黑龍江省龍東地區2026年中考數學真題附同步解析

黑龍江省龍東地區2026年中考數學真題一、選擇題(本大題共10道小題，每小題3分，共30分)1．剪紙藝術是中國古老的民間藝術之一，下面剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：把一個圖形繞某一點旋轉180°，若旋轉后的圖形能與原圖形完全重合，則該圖形為中心對稱圖形。

∵選項A、B、C中的圖案繞任意一點旋轉180°后，均無法與原圖案重合，

∴A、B、C均不是中心對稱圖形；

∵選項D中的圖案繞其中心旋轉180°后，與原圖案完全重合，

∴D是中心對稱圖形。

故答案為：D

【分析】本題考查中心對稱圖形的概念識別。以中心對稱圖形的判定定義為依據，對四個選項的圖案分別執行繞定點旋轉180°的驗證操作，通過對比旋轉前后圖形的重合狀態篩選正確選項，其中D選項符合中心對稱圖形的判定要求，其余選項不滿足旋轉180°后與自身重合的條件。2．下列運算正確的是()A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：對于選項A，由同底數冪乘法規則：底數不變，指數相加，∵，∴A運算錯誤；對于選項B，由合并同類項規則：系數相加，字母與指數保持不變，∵，∴B運算錯誤；對于選項C，由完全平方公式展開得兩數平方和加兩數乘積的2倍，∵，∴C運算錯誤；對于選項D，由積的乘方規則：各因式分別乘方后再相乘，∵，∴D運算正確。故答案為：D【分析】本題考查整式的混合運算規則，涵蓋同底數冪乘法、合并同類項、完全平方公式與積的乘方四個核心考點。逐項對應運算法則展開計算，將計算結果與選項表達式比對驗證：通過同底數冪指數相加規則判斷A項指數計算錯誤，通過同類項合并時指數不變的規則判斷B項指數篡改錯誤，通過完全平方公式的展開結構判斷C項遺漏交叉項，通過積的乘方分別運算的規則驗證D項計算正確。3．如圖，一個由若干個大小相同的小正方體搭成的幾何體，它的左視圖是()A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：從左側觀察該組合體，豎直方向共兩層，水平方向共兩列，左側列有兩層小正方形，右側列有一層小正方形，與選項A的圖形一致。

故答案為：A

【分析】本題考查簡單組合體的三視圖識別，核心是左視圖的繪制規則。明確左視圖的觀察視角為幾何體的左側，依據小正方體的堆疊結構確定視圖的列數與每列的層數，進而得到該組合體，豎直方向共兩層，水平方向共兩列，左側列有兩層小正方形，右側列有一層小正方形，從而對選項逐一判斷即可求解。4．在“體重管理年”的活動中，某校對學生的體重進行監測，下面是其中的一組數據(單位：kg)：47，49，56，52，56.這組數據的眾數和平均數分別是()A．52，52 B．56，52 C．56，50 D．52，56【答案】B【解析】【解答】解：∵在47，49，56，52，56這組數據中，56出現2次，其余數值各出現1次，∴這組數據的眾數為56；∵數據總和為，共5個數據，∴平均數為故答案為：B【分析】本題考查統計量中眾數與算術平均數的計算。先依據眾數的定義統計每個數值的出現頻次，找到出現次數最多的數值即為眾數；再通過算術平均數公式，用所有數據的總和除以數據總個數求得平均數，最終對應選項篩選正確結果。5．深耕黑土地，守護大糧倉.某水稻生產基地2023年平均每公頃產7000kg水稻，到2025年平均每公頃產8470kg水稻，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，可列方程為()A．7000(1+2x)=8470B．C．7000+7000(1+x)+7000(1+x)2=8470D．7000×2(1+x)=8470【答案】B【解析】【解答】解：∵2023年為初始年份，每公頃產量7000kg，年平均增長率為，∴2024年每公頃產量為；2025年在2024年的基礎上繼續增長，∴2025年每公頃產量為；又∵2025年實際每公頃產量為8470kg，∴可列方程故答案為：B【分析】本題考查一元二次方程在平均增長率問題中的應用。依據增長率的遞推邏輯，先推導2024年的產量表達式，再以此為基礎推導2025年的產量表達式，結合2025年的實際產量建立等量關系，得到對應的一元二次方程，其中兩年增長對應指數為2，是列方程的核心依據。6．已知關于x的分式方程的解為正數，則k的取值范圍為()A．k>-6 B．k<-6C．k>-6且k≠-4 D．k<-6且k≠-4【答案】C【解析】【解答】解：原方程可整理為，方程兩邊同乘去分母得：，整理得。∵方程的解為正數，∴，即，解得；∵分式分母不能為0，∴，即，解得。綜上，的取值范圍是且故答案為：C【分析】本題考查含參數分式方程的解的取值范圍求解，涉及分式方程解法與不等式計算。先通過統一分母、去分母將分式方程化為整式方程，解出用參數表示的；再根據“解為正數”建立第一個不等式，根據分式有意義的前提（分母不為零）建立第二個不等式，聯立兩個不等式的解集得到參數的最終取值范圍，易錯點是遺漏分母不為零的限制條件。7．在第25屆米蘭冬奧會上，我國冰雪健兒取得了驕人的成績.為了弘揚中華體育精神，某中學開展“冰雪運動進校園”活動.學校計劃用300元購買筆記本和鋼筆兩種獎品，筆記本20元/個，鋼筆15元/個.所有資金恰好用完，則購買方案有()A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【解析】【解答】解：設購買筆記本個，鋼筆支，、均為正整數。根據總金額列方程：，兩邊同除以5化簡得：，變形得。∵為正整數，4與3互質，∴必須是3的正整數倍；又∵，∴，解得。結合，的可取正整數值為3、6、9、12，共4個，對應4種購買方案。故答案為：B【分析】本題考查二元一次方程的正整數解應用，結合不定方程與不等式篩選方案數。設購買筆記本個，鋼筆支，、均為正整數，根據總資金建立二元一次方程，進而變形將其中一個未知數用另一個表示；再根據正整數的限制條件結合題意（y＞0、x＞0），進而即可得到x的取值。8．如圖，在平面直角坐標系中，雙曲線上有A，B兩點，AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D，H為OB的中點，則k的值為()

A．8 B．-8 C．16 D．-16【答案】D【解析】【解答】解：設點坐標為，其中，，則。∵為中點，∴。∵軸，軸，∴，∴，相似比為。根據相似三角形面積比等于相似比的平方，∴。由反比例函數的幾何意義，，∴。同理，點在雙曲線上，。由圖可知，代入得，即，解得∵雙曲線位于第二象限，∴，即故答案為：D【分析】本題考查反比例函數的幾何意義與相似三角形的綜合應用。先根據中點條件得到線段比例，由垂直于同一直線的兩直線平行判定三角形相似，結合相似三角形的面積比等于相似比的平方，推導出小三角形與的面積關系；再利用反比例函數中過雙曲線上一點作坐標軸垂線形成的直角三角形面積為的結論，結合面積差建立關于的方程，最后根據雙曲線所在象限確定的符號，得到最終結果。9．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，D為BC上一點，且AC=AD，E，F分別是CD，AB的中點，連接EF，若AC=2，則EF的長為()

A． B． C．1 D．0.5【答案】B【解析】【解答】解：連接，∵在中，，，，∴，，由勾股定理得：。∵，，∴為等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）。∵是的中點，∴（等邊三角形三線合一），即。在中，是斜邊的中點，∴（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），代入得故答案為：B【分析】本題考查直角三角形性質、等邊三角形判定與性質、直角三角形斜邊中線定理的綜合應用。先利用含30°角的直角三角形的邊角關系求出長度，再由勾股定理計算的長；結合與的條件，依據等邊三角形的判定定理證明為等邊三角形，再通過等邊三角形三線合一的性質得到垂直于；最后在直角三角形中，應用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的定理，由的長度求出的長度。10．如圖，在菱形ABCD中，DE垂直平分BC，DF，DE分別交對角線AC于G，H兩點，下列結論：①連接EF，則△DEF為等邊三角形；②過點G作GN⊥AD于點N，則④M為邊AB上任意一點，連接MD和ME，若則有⑤逆時針旋轉∠FDE，使射線DF與邊AB交于點P射線DE與邊BC交于點Q，若則其中正確的是()

A．①③④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤【答案】C【解析】【解答】解：連接，∵四邊形為菱形，∴，，。∵垂直平分，∴，，，∴，即為等邊三角形，∴，，，同理也為等邊三角形，。①∵，∴。∵，為等邊三角形，∴平分，即，∴，∴。∵，，，∴（ASA），∴。又∵，∴為等邊三角形，故①正確。②過點作于，∵，，∴，即。∵平分，，，∴（角平分線上的點到角兩邊距離相等），故②正確。③∵為等邊三角形，，∴為中點，即。∵，∴，相似比為，∴，即。同理，，相似比為，∴，即。∴，即。∵、分別為、中點，∴為的中位線，∴，即，代入得，故③正確。④設菱形邊長為，過作交延長線于，∵為等邊三角形，為高，∴，∴，。∵，∴。由，代入解得。∵，∴，在中，，∴。∴，∴，故④正確。⑤由旋轉性質得，∵，∴。∵，，∴（ASA），∴。∵，∴，即，∴。過作交延長線于，∵，∴，∴，，∴。在中，由勾股定理：，故⑤錯誤。綜上，正確的結論為①②③④。故答案為：C【分析】本題考查菱形性質與等邊三角形、全等三角形、相似三角形、面積計算、旋轉性質的綜合應用，屬于四邊形綜合題。先由垂直平分線的性質得到，結合菱形四邊相等判定與均為等邊三角形，推導各角度數作為基礎條件；結論①通過ASA證明與全等得到，結合60°夾角判定等邊三角形；結論②利用角平分線的性質，結合角平分線上點到兩邊距離相等驗證與相等；結論③通過相似三角形的線段比例推導、、與的關系，再結合三角形中位線定理建立與的等量關系完成驗證；結論④通過設邊長為參數，分別表示出對應三角形與菱形的面積，結合面積比例求出線段長度，最終驗證面積比結論；結論⑤通過旋轉性質證明三角形全等，結合勾股定理計算長度，驗證結論不成立。二、填空題(本大題共10道小題，每小題3分，共30分)11．2026年5月19日，哈爾濱市舉行萬人徒步活動，約有12000人參加.將數據12000用科學記數法表示為.【答案】【解析】【解答】解：科學記數法的表示形式為，其中，為整數。將12000轉變為1.2，小數點向左移動了4位，∵原數絕對值大于10，∴為正整數，即，∴12000用科學記數法表示為。故答案為：【分析】本題考查科學記數法的表示方法。將原數改寫為1到10之間的數乘以10的冪的形式，通過數小數點移動的位數確定指數的大小，結合原數的大小確定的符號，最終得到規范的科學記數法表達式。12．在函數中，自變量的取值范圍是【答案】x≥2【解析】【解答】二次根式的被開方數為非負數，則x－2≥0，解得：x≥2.【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數為非負數，進行求解.13．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OC，請添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形.

【答案】OB=OD(答案不唯一，合理即可)【解析】【解答】解：平行四邊形的判定定理之一：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。已知，即對角線被點平分，若添加條件，則對角線也被點平分，此時四邊形的兩條對角線互相平分，∴四邊形為平行四邊形。故答案為：（答案不唯一）【分析】本題考查平行四邊形的判定定理應用。結合已知條件中一條對角線被平分的前提，依據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形的判定定理，補充另一條對角線也被平分的條件，即可使四邊形滿足平行四邊形的判定要求，也可補充如等其他符合判定定理的條件。14．“七八個星天外，兩三點雨山前”，數詞在這句詩詞中出現的概率為.(標點不計)【答案】【解析】【解答】解：去掉標點后，詩句共有12個漢字，即總情況數為12；其中數詞為“七、八、兩、三”，共4個，即符合條件的情況數為4。∴數詞出現的概率故答案為：【分析】本題考查古典概型的概率計算。先統計去掉標點后的漢字總數作為總樣本數，再統計其中數詞的個數作為符合條件的樣本數，代入概率公式計算即可得到結果，計算時注意標點不計入總字數。15．關于x的不等式組只有3個整數解，則a的取值范圍是.【答案】-2≤a<-1【解析】【解答】解：分別解兩個不等式：解不等式，得；解不等式，得。∴不等式組的解集為。∵不等式組只有3個整數解，∴整數解為0、1、2，∴，解得。故答案為：【分析】本題考查一元一次不等式組的整數解問題。先分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集；再根據整數解的個數確定所有整數解，通過整數解的范圍建立關于參數的不等式組，解不等式組即可得到的取值范圍，解題關鍵是準確確定邊界值的取舍。16．如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，∠P=80°，則∠C=.

【答案】50°【解析】【解答】解：連接、，∵、是的切線，、為切點，∴，（切線的性質：切線垂直于過切點的半徑），即。在四邊形中，內角和為，∵，∴。∵與分別是弧所對的圓周角與圓心角，∴（圓周角定理：同弧所對圓周角等于圓心角的一半），代入得。故答案為：【分析】本題考查切線的性質與圓周角定理的綜合應用。先連接兩條過切點的半徑，依據切線垂直于過切點半徑的性質得到兩個直角；再利用四邊形內角和為360°計算出圓心角的度數；最后根據同弧所對圓周角等于圓心角一半的圓周角定理，求出的度數。17．王芳用一個圓心角為120°，半徑為4的扇形卡紙，圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐底面圓的半徑為.【答案】【解析】【解答】解：∵扇形弧長公式為，其中為圓心角度數，為扇形半徑。代入，得：。設圓錐底面圓半徑為，則底面周長為，由弧長等于底面周長得：，解得。故答案為：【分析】本題考查圓錐側面展開圖的相關計算，核心是扇形弧長與底面周長的等量關系。先利用扇形弧長公式計算出展開圖的弧長，再根據圓錐側面展開圖的弧長與底面圓周長相等的對應關系，建立關于底面半徑的方程，解方程即可得到結果。18．如圖，菱形ABCD的邊長為10，對角線BD=16，P，Q為BD上兩個動點，且PQ=2，則AP+AQ的最小值為.

【答案】【解析】【解答】解：連接交于點，∵四邊形為菱形，∴，，（菱形對角線互相垂直平分）。在中，，，由勾股定理得：，∴。∵點關于的對稱點為點，∴，∴。將點沿方向平移2個單位得到點，連接、，∵且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴。當、、三點共線時，取得最小值，最小值為線段的長度。∵，，∴，即。在中，，，由勾股定理得：故答案為：【分析】本題考查菱形性質與軸對稱最短路徑問題的綜合應用。先利用菱形對角線互相垂直平分的性質，結合勾股定理求出另一條對角線的長度；再利用菱形的軸對稱性，將轉化為，通過平移構造平行四邊形，將進一步轉化為，把兩條線段和的最小值轉化為兩點之間線段最短的問題；最后在直角三角形中用勾股定理計算出最短路徑的長度。19．在綜合與實踐課上，老師帶領同學們以“直角三角形的折疊”為主題開展探究活動，同學們用一張直角三角形紙片進行折疊.已知，在AC邊上找一點D，將紙片沿BD折疊，使點A落在A'處，當的某一邊與AC邊垂直時，A'D=.【答案】【解析】【解答】解：在中，，，，∴，。由折疊的性質得：，，。過作于，在中，，。分三種情況討論：1當時：此時，由折疊性質得。在中，，，∴，∴，即。2當時：此時與共線，。在中，，∴。3當時：此時與重合，∴，即。綜上，的值為或或。故答案為：或或【分析】本題考查翻折變換與含30°角的直角三角形的綜合應用，屬于分類討論題型。先根據直角三角形的邊角關系求出原三角形的各邊長與角度，由折疊性質得到對應邊、對應角相等的等量關系；再分、、三種情況，分別利用直角三角形的邊角關系計算對應線段長度，最終得到所有符合條件的結果。20．如圖，B1是直線l：與y軸的交點，過點B1作交x軸于點以為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點A2，以為邊，向右作正方形延長交x軸于點以A3B3為邊，向右作正方形延長B4C3交x軸于點A4；…，按照這個規律進行下去，則點的縱坐標為.

【答案】【解析】【解答】解：對于直線，令，得，∴；令，得，設直線與x軸交點為。∴，，在中，，，。∵四邊形為正方形，∴，，∴，在中，。過作軸于，

易證，∴，即點的縱坐標為1。同理，，，點的縱坐標為。點的縱坐標為，以此類推，可得點的縱坐標構成首項為1，公比為的等比數列，∴點的縱坐標為。故答案為：【分析】本題考查一次函數圖象上點的坐標特征與規律探究，結合正方形性質與三角函數推導遞推規律。先求出直線與坐標軸的交點坐標，利用勾股定理與三角函數計算出第一個正方形的邊長及對應點的縱坐標；再按照相同的方法計算后續幾個點的縱坐標，觀察數值變化規律，總結出等比數列的通項公式，最終得到第個點的縱坐標表達式。三、解答題(本大題共8道題，滿分60分)21．先化簡，再求值：其中【答案】解：原式當x=4cos60°+1=2+1=3時原式【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值與特殊角的三角函數值計算。先對括號內的分式進行通分運算，再將除法轉化為乘法，同時對分子分母分別因式分解，通過約分化簡得到最簡分式；代入特殊角60°的余弦值計算出的具體數值，再將代入化簡后的分式計算最終結果，化簡過程中需注意因式分解的準確性與約分的規范性。22．如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長均為1，的三個頂點坐標分別為A(1，-2)，B(3，-2)，C(2，-3).（1）畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1，并寫出A1的坐標；（2）畫出繞點A1逆時針旋轉90°得到的并寫出C2的坐標；（3）求出(2)中線段A1C1所掃過的圖形面積.(結果保留π)【答案】（1）解：△A1B1C1即為所求，A1(1，2)

（2）解：△A1B2C2即為所求，C2(0，3)

（3）解：由題意得.線段A1C1掃過的圖形面積為【解析】【分析】（1）本題考查軸對稱作圖、旋轉作圖與扇形面積計算的綜合應用。根據關于x軸對稱的點的坐標特征：橫坐標不變，縱坐標互為相反數，分別求出三個頂點的對稱點坐標，順次連接得到對稱三角形，同時讀出的坐標；

（2）根據旋轉的性質，將點、繞點逆時針旋轉90°得到對應點、，順次連接得到旋轉后的三角形，再讀取的坐標；

（3）線段掃過的圖形為圓心角90°的扇形，先利用網格結合勾股定理求出半徑的長度，再代入扇形面積公式計算即可得到掃過的面積。23．如圖，拋物線經過A(-1，0)，B(3，0)兩點，交y軸于點C.

（1）求拋物線的解析式；（2）作射線BD交y軸于點D，使∠CBD=15°，則CD的長為.【答案】（1）解：∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴，解得：，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）或【解析】【解答】（2）由條件可得B（3，0），∴OB＝3，∴OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，∴當點D在點C上方時，如圖所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝15°+45°＝60°，∴，∴；當點D在點C下方時，如圖所示：∵∠CBD＝15°，∴∠ABD＝45°﹣15°＝30°，∴，∴；綜上可得：CD的長為或．故答案為：或．【分析】（1）本題考查二次函數解析式求解與解直角三角形的綜合應用。將、兩點坐標代入拋物線的一般式，得到關于、的二元一次方程組，解方程組求出參數值，即可確定拋物線的解析式，也可利用交點式直接求解；

（2）先由拋物線解析式求出點坐標，得到與的長度，判定為等腰直角三角形，得到；再分點在點上方、點在點下方兩種情況，分別計算出的度數，利用正切三角函數求出的長度，進而通過線段和差得到的長度。24．為了傳承東北抗聯精神，某中學舉行“紅色經典”主題閱讀活動.該校采用簡單隨機抽樣的方法，對本校學生一周的閱讀時間(單位：min)進行了抽樣調查，把所得的數據分組整理，并繪制成如下兩幅不完整的統計圖.

請根據相關信息，解答下列問題：（1）m=▲，C組對應的頻數▲，并補全直方圖；（2）調查所得數據的中位數落在組(填組別)；（3）該校共有1500名學生，根據抽樣調查結果，估計該校學生一周閱讀時間不少于60min的學生人數.【答案】（1）解：45；25；補全直方圖如圖所示（2）B（3）解：(名)答：估計該校學生一周閱讀時間不少于60min的學生人數為675名；【解析】【解答】解：（1）抽取的總人數為10÷10%＝100（人），∴m%＝45÷100×100%＝45%，則m＝45，∴C組對應的頻數為：100﹣10﹣45﹣20＝25，故答案為：45，25；（2）∵共100個數據，∴中位數是第50、51個數據的平均數，由頻數分布直方圖可得A組10個數據，B組45個數據，那么第50、51個數據在B組，∴中位數落在B組；故答案為：B；【分析】（1）本題考查頻數分布直方圖與扇形統計圖的綜合分析，涉及統計量計算與樣本估計總體。先由A組的頻數與對應百分比求出抽取的總人數，再用B組的頻數除以總人數得到的值，用總人數減去其余三組的頻數得到C組的頻數，最后補全直方圖；（2）根據中位數的定義，確定總數據中第50、51個數據所在的組別，即為中位數所在組；（3）先計算樣本中閱讀時間不少于60min的學生所占比例，再用全校總人數乘以該比例，估計出對應學生的人數。25．一條公路上依次有A，B，C三地，甲車從A地出發去C地，途經B地，到達C地后，立即按原路原速返回A地；乙車在甲車出發0.1小時后從A地去B地，到達B地停留2小時，立即按原路原速返回，結果比甲車提前0.3小時到達A地，兩車均按各自速度勻速行駛.如圖是甲車行駛過程中距離B地的路程y(km)與甲車行駛時間x(h)的函數圖象，結合圖象回答下列問題：

（1）A，C兩地之間的距離為km，乙車的速度為km/h；（2）求線段EF的函數解析式；（3）請直接寫出乙車返回A地前，甲車行駛多少小時，甲乙兩車相距10km.【答案】（1）270；100（2）解：甲車的速度為(180+90)÷3=90(km/h)∵90÷90=1(h)，180÷90=2(h)∴E(4，0)，F(6，180)設線段EF的解析式為y=kx+b(k≠0)把E(4，0)和F(6，180)代入得解得∴y=90x-360(4≤x≤6)（3）解：當甲車行駛或或4h時，兩車相距10km【解析】【解答】解：（1）根據圖象得A，C兩地之間的距離為：180+90＝270km；

根據圖象得：當甲到達C地時，用時3小時，

∴返回A地時總的時間為6小時，

∵乙車在甲車出發0.1小時后從A地去B地，到達B地停留2小時，立即按原路原速返回，結果比甲車提前0.3小時到達A地，

∴乙車在路上行駛的總時間為：6﹣0.1﹣2﹣0.3＝3.6小時，

∵乙車從A地去B地，然后返回A地，

∴總路程為：180×2＝360千米，

∴乙車的速度為；

故答案為：270；100；【分析】（1）本題考查一次函數的實際應用，結合行程問題分析函數圖象與分段計算。從函數圖象中讀取到、到的距離，求和得到、兩地的距離；先根據甲車往返的總時間確定全程時長，再結合乙車的出發延遲、停留時間與到達提前量，計算出乙車行駛的總時間，由往返總路程除以行駛時間得到乙車的速度；

（2）先計算甲車的行駛速度，確定、兩點的坐標，再利用待定系數法，將兩點坐標代入一次函數一般式，解方程組求出斜率與截距，得到線段的函數解析式與自變量取值范圍；

（3）分乙車停留時甲車行駛、甲車到達地前、乙車返回過程中三種情況，分別根據兩車的路程關系建立方程，求解得到對應甲車的行駛時間。26．在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E為直線AC上一點，連接BE，過E點作交AD邊所在的直線于點F.

（1）如圖①，當點E在OC上時，求證：（2）如圖②，當點E在OA上時；如圖③，當點E在CA的延長線上時，請分別寫出線段AB，AF，AE之間的數量關系，不需要證明.【答案】（1）證明：過點E作EM⊥AE交AB的延長線于點M，則∠AEM=90°∵四邊形ABCD是正方形∴∠1=∠2=45°∴∠M=45°∴∠1=∠2=∠M∴AE=ME∴△AEM是等腰直角三角形∵BE⊥EF∴∠BEF=90°∴∠4+∠3=90°∵∠AEM=90°∴∠4+∠5=90°∴∠3=∠5∴△AEF≌△MEB(ASA)∴AF=BM（2）解：圖②結論：圖③結論：【解析】【解答】解：（2）圖②：；圖③：．理由如下：

如圖②，過點E作EH⊥AC交AB于點H，∴∠AEH＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD是對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∴∠AHE＝90°﹣45°＝45°，∴△AHE是等腰直角三角形，∴AE＝EH，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEA+∠FEH＝∠AEH＝90°，∵∠FEH+∠HEB＝90°，∴∠FEA＝∠HEB，又∵∠DAC＝∠AHE＝45°，∴∠FAE＝∠BHE＝180°﹣45°＝135°，∵∠FAE＝∠BHE，AE＝EH，∠FEA＝∠HEB，∴△AEF≌△HEB（ASA），∴AF＝BH，∵AB＝AH+BH，∴；如圖③，過點E作EK⊥AE交AF于點K，∵四邊形ABCD是正方形，AC，BD是對角線，∴∠BAC＝∠DAC＝∠EAK＝45°，∴∠AKE＝90°﹣45°＝45°，∴△AKE是等腰直角三角形，∴AE＝EK，∴，∵EF⊥BE，∴∠FEK+∠KEB＝∠FEB＝90°，∵∠KEB+∠BEA＝90°，∴∠FEK＝∠BEA，又∵∠AKE＝∠BAC＝45°，∴∠FKE＝∠BAE＝135°，∵∠FEK＝∠BEA，EK＝AE，∠FKE＝∠BAE，∴△KEF≌△AEB（ASA），∴FK＝AB，∵AF＝AK+FK，∴．【分析】（1）本題考查正方形性質與全等三角形、等腰直角三角形的綜合證明，屬于幾何探究題型。過點作垂直于，交的延長線于點，根據正方形對角線平分內角的性質，得到，由此判定為等腰直角三角形，依據等腰直角三角形的性質得到且；再由垂直推出角的等量關系，結合的條件，根據ASA判定定理證明與全等，由全等三角形對應邊相等得到；最后通過線段和差代換，推導出待證等式；

（2）圖②中過點作垂直交于，同理構造等腰直角三角形與全等三角形，通過線段和差推導、、的數量關系；圖③中過點作垂直交于，沿用相同的構造思路，通過線段和差推導對應數量關系。27．“節能減排，倡導綠色出行”.某新能源汽車生產廠家推出特惠A，B兩種型號的新能源汽車，已知銷售2臺A型汽車和1臺B型汽車總售價為21萬元，銷售3臺A型汽車和2臺B型汽車總售價為34萬元.已知A型汽車的成本為每臺7萬元，B型汽車的成本為每臺4.5萬元.（1）求A型汽車和B型汽車每臺售價分別為多少萬元?（2）若汽車廠家售出A，B兩種型號的汽車共50臺，售出A型汽車的數量不超過30臺，并且投入的總成本不低于295萬元，求有哪幾種銷售方案?（3）在(2)的條件下，全部售出，哪種銷售方案獲得的利潤最大?最大利潤為多少萬元?【答案】（1）解：設A型汽車每臺售價為x萬元，B型汽車每臺售價為y萬元.根據題意，得解得答：A型汽車和B型汽車每臺售價分別為8萬元和5萬元．（2）解：設售出A型汽車a臺，則售出B型汽車為(50-a)臺.根據題意，得7a+4.5(50-a)≥295解得a≥28∵a≤30∴28≤a≤30∵a和50-a都是正整數∴a=28，29，3050-a=22，21，20共有3種銷售方案：方案一：售出A型汽車28臺，B型汽車22臺；方案二：售出A型汽車29臺，B型汽車21臺；方案三：售出A型汽車30臺，B型汽車20臺.（3）解：設售出這50臺汽車的利潤為W萬元.根據題意，得W=(8-7)a+(5-4.5)(50-a)=0.5a+25∵k=0.5>0∴W隨a的增大而增大∴當a=30時，W值最大，答：汽車生產廠家銷售A型汽車30臺，B型汽車20臺，獲得利潤最大，最大利潤是40萬元.【解析】【分析】（1）本題考查二元一次方程組、一元一次不等式組與一次函數的綜合實際應用。設、型汽車的售價分別為、萬元，根據兩組銷售總價的條件列出二元一次方程組，解方程組即可得到兩種車型的售價；

（2）設售出型汽車臺，根據總數量、數量上限、總成本下限三個條件列出一元一次不等式組，解不等式組得到的取值范圍，結合為正整數的條件篩選出所有整數解，對應得到所有銷