廣東省河源市第一中學2025-2026學年八年級下學期期中考試數學試題

廣東省河源市第一中學2025-2026學年八年級下學期期中考試數學試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．環保全稱環境保護，是指人類為解決現實的或潛在的環境問題，協調人類與環境的關系，保障經濟、社會的持續發展而采取的各種行動的總稱．下列環保標志中，既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．如果a>b，那么下列各式中正確的是（）A．a?3<b?3 B．12a<12b 3．△ABC的三邊長分別為a，b，A．a=5，b=6，C．a=6，b=8，4．如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人師傅在焊接立柱時，只用找到BC的中點D，就可以說明豎梁AD垂直于橫梁BC了，工人師傅這種操作方法的依據是（）A．等邊對等角 B．等角對等邊C．垂線段最短 D．等腰三角形“三線合一”5．不等式2x+1<x的解集在數軸上可以表示為（）A． B．C． D．6．下列命題是真命題的是（）A．有一個角是60°的三角形是等邊三角形B．若a>b，則aC．在角的內部，到角的兩邊距離相等的點一定在這個角的平分線上D．三角形的一個外角大于任何一個內角7．三條公路將A、B、C三個村莊連成一個如圖的三角形區域，如果在這個區域內修建一個集貿市場，要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是（）A．三條高線的交點 B．三條中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊垂直平分線的交點8．在Rt△ABC中，∠C=90°，以A為圓心，適當長為半徑畫弧，交AC，AB于D，E兩點，再分別以D，E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧交于點M．作射線AM交BC于點F，若BF=5，BC=9，則點F到AB的距離為（）A．3 B．4 C．4.5 D．59．某校舉行知識競賽，共有30道搶答題，答對一題得5分，答錯或不答扣3分，要使總得分不少于80分，則至少應該答對幾道題？若設答對x道題，可得式子為（）A．5x?330?x>80 C．5x?3x≥80 D．5x?310．如圖，在△ABC中，∠B=37°，將△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處，使點B落在BC的延長線上的D點處，則∠BDE=（）A．84° B．80° C．77° D．74°二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．“x的2倍減去y的3倍的差是負數”，用不等式表示：．12．已知點A1,?3先向上平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度得到點B，則點B的坐標為13．一個多邊形的內角和是其外角和的4倍，則這個多邊形的邊數是.14．如果關于x的不等式2x?3a<?2的解集與2x<4的解集相同，則a=．15．如圖，在△ABD和△ACE中，AB=AD，AC=AE，AB>AC，∠DAB=∠CAE=50°，連接BE，CD交于點F，連接AF．下列結論：①BE=CD；②∠EFC=50°；③AF平分∠DFE；④點A到DC和三、解答題：本大題共8小題，其中第16題10分，第17題6分，第18題8分，第19－21題各9分，第22、23題各12分，共75分．16．解不等式（組）（1）2x?1（2）3x?3<1+2x2x≥17．某市計劃在張村，李村之間建一個活動中心P，張，李兩村坐落在兩相交的筆直公路內（如圖所示）．活動中心P點必須滿足下列條件：①P點到兩條公路的距離相等，②P點到張，李兩村的距離也相等，請你運用尺規作圖法確定P點的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）18．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標系，△ABC的頂點都在格點上．（1）將△ABC向右平移4個單位長度得到△A1B（2）畫出△A1B1C（3）若將△ABC繞某一點旋轉可得到△A19．如圖，在△ABC中，BC邊的垂直平分線交AC邊于點D，連接BD．（1）如圖CE=4，△BDC的周長為18，求BD的長．（2）若∠ADM=60°，∠ABD=20°，求∠A的度數．20．某商場計劃購進甲、乙兩種空調共50臺，這兩種空調的進價、售價如下表所示：類型進價（元/臺）售價（元/臺）甲23002800乙33004000（1）若該商場此次進貨共用去13萬元，則這兩種空調各購進多少臺；（2）若商場規定每種空調至少購進10臺，并且在當月全部銷售完，應怎樣進貨才能使商場在銷售完這批空調時獲利最多，并求出最大利潤．21．如圖，已知直線y1=x+a經過點A?6,0，直線y2=?2x+b（1）根據圖像，直接寫出當x+a<?2x+b時，x的取值范圍是______．（2）求a和b的值；（3）若點P在直線AB上，且S△ADP22．如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關聯方程．例如：方程2x?6=0的解為x=3，不等式組x?1>0x<4的解集為1<x<4．因為1<3<4，所以稱方程2x?6=0為不等式組x?1>0（1）在方程①3x?2=0，②25x+1=0，③x?3x+1（2）若不等式組x?1（3）若方程2x?1=x+2，x+3=2x+12都是關于x的不等式組x<2x?m23．李老師在數學課上開展小組活動，同學們將兩個全等的含30°的直角三角板完全重合放置，固定一個頂點．然后將其中一個直角三角板繞這個頂點旋轉，來探索圖形旋轉的奧妙．已知：如圖1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，AC=AE=2，∠B=∠D=30°．【初識圖形】如圖2，在△ADE繞點A旋轉過程中，當點E恰好落在△ABC的邊AB上時，連接CE、BD．則CE長為___________，BD長為___________．【深度探析】如圖3，在△ADE繞點A旋轉過程中，當AD∥BC時，連接BD、CE，延長CE交BD于點F．（1）∠BCF的度數為___________，∠DEF的度數為___________；（2）求證：點F為線段BD的中點．【拓展探究】在△ADE繞點A旋轉過程中，試探究B、D、E二點能否構成以DE為直角邊的直角三角形．若能，直接寫出線段BE的長；若不能，請說明理由．

答案解析部分1．【答案】D【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形【解析】【解答】解：A．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意．故答案為：D．

【分析】

軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合．根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念逐一判斷即可．2．【答案】D【知識點】不等式的性質【解析】【解答】解：∵a>b，∴a?3>b?3，12a>1∴A，B，C不符合題意；∵a>b，∴?2a<?2b，D符合題意；故選：D．【分析】本題考查不等式的基本性質，熟知不等式的基本性質是解題關鍵．

不等式的基本性質1：兩邊都加或減同一個數或減同一個整式，不等號的方向不變；

不等式的基本性質2：不等式的兩邊都乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變；

不等式的基本性質3：不等式的兩邊都乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變，根據不等式的基本性質判斷即可得出答案．3．【答案】A【知識點】三角形內角和定理；勾股定理的逆定理【解析】【解答】解：A、∵a=5，∴a2∴a2又∵a<b<c，∴△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；B、∵∠B+∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意；C、∵a=6，∴a2又∵a<b<c，∴△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意；D、∵c2∴a2∴△ABC是直角三角形，故此選項不符合題意；故選：A．【分析】判斷直角三角形的方法：若三角形中，兩條較短邊的平方和等于最長邊的平方，該三角形就是直角三角形，用這個結論判斷選項A、C、D，再結合三角形內角和定理判斷選項B即可.4．【答案】D【知識點】等腰三角形的判定；等腰三角形的性質-三線合一【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵BD=CD，∴AD⊥BC，故工人師傅這種操作方法的依據是等腰三角形“三線合一”，故答案為：D【分析】根據等腰三角形判定定理可得△ABC是等腰三角形，再根據其性質即可求出答案.5．【答案】D【知識點】解一元一次不等式；在數軸上表示不等式的解集【解析】【解答】解：2x+1<x，x+1<0，x<?1，數軸表示不等式的解集如下：，故選：D；【分析】解不等式，再將解集在數軸上表示出來即可.6．【答案】C【知識點】三角形外角的概念及性質；等邊三角形的判定與性質；角平分線的判定；真命題與假命題；不等式的性質【解析】【解答】解：A．有一個角是60度的等腰三角形才是等邊三角形，故A是假命題；B．取a=1，b=?2，滿足a>b，但a2C．該選項是角平分線的判定定理，表述正確，故C是真命題；D．三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內角，鈍角三角形中鈍角的外角是銳角，小于該鈍角，故D是假命題．

故答案為：C

【分析】根據等邊三角形判定、不等式性質、角平分線判定定理、三角形外角性質逐項進行判斷即可求出答案.7．【答案】C【知識點】角平分線的性質【解析】【解答】解：要使集貿市場到三條公路的距離相等，那么這個集貿市場應建的位置是三條角平分線的交點．故選：C．【分析】根據角平分線的性質即可求出答案.8．【答案】B【知識點】角平分線的性質；尺規作圖-作角的平分線【解析】【解答】解：過F點作FH⊥AB于H點，如圖，∵BF=5，BC=9，∴FC=BC?BF=4，由作圖痕跡得AM平分∠BAC，∵FC⊥AC，FH⊥AB，∴FH=FC=4，即點F到AB的距離為4．故選：B．【分析】過F點作FH⊥AB于H點，根據邊之間的關系可得FC，再根據角平分線性質即可求出答案.9．【答案】D【知識點】列一元一次不等式【解析】【解答】解：設答對x道題，則答錯或不答的題共30?x道，由題意可得：5x?330?x故答案為：D．【分析】設答對x道題，根據總得分不少于80分列出一元一次不等式求解即可.10．【答案】D【知識點】等腰三角形的性質；旋轉的性質【解析】【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉至△ADE處，∠B=37°，∴∠ADE=∠B=37°，AD=AB，∴∠ADB=∠B=37°，∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=37°+37°=74°，故選D．【分析】根據旋轉性質可得∠ADE=∠B=37°，AD=AB，根據等邊對等角可得∠ADB=∠B=37°，再根據角之間的關系即可求出答案.11．【答案】2x?3y<0【知識點】列一元一次不等式【解析】【解答】解：由題意可得，x的2倍為2x，y的3倍為3y，二者的差是負數，負數小于0，因此列出不等式為2x?3y<0．

故答案為：2x?3y<0【分析】根據題意建立不等式即可求出答案.12．【答案】(3,1)【知識點】沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征【解析】【解答】解：將點A1,?3向上平移4個單位長度，再向右平移2個單位長度得到點B∴點B的坐標為1+2,?3+4，即3,1．

故答案為：(3,1)【分析】根據點的平移即可求出答案.13．【答案】10【知識點】多邊形內角與外角【解析】【解答】解：設這個多邊形的邊數為n，則該多邊形的內角和為(n?2)×180°，依題意得：(n?2)×180°=360°×4，解得：n=10，∴這個多邊形的邊數是10.故答案為：10.【分析】設這個多邊形的邊數為n，則內角和為(n-2)×180°，外角和為360°，結合題意列出關于n的方程，然后求解即可.14．【答案】2【知識點】解一元一次不等式；一元一次不等式的含參問題【解析】【解答】解：2x?3a<?2，解得x<3a?22x<4，解得x<2，∵關于x的不等式2x?3a<?2的解集與2x<4的解集相同，∴3a?22解得a=2，故答案為：2．

【分析】先分別解一元一次不等式得到x<3a?22，x<2，再根據不等式的解集相同可得15．【答案】4【知識點】三角形全等及其性質；等腰三角形的判定與性質；角平分線的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型【解析】【解答】解：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，∴∠DAC=∠BAE，在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABESAS∴BE=CD，故①正確；∵△ADC≌△ABE，∴∠ADC=∠ABE，∵AB=AD，

∴∠ADB=∠ABD，

∵∠DAB=50°，∴∠ADB+∠ABD=180°?50°=130°，∵∠EFD=∠FDB+∠FBD=∠FDB+∠ABD+∠ABE=∠FDB+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=130°，∴∠EFC=180°?∠EFD=50°，故②正確；④過點A作AP⊥CD于點P，AQ⊥BE于點Q，如圖，∵△ADC≌△ABE，∴S△ADC=∴1∴AP=AQ，∴點A到DC和BE的距離相等，故④正確；③∵AP=AQ，AP⊥CD，AQ⊥BE∴點A在∠PFE的平分線上，∴FA平分∠DFE，故③正確．綜上所述，正確的結論是①②③④，共有4個，故答案為：4．【分析】利用SAS證明△ADC≌△ABE，可判斷①；

根據△ADC≌△ABE可得∠ADC=∠ABE，利用三角形內角和及三角形外角的性質可求得∠EFC的度數，從而可判斷②；

根據△ADC≌△ABE，可得S△ADC=S△ABE，DC=BE，再根據面積相等可得AP=AQ，即點A到DC和BE的距離相等，故可判斷④；

根據④可得，點A在16．【答案】（1）解：2x?12x?2?x≤2x+1，2x?x?2x≤1+2，?x≤3，x≥?3．（2）解：3x?3<1+2x①解不等式①可得：x<4，解不等式②可得：x≥?1，所以該不等式組的解集為?1≤x<4．解集作數軸上表示為：???????【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式組【解析】【分析】（1）按照去括號、移項、合并同類項、系數化為1即可求出答案.（2）分別求出兩個不等式的解集，再求出不等式組的解集，再將解集在數軸上表示出來即可求出答案.（1）解：2x?12x?2?x≤2x+1，2x?x?2x≤1+2，?x≤3，x≥?3．（2）解：3x?3<1+2x①解不等式①可得：x<4，解不等式②可得：x≥?1，所以該不等式組的解集為?1≤x<4．解集作數軸上表示為：17．【答案】解：如圖，點P即為所求．【知識點】線段垂直平分線的性質；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線【解析】【分析】利用角平分線的性質和線段垂直平分線的性質分析（作線段CD的垂直平分線EF，作∠AOB的角平分線OT，交EF于點??，點??即為所求）即可.18．【答案】（1）解：如圖1，△A（2）解：如圖2，△A（3）?2,0【知識點】坐標與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移；中心對稱及中心對稱圖形；坐標與圖形變化﹣中心對稱；作圖﹣中心對稱【解析】【解答】（3）解：如圖3，根據圖形可知：旋轉中心的坐標為：?2,0，故答案為：?2,0．【分析】（1）根據平移性質做做圖即可.

（2）根據對稱性質作出點A，B，C關于原點的對稱點，再依次連接即可求出答案.

（3）根據旋轉性質即可求出答案.19．【答案】（1）解：∵BC邊的垂直平分線交AC邊于點D，

∴DC=BD，CE=EB=12BC，

∵EC=4，

∴BE=4，

∴BC=8，

∵△BDC的周長為18，

∴BD+DC+BC=18，（2）解：∵∠ADM=60°，

∴∠CDN=60°，

∵BC邊的垂直平分線交AC邊于點D，

∴∠DEC=90°，

∴∠C=30°，

又∵BD=CD，

∴∠DBC=∠C=30°，

∵∠ABD=20°，

∴∠ABC=50°，

∴∠A=180°?∠C?∠ABC=100°．【知識點】三角形內角和定理；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的性質-等邊對等角【解析】【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到DC=BD，CE=EB=1（2）由對頂角相等的性質得∠CDN=60°，根據垂直的定義得到∠DEC=90°，由（1）知DC=BD，從而根據等腰三角形“等邊對等角”的性質得∠DBC=∠C=30°，進而得∠ABC=50°，最后利用三角形內角和定理進行計算即可.（1）解：∵MN垂直平分BC，∴DC=BD，CE=EB=1又∵EC=4，∴BE=4，∴BC=8，又∵△BDC的周長為18，∴BD+DC+BC=18，∴BD=5．（2）解：∵∠ADM=60°，∴∠CDN=60°．又∵MN垂直平分BC，∴∠DEC=90°，∴∠C=30°．又∵BD=CD，∴∠DBC=∠C=30°，∵∠ABD=20°，∴∠ABC=50°，∴∠A=180°?∠C?∠ABC=100°．20．【答案】（1）解：設購進甲空調x臺，購進乙空調y臺．根據題意，得x+y=502300x+3300y=130000解得x=35y=15答：購進甲空調35臺，購進乙空調15臺．（2）解：設購進甲空調m臺，則購進乙空調50?m臺．根據題意，得m≥1050?m≥10解得10≤m≤40．設獲得的總利潤為W元，則

W=2800?2300∵?200<0，∴W隨m的減小而增大，∵10≤m≤40，∴當m=10時，W的值最大，W最大50?10=40（臺）．答：購進甲空調10臺、乙空調40臺才能使商場在銷售完這批空調時獲利最多，最大利潤為33000元．【知識點】一元一次不等式組的應用；二元一次方程組的實際應用-銷售問題；一次函數的實際應用-銷售問題【解析】【分析】（1）設購進甲空調x臺，購進乙空調y臺，根據題意建立方程組，解方程組即可求出答案.（2）設購進甲空調m臺，則購進乙空調50?m臺，根據題意，列出不等式組，求出m的取值范圍，設獲得的總利潤為W元，列出一次函數解析式，結合一次函數的性質即可求出答案.（1）解：設購進甲空調x臺，購進乙空調y臺．根據題意，得x+y=502300x+3300y=130000解得x=35y=15答：購進甲空調35臺，購進乙空調15臺．（2）設購進甲空調m臺，則購進乙空調50?m臺．根據題意，得m≥1050?m≥10解得10≤m≤40．設獲得的總利潤為W元，則W=2800?2300∵?200<0，∴W隨m的減小而增大，∵10≤m≤40，∴當m=10時，W的值最大，W最大50?10=40（臺）．答：購進甲空調10臺、乙空調40臺才能使商場在銷售完這批空調時獲利最多，最大利潤為33000元．21．【答案】（1）x<?3（2）解：將點A?6,0代入可得：0=?6+a，解得：a=6∴y1∵點M的橫坐標為?3，∴點M的縱坐標為?3+6=3，即M?3,3將點M?3,3的坐標代入y2=?2x+b得3=?2×（3）解：設Pm,m+6由（2）可得y把y=0代入y=?2x?3得，x=?3∴D?∴S△ADM∴S△ADP=12×∴P6,12或P【知識點】待定系數法求一次函數解析式；一次函數與不等式（組）的關系；一次函數圖象與坐標軸交點問題；一次函數的實際應用-幾何問題【解析】【解答】（1）解：由圖像可知，當x<?3時，y1=x+a在∴當x+a<?2x+b時，x的取值范圍是x<?3．故答案為：x<?3【分析】（1）當直線y1=x+a的圖象在直線y2=?2x+b下方時，有x+a<?2x+b，結合函數圖象即可求出答案.

（2）根據待定系數法將點A坐標代入直線y1=x+a可得y1=x+6，再將x=-3代入解析式可得M?3,3（1）解：由圖像可知，當x<?3時，y1=x+a在∴當x+a<?2x+b時，x的取值范圍是x<?3．（2）解：將點A?6,0代入y1=x+a可得：0=?6+a∴y1∵點M的橫坐標為?3，∴點M的縱坐標為?3+6=3，即M?3,3將點M?3,3的坐標代入y2=?2x+b得3=?2×（3）解：設Pm,m+6由（2）可得y把y=0代入y=?2x?3得，x=?3∴D?∴S△ADM∴S△ADP=12×∴P6,12或P22．【答案】（1）①③（2）x?1=0（3）解：x<2x?m①解不等式①，得x>m，解不等式②，得x≤m+2，∴原不等式組的解集為m<x≤m+2，解方程2x?1=x+2，得x=3，解方程x+3=2x+12∵方程2x?1=x+2和方程x+3=2x+∴x=3和x=2都在m<x≤m+2的范圍內，∴m<2≤m+2m<3≤m+2，解得0≤m<2∴1≤m<2，∴m的取值范圍是1≤m<2．【知識點】一元一次方程的解；解一元一次不等式組【解析】【解答】（1）解：解方程①3x?2=0得：x=2解方程②25x+1=0得：解方程③x?3x+1=?5得：解不等式組2x+3>3x?1?4x?3<x+2得：?1<x<4∵上述3個方程的解中x=23和x=2都在∴不等式組2x+3>3x?1?4x?3<x+2的關聯方程是方程①③故答案為①③．（2）解：解不等式組x?12<1∵原不等式組的關聯方程的解為整數，∴解為x=1的一元一次方程都是原不等式組的關聯方程，如x?1=0，故答案為：x?1=0（答案不唯一）．【分析】（1）解出三個方程的解，再求出不等式組的解集，再根據關聯方程的定義即可求出答案.

（2）解不等式組，再根據關聯方程的定義建立方程即可求出答案.

（3）解不等式組，解兩個方程的解，再根據關聯方程的定義建立不等式組，解不等式組即可求出答案.（1）解：解方程①3x?2=0得：x=2解方程②25x+1=0得：解方程③x?3x+1=?5得：解不等式組2x+3>3x?1?4x?3<x+2得：?1<x<4∵上述3個方程的解中x=23和x=2都在∴不等式組2x+3>3x?1?4x?3<x+2的關聯方程是方程①③故答案為①③．（2）解：解不等式組x?12<1∵原不等式組的關聯方程的解為整數，∴解為x=1的一元一次方程都是原不等式組的關聯方程，如x?1=0，故答案為：x?1=0（答案不唯一）．（3）解：x<2x?m①解不等式①，得x>m，解不等式②，得x≤m+2，∴原不等式組的解集為m<x≤m+2，解方程2x?1=x+2，得x=3，解方程x+3=2x+12∵方程2x?1=x+2和方程x+3=2x+∴x=3和x=2都在m<x≤m+2的范圍內，∴m<2≤m+2m<3≤m+2，解得0≤m<2∴1≤m<2，∴m的取值范圍是1≤m<2．23．【答案】初識圖形：2，4，深度探析：（1）15°，15°；（2）證明：延長CF、AD相交于點H，如圖所示：∵AH∥BC，∠BCF=15°，∴∠DHF=∠BCF=15°，∵∠DEF=15°，∴∠DEF=∠DHF，∴DH=DE，∵DE=BC，∴DH=BC，∵∠DFH=∠BFC，∴△DFH≌△BFC，∴DF=BF，∴點F為線段BD的中點．拓展探究：BE=2或BE=6或BE=2【知識點】三角形全等及其性質；三角形全等的判定；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；旋轉的性質【解析】【解答】解：初識圖形：連接BD，CE，如圖所示：∵在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠ADE=90°，AC=AE=2，∠ABC