初中八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）上冊(cè) 因式分解知識(shí)清單：提公因式法第1課時(shí)

初中八年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版）上冊(cè)因式分解知識(shí)清單：提公因式法第1課時(shí)一、核心概念與定義：揭開(kāi)“整式乘法”的逆運(yùn)算面紗【基礎(chǔ)】【必考】（一）因式分解的定義與本質(zhì)在代數(shù)領(lǐng)域，我們已熟練掌握整式的乘法運(yùn)算，如單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，其本質(zhì)是將幾個(gè)整式的“積”的形式轉(zhuǎn)化為一個(gè)多項(xiàng)式的“和差”形式。而因式分解，正是與整式乘法正好相反的一種恒等變形。因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。這是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的基石5810。（二）因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系【重要】【高頻考點(diǎn)】理解因式分解的關(guān)鍵，在于認(rèn)清它與整式乘法之間的邏輯關(guān)聯(lián)。我們可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的流程圖來(lái)展示這種互逆關(guān)系：整式乘法(Transform)例如：m(a+b+c)=ma+mb+mc因式分解(Transform)1.方向相反：整式乘法是把幾個(gè)整式相乘，得到一個(gè)新的多項(xiàng)式；而因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式相乘的形式。前者是“積化和”，后者是“和化積”。2.恒等變形：無(wú)論是乘法還是因式分解，變形前后的代數(shù)式的值是相等的，它們只是形式不同，但實(shí)質(zhì)相同。這也是“恒等變形”的含義5。3.檢驗(yàn)方法：由于二者互為逆運(yùn)算，我們可以利用整式的乘法去檢驗(yàn)因式分解的結(jié)果是否正確。如果將因式分解的結(jié)果用整式乘法展開(kāi)，能夠得到與原多項(xiàng)式相同的式子，那么分解就是正確的。（三）因式分解的判斷標(biāo)準(zhǔn)【難點(diǎn)】【易錯(cuò)點(diǎn)】判斷一個(gè)變形過(guò)程是否屬于因式分解，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件，缺一不可：1.分解對(duì)象必須是多項(xiàng)式：運(yùn)算的起點(diǎn)必須是一個(gè)多項(xiàng)式，單項(xiàng)式本身已經(jīng)是乘積形式，通常不討論其因式分解。2.分解結(jié)果必須是積的形式：最終結(jié)果必須寫(xiě)成幾個(gè)整式相乘的形式。如果結(jié)果中還有加減運(yùn)算（例如x(x+1)+1），則不是因式分解36。3.每個(gè)因式必須是整式：相乘的每一個(gè)部分都必須是整式，不能出現(xiàn)分式或根式（分母或根號(hào)內(nèi)含有字母）。二、公因式的定義與確定方法：提公因式法的靈魂【核心】【技能】（一）公因式的定義公因式：觀察一個(gè)多項(xiàng)式中的各項(xiàng)，如果它們都含有一個(gè)公共的因式，那么這個(gè)公共的因式就叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式8。例如，在多項(xiàng)式pa+pb+pc中，每一項(xiàng)都含有因式p，那么p就是這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。（二）確定公因式的“三看”法則★【重中之重】【高頻考點(diǎn)】準(zhǔn)確找出公因式，是成功運(yùn)用提公因式法的第一步，也是最關(guān)鍵的一步。我們可以遵循“一看系數(shù)、二看字母、三看指數(shù)”的“三看”法則126：1.一看系數(shù)（數(shù)字部分）：1.2.當(dāng)多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。2.3.示例：對(duì)于多項(xiàng)式8x2y12xy2，系數(shù)8和12的最大公約數(shù)是4。4.二看字母（相同字母）：1.5.公因式應(yīng)取多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的相同字母。2.6.示例：8x2y12xy2中，各項(xiàng)都含有字母x和y。7.三看指數(shù)（最低次冪）：1.8.對(duì)于各項(xiàng)都含有的相同字母，公因式中該字母的指數(shù)取它在各項(xiàng)中指數(shù)最小的那個(gè)（最低次冪）。2.9.示例：8x2y中x的指數(shù)是2，12xy2中x的指數(shù)是1，所以公因式中x的指數(shù)取1；同理，y的指數(shù)取1。（三）綜合示例對(duì)于多項(xiàng)式8x2y12xy2：1.系數(shù)：8和12的最大公約數(shù)是4。2.相同字母：各項(xiàng)都有x和y。3.最低次冪：x的最低次冪是1，y的最低次冪是1。4.所以，公因式為4xy。（四）特殊情況：公因式也可以是多項(xiàng)式【拓展】公因式不僅可以是一個(gè)單項(xiàng)式，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式。例如在多項(xiàng)式m(a+b)+n(a+b)中，公因式就是(a+b)這個(gè)多項(xiàng)式。在找公因式時(shí)，需要將(a+b)視為一個(gè)整體68。三、提公因式法的原理與步驟：從理論到實(shí)踐【方法】【規(guī)范】（一）提公因式法的定義提公因式法：如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式，那么就可以把這個(gè)公因式提取出來(lái)，從而將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法48。其理論依據(jù)是乘法分配律的逆用：ma+mb+mc=m(a+b+c)。（二）提公因式法的標(biāo)準(zhǔn)操作步驟（兩步走）運(yùn)用提公因式法分解因式，可以嚴(yán)格遵循以下兩個(gè)步驟210：1.第一步：找——準(zhǔn)確找出公因式。1.2.嚴(yán)格按照“三看”法則，找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。這是確保后續(xù)步驟正確的基礎(chǔ)。3.第二步：提——提取公因式并確定另一個(gè)因式。1.4.將原多項(xiàng)式除以找出的公因式，所得的商即為另一個(gè)因式。2.5.將公因式寫(xiě)在括號(hào)外，另一個(gè)因式寫(xiě)在括號(hào)內(nèi)，表示為：公因式×(另一個(gè)因式)的形式。（三）操作示例與解析示例1：分解因式：pa+pb+pc1.分析：各項(xiàng)都含有公因式p。2.找：公因式為p。3.提：原式除以p，得(a+b+c)。4.結(jié)果：p(a+b+c)8。示例2：分解因式：8x2y12xy21.分析：根據(jù)“三看”法則，公因式為4xy。2.找：公因式為4xy。3.提：將多項(xiàng)式每一項(xiàng)除以4xy：8x2y÷4xy=2x，12xy2÷4xy=3y。4.結(jié)果：4xy(2x3y)。四、深度剖析：提公因式法中的四大易錯(cuò)點(diǎn)與避坑指南★★【難點(diǎn)】【提分】在初學(xué)階段，學(xué)生常常在以下四個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)出現(xiàn)錯(cuò)誤。掌握這些避坑技巧，是通往滿分的必經(jīng)之路。（一）易錯(cuò)點(diǎn)一：首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)——提負(fù)要變號(hào)【高頻考點(diǎn)】1.典型錯(cuò)誤：當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，直接提取公因式，忽略了負(fù)號(hào)的處理，導(dǎo)致括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)符號(hào)錯(cuò)誤。2.避坑指南：當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)時(shí)，通常要提出“”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)為正。提出“”號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)都要改變符號(hào)（即正變負(fù)，負(fù)變正）。這是因?yàn)樘崛〉囊蚴绞莔，相當(dāng)于各項(xiàng)除以m369。3.示范：1.4.分解：4a2+8ab2a2.5.錯(cuò)誤解法：2a(2a+4b1)或2a(2a+4b)等。3.6.正確解法：先提負(fù)號(hào)，再找公因式；或者將負(fù)號(hào)與公因式一并提出。1.4.7.方法一：先提負(fù)號(hào)，原式=(4a28ab+2a)。再對(duì)括號(hào)內(nèi)提公因式2a，得2a(2a4b+1)。2.5.8.方法二：直接提公因式2a，原式=2a(2a4b+1)。（因?yàn)?a×2a=4a2，2a×(4b)=8ab，2a×1=2a）。（二）易錯(cuò)點(diǎn)二：某項(xiàng)與公因式相同——因同不漏“1”【高頻考點(diǎn)】1.典型錯(cuò)誤：當(dāng)多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)與公因式完全相同時(shí)，提取公因式后，誤以為這一項(xiàng)就消失了，在括號(hào)內(nèi)漏寫(xiě)“1”。2.避坑指南：如果提取的公因式與多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)相同，那么提取后，這一項(xiàng)剩下的因式是“1”，絕對(duì)不能漏寫(xiě)。因?yàn)樵囗?xiàng)式可以理解為：公因式×136。3.示范：1.4.分解：2x2y+6xy22xy2.5.分析：公因式為2xy。3.6.錯(cuò)誤解法：2xy(x+3y)（漏掉了最后的2xy項(xiàng)提出后的+1）4.7.正確解法：2xy(x+3y1)。（因?yàn)?xy÷2xy=1）（三）易錯(cuò)點(diǎn)三：提取后括號(hào)內(nèi)項(xiàng)數(shù)不對(duì)——項(xiàng)數(shù)守恒1.典型錯(cuò)誤：提取公因式后，括號(hào)內(nèi)剩余的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)不一致，通常是由于漏項(xiàng)或合并錯(cuò)誤導(dǎo)致。2.避坑指南：提取公因式后，括號(hào)內(nèi)剩余的項(xiàng)數(shù)必須與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。這是一個(gè)非常直觀的檢驗(yàn)方法。如果一個(gè)多項(xiàng)式有三項(xiàng)，提取公因式后，括號(hào)內(nèi)也必須是三項(xiàng)的代數(shù)和2。3.示范：1.4.分解：5x2y10xy2+15xy2.5.公因式為5xy。3.6.原式有3項(xiàng)，提取后括號(hào)內(nèi)也應(yīng)有3項(xiàng)：5xy(x2y+3)。（四）易錯(cuò)點(diǎn)四：公因式未提盡——分解要徹底1.典型錯(cuò)誤：只提取了部分公因式，結(jié)果中的因式（尤其是括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式）還能繼續(xù)提取公因式或運(yùn)用其他方法分解，導(dǎo)致分解不徹底36。2.避坑指南：因式分解的要求是必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。在提完公因式后，要習(xí)慣性地觀察括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式是否還有公因式可提，或者能否運(yùn)用公式法繼續(xù)分解。3.示范：1.4.分解：4a3b8a2b22.5.不徹底解法：2a2b(2a4b)（括號(hào)內(nèi)的2a4b還有公因式2）3.6.徹底解法：4a2b(a2b)（直接提取最大公因式）五、提公因式法解題規(guī)范與核心技巧總結(jié)（一）規(guī)范的解題書(shū)寫(xiě)格式在解答因式分解題目時(shí)，應(yīng)遵循以下書(shū)寫(xiě)規(guī)范：1.首先確定并寫(xiě)出公因式（可在草稿紙上進(jìn)行，熟練后可省略此步，但心中要有數(shù)）。2.將原式寫(xiě)成“公因式×(剩余部分)”的形式。3.最終結(jié)果要寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式，即單項(xiàng)式因式要寫(xiě)在多項(xiàng)式因式前面，且系數(shù)、字母要化簡(jiǎn)。（二）核心口訣記憶法為了便于記憶和應(yīng)用，可以將提公因式法的要領(lǐng)總結(jié)為以下四句口訣369：1.找準(zhǔn)公因式，一次要提凈：嚴(yán)格按照“三看”法則，找出并提取最大的公因式。2.全家都搬走，留“1”把家守：某一項(xiàng)全部提走時(shí)，必須留下“1”。3.提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶：首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，要提出負(fù)號(hào)并改變各項(xiàng)符號(hào)；當(dāng)公因式是多項(xiàng)式且需要變形時(shí)，要注意指數(shù)奇偶性對(duì)符號(hào)的影響。4.書(shū)寫(xiě)要正確，分解要徹底：注意書(shū)寫(xiě)格式規(guī)范，并確保分解結(jié)果不能再分解。六、常見(jiàn)題型分類(lèi)精析與考向研判【應(yīng)試】【實(shí)戰(zhàn)】（一）題型一：因式分解的概念辨析1.考查方式：通常以選擇題形式出現(xiàn)，給出幾個(gè)從左到右的變形，要求判斷哪個(gè)是因式分解。2.解題關(guān)鍵：緊扣定義三要素：結(jié)果是否為積的形式、每個(gè)因式是否為整式、變形是否為恒等變形。3.例題：下列各式從左到右的變形中，是因式分解的為（）A.x(ab)=axbxB.x21+y2=(x1)(x+1)+y2C.x21=(x+1)(x1)D.ax+bx+c=x(a+b)+c4.分析：A是整式乘法；B和D的結(jié)果都不是純粹的乘積形式，還有加減運(yùn)算；C符合定義。答案選C8。（二）題型二：確定多項(xiàng)式的公因式1.考查方式：直接給出多項(xiàng)式，要求找出其公因式，或作為分解因式的第一步。2.解題關(guān)鍵：熟練運(yùn)用“三看”法則。3.例題：多項(xiàng)式15m3n2+5m2n20m2n3的公因式是（）A.5mnB.5m2nC.5m2n2D.5m2n34.分析：系數(shù)最大公約數(shù)為5；相同字母為m和n；m的最低次冪是2，n的最低次冪是1。所以公因式為5m2n。答案選B。（三）題型三：直接用提公因式法分解因式（基礎(chǔ)題）1.考查方式：作為解答題的直接要求，或作為復(fù)雜計(jì)算題的中間步驟。2.解題關(guān)鍵：嚴(yán)格按照步驟操作，尤其注意符號(hào)和“1”的處理。3.例題：分解因式：3ab2+6a2b9ab4.解答：1.5.確定公因式：系數(shù)3、6、9的最大公約數(shù)為3；都含字母a和b；a最低次冪為1，b最低次冪為1。首項(xiàng)為負(fù)，因此公因式可定為3ab。2.6.提取公因式：原式=3ab×b+(3ab)×(2a)+(3ab)×3（思考過(guò)程）=3ab(b2a+3)？檢驗(yàn)：3ab×b=3ab2，3ab×(2a)=6a2b，3ab×3=9ab。結(jié)果正確。更簡(jiǎn)潔的做法：原式=3ab(b2a+3)。（四）題型四：提公因式法在簡(jiǎn)便計(jì)算中的應(yīng)用【拓展】【熱點(diǎn)】1.考查方式：在有理數(shù)或整式運(yùn)算中，利用提公因式法簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。2.解題關(guān)鍵：觀察數(shù)字或式子的結(jié)構(gòu)，將相同的因數(shù)或因式提取出來(lái)。3.例題1：計(jì)算29×20.25+72×20.25+13×20.2520.25×144.解答：原式=20.25×(29+72+1314)=20.25×100=20258。5.例題2：計(jì)算(2)1?1+(2)1??6.解答：原式=(2)1??×(2)+(2)1??×1=(2)1??×(2+1)=21??×(1)=21??。這里(2)1??=21??8。（五）題型五：利用因式分解解決整除性問(wèn)題【拓展】【綜合】1.考查方式：證明一個(gè)代數(shù)式能被某個(gè)數(shù)整除，或求值。2.解題關(guān)鍵：將代數(shù)式分解成含有這個(gè)因數(shù)或因式的乘積形式。3.例題：求證：81?27?913能被5整除。4.證明：首先將底數(shù)化為同底數(shù)。81?=(3?)?=32?，27?=(33)?=32?，913=(32)13=32?。原式=32?32?32?=32?×(32311)=32?×(931)=32?×5。∵結(jié)果含有因數(shù)5，∴原式能被5整除36。七、思維拓展：多項(xiàng)式作為公因式的處理技巧【培優(yōu)】【難點(diǎn)】（一）符號(hào)變換規(guī)律當(dāng)公因式是一個(gè)多項(xiàng)式，如(ab)和(ba)時(shí)，我們需要掌握它們之間的變換規(guī)律，才能順利提取89。1.互為相反數(shù)：ba=(ab)2.冪的變換規(guī)律：1.3.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(ba)?=(ab)?（因?yàn)橄喾磾?shù)的偶次冪相等）。2.4.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(ba)?=(ab)?（因?yàn)橄喾磾?shù)的奇次冪互為相反數(shù)）。口訣：奇變偶不變6。（二）典型例題解析1.例題：分解因式：4(ab)3+8(ba)22.分析：1.3.觀察指數(shù)：第一個(gè)因式是(ab)3，指數(shù)為3（奇數(shù)）；第二個(gè)因式是(ba)2，指數(shù)為2（偶數(shù)）。2.4.統(tǒng)一底數(shù)：為了方便提取公因式，通常將底數(shù)統(tǒng)一為(ab)或(ba)。這里選擇統(tǒng)一為