2026年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（二卷）（含詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2026年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題（二卷）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，，則（

）A． B． C． D．4．設(shè)雙曲線：（，）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．5．已知棱臺(tái)的上、下底面均是有一個(gè)內(nèi)角為的菱形，上、下底面的邊長(zhǎng)分別為2，3，該棱臺(tái)的高為，則其體積為（

）A． B． C． D．6．把甲、乙、丙、丁等8位員工分為A、B兩個(gè)技術(shù)公關(guān)組，要求每組4人，其中甲、乙同組，丙、丁不同組，則分組方案共有（

）A．10種 B．12種 C．16種 D．24種7．已知為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．8．已知是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．， B．，C．， D．，二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．已知：，：，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為B．當(dāng)時(shí)，與軸相切C．當(dāng)時(shí)，與相切D．當(dāng)與相交時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)所在直線的方程為10．設(shè)等比數(shù)列的公比，，，記其前項(xiàng)和為，則（

）A． B．C． D．11．已知拋物線：，斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，等邊三角形的頂點(diǎn)A在E上，頂點(diǎn),均在上，下列結(jié)論正確的有（

）A．E的準(zhǔn)線方程為B．若與E沒有公共點(diǎn)，則C．若與的唯一公共點(diǎn)為，則E的焦點(diǎn)在直線上D．若，則面積的最小值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則__________．13．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．14．已知球的體積為，A，B，C，D四點(diǎn)均在球O的球面上，為等邊三角形，，則的面積為__________．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15．從某廠生產(chǎn)的某種電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了若干件進(jìn)行試驗(yàn)，測(cè)試它們首次出現(xiàn)故障的時(shí)間（單位：天），由試驗(yàn)結(jié)果得到如下頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這種電子產(chǎn)品首次出現(xiàn)故障的時(shí)間的第一四分位數(shù)及中位數(shù)（假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布）；(2)設(shè)為1件這種電子產(chǎn)品首次出現(xiàn)故障的時(shí)間小于365天的概率估計(jì)值．（ⅰ）求；（ⅱ）該廠向某用戶銷售100件這種電子產(chǎn)品，記X為這100件電子產(chǎn)品中首次出現(xiàn)故障的時(shí)間小于365天的件數(shù)，假設(shè)，求，．16．如圖，三棱錐中，點(diǎn)在上，，，．(1)證明：；(2)若，，，．求直線與平面所成角的正弦值．17．在中，已知，．(1)證明：為鈍角三角形；(2)若的面積為，求的周長(zhǎng)．18．已知橢圓：（），過(guò)E的右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線被截得的線段長(zhǎng)為．(1)求的離心率．(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定點(diǎn)，為上的點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線，垂足為，直線與直線的交點(diǎn)為．當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為．（ⅰ）求的方程；（ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，有對(duì)稱中心？當(dāng)有對(duì)稱中心時(shí)，將平移后得到曲線，使得為的對(duì)稱中心，說(shuō)明是什么曲線.19．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求，；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，，求的最小值．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【詳解】2．A【詳解】由題可得，所以3．D【詳解】由，得，所以，即；由，得，所以，即.兩式相減，得，所以.4．B【分析】把點(diǎn)和代入雙曲線方程求出，再求出漸近線方程即可.【詳解】把點(diǎn)和，代入雙曲線方程可得，所以雙曲線方程為，故該雙曲線漸近線方程為.5．D【分析】分別求出棱臺(tái)的上底面面積和下底面面積，再根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求得該棱臺(tái)的體積.【詳解】由題意，得棱臺(tái)的上底面面積為，下底面面積為，所以該棱臺(tái)的體積為.6．C【分析】對(duì)甲、乙兩人都在A小組和B小組進(jìn)行分類，結(jié)合計(jì)數(shù)原理求解即可.【詳解】情況1：甲、乙兩人都在A小組，安排丙、丁：丙、丁中必須有一個(gè)在A組，另一個(gè)在B組.若丙在A組，丁在B組：此時(shí)A組已有{甲,乙,丙}，還差1人；B組已有{丁}，還差3人，則從剩余4人中選1人進(jìn)A組，方案數(shù)為.若丁在A組，丙在B組：同理，方案數(shù)為.所以當(dāng)甲、乙在A組時(shí)，方案數(shù)為種.情況2：甲、乙兩人都在B小組，甲、乙在B組的情況與在A組的情況完全一致，安排丙、丁：同樣是丙在A組或丁在A組兩種情況，方案數(shù)各為，所以當(dāng)甲、乙在B組時(shí)，方案數(shù)為種.故所有分配方案共有種.7．C【分析】利用二倍角公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合角的范圍分別求出，即可求解.【詳解】由，得：因?yàn)槭堑诙笙藿牵裕?jiǎn)得：，即由于，解得：，因?yàn)椋裕?．D【分析】根據(jù)推出周期性，分析可得，得到，再由可得.【詳解】，則，，即的周期為，結(jié)合奇偶性，周期性，故，在上滿足，說(shuō)明的對(duì)稱軸為，則，解得，又根據(jù)知，而，則，于是，即，解得9．BC【分析】對(duì)于A，求出的圓心坐標(biāo)即可判斷；對(duì)于B，利用圓心到的距離即可判斷；對(duì)于C，求出兩個(gè)圓的圓心距與半徑之差，半徑之和比較即可判斷；對(duì)于D，將兩個(gè)圓的方程相減化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】由：，化簡(jiǎn)可得，所以，的圓心，半徑，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得的半徑，所以圓心到軸的距離，即與軸相切，故B正確；對(duì)于C，由，得的半徑，由于的圓心為，半徑，所以，則與內(nèi)切，故C正確；對(duì)于D，由，化簡(jiǎn)得：，所以與兩個(gè)交點(diǎn)所在直線的方程為，故D錯(cuò)誤.10．ACD【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求解可得的值，判斷A；利用特值法可判斷B；根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得，，化簡(jiǎn)可判斷C；求出，由的取值情況，結(jié)合不等式的性質(zhì)，判斷D.【詳解】由等比數(shù)列的公比為，則，即.因?yàn)椋裕?因?yàn)椋裕裕矗訟正確.因?yàn)椋瑒t，所以B錯(cuò)誤.，，所以C正確.，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)椋凰裕裕矗訢正確.11．ABD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)拋物線方程得，進(jìn)而得出準(zhǔn)線方程；B選項(xiàng)，設(shè)直線為，和拋物線方程聯(lián)立消去，令求解；C選項(xiàng)，先根據(jù)直線和拋物線相切，求出切點(diǎn)，假設(shè)過(guò)焦點(diǎn)，則得到，根據(jù)兩直線的夾角的公式推出的正切值，從而判斷；D選項(xiàng)，可將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最小值來(lái)處理.【詳解】A選項(xiàng)，，則，故準(zhǔn)線，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，設(shè)直線為，則，聯(lián)立得到，，直線和拋物線無(wú)交點(diǎn)，則，結(jié)合，解得，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由聯(lián)立方程，若與相交于唯一點(diǎn)，只可能是相切，則，解得，此時(shí)，解得，進(jìn)而得，則，若過(guò)焦點(diǎn)（如圖），由于，，而，根據(jù)傾斜角的定義，，，而，此時(shí)的正切值為，即，這與為等邊三角形矛盾，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)，此時(shí)直線方程為，設(shè)，則到的距離為，即等邊三角形的高的最小值為，此時(shí)面積，D選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)方法二：求得，則，，則，則，拋物線E的焦點(diǎn)不在直線上，故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)方法二：到的最小距離可轉(zhuǎn)化為拋物線和平行的切線，求得兩平行線的距離即可，由于，設(shè)直線為，聯(lián)立，得到，由，此時(shí)直線為，由平行線的距離公式可推出直線間距離為，其余同上.12．24【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出公差，再結(jié)合求和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列通項(xiàng)公式，代入可得，解得.因?yàn)椋裕?13．【分析】方法一：令,則即，,轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)正根的問題.方法二：把函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根的問題，再轉(zhuǎn)化為,即函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)問題.【詳解】令，得，即，方法一：令，則，即，,則一元二次方程有兩個(gè)正根，那么，所以，的取值范圍是.方法二：設(shè)，那么設(shè)，則，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，根據(jù)函數(shù)圖象可知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.14．【分析】根據(jù)球的體積得出球的半徑，由正三棱錐的對(duì)稱性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程組求解.【詳解】由球的體積公式，，解得，設(shè)的外心為，連接，由題意知為該三棱錐的高，所以該三棱錐的外接球的球心在上，不妨設(shè)在線段上，連接，設(shè)的邊長(zhǎng)為，由正弦定理可得，，再設(shè)，由題知，，解得（負(fù)值表示球心在線段的延長(zhǎng)線上，實(shí)際情況如右圖），所以，由三角形面積公式，.15．(1)第一四分位數(shù)為，中位數(shù)為；(2)（ⅰ）；（ⅱ），．【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，先確定其大致位置，然后列方程求解；（2）根據(jù)直方圖，先求出小于365天的頻率，作為概率的估計(jì)值，然后利用二項(xiàng)分布的期望和方差求解.【詳解】（1）由直方圖可知，的頻率為，的頻率為，故第一四分位數(shù)在上，設(shè)為，則，解得；的頻率為，的頻率為，故中位數(shù)在上，設(shè)為，則，解得.故第一四分位數(shù)為370，中位數(shù)為381；（2）由直方圖可知，小于365天的頻率為，故，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差公式，，16．(1)證明：因?yàn)榍遥遥云矫?因?yàn)槠矫妫?又，，平面，平面，平面，所以平面，故.(2)【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理證明即可；（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，求解向量和平面的法向量，再結(jié)合向量法求解線面夾角；法二：利用體積法解出設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，進(jìn)而計(jì)算線面夾角.【詳解】（1）略（2）如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，.因?yàn)榍遥?所以，，.設(shè)平面的法向量，則，可得，令，則：，，即.設(shè)與平面所成的角為：所以，所以與平面所成的角的正弦值為.法二：在中，，在中，，由（1）知，則.在中，.在中，.，為直角三角形，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面所成角為，由得：，即，解得：.所以.17．(1)證明：由，則，又，得，則，由兩角和的余弦公式，，結(jié)合可知，則異號(hào)，必然一個(gè)為負(fù)，一個(gè)為正.又，即中必有一個(gè)是鈍角；(2)【分析】（1），結(jié)合題設(shè)得出，然后由兩角和的余弦展開得到，進(jìn)而得解；（2）先推出三角形面積公式的變形式，解得，由正弦定理進(jìn)而得出，然后列余弦定理和面積公式的關(guān)于的方程組求解.【詳解】（1）略（2）方法一：由正弦定理和三角形的面積公式，，（是外接圓半徑）又，，則，解得，又，則，由余弦定理，即，又，則，于是，即，，解得，故周長(zhǎng)為.方法二：由，則，即，由正弦定理可得，，由三角形面積公式，，得到，則，其余同上.18．(1)(2)（i）的方程為；（ii）當(dāng)時(shí)，有對(duì)稱中心；當(dāng)時(shí)，形狀為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓去掉與軸交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，形狀為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線去掉與軸交點(diǎn).【分析】（1）利用過(guò)右焦點(diǎn)垂直于軸的直線被所截線段長(zhǎng)為，通過(guò)求出坐標(biāo)解出線段的長(zhǎng)，求得再求出離心率；（2）(i)通過(guò)聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再反解出點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，從而求出的軌跡的方程；（ii）先對(duì)曲線方程配方，再討論在不同取值時(shí)，中心存在的情況；再通過(guò)平移規(guī)律求出的方程，再討論不同情況下的形狀.【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，其中，那么過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線為，代入橢圓得，即，所以，由于截線段長(zhǎng)為，解得，故，離心率.（2）(i)

方法一：由（1）知橢圓方程為，由于點(diǎn)滿足，且，過(guò)作軸的垂線，交軸于點(diǎn)，那么當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)重合；當(dāng)時(shí)，直線方程為：，直線方程為：，即，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，設(shè)，則由，代入橢圓方程得，即，兩邊乘以得，整理得，把點(diǎn)代入，仍然成立，故軌跡的方程為；方法二：由于，點(diǎn)在軸，故直線必有斜率；設(shè)直線方程為，，那么點(diǎn)，由于軸，則，由于點(diǎn)三點(diǎn)共線，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，把代入橢圓方程：，得，即，整理化簡(jiǎn)，得，故軌跡的方程為；(ii)由（i）得軌跡的方程為，當(dāng)即時(shí)，軌跡的方程為，為拋物線去掉與x軸交點(diǎn)，無(wú)對(duì)稱中心；當(dāng)即且0時(shí)，化簡(jiǎn)軌跡的方程為，將軌跡向左或向右平移個(gè)單位得到的方程為，即，所以當(dāng)時(shí)，形狀為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓去掉與軸交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，形狀為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線去掉與軸交點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，軌跡無(wú)對(duì)稱中心；當(dāng)時(shí)，有對(duì)稱中心；當(dāng)時(shí)，形狀為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓去掉與軸交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，形狀為焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線去掉與軸交點(diǎn).19．(1)(2)(3)【分析】（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義建立方程求解；（2）法一：構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的變化分類討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而由恒成立求解參數(shù)范圍即可；法二：先由必要性探路分析界點(diǎn)，當(dāng)，確定界點(diǎn)；再結(jié)合界點(diǎn)分類討論即可；（3）法一：構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合端點(diǎn)效應(yīng)分析界點(diǎn)，再分類討論可得；法二：分離參數(shù)，結(jié)合洛必達(dá)法則求解.【詳解】（1），由切點(diǎn)在直線上，也在函數(shù)圖象上，可知且，可得；由，則切線的斜率為，解得；故.（2）由（1）知，，則，故題意可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，法一：令，，則，當(dāng)時(shí)，由且，則，即，則在上單調(diào)遞增，又，要使對(duì)任意恒成立，則，解得；當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，，，且，則，即，則在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；綜上所述，的取值范圍為.法二：不等式可轉(zhuǎn)化為，即對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，由，可知，，這與對(duì)任意恒成立矛盾；當(dāng)時(shí)，，，由，故在上單調(diào)遞增，故在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)不等式不成立；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，由，故，故不等式，即恒成立，綜上