2025-2026學年陜西省西安市鄠邑區第四中學高一（下）期末數學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2025-2026學年陜西省西安市鄠邑區第四中學高一（下）期末數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣，則至少出現一枚反面向上的概率為(

)A.23 B.14 C.342.(1?3i)2A.?8+6i B.?8?6i C.8+6i D.8?6i3.已知向量a,b滿足|a+b|=1，A.12 B.13 C.?14.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為邊AD的中點，若AB=a,AC=b，則EBA.14a?34b B.35.已知α，β，γ是三個不同的平面，m，n，l是三條不同的直線，下列命題中正確的是(

)A.若m⊥l，n⊥l，則m//n

B.若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

C.若m⊥α，m//n，則n⊥α

D.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n6.如圖所示，某測量人員在高為100m的山頂A處，測得地面同一直線上的B、C兩點的俯角分別為60°和30°，則B、C兩點的距離為(

)A.1003m

B.100(3?1)m7.某校高二年級16個班參加朗誦比賽的得分如下：

85?86?87?88?89?90?91?91?92?93?93?94?95?97?99?100

則這組數據的下四分位數為(

)A.88 B.88.5 C.89 D.90.58.已知一個正四面體的所有頂點在同一個球面上，若球的體積為32π3，則正四面體的棱長為(

)A.22 B.463 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知i為虛數單位，在復平面內，復數z=2i2+i，以下說法正確的是(

)A.復數z的虛部是45i B.|z|=1

C.復數z的共軛復數是z?=210.甲、乙兩名同學進行投籃比賽，甲每次命中的概率均為0.7，乙每次命中的概率均為0.8，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則下列結論正確的是(

)A.兩人都命中的概率為0.56 B.恰好有一人命中的概率為0.36

C.兩人都沒有命中的概率為0.6 D.至少有一人命中的概率為0.9411.如圖，在棱長為1的正方體中，下列結論正確的是(

)

A.異面直線AC與BC1所成的角為60°

B.直線AB1與平面ABC1D1所成角為45°

C.二面角A?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在△ABC中，若sinAcosB=1一cosAsinB，則這個三角形是

三角形．13.已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10.則1a+1b的最小值為

14.在正三棱錐P?ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：①AC⊥PB；②AC/?/平面PDE；

③AB⊥平面PDE．

其中正確的個數是

．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,2),b=(?3,4)．

(1)求|3a?b|的值；

16.(本小題15分)

周口市舉行“高一年級π節數學競賽”，競賽分為初賽和決賽兩個階段，為了解初賽情況，現從某中學高一年級隨機抽取了200名學生，記錄他們的初賽成績，將數據按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成5組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計高一年級初賽成績的眾數和平均成績(同一組中的數據用該組區間的中點值代替)．

(2)按照分層抽樣從[60,70)和[70,80)兩組中隨機抽取了5名學生，現從已抽取的5名學生中隨機抽取2名，求至少有1名學生的成績在[60,70)內的概率．17.(本小題15分)

已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,a=(a,c?b),b=(sinC+sinB,sinA+sinB)，且a/?/b．

(1)求角C；

(2)若c=318.(本小題17分)

某項選拔共有四輪考核．每輪設有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪的問題的概率分別為45、35、25、15，且各輪問題能否正確回答互不影響．

(Ⅰ)求該選手進入第四輪才被淘汰的概率；

(Ⅱ)求該選手至多進入第三輪考核的概率．

19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，△PAD是邊長為2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E為棱PD的中點．

(1)求證：AE⊥平面PCD；

(2)若直線PC與平面ABCD所成角的正切值為32，求側面PAD與側面PBC所成二面角的大小．

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】CD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】直角

13.【答案】1514.【答案】2

15.【答案】解：(1)3a?b=(6,2)，

∴|3a?b|=36+4=216.【答案】a=0.020，眾數為85，平均成績為77.5

71017.【答案】解：(1)∵a/?/b，a=(a,c?b)，b=(sinC+sinB,sinA+sinB)，

∴a(sinA+sinB)=(c?b)(sinC+sinB)，

∴由正弦定理得a(a?b)=(c?b)(c+b)，

即a2+b2?c2=?ab，

由余弦定理得cosC=a2+b2?c22ab=?12，

又C∈(0,π)，

則C=23π；

18.【答案】解：(Ⅰ)記“該選手能正確回答第i輪的問題”的事件為Ai(i=1,2,3,4)，

則P(A1)=45，P(A2)=35，P(A3)=25，P(A4)=15，

∴該選手進入第四輪才被淘汰的概率19.【答案】證明：(1)在△PAD中，PA=AD，E為PD的中點，所以AE⊥PD，

因為平面PAD⊥平面ABCD.平面PAD∩平面ABCD=AD，AD⊥CD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，

因為AE?平面PAD，所以AE⊥CD，

因為CD?平面PCD，PD?平面PCD，PD∩CD=D，

所以AE⊥平面PCD；

解：(2)取AD的中點M，連接PM，MC，

在△PAD中，PA=PD=2，所以PM⊥AD,PM=3，

因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

PM?平面PAD，所以PM⊥平面ABCD，

所以∠PCM為直線PC與平面ABCD所成的角，

在Rt△PMC中，tan∠PCM=PMMC=32，

所以MC=2，

在Rt△MCD中，MD=1，

所以DC=22?12=3