完成總量的1/x，甲隊(duì)每月完成總量的1/3。依題意得1/3+(1/3+1/x)×1/2=1。去分母，兩邊同乘6x，得2x+x+3=6x，移項(xiàng)合并得3x=3，所以x=1。檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，6x=6≠0，且x=1>0符合實(shí)際意義。【答案】乙隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月可以完成全部工程，而甲隊(duì)需要3個(gè)月，所以乙隊(duì)的施工速度快。旁批：把總工程量看作1是工程問題的標(biāo)準(zhǔn)處理方式。【例題9】（中檔·★★☆·行程問題）小明從家到學(xué)校的路程是3000米。他騎自行車的速度是步行速度的3倍，騎車比步行少用20分鐘。求小明步行和騎車的速度各是多少。【解】設(shè)小明步行的速度為x米/分，則騎車速度為3x米/分。步行用時(shí)3000/x分，騎車用時(shí)3000/(3x)分。依題意得3000/x?3000/(3x)=20。最簡公分母為3x，兩邊同乘3x得9000?3000=60x，即6000=60x，所以x=100。檢驗(yàn)：當(dāng)x=100時(shí)，3x=300≠0，且x=100>0符合實(shí)際意義。【答案】步行速度為100米/分，騎車速度為300米/分。旁批：可回代驗(yàn)算，步行30分、騎車10分，恰好相差20分。【例題10】（中檔·★★☆·銷售問題）某商店用2000元購進(jìn)一批甲種文具，又用2400元購進(jìn)一批乙種文具，乙種文具的單價(jià)比甲種文具的單價(jià)高2元，兩批文具的數(shù)量相同。求甲種文具的單價(jià)。【解】設(shè)甲種文具的單價(jià)為x元，則乙種文具的單價(jià)為(x+2)元。由“數(shù)量相同”得2000/x=2400/(x+2)。最簡公分母為x(x+2)，兩邊同乘得2000(x+2)=2400x，去括號(hào)得2000x+4000=2400x，移項(xiàng)得400x=4000，所以x=10。檢驗(yàn)：當(dāng)x=10時(shí)，x(x+2)=10×12=120≠0，且x=10>0符合實(shí)際意義。【答案】甲種文具的單價(jià)為10元（乙種為12元，兩批各200件）。旁批：“數(shù)量相同”就是本題的等量關(guān)系句。??第六步：隨堂小測(cè)1.列分式方程解應(yīng)用題的六個(gè)步驟是：審、設(shè)、列、解、________、答。2.工程問題中通常把總工作量看作________。3.行程問題的基本關(guān)系式是________。4.應(yīng)用題的檢驗(yàn)要做________次：既檢驗(yàn)是否為增根，又檢驗(yàn)是否符合________。5.甲每小時(shí)做x個(gè)零件，乙每小時(shí)比甲多做5個(gè)，甲做60個(gè)與乙做80個(gè)所用時(shí)間相同，可列方程________。（五）含參數(shù)的分式方程（拓展提升）??第一步：預(yù)習(xí)目標(biāo)?會(huì)由“方程有增根”這一條件反過來求出參數(shù)的值。?會(huì)由“方程無解”這一條件求參數(shù)，并考慮到兩種情形。?會(huì)由“解為正數(shù)（或負(fù)數(shù)）”求參數(shù)的取值范圍，并記得排除增根。?體會(huì)分類討論思想在含參問題中的作用。??第二步：知識(shí)清單??知識(shí)點(diǎn)21：已知有增根求參數(shù)。三步走：①令最簡公分母等于零，求出可能的增根；②把原分式方程去分母，化為含參數(shù)的整式方程；③把增根代入這個(gè)整式方程，解出參數(shù)。注意增根必須同時(shí)滿足這兩個(gè)條件，所以代入的是去分母后的整式方程，而不是原分式方程（原方程在增根處根本沒有意義）。??知識(shí)點(diǎn)22：已知無解求參數(shù)。必須分兩類討論：第一類，去分母后的整式方程無解（當(dāng)整式方程整理成kx=b的形式時(shí)，k=0且b≠0）；第二類，整式方程有解但解是增根。兩類分別求出參數(shù)值，最后取并集。很多同學(xué)只想到第二類就交卷，白白丟分，這正是本知識(shí)點(diǎn)的價(jià)值所在。??知識(shí)點(diǎn)23：已知解的符號(hào)求參數(shù)范圍。先把方程解出來，得到用參數(shù)表示的解x=f(m)；再按題目要求列不等式（解為正數(shù)就令f(m)>0）；最后排除使解成為增根的參數(shù)值，也就是把f(m)等于可能增根時(shí)對(duì)應(yīng)的m剔除掉。這一步幾乎每次都會(huì)被遺漏，請(qǐng)務(wù)必牢記：范圍題的答案通常形如“m<a且m≠b”。??方法點(diǎn)撥含參問題的通用套路是“先當(dāng)普通題解，再回頭加條件”。也就是說，不管參數(shù)多復(fù)雜，都先把方程按常規(guī)步驟解成x=含參的式子，然后再根據(jù)“有增根”“無解”“解為正”等條件去寫等式或不等式。把參數(shù)當(dāng)成一個(gè)暫時(shí)不知道數(shù)值的常數(shù)即可，不要被字母嚇住。?第三步：特別提醒?“有增根”與“無解”不是同一個(gè)條件：有增根一定要求整式方程有解，而無解還包含整式方程本身無解的情形。?求解的符號(hào)范圍時(shí)，別忘了排除增根對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，答案往往要寫成“且m≠某值”。??第四步：易錯(cuò)點(diǎn)剖析?錯(cuò)例：求“方程無解時(shí)m的值”，只考慮了增根的情形。錯(cuò)因：遺漏了整式方程本身無解的情形，導(dǎo)致答案不完整。?規(guī)避：看到“無解”就寫兩行：情形一、情形二，分別討論后合并。??第五步：典型例題【例題11】（拓展·★★★）若關(guān)于x的方程x/(x?3)?2=m/(x?3)有增根，求m的值。【解】最簡公分母為x?3，令x?3=0得可能的增根x=3。兩邊同乘x?3得x?2(x?3)=m，去括號(hào)得x?2x+6=m，即?x+6=m，所以x=6?m。因?yàn)樵龈莤=3，所以3=6?m，解得m=3。【答案】m=3。旁批：把增根代入的是去分母后的整式方程?x+6=m，不是原分式方程。【例題12】（拓展·★★★）若關(guān)于x的分式方程(2x+m)/(x?3)=1的解是正數(shù)，求m的取值范圍。【解】兩邊同乘x?3，得2x+m=x?3，移項(xiàng)得x=?m?3。要使解是正數(shù)，需?m?3>0，即m<?3。又因?yàn)閤≠3（否則為增根），所以?m?3≠3，即m≠?6。綜合得m<?3且m≠?6。【答案】m<?3且m≠?6。旁批：漏掉“m≠?6”是本類題最典型的失分點(diǎn)。??第六步：隨堂小測(cè)1.關(guān)于x的方程x/(x?3)?2=m/(x?3)若有增根，則增根為x=________。2.上題中m=________。3.若分式方程(2x+m)/(x?3)=1的解為正數(shù)，則m的取值范圍是________。4.分式方程無解包含“整式方程________”和“整式方程的解是________”兩種情形。三、本節(jié)思維導(dǎo)圖（中心：18.5分式方程）┌─概念：分母中含有未知數(shù)的方程（只看分母，不看分子）├─隱含條件：各分母都不為零├─解法：去分母→解整式方程→檢驗(yàn)→下結(jié)論│├─最簡公分母：先因式分解，取各因式最高次冪之積│└─去分母：每項(xiàng)都乘，分子多項(xiàng)式要加括號(hào)├─增根：整式方程的根+使最簡公分母為零?舍去│└─無解兩情形：整式方程無解/解全是增根├─應(yīng)用：審設(shè)列解驗(yàn)答（雙檢驗(yàn)）；工程/行程/銷售└─含參：有增根求參/無解求參/解的符號(hào)求范圍圖418.5分式方程知識(shí)結(jié)構(gòu)圖：概念、解法、增根、應(yīng)用四條主線及其下位知識(shí)點(diǎn)。四、本節(jié)核心概念速查卡??分式方程：分母中含有未知數(shù)的方程。判別只看分母。??隱含條件：各分母都不為零，解題前先寫出來。??基本思路：去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（轉(zhuǎn)化思想）。??最簡公分母：各分母因式分解后，所有因式取最高次冪的乘積。??五個(gè)步驟：找公分母→去分母→解整式方程→檢驗(yàn)→下結(jié)論。??去分母要點(diǎn)：每項(xiàng)都乘，不漏乘；分子是多項(xiàng)式要加括號(hào)；相反數(shù)分母先統(tǒng)一。??增根：整式方程的根，且使最簡公分母為零，必須舍去。??增根成因：兩邊同乘的最簡公分母可能為零，變形不等價(jià)，解集被擴(kuò)大。??驗(yàn)根方法：把解代入最簡公分母：不為零是解，為零是增根。??無解兩情形：整式方程無解；或整式方程的解全是增根。??應(yīng)用六步：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答；其中“驗(yàn)”是雙檢驗(yàn)。??三類模型：工程（總量看作1）、行程（時(shí)間差）、銷售（數(shù)量相同或數(shù)量差）。??含參三型：有增根求參、無解求參（分兩類）、解的符號(hào)求范圍（記得排除增根）。記憶口訣：分母有元分式方程，去分母時(shí)莫漏項(xiàng)；括號(hào)補(bǔ)齊符號(hào)穩(wěn)，公分母里驗(yàn)真章；為零即是增根現(xiàn)，舍去之后寫無解；應(yīng)用題目雙檢驗(yàn)，正數(shù)整數(shù)合情理。五、本節(jié)易錯(cuò)點(diǎn)匯總1.【判別失誤】看到分?jǐn)?shù)線就當(dāng)分式方程，忽略了分母是數(shù)字或常數(shù)字母的情形。2.【漏乘項(xiàng)】去分母時(shí)不含分母的常數(shù)項(xiàng)、整式項(xiàng)忘了乘最簡公分母，導(dǎo)致方程整體失衡。3.【缺括號(hào)】分子是多項(xiàng)式時(shí)約分后不加括號(hào)，減號(hào)只作用于第一項(xiàng)，符號(hào)全錯(cuò)。4.【不驗(yàn)根】求出整式方程的解就直接作答，既可能把增根當(dāng)成解，又要被扣過程分。5.【誤判增根】出現(xiàn)增根就以為自己算錯(cuò)，反復(fù)重算浪費(fèi)時(shí)間；其實(shí)這說明原方程無解。6.【公分母不最簡】分母沒有先因式分解，取了過大的公分母，運(yùn)算量翻倍還容易出錯(cuò)。7.【符號(hào)處理】遇到x?2與2?x這類相反數(shù)分母不做統(tǒng)一，硬取乘積作公分母。8.【單檢驗(yàn)】應(yīng)用題只檢驗(yàn)增根，不檢驗(yàn)實(shí)際意義，把負(fù)數(shù)速度、非整數(shù)人數(shù)當(dāng)成答案。9.【無解漏情形】含參數(shù)求“無解”時(shí)只考慮增根，遺漏整式方程本身無解的情形。10.【范圍漏排除】求解的符號(hào)范圍時(shí)忘記排除使解成為增根的參數(shù)值，答案少寫“且m≠某值”。六、本節(jié)分層自測(cè)卷（共10題）A層·基礎(chǔ)鞏固（5題）1.下列方程中是分式方程的是（）。A.(x?1)/2=3B.3/x?1=0C.x/2+x/3=1D.(2x+1)/5=x2.方程5/(x?1)=2的解是x=________。3.解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘的是________________。4.解方程：2/x=3/(x+1)。5.分式方程的解必須經(jīng)過________，使最簡公分母為________的根是增根，應(yīng)當(dāng)舍去。B層·能力提升（3題）6.解方程：x/(x+1)=2x/(3x+3)+1。7.解方程：3/(x?2)+1=(x?1)/(2?x)。8.某工程隊(duì)要修一條長1200米的道路，實(shí)際工作效率是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前2天完成。求原計(jì)劃每天修路多少米。C層·拓展挑戰(zhàn)（2題）9.若關(guān)于x的分式方程2/(x?1)=m/(x?1)+3無解，求m的值。10.說理題：為什么解分式方程必須驗(yàn)根？請(qǐng)結(jié)合“去分母時(shí)兩邊同乘的式子可能為零”作出說明，并舉出一個(gè)產(chǎn)生增根的具體例子。七、參考答案與解析【隨堂小測(cè)（一）分式方程的概念】1.未知數(shù)；2.B（只有B的分母x含未知數(shù)）；3.x≠2；4.不是（a是常數(shù)，不是未知數(shù)）；5.≠。【隨堂小測(cè)（二）解分式方程的步驟】1.去分母；整式；2.x(x?1)；3.兩邊同乘x(x+1)得2(x+1)=3x，解得x=2，檢驗(yàn)x(x+1)=6≠0，故x=2；4.兩邊同乘(x?1)(x+1)得3(x+1)=5(x?1)，解得x=4，檢驗(yàn)(x?1)(x+1)=15≠0，故x=4；5.要。【隨堂小測(cè)（三）增根與驗(yàn)根】1.零；舍去；2.無解（去分母得x+5=10，x=5是增根）；3.兩；4.最簡公分母；5.錯(cuò)誤（增根由變形本身產(chǎn)生，不是計(jì)算錯(cuò)誤）。【隨堂小測(cè)（四）分式方程的應(yīng)用】1.驗(yàn)；2.1（單位1）；3.路程=速度×?xí)r間；4.兩；實(shí)際意義；5.60/x=80/(x+5)（解得x=15，檢驗(yàn)x(x+5)=300≠0且符合實(shí)際，甲每小時(shí)15個(gè)、乙每小時(shí)20個(gè)）。【隨堂小測(cè)（五）含參數(shù)的分式方程】1.3；2.3；3.m<?3且m≠?6；4.無解；增根。【分層自測(cè)卷·A層】1.B；2.兩邊同乘x?1得5=2(x?1)，即2x=7，x=7/2，檢驗(yàn)x?1=5/2≠0，故x=7/2（即3.5）；3.最簡公分母；4.兩邊同乘x(x+1)得2(x+1)=3x，去括號(hào)得2x+2=3x，所以x=2，檢驗(yàn)x(x+1)=6≠0，故x=2是原方程的解；5.檢驗(yàn)；零。【分層自測(cè)卷·B層】6.因?yàn)?x+3=3(x+1)，最簡公分母為3(x+1)。兩邊同乘3(x+1)得3x=2x+3(x+1)，去括號(hào)得3x=2x+3x+3，即3x=5x+3，移項(xiàng)得?2x=3，所以x=?3/2。檢驗(yàn)：3(x+1)=3×(?1/2)=?3/2≠0，故x=?3/2是原方程的解。7.因?yàn)??x=?(x?2)，最簡公分母為x?2。兩邊同乘x?2得3+(x?2)=?(x?1)，即x+1=?x+1，移項(xiàng)得2x=0，所以x=0。檢驗(yàn)：x?2=?2≠0，故