2026年北京市中考數(shù)學(xué)真題試卷（真題+答案）

66頁，共兩部分，三道大題，28100第一部分選擇題（162分第題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè) B. C. D. B. C. D.一個(gè)不透明的袋子中僅有個(gè)球，其中有個(gè)白球、個(gè)黃球，其余都是紅球，這個(gè)球除顏色外無其他 高品質(zhì)再生水的總量用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（） B. C. D.如圖，點(diǎn)在射線上，在射線上截取，分別以、為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)．連接，，則的大小為（） B. C. D.三角形與全等，則稱C為B的“友好點(diǎn)”．給出下面四個(gè)結(jié)論：④能夠找到點(diǎn)B，使得在第四象限內(nèi)有B的“友好點(diǎn)”． A. B. C. D.第二部分填空題（162分若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍 ．100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)整理如下： 在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和．若，則 ”如圖，的兩條對角線相交于點(diǎn)O．已知的面積為，的長為，當(dāng)?shù)拈L 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正半軸上的點(diǎn)作軸的平行線，分別交函數(shù)和的圖象于點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接交軸于點(diǎn)，則的 1名學(xué)生需乘同一輛校車前往該學(xué)校，校車僅在設(shè)于某一住宅處的車站停車一次，每名學(xué)生需從自家住宅沿公路步行至該車站乘車，6名學(xué)生都上車后，校車沿公路向東行駛至學(xué)校．已知每名學(xué)生在相鄰兩處住宅間的步行時(shí)間均為，校車在相鄰兩處住宅間的行駛時(shí)間均為， 處至學(xué)校的行駛時(shí)間為．一名學(xué)生的理想通勤時(shí)間是指該學(xué)生從自家住宅至車站的步行 ； 解答題（6817~195206215226分，第23524625526627~287分） 已知，求代數(shù)式的值如圖，在中，，D，E分別為，的中點(diǎn)，，若，，求四邊形的面積在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和求，的值當(dāng)時(shí)，對于的每一個(gè)值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，直接寫 倍已知比賽中，一臺A類機(jī)器人全程保持勻速，途中沒有維護(hù)，完賽成績?yōu)椋灰慌_B類機(jī)器人起跑后，前保持勻速，速度是這臺A類機(jī)器人的倍，之后原地維護(hù)，維護(hù)后勻速跑至終點(diǎn)，速度比維護(hù)前增加了，完賽成績?yōu)椋筮@臺A類機(jī)器人的速度和此次比賽從起點(diǎn)到終點(diǎn)為整數(shù)8輪得分的情況如下： 記甲、乙8輪得分的方差分別為和，則 ”如果丙8輪得分的中位數(shù)為，那么丙8輪得分的平均數(shù)是不是一定大于乙8輪得分的平均數(shù)？若如圖，過點(diǎn)P作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，為的直徑，過點(diǎn)B作的垂線，垂足為E，交于點(diǎn)D，連接，．交于點(diǎn)F， 度根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在圖中畫出范圍內(nèi)甲的溶解度曲線 （精確到個(gè)位）時(shí)，甲和乙的溶解度相同，均為．在該溫度下．將乙加入水中，充分?jǐn)嚢枋蛊淙咳芙夂螅瑢囟冉抵粒藭r(shí)會有 （精確到個(gè)位）乙從水當(dāng)溫度為時(shí)，小云將甲加入到裝有水的號杯中，將乙加入到裝有水號杯中，充分?jǐn)嚢韬螅l(fā)現(xiàn)兩種物質(zhì)均不能全部溶解．為使兩種物質(zhì)均能全部溶解，小云考慮了以下兩方案二：保持溫度不變，向號杯中再加入水，向號杯中再加入水，充分?jǐn)嚢韬笫箖煞N物質(zhì)均 在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為（特別地，當(dāng)M是的頂點(diǎn)時(shí)，即為．若無論t為何值，拋物線都不經(jīng)過點(diǎn)O，求a的取值范在中，，，過的中點(diǎn)作的垂線，交于，點(diǎn)在的延長線上，．如圖，，求證：如圖，點(diǎn)在的延長線上，，連接，，直接寫出的大小，并證對于不共線的三點(diǎn)A，B，C，連接，，并作劣弧，使得所在圓的圓心在過點(diǎn)A且與平行的直線上，稱由，和組成的圖形為單弧三角形，記作，其中所在圓的圓心稱為的弧心． 中如圖1，點(diǎn)，，，直接寫出的弧心的坐標(biāo)及的長如圖2，點(diǎn)，，當(dāng)?shù)幕⌒臑镺時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)已知點(diǎn)，對于平面內(nèi)的點(diǎn)N，存在點(diǎn)P，Q滿足和的弧心均為O，和 都不是鈍角三角形，且，記N的橫坐標(biāo)為t，直接寫出t的取值范圍．66頁，共兩部分，三道大題，28100第一部分選擇題（162分第題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè) B. C. D.【詳解】解：三角尺的直角頂點(diǎn)在直線上，且直角等于，． B. C. D.【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置確定，的取值范圍及正負(fù)性，結(jié)合絕對值的性質(zhì)及有理數(shù)的大小比較法∴，∴∴又∵∴∴一個(gè)不透明的袋子中僅有個(gè)球，其中有個(gè)白球、個(gè)黃球，其余都是紅球，這個(gè)球除顏色外無其他 B. C. D.【詳解】解：∵袋子中共有個(gè)球，其中個(gè)白球，個(gè)黃球∴紅球的個(gè)數(shù)為∴隨機(jī)摸出一個(gè)球是紅球的概率為方程組的解為 B. C. D. 將①式兩邊同乘2得，，得，，解得將代入①式得，，解得， 高品質(zhì)再生水的總量用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（） B. C. D.如圖，點(diǎn)在射線上，在射線上截取，分別以、為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)．連接，，則的大小為（ B. C. D.【分析】根據(jù)作圖過程可知是等邊三角形，從而得到，，由點(diǎn)在射上，在射線上截取可知、、三點(diǎn)共線，結(jié)合可得，利用等腰三角∴∵點(diǎn)在射線上，在射線上截取，在平面直角坐標(biāo)系中， 三角形與全等，則稱C為B的“友好點(diǎn)”．給出下面四個(gè)結(jié)論④能夠找到點(diǎn)B，使得在第四象限內(nèi)有B的“友好點(diǎn)”． A. B. C. D.【分析】先明確的邊長特征，再逐個(gè)判斷每個(gè)結(jié)論，通過計(jì)算或舉例驗(yàn)證結(jié)論是否成立對任意，取點(diǎn)，該點(diǎn)在軸上，此時(shí)，，為公共邊因此軸上一定存在友好點(diǎn)，①正確假設(shè)軸上存在友好點(diǎn)，不與重合，也不能與重合（否則無法構(gòu)成三角形解得或，均不符合要求，因此軸上不存在友好點(diǎn)，②錯誤當(dāng)時(shí)，所有符合條件的友好點(diǎn)為（在軸第一象限內(nèi)沒有友好點(diǎn)，因此不是對所有點(diǎn)都成立，③錯誤； ，如圖，設(shè)與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)∴，∴在中， 解得∴∴，該點(diǎn)在第四象限填空題（162分

第二部分 【詳解】解：由題意得，，解得，，∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ． 【分析】先求出樣本中每周體育活動時(shí)間小于的學(xué)生人數(shù)，計(jì)算對應(yīng)頻率，再用全校總?cè)藬?shù)乘以該頻【詳解】解：由題意，抽取的樣本中，每周體育活動時(shí)間小于的學(xué)生人數(shù)為在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和．若，則 ”判斷兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的位置，即可比較與 【詳解】解：對函數(shù)解析式配方得，，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，如圖，的兩條對角線相交于點(diǎn)O．已知的面積為，的長為，當(dāng)?shù)拈L 【詳解】解：由題意，若是菱形則的面積∵的面積為，的長為∴．解得如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過軸正半軸上的點(diǎn)作軸的平行線，分別交函數(shù)和的圖象于點(diǎn)、，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接交軸于點(diǎn)，則的 【答案】##【分析】設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，根據(jù)平行于軸直線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，結(jié)合反比例函數(shù)解析式表示出和點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo).利用平行線性質(zhì)證明，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成【詳解】解：∵點(diǎn)在軸正半軸上∴設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中∵直線平行于軸∴點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為∵點(diǎn)、分別在函數(shù) ∴把代入，得∴點(diǎn)的坐標(biāo)為把代入，得∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，∴ 1名學(xué)生需乘同一輛校車前往該學(xué)校，校車僅在設(shè)于某一住宅處的車站停車一次，每名學(xué)生需從自家住宅沿公路步行至該車站乘車，6名學(xué)生都上車后，校車沿公路向東行駛至學(xué)校．已知每名學(xué)生在相鄰兩處住宅間的步行時(shí)間均為，校車在相鄰兩處住宅間的行駛時(shí)間均為，校車從處至學(xué)校的行駛時(shí)間為．一名學(xué)生的理想通勤時(shí)間是指該學(xué)生從自家住宅至車站的步行 ； ①. ②.（1）所以時(shí)，總時(shí)間和最小解答題（6817~195206215226分，第23524625526627~287分）． 解不等式②，得已知，求代數(shù)式的值，，原式 如圖，在中，，D，E分別為，的中點(diǎn)，，若，，求四邊形的面積【答案（1）證明：在中，，E為的中點(diǎn)，,又（2 1詳解】2是的中位線，，，∵，∴ 四邊形的面積的面積的面積 在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和求，的值當(dāng)時(shí)，對于的每一個(gè)值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，直接寫（2）（2）先寫出一次函數(shù)解析式，整理不等式，分、、三類討論，結(jié)合的取值范圍列不等式求解，合并得到的范圍．1解：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和解 2∴當(dāng)時(shí)∵當(dāng)時(shí)∴解得∵當(dāng)時(shí)∴解得∵當(dāng)時(shí) 已知比賽中，一臺A類機(jī)器人全程保持勻速，途中沒有維護(hù)，完賽成績?yōu)椋灰慌_B類機(jī)器人起跑后，前保持勻速，速度是這臺A類機(jī)器人的倍，之后原地維護(hù)，維護(hù)后勻速跑至終點(diǎn)，速度比維護(hù)前增加了，完賽成績?yōu)椋筮@臺A類機(jī)器人的速度和此次比賽從起點(diǎn)到終點(diǎn)【答案】A類機(jī)器人的速度為，比賽起點(diǎn)到終點(diǎn)的路程為示成績算出它含維護(hù)的實(shí)際總耗時(shí)，拆分出兩段行駛時(shí)長與對應(yīng)速度，將兩段行駛路程相【詳解】設(shè)這臺A類機(jī)器人的速度為 解得所以答：這臺A類機(jī)器人的速度為，此次比賽從起點(diǎn)到終點(diǎn)的路程為為整數(shù)8輪得分的情況如下： 記甲、乙8輪得分的方差分別為和，則 ”如果丙8輪得分的中位數(shù)為，那么丙8輪得分的平均數(shù)是不是一定大于乙8輪得分的平均數(shù)？若 （2）8輪得分的平均數(shù)．1 2詳解】．3詳解】連接交于點(diǎn)F，若，，求的長，，，平分，（2）【分析（1）連接， 根據(jù)切線性質(zhì)可知點(diǎn)P在的平分線上根據(jù)垂徑定理可知，先由垂徑定理求出的半徑，再解直角三角形，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求，由即可求解．1詳解】2，在中，，．設(shè)的半徑為r，則，，在中，由，解得，，即，飽和溶液．固體的溶解度表示在一定溫度下，某固態(tài)物質(zhì)在溶劑里達(dá)到飽和狀態(tài)時(shí)所溶解的質(zhì)量．小度根據(jù)表中數(shù)據(jù)，在圖中畫出范圍內(nèi)甲的溶解度曲線 （精確到個(gè)位）時(shí)，甲和乙的溶解度相同，均為．在該溫度下．將乙加入水中，充分?jǐn)嚢枋蛊淙咳芙夂螅瑢囟冉抵粒藭r(shí)會有 （精確到個(gè)位）乙從水當(dāng)溫度為時(shí)，小云將甲加入到裝有水的號杯中，將乙加入到裝有水號杯中，充分?jǐn)嚢韬螅l(fā)現(xiàn)兩種物質(zhì)均不能全部溶解．為使兩種物質(zhì)均能全部溶解，小云考慮了以下兩方案二：保持溫度不變，向號杯中再加入水，向號杯中再加入水，充分?jǐn)嚢韬笫箖煞N物質(zhì)均 ；；②、的值，計(jì)算即可．1詳解】2解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)溫度約為（精確到個(gè)位）時(shí)，甲和乙的溶解度相同；此時(shí)溶解度，降溫到，乙溶解度約為3 由圖可知，對甲來說，溶解度達(dá)到的溫度約為，對乙來說，溶解度達(dá)到的溫度約為，因此的最小值為②解：時(shí)甲溶解度約為，設(shè)溶解甲需要的水的總質(zhì)量為由解得：，即時(shí)乙溶解度約為，同理得溶解乙需要的水的總質(zhì)量為，即最終．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為（特別地，當(dāng)M是的頂點(diǎn)時(shí)，即為．若無論t為何值，拋物線都不經(jīng)過點(diǎn)O，求a的取值范（2）且【分析（1）利用拋物線過直接得，再套用對稱軸公式，化簡求出 得到關(guān)于的一元二次方程，方程無實(shí)1解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，．拋物線的對稱軸為，；2解：設(shè)點(diǎn)設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)，則，即 化簡得：，解得：，且．在中，，，過的中點(diǎn)作的垂線，交于，點(diǎn)在的延長線上， 如圖，，求證：如圖，點(diǎn)在的延長線上，，連接，，直接寫出的大小，并證∴∴證明：如圖，過點(diǎn)分別作，的垂線，分別交，的延長線于點(diǎn)，中 ∴∴∴【分析（1）得，通過，，所以，則有，然后通過直角三角形的性質(zhì)可得，，再由線段（2）過點(diǎn)分別作，的垂線，分別交，的延長線于點(diǎn)，，分別證，，所以，又，則，即，從而可得12詳解】 平行的直線上，稱由，和組成的圖形為單弧三角形，記作，其中所在圓的圓心稱為的弧心．在平面直角坐標(biāo)系中如圖1，點(diǎn)，，，直接寫出的弧心的坐標(biāo)及的長如圖2，點(diǎn)，，當(dāng)?shù)幕⌒臑镺時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)已知點(diǎn)，對于平面內(nèi)的點(diǎn)N，存在點(diǎn)P，Q滿足和的弧心均為O，和都不是鈍角三角形，且，記N的橫坐標(biāo)為t，直接寫出t的取值范圍．【分析（1）先根據(jù)、兩點(diǎn)坐標(biāo)求出的垂直平分線，再結(jié)合“過點(diǎn)且與平行”的條件進(jìn)而得先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出直線與的一次項(xiàng)系數(shù)相等，利用待定系數(shù)法代入點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的一次函數(shù)解析式；再根據(jù)同圓半徑相等得到，結(jié)合勾股定理列出坐標(biāo)方程，聯(lián)立直線解析式求解并舍去已知點(diǎn)對應(yīng)的解，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；先利用同圓半徑相等和勾股定理求出的長度，再通過作垂線構(gòu)造矩形得到、為非鈍角的有效線段長度；再分和兩種情況，結(jié)合勾股定理逆定理判斷是否為鈍角，根據(jù)的條1解：由題意可知：弧心在過點(diǎn)且與平行的直線上，且弧心是所在圓的圓心∴弧心到、距離相等，即在的垂直平分線上∴過且平行于的直線為水平線：∴兩直線交點(diǎn)即為弧心，坐標(biāo)為∵弧心到、距離相等∴半徑為弧心到點(diǎn)的距離：∵，∴∴圓心角為2將，代入得： ∴直線的解析式為∵∴直線的解析式 ∵∴直線的解析式為∵的弧心為∴設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)∴ 解得：（與點(diǎn)重合，舍去，，將代入 ，解得，故的